1、電動力學知識點歸納及典型例題分析、知識點歸納?B 0.?B 0.知識點2:位移電流及與傳導電流的區別。 答：我們知道恒定電流是閉合的：在交變情況下，電流分布由電荷守恒定律制約，它一般不再閉合。一般說來，在 非恒定情況下，由電荷守恒定律有 現在我們考慮電流激發磁場的規律：B0J. 取兩邊散度，由于B 0，因此上式只有當J 0時才能成立。在非恒定情形下，一般有J 0,因而式與電荷守恒定律發生矛盾。由于電荷守恒定律是精確的普遍規律，故應修改式使服從普遍的電荷守恒定律的要求。把式推廣的一個方案是假設存在一個稱為位移電流的物理量JD，它和電流J合起來構成閉合的量J JD0, *并假設位移電流JD與電流J

2、一樣產生磁效應，即把修改為B0JJD。此式兩邊的散度都等于零，因而理 論上就不再有矛盾。由電荷守恒定律知識點1:一般情況下，電磁場的基本方程為:H卡J;（此為麥克斯?D；韋方程組）；在沒有電荷和電流分布（0, J 0的情介質）的電磁場方程為:（齊次的麥克斯韋方程組）?D0；J0.電荷密度與電場散度有關系式tE .兩式合起來得:00與*式比較可得JD的一個可能表示式位移電流與傳導電流有何區別：位移電流本質上并不是電荷的流動， 而是電場的變化。它說明，與磁場的變化會 感應產生電場一樣，電場的變化也必會感應產生磁場。 而傳導電流實際上是電荷 的流動而產生的。知識點3:電荷守恒定律的積分式和微分式，及

3、恒定電流的連續性方程。恒定電流的連續性方程為：？Jo知識點4:在有介質存在的電磁場中，極化強度矢量 義方法；P與p；M與j；E、D與p以及B、H與M的關系。答：極化強度矢量p：由于存在兩類電介質：一類介質分子的正電中心和負 電中心不重和，沒有電偶極矩。另一類介質分子的正負電中心不重和， 有分子電 偶極矩，但是由于分子熱運動的無規性，在物理小體積內的平均電偶極矩為零， 因而也沒有宏觀電偶極矩分布。在外場的作用下，前一類分子的正負電中心被拉 開，后一類介質的分子電偶極矩平均有一定取向性， 因此都出現宏觀電偶極矩分 布。而宏觀電偶極矩分布用電極化強度矢量P描述，它等于物理小體積V內的總電偶極矩與V之

4、比，P比.pi為第i個分子的電偶極矩，求和符號表示V對V內所有分子求和。磁化強度矢量M介質分子內的電子運動構成微觀分子電流， 由于分子電流取向的無規性，沒有外 場時一般不出現宏觀電流分布。在外場作用下，分子電流出現有規則取向，形成 宏觀磁化電流密度JM。分子電流可以用磁偶極矩描述。把分子電流看作載有電 流i的小線圈，線圈面積為a，則與分子電流相應的磁矩為：介質磁化后，出現宏觀磁偶極矩分布，用磁化強度M表示，它定義為物理小體積V內的總磁偶極矩與V之比，知識點5:導體表面的邊界條件。答：理想導體表面的邊界條件為：n E,n?D。它們可以形象地n H n?B 0.表述為：在導體表面上，電場線與界面正

5、交，磁感應線與界面相切。知識點6:在球坐標系中，若電勢 不依賴于方位角，這種情形下拉氏方程的 通解。答：拉氏方程在球坐標中的一般解為：答：電荷守恒定律的積分式和微分式分別為:dVVtp和磁化強度矢量M各的定式中anm, bnm, Cnm和 dnm為任意的常數，在具體的問題中由邊界條件定出。PnCOS為締合勒讓德函數。若該問題中具有對稱軸，取此軸為極軸，則電勢不依賴于 方位角，這球形下通解為:=anRn-bnTpnCOS, PnCOS為勒讓德函數，an和 bn是任意常數，由邊nR界條件確定。知識點7:研究磁場時引入矢勢A的根據；矢勢A的意義。答：引入矢勢A的根據是：磁場的無源性。矢勢A的意義為：

6、它沿任一閉合 回路的環量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有A的環量才有物理 意義，而每點上的A（x）值沒有直接的物理意義。知識點8:平面時諧電磁波的定義及其性質；一般坐標系下平面電磁波的表達式。答：平面時諧電磁波是交變電磁場存在的一種最基本的形式。 它是傳播方向 一定的電磁波，它的波陣面是垂直于傳播方向的平面， 也就是說在垂直于波的傳 播方向的平面上，相位等于常數。平面時諧電磁波的性質：（1）電磁波為橫波，E和B都與傳播方向垂直；（2）E和B同相，振幅比為V；（3E和B互相垂直，EXB沿波矢k方向。知識點9:電磁波在導體中和在介質中傳播時存在的區別；電磁波在導體中的透 射深度依賴的因

