1、1. 圓的極坐標方程圓的極坐標方程1.極坐標系的建立：極坐標系的建立：在平面內取一個定點在平面內取一個定點O，叫做，叫做極點極點。引一條射線引一條射線OX，叫做，叫做極軸極軸。再選定一個再選定一個長度單位長度單位和和角角度單位度單位及及它的正方向它的正方向（通（通常取逆時針方向）。常取逆時針方向）。這樣就建立了一個這樣就建立了一個極坐標系極坐標系。XO復習回顧復習回顧2.極坐標系內一點的極坐標的規定極坐標系內一點的極坐標的規定XOM 對于平面上任意一點對于平面上任意一點MM，用，用 表示線段表示線段OMOM的的長度，用長度，用 表示從表示從OXOX到到OM OM 的角度，的角度， 叫做點叫做點

2、MM的的極徑極徑， 叫做點叫做點MM的的極極角角，有序數對，有序數對（ ， ）就就叫做叫做MM的極坐標。的極坐標。一般地一般地,不作特殊說明時不作特殊說明時,我們認為我們認為0,要取任意實數要取任意實數.3.極坐標與直角坐標的互化關系式極坐標與直角坐標的互化關系式:設點設點M的直角坐標是的直角坐標是 (x, y) 極坐標是極坐標是 (,) x=cos, y=sin )0(tan,222 xxyyx 曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程 一、定義：一、定義：如果曲線如果曲線C上的點與方上的點與方程程f( , )=0有如下關系有如下關系 (1) 曲線曲線C上任一點的坐標上任一點的坐標(所有坐標所有坐標

3、中至少有一個中至少有一個)符合方程符合方程f( , )=0； (2) 方程方程f( , )=0的所有解為坐標的的所有解為坐標的點都在曲線點都在曲線C上。上。 則曲線則曲線C的方程是的方程是f( , )=0。 新課講授新課講授 探究探究1 如圖，半徑為如圖，半徑為a的圓的圓的圓的圓心坐標為心坐標為(a,0)(a0)，你能用一個等式，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標表示圓上任意一點的極坐標( , )滿足滿足的條件？的條件？xC(a,0)O 探究探究1 如圖，半徑為如圖，半徑為a的圓的圓的圓的圓心坐標為心坐標為(a,0)(a0)，你能用一個等式，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標表示圓上任

4、意一點的極坐標( , )滿足滿足的條件？的條件？MxC(a,0)OA 探究探究2 如圖，半徑為如圖，半徑為a的圓的圓的圓的圓心坐標為心坐標為(a,0)(a0)，你能用一個等，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標式表示圓上任意一點的極坐標( , )滿滿足的條件？足的條件？xC(a, 0)O 探究探究2 如圖，半徑為如圖，半徑為a的圓的圓的圓的圓心坐標為心坐標為(a,0)(a0)，你能用一個等，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標式表示圓上任意一點的極坐標( , )滿滿足的條件？足的條件？MxC(a, 0)OA 例例1 已知圓已知圓O的半徑為的半徑為r，建立怎，建立怎樣的坐標系，可以使圓的極坐

5、標方程更樣的坐標系，可以使圓的極坐標方程更簡單？簡單？題組練習題組練習1求下列圓的極坐標方程求下列圓的極坐標方程(1)中心在極點，半徑為中心在極點，半徑為2；(2)中心在中心在C(a,0)，半徑為，半徑為a；(3)中心在中心在(a, /2)，半徑為，半徑為a；題組練習題組練習1求下列圓的極坐標方程求下列圓的極坐標方程(1)中心在極點，半徑為中心在極點，半徑為2； =2(2)中心在中心在C(a,0)，半徑為，半徑為a；(3)中心在中心在(a, /2)，半徑為，半徑為a；題組練習題組練習1求下列圓的極坐標方程求下列圓的極坐標方程(1)中心在極點，半徑為中心在極點，半徑為2； =2(2)中心在中心在

6、C(a,0)，半徑為，半徑為a； =2acos (3)中心在中心在(a, /2)，半徑為，半徑為a；題組練習題組練習1求下列圓的極坐標方程求下列圓的極坐標方程(1)中心在極點，半徑為中心在極點，半徑為2； =2(2)中心在中心在C(a,0)，半徑為，半徑為a； =2acos (3)中心在中心在(a, /2)，半徑為，半徑為a； =2asin 練習練習2 極坐標方程分別是極坐標方程分別是=cos和和=sin的兩個圓的圓心距是多少的兩個圓的圓心距是多少?22 練習練習3 以極坐標系中的點以極坐標系中的點(1,1)為圓為圓心，心，1為半徑的圓的方程是為半徑的圓的方程是)1sin(2.)1cos(2.

