1、模型組合講解追及、相遇模型一、追及、相遇模型（同一直線上）【模型概述】追及和相遇問題是一類常見的運動學問題，從時間和空間的角度來講，相遇是指同一時刻到達同一位置。可見，相遇的物體必然存在以下兩個關系：一是相遇位置與各物體的初始位置之間存在一定的位移關系。若同地出發，相遇時位移相等為空間條件。二是相遇物體的運動時間也存在一定的關系。若物體同時出發，運動時間相等；若甲比乙早出發t，則運動時間關系為。要使物體相遇就必須同時滿足位移關系和運動時間關系。【模型講解】1. 利用不等式求解例1：甲、乙兩物體相距s，在同一直線上同方向做勻減速運動，速度減為零后就保持靜止不動。甲物體在前，初速度為v1，加速度大

2、小為a1。乙物體在后，初速度為v2，加速度大小為a2且知v1<v2，但兩物體一直沒有相遇，求甲、乙兩物體在運動過程中相距的最小距離為多少？解析：若是，說明甲物體先停止運動或甲、乙同時停止運動。在運動過程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有兩物體都停止運動時，才相距最近，可得最近距離為若是，說明乙物體先停止運動那么兩物體在運動過程中總存在速度相等的時刻，此時兩物體相距最近，根據，求得在t時間內甲的位移乙的位移代入表達式求得評點：本題是一個比較特殊的追及問題（減速追減速）。求解時要對各種可能的情況進行全面分析，先要建立清晰的物理圖景。本題的特殊點在于巧妙地通過比較兩物體運動時間的長短尋找兩物體

3、相距最近的臨界條件。2. 巧用圖象法求解例2：如圖1所示，聲源S和觀察者A都沿x軸正方向運動，相對于地面的速率分別為和。空氣中聲音傳播的速率為，設，空氣相對于地面沒有流動。圖1（1）若聲源相繼發出兩個聲信號。時間間隔為，請根據發出的這兩個聲信號從聲源傳播到觀察者的過程。確定觀察者接收到這兩個聲信號的時間間隔。（2）請利用（1）的結果，推導此情形下觀察者接收到的聲波頻率與聲源發出的聲波頻率間的關系式。解析：作聲源S、觀察者A、聲信號P（P1為首發聲信號，P2為再發聲信號）的位移時間圖象如圖2所示圖線的斜率即為它們的速度則有：圖2兩式相減可得：解得（2）設聲源發出聲波的振動周期為T，這樣，由以上結

4、論，觀察者接收到的聲波振動的周期為由此可得，觀察者接收到的聲波頻率與聲源發出聲波頻率間的關系為評點：圖象分速度圖象和位移圖象，位移圖線的斜率為速度，速度圖線的斜率為加速度，速度圖線與時間軸所圍的“面積”值，等于該段時間內的位移大小。3. 妙取參照物求解例3：火車甲正以速度v1向前行駛，司機突然發現前方距甲d處有火車乙正以較小速度v2同向勻速行駛，于是他立即剎車，使火車做勻減速運動而停下。為了使兩車不相撞，加速度a應滿足什么條件？解析：設以火車乙為參照物，則甲相對乙做初速為、加速度為a的勻減速運動。若甲相對乙的速度為零時兩車不相撞，則此后就不會相撞。因此，不相撞的臨界條件是：甲車減速到與乙車車速

5、相同時，甲相對乙的位移為d。即：，故不相撞的條件為【模型要點】追及、相遇問題特點：討論追及、相遇的問題，其實質就是分析討論兩物體在相同時間內能否到達相同的空間位置問題。一定要抓住兩個關系：即時間關系和位移關系。一個條件：即兩者速度相等，它往往是物體間能否追上、追不上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。【特別說明】1. 勻減速運動的物體追同向勻速運動物體若二者速度相等時，追趕者仍沒有追上被追趕者，則追趕者永遠追不上被追趕者，此時二者有最小距離；若二者相遇時，追趕者的速度等于被追趕者的速度，則剛好追上，也是二者避免碰撞的臨界條件；若二者相遇時，追趕者的速度仍大于被追趕者的速度

6、，則還有一次被被追趕者追上追趕者的機會，其間速度相等時二者的距離有一個最大值。2. 初速度為零的勻加速運動的物體追同向勻速運動的物體只要時間足夠長，追趕者一定能追上被追趕者發生碰撞。當二者速度相等時有最大距離。若位移相等即追上（同一地點出發）。在相遇問題中，同向運動的兩物體追到即相遇，解決方法同上；相向運動的物體，各自發生的位移絕對值之和為開始時兩物體間的距離時即相遇。【模型演練】（2005年徐州模考）在一條平直的公路上，乙車以10m/s的速度勻速行駛，甲車在乙車的后面作初速度為15m/s，加速度大小為0.5m/s2的勻減速運動，則兩車初始距離L滿足什么條件時可以使（1）兩車不相遇；（2）兩車

7、只相遇一次；（3）兩車能相遇兩次（設兩車相遇時互不影響各自的運動）。答案：設兩車速度相等經歷的時間為t，則甲車恰能追及乙車時，應有其中，解得若，則兩車等速時也未追及，以后間距會逐漸增大，及兩車不相遇。若，則兩車等速時恰好追及，兩車只相遇一次，以后間距會逐漸增大。若，則兩車等速時，甲車已運動至乙車前面，以后還能再次相遇，即能相遇兩次。（文/孫晉善）二、追及、相遇模型（不在一條直線上）【模型概述】不在一條直線上的相遇問題在近年高考中也較為常見，如2000年的上海高考中的“估算出飛機速度”，2004年廣西高考“觀察者看衛星”等，該類問題其實是兩種不在一條直線上的運動或不同運動的組合體，在空間上在某一

8、時刻到達同一位置。【模型講解】例. 有一個很大的湖，岸邊（可視湖岸為直線）停放著一艘小船，纜繩突然斷開，小船被風刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h。同時岸上一人從停放點起追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4.0km/h，在水中游的速度為2.0km/h，問此人能否追及小船？解析：費馬原理指出：光總是沿著光程為極小值的路徑傳播。據此就將一個運動問題通過類比法可轉化為光的折射問題。如圖3所示，船沿OP方向被刮跑，設人從O點出發先沿湖岸跑，在A點入水游到OP方向的B點，如果符合光的折射定律，則所用時間最短。圖3根據折射定律：解得在這最短時間內，若船還未到達B點，則人能追上小船，

9、若船已經通過了B點，則人不能追上小船，所以船剛好能到達B點所對應的船速就是小船能被追及的最大船速。根據正弦定理又由以上兩式可解得：此即小船能被人追上的最大速度，而小船實際速度只有2.5km/h，小于，所以人能追上小船。【模型要點】從空間的角度來講，兩物體經過一段時間到達同一位置。必然存在兩種關系：一是空間關系，不在一條直線的相遇問題要做好幾何圖形，利用三角形知識解題。二是時間關系。這是解決該類問題的切入點。【特別說明】圓周運動中的相遇、追及：同一圓、同方向追擊的物體轉過的角度時表明兩物體相遇或相距最近；反方向轉動的物體轉過的角度（n=0、1、2、）時表明兩物體相遇或相距最近。不同一圓、同方向追擊的物體轉過的角度（n=0、1、2、）時表明兩物體相距最近。【模型演練】1.