7、素。答：區別：（1）在真空和理想絕緣介質內部沒有能量的損耗，電磁波可以無 衰減地傳播（在真空和理想絕緣介質內部）；（2）電磁波在導體中傳播，由于導 體內有自由電子，在電磁波電場作用下，自由電子運動形成傳導電流，由電流產 生的焦耳熱使電磁波能量不斷損耗。因此，在導體內部的電磁波是一種衰減波（在 導體中）。在傳播的過程中，電磁能量轉化為熱量。電磁波在導體中的透射深度依賴于：電導率和頻率。知識點10：電磁場用矢勢和標勢表示的關系式。答：電磁場用矢勢和標勢表示的關系式為: 知識點11:推遲勢及達朗貝爾方程。R,anmRnn,mbnmmnrPnCOS COSmRn 1n,mCnmRndnmF3-m巳co

8、ssinm知識點12：愛因斯坦建立狹義相對論的基本原理（或基本假設）是及其內容。答：（1）相對性原理：所有的慣性參考系都是等價的。物理規律對于所有慣 性參考系都可以表為相同的形式。 也就是不論通過力學現象，還是電磁現象，或 其他現象，都無法覺察出所處參考系的任何“絕對運動”。相對性原理是被大量 實驗事實所精確檢驗過的物理學基本原理。（2）光速不變原理：真空中的光速相 對于任何慣性系沿任一方向恒為c,并與光源運動無關。 知識點13:相對論時空坐標變換公式Uxv1坐12c知識點14:導出洛侖茲變換時，應用的基本原理及其附加假設；洛侖茲變換同 伽利略變換二者的關系。答：應用的基本原理為：變換的線性和

9、間隔不變性。基本假設為：光速不變原理(狹義相對論把一切慣性系中的光速都是c作為 基本假設，這x,t答：推遲勢為：x ,t - c4ordvA x,t2AJ x ,trdv達朗貝爾方程為:12A12 T2c t12?A 4Tc toJ（洛倫茲變換式）和速度變換公式。答：坐標變換公式（洛倫茲變換式）：x vt2v2cv2xc-21勒cxvtx121v2cy1yz1z1tv2Xtcr2v2Vc洛倫茲反變換式:速度變換公式:c 2 v就是光速不變原理)、空間是均勻的并各向同性，時間是均勻的、 運動的相對性。洛侖茲變換與伽利略變換二者的關系： 伽利略變換是存在于經典 力學中的一種變換關系，所涉及的速率都

10、遠小于光速。洛侖茲變換是存在于相對 論力學中的一種變換關系，并假定涉及的速率等于光速。當慣性系S(即物體)運動的速度V c時，洛倫茲變換就轉化為伽利略變換， 也就是說，若兩個慣性 系間的相對速率遠小于光速，則它以伽利略變換為近似。知識點15:四維力學矢量及其形式。答：四維力學矢量為：(1) 能量一動量四維矢量(或簡稱四維動量):pp,-W(2)c速度矢量：Udxdx，-二(3)動量矢量：pddtmU(4)四維電流密度矢量：JcU,JJ, ic(5)四維空間矢量：xx,ict(6)四維勢矢量：AA丄(7)A反對稱電磁場四維張量：FA(8)cXX四維波矢量：k k,iwc知識點16：事件的間隔：答

11、：以第一事件P為空時原點(0，0，0，0);第二事件Q的空時坐標為：(x,y,z,t)，這兩事件的間隔為：兩事件的間隔可以取任何數值。在此區別三種情況：(1)若兩事件可以用光波聯系，有r=ct，因而s20(類光間隔);(2)若兩事件可用低于光速的作用來聯系，有r ct，因而有s20(類時間 隔)；(a)絕對未來；(b)絕對過去。(3) 若兩事件的空間距離超過光波在時間t所能傳播的距離，有r ct，因而有s20(類空間隔)。知識點17：導體的靜電平衡條件及導體靜電平衡時導體表面的邊界條件。答：導體的靜電平衡條件：(1) 導體內部不帶電，電荷只能分布在于導體表面上；(2) 導體內部電場為零；(3)

