1、一元二次方程第1頁（共16頁）、選擇題1 方程 2x (x- 3) =5 (x-3)的解是()A. x=3 B. x=r C. xi=3, X2=D. x=- 32.方程 (x+.：) 2+ (x+ . )( 2x- 1) =0 的較大根為()A.3.三角形兩邊的長是3和4,第三邊的長是方程x2- 12x+35=0的根，則該三角形的周長為（）A . 14 B. 12 C. 12或14 D.以上都不對4 .關于x的方程x2+mx+n=0的兩根中只有一個等于0,則下列條件中正確的是（）A . m=0, n=0 B . m=0, n工0 C. m工0, n=0 D .0, n05.某廠改進工藝降低了

2、某種產品的成本，兩個月內從每件產品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率為（）A . 15% B 20% C 5% D . 25%6 .已知x=2是關于x的方程 * 八的一個解，貝U 2a- 1的值是()A . 3 B. 4 C. 5D . 67.下列方程適合用因式方程解法解的是()A . x2- 3 =x+2=0 B . 2/=x+4 C. (x- 1)( x+2) =70D . x2- 11x- 10=0 8 .已知x=1是二次方程（m2- 1） x2- mx+m2=0的一個根，那么m的值是（A. 一或-1 B . - - C 或 19.方程 x2-（ . + ：_） x+. ：=

3、0的根是（）A .X1二,xz= B .冷=1,X2=!：C.冷=:-,X2= D .x= ± 一10 . 一臺電視機成本價為a元，銷售價比成本價增加25%，因庫存積壓，所以就按銷售 價的70%出售.那么每臺實際售價為（）A. （1+25%）（ 1 +70%） a 元 B. 70% （1 +25%） a 元C.（1 +25%）（ 1 - 70%） a 元 D .（1 +25%+70%） a 元二、填空題11.若關于x的一元二次方程x2+ (k+3) x+k=O的一個根是-2,則另一個根是12某種品牌的手機經過四、五月份連續兩次降價，每部售價由3200元降到了 2500元設 平均每月降

4、價的百分率為x,根據題意列出的方程是 _.13. 已知兩圓的圓心距為3，兩圓的半徑分別是方程x2-4x+3=0的兩根，那么這兩個圓 的位置關系是.14. 若方程x2 - cx+2=0有兩個相等的實數根，則c=.15 .已知：m是方程x2- 2x- 3=0的一個根，則代數式2m - m2=.三、解答題：16. 解方程(1) x2+3=3 (x+1);(2) 3x2- x- 1= 0.17. 某公司一月份營業額為100萬元，第一季度總營業額為331萬元，問：該公司二、三月份營業額的平均增長率是多少？18. 心理學家發現，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x( min)之間滿足：y=- 0.

5、1x2+2.6x+43 (0< x<30)，求當 y=59 時所用的時間.19 .某企業1998年初投資100萬元生產適銷對路的產品，1998年底將獲得的利潤與年 初的投資的和作為1999年初的投資，到1999年底，兩年共獲利潤56萬元，已知1999 年的年獲利率比1998年的年獲利率多10個百分點(即：1999年的年獲利率是1998年 的年獲利率與10%的和).求1998年和1999年的年獲利率各是多少？20.為解方程(x2- 1) 2- 5 (x2- 1) +4=0，我們可以將x2- 1視為一個整體，然后設 x2 - 1=y，則(x2 - 1) 2=y2，原方程化為 y2-5y

6、+4=0.解得 y1=1，y2=4當 y=1 時，x2-仁 1.a /=2.二 x=±'；當 y=4 時，x2 - 1=4，二 /=5，二 x=± !.二原方程的解為X1=. ，x2=-X3= '，X4=-解答問題：(1)填空：在由原方程得到方程的過程中，利用法達到了降次的目的，體現了第2頁(共16頁)的數學思想.（2）解方程:x4- x2- 6=0.21 如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm, AD=6cm,動點P、Q分別從點A、C同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止，點Q以2 cm/s的速度 向D移動.（1） P、Q

7、兩點從出發開始到幾秒？四邊形 PBCQ的面積為33cm2;P和點Q的距離是10cm.第7頁（共16頁）一元二次方程參考答案與試題解析一、選擇題1 方程 2x (x- 3) =5 (x-3)的解是()A. x=3 B. x= C. Xi=3, X2= D. x=- 32 2【考點】解一元二次方程-因式分解法.【專題】計算題.【分析】本題應對方程進行移項，提取公因式 x-3，將原式化為兩式相乘的形式，再根 據 兩式相乘值為0,這兩式中至少有一式值為0”來解題.【解答】解：原方程變形為：2x (x- 3)- 5 (x- 3) =0/.( 2x- 5)( x- 3) =05xi =3, X2=.故選

