1、返回三、對面積曲面積分的計算法三、對面積曲面積分的計算法一、概念的引入一、概念的引入二、對面積曲面積分的概念與性質(zhì)二、對面積曲面積分的概念與性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題第四節(jié)第四節(jié) 對面積的曲面積分對面積的曲面積分返回返回: 設(shè)曲面設(shè)曲面),(yxzz 的面密度的面密度),(zyx 為為)(連續(xù)連續(xù)求其質(zhì)量求其質(zhì)量iS ),(iii ni 10lim Mxyz0),(yxzz ),(zyx dS一、概念的引入一、概念的引入【實(shí)例】【實(shí)例】返回定義定義),(zyxf設(shè)設(shè)在光滑在光滑 曲曲面面上有界上有界)1(：分分割割 ,1S ,2S ,nS )2(iS 取點(diǎn)：取點(diǎn)： ),(iii )3(

2、),(iiif 作和：作和：iS ni 1)4(求求極極限限：),(iiif iS ni 10lim ，若其若其 稱之為稱之為),(zyxf上上在在 對面積的對面積的曲面積分曲面積分記為記為 ),(zyxfdS二、對面積的曲面積分的定義二、對面積的曲面積分的定義返回返回按照曲面的不同情況分為以下三種計算法：按照曲面的不同情況分為以下三種計算法：; ),(:. 1yxzz 的的方方程程為為若若曲曲面面oxyz),(yxzz xyD;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(那么那么一投、二代、三換一投、二代、三換三、對面積的曲面積分的計算三、對面積的曲面積分的計算 返回

3、按照曲面的不同情況分為以下三種計算法：按照曲面的不同情況分為以下三種計算法：; ),(:. 1yxzz 的的方方程程為為若若曲曲面面oxyz),(yxzz xyD;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(那么那么; ),(:. 2zxyy 的方程為的方程為若曲面若曲面 dSzyxf),(;1),(,22dzdxyyzzxyxfzxDzx ; ),(:. 3zyxx 的方程為的方程為若曲面若曲面 dSzyxf),(.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy 一投、二代、三換一投、二代、三換三、對面積的曲面積分的計算三、對面積的曲面積分的計算返回 同時注意：同時

4、注意：投影域投影域不不可可為為線線！返回2例例求求 xyzdS: 1 zyx一卦限一卦限部分部分xyz0解解化作化作 xy的二重積分的二重積分: yxz 1:xyD0 xy1 yx xyzdS xyDxy)1(yx 3dxdy dx3010 x 1 xyD,yxf),(yxz221yxzz d ),(zyxfdS xydyyx)1( .1203 返回例例3 3解解.4321 xyzo1111 2 3 4 , 0:1 x, 0),( xyzzyxf上，上，同理在同理在32, , 0),( xyzzyxf dSxyzdSxyzdSxyz 211, zyxxyzdS是三坐標(biāo)面及是三坐標(biāo)面及其中其中計

5、算計算.所圍四面體的邊界曲面所圍四面體的邊界曲面dSxyzdSxyz 43 dSxyzdSxyz 4 .1:4yxz 又又dxdyyxxyxyD 3)1( .1203 oxy11xyD返回4例例求求 )(222zyx dS: , 122 yx21 z的部分的部分xyz0解解化作化作 xy的二重積分的二重積分:xyD122 yx )(222zyx dS0 注意：注意：投影域投影域不不可可為為線線！ p.54 一、一、2下面的求解方下面的求解方式是否正確？式是否正確？返回4例例求求 )(222zyx dS: , 122 yx21 z的部分的部分xyz0解解化作化作 yz 的二重積分的二重積分21y

6、x :yzDyz0, 21 z11 yzx0 yx21yy )(222zyx dS yzD)1(2z dydzy211 310 dSzyxf),(.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy 這個求解方式是這個求解方式是否正確？否正確？返回4例例求求 )(222zyx dS: , 122 yx21 z的部分的部分xyz0解解化作化作 yz 的二重積分的二重積分:yzD21yx yz, 21 z11 y 前前)(222zyx dS310 0注意：注意：投影域投影域重疊時，重疊時， 重復(fù)計算！重復(fù)計算！返回5例例求求 zdS: ,2222azyx hz 部分，部分，ah 0 xyz0h1解解

7、222yxaz :xyD2222hayx xz222yxa x yz222yxa y 221yxzz 222yxaa zdS xyD222yxaadxdy 20d 220ha22 adahaaln2 返回5例例求求 zdS: ,2222azyx hz 部分，部分，ah 0 xyz0h2解解222zxay :zxD 右右zdS zxDhxz0,222azx hz xy222zxa x zy222zxa z 221zxyy 222zxaa 222zxazadxdz 返回 計計算算 xdS, 其其中中 是是圓圓柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所圍圍成成的的空空間間立立體體的的表表

8、面面.例例6 6返回解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx, 01112 DdxdyxxdS顯然顯然 011 DxdxdyxdS, 計計算算 xdS, 其其中中 是是圓圓柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所圍圍成成的的空空間間立立體體的的表表面面.例例6 6返回討討論論3 時時, 將將投投影影域域選選在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分為左、右兩片分為左、右兩片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右兩片投影相同）（左右兩片投影相同） xzDzxdxdzyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112返回 xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.返回四、小結(jié)四、小結(jié)2對面積的曲面積分的計算是將其化為投影域上對面積的曲面積分的計算是將其化為投影域上的二重積分計算的二重積分計算. （按照曲面的不同情況投影到三（按照曲面的不同情況投影到三坐標(biāo)面上）坐標(biāo)面上）1對面積的曲面積分的概念對面積的曲面積分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 注意：一投、二代、三換注意：一投、二代、三換返回【思考題】【思考題】 在對面積的曲面積分化為二重積分在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中的公式中, , 有因有因子子 , , 試說明這試說明這個因子