7、)4sin(2.)4cos(2. DCBAC2.直線的極坐標方程直線的極坐標方程1. 負極徑的定義負極徑的定義1. 負極徑的定義負極徑的定義 說明：一般情況下，極徑都是正說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些必要情況下，極徑也可以值；在某些必要情況下，極徑也可以取負值。取負值。(?)1. 負極徑的定義負極徑的定義 說明：一般情況下，極徑都是正說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些必要情況下，極徑也可以值；在某些必要情況下，極徑也可以取負值。取負值。(?)對于點對于點M( ， )負極徑時的規定：負極徑時的規定：1 作射線作射線OP，使，使 XOP= 2在在OP的反向的反向延長線上取一點延長線上取

8、一點M，使，使|OM|= | |2. 負極徑的實例負極徑的實例 在極坐標系中畫出點在極坐標系中畫出點M(3， /4)的位置的位置2. 負極徑的實例負極徑的實例 在極坐標系中畫出點在極坐標系中畫出點M(3， /4)的位置的位置 1 作射線作射線OP，使使 XOP= /4 2 在在OP的反向的反向延長線上取一點延長線上取一點M，使使|OM|= 3負極徑小結：負極徑小結：極徑變為負，極角增加極徑變為負，極角增加 。練習：寫出點練習：寫出點 的負極徑的極坐標的負極徑的極坐標（6， ）6答：（答：（6， +）6或（或（6， +）116特別強調：一般情況下（若不作特別特別強調：一般情況下（若不作特別說明時

9、），認為說明時），認為 0 。因為負極徑只。因為負極徑只在極少數情況用。在極少數情況用。.4,的極坐標方程的極坐標方程的射線的射線傾角為傾角為求過極點求過極點 例例1)0(4.,4,: 求直線的極坐標方程為求直線的極坐標方程為故所故所負數負數其極徑可以取任意的非其極徑可以取任意的非是是線上任一點的極角都線上任一點的極角都所求的射所求的射如圖如圖分析分析*新課講授新課講授* 2. 求過極點，傾角為求過極點，傾角為 的直線的直線的極坐標方程。的極坐標方程。*思考思考* 1. 求過極點，傾角為求過極點，傾角為 的射線的射線的極坐標方程。的極坐標方程。4 45 2. 求過極點，傾角為求過極點，傾角為

10、的直線的直線的極坐標方程。的極坐標方程。*思考思考* 1. 求過極點，傾角為求過極點，傾角為 的射線的射線的極坐標方程。的極坐標方程。4 45 )0(45 易易得得 2. 求過極點，傾角為求過極點，傾角為 的直線的直線的極坐標方程。的極坐標方程。*思考思考* 1. 求過極點，傾角為求過極點，傾角為 的射線的射線的極坐標方程。的極坐標方程。4 45 )0(45 易易得得 454 或或 和前面的直角坐標系里直線方程的和前面的直角坐標系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？而

11、成。原因在哪？ 和前面的直角坐標系里直線方程的和前面的直角坐標系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？而成。原因在哪？ 0 和前面的直角坐標系里直線方程的和前面的直角坐標系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？而成。原因在哪？ 0 為了彌補這個不足，可以考慮允許為了彌補這個不足，可以考慮允許極徑可以取全體實數。則上面的直線的極徑可以取全體實數。則

12、上面的直線的極坐標方程可以表示為極坐標方程可以表示為)(45)(4RR 或或 例例2 求過點求過點A(a,0)(a0)，且垂直于，且垂直于極軸的直線極軸的直線L的極坐標方程。的極坐標方程。 例例2 求過點求過點A(a,0)(a0)，且垂直于，且垂直于極軸的直線極軸的直線L的極坐標方程。的極坐標方程。解：解：如圖，設點如圖，設點M( , )為直線為直線L上除點上除點A外的外的任意一點，連接任意一點，連接OM在在Rt MOA中有中有|OM|cos MOA=|OA|即即 cos =a可以驗證，點可以驗證，點A的坐標也滿足上式的坐標也滿足上式.求直線的極坐標方程步驟求直線的極坐標方程步驟 1. 根據題

13、意畫出草圖；根據題意畫出草圖； 2. 設點設點M( , )是直線上任意一點是直線上任意一點; 3. 連接連接MO； 4. 根據幾何條件建立關于根據幾何條件建立關于 , 的方程的方程,并化簡；并化簡； 5. 檢驗并確認所得的方程即為所求檢驗并確認所得的方程即為所求. 例例3 設點設點P的極坐標為的極坐標為( 1, 1)，直，直線線l過點過點P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ，求直，求直線線l的極坐標方程。的極坐標方程。.)sin()sin()sin()(sin)(,.|,|,),(,:1111111的坐標也是它的解的坐標也是它的解顯然點顯然點由正弦定理由正弦定理則在則在與極軸交于點與極軸交于點設直線設直線的極坐標知的