1、1.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用問題問題: 數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家面包店買一塊面包店買一塊1000g 的面包，并記的面包，并記錄下買回的面包的實(shí)際質(zhì)量。一年錄下買回的面包的實(shí)際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為的均值為950g。于是龐加萊推斷這。于是龐加萊推斷這家面包店的面包分量不足。家面包店的面包分量不足。 假設(shè)假設(shè)“面包分量足面包分量足”，則一年購買面包的質(zhì)量，則一年購買面包的質(zhì)量數(shù)據(jù)的平均值應(yīng)該不少于數(shù)據(jù)的平均值應(yīng)該不少于1000g ； “這個(gè)平均值不大于這個(gè)平均值不大于950g”是一個(gè)與假設(shè)是一個(gè)與假設(shè)“面包

2、面包分量足分量足”矛盾的小概率事件；矛盾的小概率事件； 這個(gè)小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。這個(gè)小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。一一: :假設(shè)檢驗(yàn)問題的原理假設(shè)檢驗(yàn)問題的原理假設(shè)檢驗(yàn)問題由兩個(gè)互斥的假設(shè)構(gòu)成，其中一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題由兩個(gè)互斥的假設(shè)構(gòu)成，其中一個(gè)叫做原假設(shè)，用叫做原假設(shè)，用H0表示；另一個(gè)叫做備擇假設(shè)，表示；另一個(gè)叫做備擇假設(shè)，用用H1表示。表示。例如，在前面的例子中，例如，在前面的例子中， 原假設(shè)原假設(shè)為：為： H0：面包分量足，：面包分量足，備擇假設(shè)備擇假設(shè)為為 H1：面包分量不足。：面包分量不足。這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題可以表達(dá)為：這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題可以表達(dá)為： H0：面包

3、分量足：面包分量足 H1：面包分量不足：面包分量不足二二: :求解假設(shè)檢驗(yàn)問題求解假設(shè)檢驗(yàn)問題考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題：考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題： H0：面包分量足：面包分量足 H1：面包分量不足：面包分量不足1. 在在H0成立的條件下，構(gòu)造與成立的條件下，構(gòu)造與H0矛盾的小概矛盾的小概率事件；率事件；2. 如果樣本使得這個(gè)小概率事件發(fā)生，就能如果樣本使得這個(gè)小概率事件發(fā)生，就能以一定把握斷言以一定把握斷言H1成立；否則，斷言沒有成立；否則，斷言沒有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與H0相矛盾的證據(jù)。相矛盾的證據(jù)。求解思路：求解思路：1、介紹兩個(gè)相關(guān)的概念、介紹兩個(gè)相關(guān)的概念 對于性別變量，其取值為男和女兩種，這種

4、變量的對于性別變量，其取值為男和女兩種，這種變量的不同不同“值值”表示個(gè)體所屬的表示個(gè)體所屬的不同類別，不同類別，像這樣的變量稱像這樣的變量稱為為分類變量分類變量，也稱為，也稱為屬性變量屬性變量或或定性變量定性變量，它們的取值一，它們的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示個(gè)體所屬的類別。定是離散的，而且不同的取值僅表示個(gè)體所屬的類別。（1）分類變量： 定量變量的取值一定是實(shí)數(shù)，它們的取值大小有定量變量的取值一定是實(shí)數(shù)，它們的取值大小有特定的含義，不同取值之間的運(yùn)算也有特定的含義。特定的含義，不同取值之間的運(yùn)算也有特定的含義。（2）定量變量： 例如身高、體重、考試成績等，張明的身高是例如身高、

5、體重、考試成績等，張明的身高是180cm，李立的，李立的身高是身高是175cm，說明張明比李立高，說明張明比李立高180-175=5（cm）。）。2 2定量變量回歸分析（畫散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)r、定量變量回歸分析（畫散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)r、變量 相關(guān)指數(shù)R 、殘差分析）變量 相關(guān)指數(shù)R 、殘差分析）分類變量分類變量研究兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系：定量變量：體重、身高、溫度、考試成績等等。定量變量：體重、身高、溫度、考試成績等等。變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、 宗教信仰、國籍等等。宗教信仰、國籍等等。兩種變量：獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個(gè)分類變量