8、C.【點評】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法、 配方法、公式法、因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法.本題運用的是 因式分解法.2.方程 (x+.-) 2+ (x+ - )( 2x- 1) =0 的較大根為()12 1 1A.-空B © C虧D.【考點】解一元二次方程-因式分解法.【分析】利用因式分解法得到(x+£)2+(x+g) (2x-1)=(x+寺)(x+寺)+ (2x-1)=0,=0， (x+ ) + (2x- 1) =0,求出方程的解即可.【解答】解：(x+ ) 2+ (x+ )( 2x- 1) =0,-(x+ .-)

9、 (x+ . ) + (2x- 1) =0，(x+ .-) =0， (x+ - ) + (2x- 1) =0,1 2*=, x2=，故較大根為:',故選：B.【點評】此題主要考查了因式分解解一元二次方程等知識點的理解和掌握，能把一元 次方程轉換成一元一次方程是解此題的關鍵.3. 三角形兩邊的長是3和4,第三邊的長是方程x2- 12x+35=0的根，則該三角形的周 長為（）A. 14 B. 12 C. 12或14 D.以上都不對【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系.【分析】易得方程的兩根，那么根據三角形的三邊關系，排除不合題意的邊，進而求得 三角形周長即可.【解答】解：解方

10、程x2- 12x+35=0得：x=5或x=7.當x=7時，3+4=7,不能組成三角形；當x=5時，3+4>5,三邊能夠組成三角形.該三角形的周長為3+4+5=12,故選B.【點評】本題主要考查三角形三邊關系，注意在求周長時一定要先判斷是否能構成三角 形.4. 關于x的方程x2+mx+n=0的兩根中只有一個等于0,則下列條件中正確的是（）A. m=0, n=0 B. m=0, n工0 C. m工0, n=0 D. mM0, nM0【考點】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解.【分析】代入方程的解求出n的值，再用因式分解法確定 m的取值范圍.【解答】解：方程有一個根是 0,即把x=0

11、代入方程，方程成立.得到n=0；則方程變成x2+mx=0, 即卩x （x+m） =0則方程的根是0或-m,因為兩根中只有一根等于0,則得到-mM0即mm0方程x2+mx+ n=0的兩根中只有一個等于 0,正確的條件是0, n=0.故選C.【點評】本題主要考查了方程的解的定義，以及因式分解法解一元二次方程.5. 某廠改進工藝降低了某種產品的成本，兩個月內從每件產品 250元，降低到了每件 160元，平均每月降低率為（）A. 15% B 20% C 5% D. 25%【考點】一元二次方程的應用.【專題】增長率問題.【分析】降低后的價格=降低前的價格X（ 1-降低率），如果設平均每次降價的百分率 是

12、X，則第一次降低后的價格是 250 （1 - X），那么第二次后的價格是 250 （1 - x） 2， 即可列出方程求解.【解答】解：如果設平均每月降低率為 x,根據題意可得250 （1 - x） 2=160,呂=0.2, X2=1.8 （不合題意，舍去）.故選B.【點評】本題考查求平均變化率的方法.若設變化前的量為 a,變化后的量為b,平均 變化率為x,則經過兩次變化后的數量關系為 a （1± x） 2=b.（當增長時中間的 ± ”號 選+”，當降低時中間的± ”號選-”）396 .已知x=2是關于x的方程-的一個解，貝U 2a- 1的值是（）A. 3 B. 4

13、 C. 5 D. 6【考點】一元二次方程的解.【分析】把x=2代入已知方程可以求得2a=6,然后將其整體代入所求的代數式進行解答.【解答】解：x=2是關于x的方程一的一個解，3 :- X 22 - 2a=0，即 6 -2a=0,則 2a=6, 2a- 1=6 - 1=5.故選：C.【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義一元二次方程的根就是一元二次方程的 解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值即用這個數代替未知數所得式子仍然 成立.7 下列方程適合用因式方程解法解的是（）A. x2-3 一x+2=0 B. 2x2=x+4 C. （x- 1）（ x+2） =70D. x2- 11x-10=0

14、【考點】解一元二次方程-因式分解法.【專題】計算題.【分析】本題可將選項先化簡成 ax"+bx+c=0,看是否可以配成兩個相乘的因式，滿足則 方程適用因式分解.【解答】解：根據分析可知 A、B、D適用公式法.而 C可化簡為 x2+x- 72=0，即（x+9）（ x-8） =0, 所以C適合用因式分解法來解題.故選 C.【點評】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法, 配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法.8 .已知x=1是二次方程（m2- 1） x2- mx+m2=0的一個根，那么m的值是（）A. 一或-1 B.- - C 或

