1、八年級暑假班3 / 19證明舉例內容分析幾何證明是八年級數學上學期第十九章第一節內容，主要對演繹證明和命題、 公理、定理的概念進行講解，重點是真假命題的判定，難點是改寫出已知命題.通 過這節課的學習一方面為我們后面學習垂直平分線和角平分線等幾何內容提供 依據，另一方面也為后面學習直角三角形性質奠定基礎.知識結構模塊一：演繹證明知識精講1、演繹證明的概念演繹證明：演繹推理的過程就是演繹證明.也就是說演繹證明是指：從已知的概念、條件出發，依據已被確認的事實和公認的邏輯規則，推導出某結論為正確的過程.演繹推理是數學證明的一種常用的、 完全可靠的方法.演繹證明是一種嚴格的數學證明, 是我們現在要學習的

2、證明方式，簡稱為證明.I例題解析【例1】填空：(1)如圖，因為 1=60 (已知)，2=60 (已知)，所以/ ().(2)如圖，因為 ABPCD (已知)，所以 A D (),因為AD PBC (已知)，所以 A (),【例2】 已知：如圖， ABC中，AB=AC, AD是外角/ CAE的平分線.求證：AD / BC.【難度】BC于D, EF BC于F,交EF BCAB于G,交CA延長【例3】已知：如圖，AD線于E ,1= 2 .求證：AD平分 BAC ,填寫分析和證明中的空白.分析：要證明 AD平分 BAC,只要證明而已知 1= 2,所以應聯想這兩個角分別和1= 2的關系，由已知 BC的兩

3、條垂線可推出/,這時再觀察這兩對角的關系已不難得到結論.證明： AD BC, EF BC （已知）/（兩直線平行，內錯角相等）（兩直線平行，同位角相等）（已知），即AD平分 BAC （【例4】 求證：角平分線上的點到這個角的兩條邊的距離相等.根據題意做出圖形， 標出必要的字母或符號，根據題設和結論，結合圖形寫出“已知”和“求證”【難度】八年級暑假班班假暑級年八模塊二：命題、公理、定理知識精講1、命題：能界定某個對象含義的句子叫作定義；對某一件事情做出判斷的句子叫作命題；其判斷為正確的命題叫作真命題；其判斷為錯誤的命題叫作假命題.數學命題通常由假設、結論兩部分組成，可以寫成“如果那么”的形式，“

4、如果” 開始的部分是題設，“那么”開始的部分是結論.2、公理：人們從長期的實踐中總結出來的真命題.它們可以作為判斷其他命題真假的原始 依據.3、定理：從公理或其他真命題出發，用推理方法證明為正確的，并進一步作為判斷其他命 題定理真假的依據，這樣的真命題叫做定理.例題解析【例5】判斷下列語句是不是命題？(1)畫AOB的角平分線；(2)兩條直線相交，有幾個交點?(3)直角大于銳角；(4)直角大于鈍角；(5)今天可能要下雨；(6)幾何多有樂趣??！【難度】【例6】判斷下列命題的真假.(1)平行于同一條直線的兩直線平行;(2)垂直于同一條直線的兩直線平行;(3)同角的余角相等；(4)異號的兩數相加得負數

5、；(5)乘積為1的兩個數互為倒數.【難度】【例7】 下列描述不屬于定義的是().A.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；B.正三角形是特殊的三角形；C.在同一平面內三條線段首尾相連得到的圖形是三角形；D.含有未知數的等式叫做方程.【難度】【例8】 把下列命題改寫成“如果，那么”的形式：(1)直角三角形的兩個銳角互余；如果,那么(2)角平分線上點到角兩邊的距離相等；如果,那么(3)線段垂直平分線上點到線段兩端點的距離相等；如果,那么【難度】【例9】舉出下列假命題的反例：(1)兩個角是銳角的三角形是銳角三角形；(2)相等的角是對頂角；(3) 一個角的補角大于這個角；22(4)右 a b ,則 a

6、 b ;(5)若已知直線a、b、c,若a b , b c,則a c.【難度】【例10】下列說法中，正確的是().A.命題一定是正確的；B.不正確的判斷就不是命題;C.公理都是真命題；D.真命題都是定理.【難度】【例11下列命題是假命題的是().A .有兩角及其中一角的角平分線對應相等的兩個三角形全等；B.有兩角及其中一角的對邊上的高對應相等的兩個三角形全等；C.有兩邊及其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等；D.有兩邊及其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等.【難度】【例12】已知：如圖，在VABC中，ACB 90 , CD AB于點D,點E在AC上，CE BC ,過E點作AC的垂線，交CD

7、的延長線于點F .求證：AB FC .7 / 19【例13如圖，已知RtVABC中，ACB 90 ,CD AB于D,AE為 A的角平分線，交CD于E ,過E作BC的平行線，交AB于點求證：AF AC .B【例14已知：如圖， AB CD, AD BC ,AE CF .求證： E= F .【例15如圖，四邊形 ABCD中，DE平分 ADC,交AB于點E, BGC GBC , BG平行ED交AD延長線于點P .求證：AD/BC.【難度】【例16如圖，已知VABC中，D是邊BC的中點，E、F分別在邊AB , AC上，且EF/BC,ED FD .求證： AEF AFE .【難度】【例17如圖，點C是A

8、B上的一點，在AB的同旁做等邊VACD和等邊VBCE, AE與CD交于點 M, BD與CE相交于點 N .求證：CM CN .【難度】班假暑級年八【例18如圖，已知在VABC中，AD平分 BAC, BE /AD ,交CA延長線于點E, F是BE的中點.求證：AF BE .【難度】【例19如圖，已知BE、CF是VABC的高，且BP 求證：AP AQ .【難度】【例20如圖所示，問 1、2、3、4要滿足什么條彳可以證明 AB PCD ?【難度】9/ 19八年級暑假班【例21】已知：如圖所示，AB=AC, A 90 , AE 求證：FD ED .【難度】E【例22如圖，已知銳角VABC,分別以BC、