6、的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題。在日常生活中，我們常常關(guān)心在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量的之間是否有關(guān)系分類變量的之間是否有關(guān)系不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計(jì)總計(jì)不吸煙不吸煙7775427817吸煙吸煙2099492148總計(jì)總計(jì)9874919965 為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）：人，得到如下結(jié)果（單位：人）： 那么吸煙是否對患肺癌有影響？那么吸煙是否對患肺癌有影響？表表1-9 吸煙與患肺癌列聯(lián)表吸煙與患肺癌列聯(lián)表1、象這樣的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表叫、象這樣的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表叫列聯(lián)表列

7、聯(lián)表. 在不吸煙者中，有在不吸煙者中，有0.54%患有肺癌；患有肺癌； 在吸煙者中，有在吸煙者中，有2.28%患有肺癌。因此，直觀上可以患有肺癌。因此，直觀上可以得到結(jié)論得到結(jié)論: 吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異。吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異。2、與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映、與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況。出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況。三維柱形圖二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000不吸煙吸煙00.10.20.30.40.50.60.70.

8、80.91不吸煙不吸煙吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例等高條形圖 上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？實(shí)是否真的如此呢？你得到這個(gè)結(jié)論有多大的把握呢你得到這個(gè)結(jié)論有多大的把握呢? 獨(dú)立性檢驗(yàn)H H0 0： 吸煙吸煙和和患肺癌患肺癌之間沒有關(guān)系之間沒有關(guān)系 H H1 1： 吸煙吸煙和和患患肺癌肺癌之間有關(guān)系之間有關(guān)系通過數(shù)據(jù)和圖表分析，得到通過數(shù)據(jù)和圖表分析，得到結(jié)論是：結(jié)論是：吸煙與患肺癌有關(guān)吸煙與患肺癌有關(guān)結(jié)論的可靠結(jié)論的可靠程度如何？程度如何？ 用用 A A 表示表示“不吸煙

9、不吸煙”， B B 表示表示“不患肺癌不患肺癌”則則 H0： 吸煙和患肺癌之間沒有關(guān)系 “吸煙吸煙”與與“患肺癌患肺癌”獨(dú)立獨(dú)立, ,即即A A與與B B獨(dú)立獨(dú)立P(AB)= P(A)P(B)P(AB)= P(A)P(B)等價(jià)于等價(jià)于等價(jià)于等價(jià)于 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計(jì)總計(jì)不吸煙不吸煙a ab ba+ba+b吸煙吸煙c cd dc+dc+d總計(jì)總計(jì)a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+da a + + b ba a + + c ca aP P( (A A) ), ,P P( (B B) ), ,P P( (A AB B) )n nn nn

10、n其其 中中 n n = = a a + + b b + + c c + + d dacac,a+bc+da+bc+d a c+d c a+b , a c+d c a+b ,adbcaa+ba+caa+ba+cnnnnnn2 22 2n n（a ad d- -b bc c）K K = =( (a a+ +b b) )( (c c+ +d d) )( (a a+ +c c) )( (b b+ +d d) ) 獨(dú)立性檢驗(yàn)0.adbcad-bc 越小，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越弱，ad-bc 越小，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越弱，ad-bc 越大，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越強(qiáng)ad-bc 越大，說

11、明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越強(qiáng)引入一個(gè)隨機(jī)變量引入一個(gè)隨機(jī)變量作為檢驗(yàn)在多大程度上可以認(rèn)為作為檢驗(yàn)在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)變量兩個(gè)變量有關(guān)系有關(guān)系”的標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn) 。 因此因此:若若 H0成立，則成立，則K2應(yīng)很小。應(yīng)很小。利用公式（利用公式（1）計(jì)算得到）計(jì)算得到 K2 的觀測值為的觀測值為29965(7775 4942 2099)56.632.7817 2148 9874 91k如何看待這個(gè)值呢？如何看待這個(gè)值呢？ 即在即在H0成立的情況下，成立的情況下，K2的值大于的值大于6.635的概率非的概率非常小，近似于常小，近似于0.01。而現(xiàn)在。而現(xiàn)在K2的值的值56.632遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于6.63

12、5, 故它是小概率事件故它是小概率事件,所以我們認(rèn)為所以我們認(rèn)為H0是不成是不成立的立的 .雖然這種判斷犯錯(cuò)誤的可能性存在雖然這種判斷犯錯(cuò)誤的可能性存在, 但但我們我們有有99%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為H0 是不成立的是不成立的!(即吸煙與患肺癌即吸煙與患肺癌有關(guān)系有關(guān)系)2(6.635)0.01.P K （ 2）在在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究出如下的概率成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究出如下的概率上面這種利用隨機(jī)變量上面這種利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上可來確定在多大程度上可以認(rèn)為以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。分類變量的獨(dú)立性檢