15、1D.【考點】一元二次方程的解.【分析】把x=1代入方程（m2- 1） x2- mx+m2=0，得出關于m的方程，求出方程的解 即可.【解答】解：把 x=1 代入方程（m2- 1） x2- mx+m2=0得：（m2- 1）- m+m2=0, 即 2m2- m -仁0，（2m+1）（ m - 1） =0，解得：m=-了或1，當m=1時，原方程不是二次方程，所以舍去.故選B.【點評】本題考查了一元二次方程的解和解一元二次方程的應用，解此題的關鍵是得出 關于m的方程.第9頁（共16頁）9. 方程 x2-( + :_) x+. ：=0的根是()A. xi=2, X2=G B. Xi=1, X2=V C

16、. X1= X2=© D. x=±Vs【考點】解一元二次方程-因式分解法.【專題】因式分解.【分析】本題運用的是因式分解法來解題，將方程化為因式的乘積，然后根據兩式相乘值為0,這兩式中至少有一式值為0”來解題.【解答】解：原方程變形為：(x )(x T) =0,解得x=.二或x=二.故選A.【點評】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法， 配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的提點靈活選用合適的方法.10. 一臺電視機成本價為a元，銷售價比成本價增加25%，因庫存積壓，所以就按銷售價的70%出售.那么每臺實際售價為()A.( 1+25%)(

17、1 +70%) a 元 B. 70% (1 +25%) a 元C.( 1 +25%)( 1 70%) a 元 D.( 1 +25%+70%) a 元【考點】列代數式.【專題】應用題.【分析】每臺實際售價=銷售價X 70%.【解答】解：可先求銷售價(1 +25%) a元，再求實際售價70% (1 +25%) a元.故選B.【點評】解決問題的關鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關系.用字母表示數時，要注意寫法： 在代數式中出現的乘號，通常簡寫做“?或者省略不寫，數字與數字相乘一般仍用 X” 號； 在代數式中出現除法運算時，一般按照分數的寫法來寫； 數字通常寫在字母的前面； 帶分數的要寫成假分數的形式

18、.、填空題11 若關于x的一元二次方程X2+ (k+3) x+k=O的一個根是-2,則另一個根是 1.【考點】根與系數的關系.【分析】欲求方程的另一個根，可將該方程的已知根-2代入兩根之積公式和兩根之和公式列出方程組，解方程組即可求出另一個根.【解答】解：設方程的另一根為 X!，又：X2=- 2.(x 1+ (-2)=-(k+3)解方程組可得X1=1.【點評】此題也可用此方法解答：將-2代入一元二次方程可求得 k=- 2,則此一元 次方程為x2+x- 2=0,解這個方程可得X1=- 2，X2=1.12某種品牌的手機經過四、五月份連續兩次降價，每部售價由3200元降到了 2500元設 平均每月降

19、價的百分率為X，根據題意列出的方程是 3200 (1 - x) 2=2500 .【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.【專題】增長率問題.【分析】本題可根據：原售價X( 1-降低率)2=降低后的售價得出兩次降價后的價格， 然后即可列出方程.【解答】解：依題意得：兩次降價后的售價為 3200 (1-x) 2=2500,故答案為：3200 (1-x) 2=2500.【點評】本題考查降低率問題，由：原售價x(1 -降低率)2=降低后的售價可以列出方程.13.已知兩圓的圓心距為3，兩圓的半徑分別是方程x2- 4x+3=0的兩根，那么這兩個圓 的位置關系是相交.【考點】圓與圓的位置關系；解一元二次方程-

20、因式分解法.【分析】由兩圓的半徑分別是方程x2-4x+3=0的兩根，利用因式分解法即可求得兩圓的 半徑，又由兩圓的圓心距為3,即可求得這兩個圓的位置關系.【解答】解： x2 - 4x+3=0,'( x- 1)( x- 3) =0,解得：X1 = 1 , X2=3,兩圓的半徑分別是1, 3, 1+3=4>3, 3- 1=2v3,這兩個圓的位置關系是：相交.故答案為：相交.【點評】此題考查了圓與圓的位置關系與一元二次方程的解法此題難度不大，解題的 關鍵是掌握兩圓位置關系與圓心距 d，兩圓半徑R, r的數量關系間的聯系得出兩圓位置 關系.14.若方程x2-cx+2=0有兩個相等的實數根

21、，則c= 土2二_.【考點】根的判別式.【分析】根據方程x2- cx+2=0有兩個相等的實數根，得出 =b2- 4ac=0,然后進行計算 即可.【解答】解：方程x2- cx+2=0有兩個相等的實數根， = (- c) 2- 4X 1 X 2=0， c=±2 二；故答案為：土 2 '.【點評】本題考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 ( a 0)的根的判別式 =b2- 4ac：當厶 >0,方程有兩個不相等的實數根；當厶=0,方程有兩個相等的實數根；當< 0,方程 沒有實數根.15 .已知：m是方程x2- 2x- 3=0的一個根，則代數式2m - m2=- 3.【