12、 導體表面上電場必沿法線方向，因此導體表面為等勢面。整個導體 的電勢相等。導體靜電平衡時導體表面的邊界條件：知識點18：勢方程的簡化。答：米用兩種應用最廣的規范條件：（1） 庫侖規范：輔助條件為？A 0.（2） 洛倫茲規范：1輔助條件為：？A二0.c2t知識點19：引入磁標勢的條件。答：條件為：該區域內的任何回路都不被電流所環繞，或者說，該區域是沒有傳導電流分布的單連通區域，用數學式表示為：j 0:H ?dL 0L知識點20：動鐘變慢：S系中同地異時的兩事件的時間間隔，即（t?匕）發生的兩事件的時間間隔t?t/在S系的觀測: 稱為固有時，它是最短的時間間隔，t .知識點21：長度收縮（動尺縮短

13、）例如：對于方程組:12cA t12c0J（適用于般規范的方程組）。若采用庫侖規范，可得:若采用洛倫茲規范，可得:k-0（此為達朗貝爾方程）s系中同一地2t201c00)0J2A2Ac2t尺相對于S系靜止，在S系中觀測IIIx2兀在Io稱為固有長度，固有長度最長，即IoI。知識點22:電磁場邊值關系（也稱邊界上的場方程） 知識點24：電磁波的能量和能流平面電磁波的能量為：w E2-B2平面電磁波的能流密度為：S E H能量密度和能流密度的平均值為：知識點25：波導中傳播的波的特點： 電場E和磁場H不同時為橫波。通常選一種波模為Ezo的波，稱為橫電波（TE）；另一種波模為Hz0的波，稱為橫磁波（

14、TM。知識點26：截止頻率1定義：能夠在波導內傳播的波的最低頻率wc稱為該波模的截止頻率。2 2m n2計算公式:（m,n）型的截止頻率為：wcmn7b；若ab，則TE101 1波有最低截止頻率wc10-若管內為真空，此最低截止頻率為2a，22a v相應的截止波長為：c,102a.（在波導中能夠通過的最大波長為2a）E 0.同時測定x2x1X21loX % I)知識點28:靜電場是有源無旋場:?Eq。（此為微分表達式）穩恒磁場是無源有旋場:B 0;Boj.（此為微分表達式）l2c1、證明題:1、試由畢奧一沙伐爾定律證明？由式：BJJx3r-dv J x1 -dv又知：rUx求Uy。Uz知識點3

15、0:麥克斯韋方程組積分式和微分式，及建立此方程組依據的試驗定律。E?dlL。B?dl答：麥克斯韋方程組積分式為：LE?dsS麥克斯韋方程組微分式為:?EUy知識點29:相對論速度變換式:Uzdt21 VUxc1dxUxVdt1VUx2cdzUz12V2cdV依據的試驗定律為：靜電場的高斯定理、 的安培環路定理、磁場的高斯定理。三、典型試題分析?B靜電場與渦旋電場的環路定理、磁場中其反變換式根據此式uxdt2 1 VUxcdyUy1 :?B ? A 0所以原式得證2、試由電磁場方程證明一般情況下電場的表示式E證：在一般的變化情況中，電場E的特性與靜電場不同。電場E方面受到電 荷的激發，另一方面也

16、受到變化磁場的激發，后者所激發的電場是有旋的。因此 在一般情況下，電場是有源和有旋的場，它不可能單獨用一個標勢來描述。 在變 化情況下電場與磁場發生直接聯系，因而電場的表示式必然包含矢勢A在內。答：用洛倫茲變換式求運動物體長度與該物體靜止長度的關系。如圖所示，設物0J XBdv4rA01 1J x dv4rA 式中由BA 式代入EB/曰得：tE場，因此它可以用標勢描述，EA t示式為：EA t 。即得證。0， 該式表示矢是無旋因此，在一般情況下電場的表3、試由洛侖茲變換公式證明長度收縮公式因此At上同時測得的），X2X；為 上測得的物體靜止長度Io。由于物體對靜止,體沿x軸方向運動，以固定于物

17、體上的參考系為若物體后端經過P點（第事件）與前端經過P2點（第二事件）相對于同時，則RP2定義為上測得的物體長度。物體兩端在上的坐標設為X；和 x2。在上P;點的坐標為X；，P2點的坐標為X2，兩端分別經過R和P2的時刻為t;t2。對這兩事件分別應用洛倫茲vt；2v計及t;t2，有x；為 上測得的物體長度I（因為坐標X；和 X2是在變換式得x；,X22cX2x；所以對測量時刻ti和 t2沒有任何限制。由*式得1v2l0ic2。4、試由麥克斯韋方程組證明靜電場與電勢的關系E.答：由于靜電場的無旋性，得：E?dl 0設Ci和 C2為由R 點到 P2點的兩條不同路徑。Ci與C2合成閉合回路，因此E?