9、BA 內側作等腰VBCD和VBAE,延長DA、EC ,父十 求證：DF EF .【難度】【例23如圖，已知D、E兩點分別在 AR AC上，F .求證：FB FC .【難度】BF , BD DC .A ZK3 D C直角邊，皆以B為直角頂點，向VABC氏F .DEAD AE , BD CE , BE、CD 父十點AB C11 / 19八年級暑假班班假暑級年八15 / 19【例24】等腰直角三角形 ABC中， A 90 , B的平分線交AC于D ,過點D向BD做垂線，并與BD延長線交于點E .求證：BD 2CE .【難度】【例25如圖，已知： BAC 90 , AB AC, M是AC的中點， AD

10、 BM于E ,交BC于D .求證： AMB DMC .【難度】【例26如圖所示，已知VABC為等邊三角形，延長BC至U D ,延長BA到E ,并且使AE=BD ,連結CE、DE .求證：EC=ED .【難度】【例27如圖，已知：AC平分BAD , BC求證： B D 180 .CD , AD【例28已知：如圖所示，正方形ABCD 中,F 在 DC 上，E 在 BC 上， EAF 45 .求證：EF BE DF .【例29如圖所示，在VABC中,AB 2ACD是AB的中點,求證：BC 2CE .E是AD的中點.【例30如圖，已知：在 VABC外作正方形，1求證：AM EF.2【難度】【例31已知

11、：如圖，過 ABC的頂點A,在 和CQ ,設M為BC的中點.求證：MP=MQ.【難度】【例32如圖，已知：在 VABC中，AC E 點，PQ AB 于 Q,PR AC于 R. 求證：PQ PR AB.【難度】假暑級年八一ABDE和ACGF, M是BC的中點.E .JBA內任引一射線，過B C作此射線的垂線 BPABP心, ACB 90 , AD AC , P 是 CD 上任意一BAR C八年級暑假班21 / 19隨堂檢測【習題1】命題“互余的兩個角一定是銳角”是 命題(填“真”或“假”).【難度】【習題2】下列命題中，是真命題的有().A.兩銳角之和是銳角B.鈍角減去銳角得銳角C.鈍角大于它的

12、補角D.銳角小于它的余角【難度】【習題3】將下列命題改寫成 如果，那么”的形式：(1)同角的余角相等；(2)直角都相等；(3)對頂角相等；(4)在一個三角形中，等角對等邊.【難度】【習題4】求證“三角形內角和等于 180。”，并說明其中的因果關系.【難度】【習題5】 已知：四邊形 ABCD中，ADPBC, E是線段DC的中點，AE是 BAD的平分線.求證：BE是 ABC的平分線.【難度】【習題6】如圖，已知：在 VABC中，AD平分 BAC , BD CD.求證：AB AC .【難度】【習題7】如圖，已知，AD是VABC的角平分線，C 2 B,將VABC沿直線AD翻折,點C落在AB的E處.試判

13、斷VEBD的形狀，并加以證明.A【難度】【習題8】 如圖，已知 CA AB, E為AB上一點， CE平分 ACD , DE平分 CDB ,CED 90 .求證：AB DB .【難度】【習題9已知：如圖， ABC中， C 90 , AC BC , AD DB , AE CF .求證：DE DF .【難度】【習題10】 如圖，已知銳角 VABC ,分別以AB、AC為一直角邊，皆以 A為直角頂點,向VABC外側作等腰VABD和VACE ,聯結CD、BE交于點F .求證：CD BE .【難度】【習題11 如圖，已知：AC 2AB,D是AC中點，E是AD中點，點F在BE延長線上,且 BE EF.求證：B

14、C 2EF , F C .【難度】班假暑級年八【習題12 如圖，已知：在正方形 ABCD中，M是DC的中點，BAE 2 DAM .求證：AE BC CE .【難度】課后作業【作業1】下列語句中，正確的是().A.相等的角是對頂角；B.三角形的兩銳角互余；C.判定兩個三角形全等，至少需要一對邊相等;D.面積相等的兩個三角形全等.【難度】【作業2】把下列命題改寫成“如果那么”的形式，并指出這個命題的題設和結論.(1)對頂角相等；(2)同位角相等，兩直線平行；(3)同角的余角相等.【難度】【作業3】 如圖，已知： ABC中，/ B = 2/C, BC = 2AB .求證：/ A = 90 °

15、;【難度】八年級暑假班【作業4】已知：如圖，/ 1 = /2, AB>AC.求證：BD>DC.【難度】1【作業5】已知：如圖，AD/BC, AE、BE分別平分A ; BDDAB和 CBA , DC 過點 E.求證：AB AD BC .【難度】【作業6】已知：AB AC , A 108 ,1求證：BC AB CD.【難度】【作業7】如圖，已知：在四邊形 ABCD中，求證：CE平分 BCD.【難度】CAB2.A BVcAB / /CD , BE 平分 ABC , AB CD BC . ;ED27 / 19【難度】DA DB , P為等邊 VABC外一點,【作業8】 到三角形三條邊距離相等的點，叫做此三角形的內心，由此我們引入如下定義：到三角形的兩條邊距離相等的點，叫做此三角形的準內心.舉例：如圖若AD平分 CAB,則AD上的點E為 ABC的準內心.1應用：(1)如圖AD為等邊二角形 ABC的電準內心P在局AD上，且PDAB ,則2/ BPC的度數為 度.(2)如圖已知直角 VABC中，斜邊AB 5, BC 3 ,準內心P在邊BC上，求CP的長.【作業9】如