22、考點】一元二次方程的解.【分析】把x=m代入方程x2- 2x- 3=0得出m2- 2m - 3=0,再移項，即可得出答案.【解答】解：把x=m代入方程x2 - 2x- 3=0得：m2- 2m - 3=0, 2m- m2=- 3,故答案為：-3.【點評】本題考查了一元二次方程的解的應用，解此題的關鍵是得出關于m的方程.三、解答題:16. 解方程(1) x2+3=3 (x+1);(2) 3x2- x- 1= 0.【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法.【專題】計算題.【分析】(1)方程整理后利用因式分解因式求出解即可；(2)找出a, b, c的值，計算出根的判別式的值大于 0,

23、代入求根公式即可求出解.【解答】解：(1)方程整理得：x2- 3x=0,即 x (x- 3) =0,解得：X1=0, X2=3;(2)這里 a=3, b= 1, c= 1, =1+12=13, x=6【點評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題 的關鍵.17. 某公司一月份營業額為100萬元，第一季度總營業額為331萬元，問：該公司二、 三月份營業額的平均增長率是多少？【考點】一元二次方程的應用.【專題】增長率問題.【分析】主要考查增長率問題，一般用增長后的量 =增長前的量X( 1+增長率).即可 表示出二月與三月的營業額，根據第一季度總營業額為331萬元，即可

24、列方程求解.【解答】解：設該公司二、三月份營業額平均增長率是 X.根據題意得 100+100 ( 1+x) +100 ( 1+x) 2=331,解得X1=0.1, X2= 3.1 (不合題意，舍去).答：該公司二、三月份營業額平均增長率是10%.【點評】解與變化率有關的實際問題時：(1)主要變化率所依據的變化規律，找出所 含明顯或隱含的等量關系；(2)可直接套公式：原有量x( 1+增長率)匸現有量，n表示增長的次數.18 心理學家發現，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(min)之間滿足：y=-0.1x+2.6x+43 (0< x<30)，求當 y=59 時所用的時間.【

25、考點】一元二次方程的應用.【專題】其他問題.【分析】將59代入y=- 0.1x2+2.6x+43 (0< x< 30)，求解即可.【解答】解：由題意可得，-0.1x2+2.6x+43=59，解得 x=10, x=16，經檢驗均是方程的解.因此當y=59時所用的時間是10或16分鐘.【點評】可根據題意列出方程，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.19 .某企業1998年初投資100萬元生產適銷對路的產品，1998年底將獲得的利潤與年 初的投資的和作為1999年初的投資，到1999年底，兩年共獲利潤56萬元，已知1999 年的年獲利率比1998年的年獲利率多10個百分點(即：1

26、999年的年獲利率是1998年 的年獲利率與10%的和).求1998年和1999年的年獲利率各是多少？【考點】一元二次方程的應用.【專題】銷售問題.【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量x( 1+增長率)解答，本題的等量關系是：98年的獲利額+99年的獲利額=56萬元，可由此列方程求解.【解答】解：設98年的年獲利率為x,那么99年的年獲利率為x+10%,由題意得，100x+100 (1+x)( x+10%) =56.解得：x=0.2, x=- 2.3 (不合題意，舍去). x+10%=30%答：1998年和1999年的年獲利率分別是20%和30%.【點評】此題結合投資與獲利的

27、實際問題，考查了列一元二次方程的能力.解答此題要注意以下問題：(1)求出1998和1999兩年的獲利；第13頁(共16頁)(2)根據兩年共獲利潤56萬元列方程.20. 為解方程(x2- 1) 2- 5 (x2- 1) +4=0，我們可以將X2- 1視為一個整體，然后設 x2 -仁y,則(X2 - 1) 2=，原方程化為y2-5y+4=0.解得 y1=1, y2=4當 y=1 時，x2-仁 1.a x2=2.a x=±；當 y=4 時，x2 - 1=4,二 x2=5,.x=± !.原方程的解為 X1= :, x2=- , X3=匚，X4=-.二解答問題：(1) 填空：在由原方程得到方程的過程中，利用換元 法達到了降次的目的，體 現了 轉化 的數學思想.(2) 解方程:X4- X2- 6=0.【考點】換元法解一元二次方程.【專題】閱讀型.【分析】(1)在由原方程得到方程的過程中，利用換元法達到了降次的目的，體現 了轉化的數學思想；(2)設x2=y,原方程可化為關于y的方程，求出方程的解得到y的值，即可確定出x 的值.【解答】解：(1)在由原方程得到方程的過程中，利用換元法達到了降次的目