13、驗(yàn)。獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義：獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義：獨(dú)立性檢驗(yàn)基本的思想類似獨(dú)立性檢驗(yàn)基本的思想類似反證法反證法(1)(1)假設(shè)結(jié)論不成立假設(shè)結(jié)論不成立, ,即即“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系系”. .(2)(2)在此假設(shè)下隨機(jī)變量在此假設(shè)下隨機(jī)變量 K K2 2 應(yīng)該很能小應(yīng)該很能小, ,如果由如果由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到K K2 2的觀測值的觀測值k k很大很大, ,則在一定則在一定程度上說明假設(shè)不合理程度上說明假設(shè)不合理. .(3)(3)根據(jù)隨機(jī)變量根據(jù)隨機(jī)變量K K2 2的含義的含義, ,可以通過評價(jià)該假設(shè)可以通過評價(jià)該假設(shè)不合理的程度不合理的程度, ,由實(shí)際計(jì)算出的由實(shí)際計(jì)算

14、出的, ,說明假設(shè)合理說明假設(shè)合理的程度為的程度為99.9%,99.9%,即即“兩個(gè)分類變量有關(guān)系兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這這一結(jié)論成立的可信度約為一結(jié)論成立的可信度約為99.9%.99.9%.獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想：要確認(rèn)要確認(rèn)“兩個(gè)分類變量有關(guān)系兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的這一結(jié)論成立的可信程度，可信程度， 首先，假設(shè)該結(jié)論不成立首先，假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類變量兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系沒有關(guān)系”成立。成立。 其次，在假設(shè)下，計(jì)算構(gòu)造的隨機(jī)變量其次，在假設(shè)下，計(jì)算構(gòu)造的隨機(jī)變量K2，如果有觀如果有觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2k0，則我們，

15、則我們有有1-P(K2k0)*100把把握說明假設(shè)不合理（即兩個(gè)分類變量有關(guān)系）。握說明假設(shè)不合理（即兩個(gè)分類變量有關(guān)系）。當(dāng)當(dāng)K2k0，則我們，則我們沒有沒有1-P(K2k0)*100把握說明假設(shè)不把握說明假設(shè)不合理。合理。 設(shè)要判斷的結(jié)論為：H1：“X與Y有關(guān)系” 1、通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)變量是否有關(guān)系。（1）在三維柱形圖中，主對角線上兩個(gè)柱形高度的乘積ad與副對角線上的乘積bc相差越大，H1成立的可能性就越大。（2）在二維條形圖中，(x1,y1)個(gè)體所占的比例與(x2,y1) 個(gè)體所占的比例 ，兩個(gè)比例相差越大，H1成立的可能性就越大。aabccd2、可以利用獨(dú)

16、立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：2x2列聯(lián)表y1y2總計(jì)總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)總計(jì)a+cb+da+b+c+d具體作法是： 根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計(jì)算隨機(jī)變量K2的值k，其值越大，說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大。可以通過查閱下表（表1-12）來確定斷言“X與Y有關(guān)系”的可信程度。表1-1210.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445 k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.502()P Kk例如：（1）如果k10.828

17、，就有99.9%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（2）如果k6.635，就有99%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（3）如果k2.706，就有90%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（4）如果k=2.706，就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”。返回例1.禿頭與患心臟病 在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表1-13：患心臟病患心臟病不患心臟病不患心臟病總計(jì)總計(jì)禿頂禿頂214175389不禿頂

18、不禿頂4515971048總計(jì)總計(jì)6657721437 相應(yīng)的三維柱形圖如圖所示，比較來說，底面副對角線上兩個(gè)柱體高度的乘積要大一些，因此可以在某種程度上認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)”。禿頭不禿頭例1.禿頭與患心臟病 在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表1-13：患心臟病患心臟病不患心臟病不患心臟病總計(jì)總計(jì)禿頂禿頂214175389不禿頂不禿頂4515971048總計(jì)總計(jì)6657721437 根據(jù)聯(lián)表1-13中的數(shù)據(jù)，得到221437 (214 597 175 45