18、dl E?dl 0CiC2即E?dl E?dl因此，電荷由R 點移至 P2點時電場對它所作的功 與路徑無關，C1C2P2而只和兩端點有關。把單位正電荷由R 點移至 P2,電場E對它所作的功為：E?dl,Pi這功定義為R 點和 P2 點的電勢差。若電場對電荷作了正功，則電勢 下降。由此，P2P2P E?dl由這定義，只有兩點的電勢差才有物理意義，一點上的Pi電勢的絕對數值是沒有物理意義的。相距為dl的兩點的電勢差為d E?dl.由于d一dx一dy一dz ?dl，因此，電場強度E等于電勢的負梯度xyzE.5、試由恒定磁場方程證明矢勢A的微分方程2A j。答：已知恒定磁場方程BoJ (i)(在均勻線

19、性介質內)，把BA(2)代入(i)得矢勢A的微分方程A J.由矢量 分析公 式A?A2A.若取A滿足規范條件？A 0，得矢勢A的微分方程2A J.?A 06試由電場的邊值關系證明勢的邊值關系證：電場的邊值關系為:n E2Ei0, $n ? D2Di*式可寫為D2nDin式中n為由介質1指向介質2的法線。利用D E 及 E,可用標勢將表為：勢的邊值關系即得證。7、試由靜電場方程證明泊松方程答：已知靜電場方程為:E?D黑）并知道（3）在均勻各向同性線性介質中，D E，將（3）式代入(2)得2為自由電荷密度。于是得到靜電勢滿足的基本微分方程，即泊松方程。8、試由麥克斯韋方程證明電磁場波動方程。?E(

20、x)（X）答：麥克斯韋方程組E(x)?B x表明，變化的磁場可以激發B x0j xt自然可以推論電磁場可以互相激發， 在真空的無源區域，電荷電場，而變化的電場又可以激發磁場，因此， 形成電磁波。這個推論可以直接從麥克斯韋方程得到， 密度和電流密度均為零，在這樣的情形下，對麥克斯韋方程的第二個方程取旋度 并利用第一個方程，得到一2E（x）嚴再把第四個方程對時間求導得到2E x嚴，從上面兩個方程消去，得到2E x2Ext2這就是標準的波動方程。對應的波的速度是c.9、方程組證明 電磁場的邊界條件E2E!0;n? D2D1; n ? B2B10.解:D ?dsS即：dVD2nSnD2D1nVD2D1

21、S.對于磁場B,把、;B ds 0應用到邊界上無限小的扁平圓柱高斯面上，重復以S上推導可得：B2nB1n即：n B2B10作跨過介質分界面的無限小狹長的矩形積分回路，矩形回路所在平面與界面垂直，矩形長邊邊長為I，短邊邊長為l。因為，.:E dl 0，作沿狹長矩形的E的路徑積分。由于|比I小得多，當I0時，E沿I積分為二級小量，忽略沿I的路徑積分，沿界面切線方向積分為：E2tI EitI 0即：E2tEit0, *。*可以用矢量形式表示為：E2Eit 0 式中t為沿著矩形長邊的界面切線方向單位矢量。令矩形面法線方向單位矢量為t，它與界面相切，顯然有tn t#將#式代入式，貝U E2Eint0,

22、$，利用混合積公式ABC CAB，改寫#式為：tE2Ein 0此式對任意t都成立，因此E2Ein 0，此式表示電場在分界面切線方向分量是連續的。10、試由麥克斯韋方程組推導出亥姆霍茲方程2E k2E 0BJtiw H ,iw E在此注意一點。在0,0.w 0的時諧電磁波情形下這組方程不是獨立的。取第一式的散度，由于E 0，因而H 0，即得第四式。同樣，由第二式可導出第三式。在此，在一定頻率下，只有第一、二式是獨立的，其他兩式可由以上兩式導出。 取第一式旋度并用第二式得E w2E由2 2EE2E2E，上式變為E k,巳L M N O此為亥姆霍茲方,消去共同因子eiwt后得t答：從時諧情形下的麥氏

23、方程組推導亥姆霍茲方程。在一定的頻率下，有D E,B H，把時諧電磁波的電場和磁場方程:E x,tB x,tiwtB：l代入麥氏方程組EHEHk wj0,O11、設A 和是滿足洛倫茲規范的矢勢和標勢， 現引入一矢量函數Zx,t（赫證明：A 和滿足洛倫茲規范，故有2、 計算題：1、真空中有一半徑為Ro接地導體球，距球心為a a Ro處有一點電荷Q,求空 間各點的電勢。解：假設可以用球內一個假想點電荷Q來代替球面上感應電荷對空間電場的作,II用。由對稱性，Q應在0Q連線上。關鍵是能否選擇Q的大小和位置使得球面上=0的條件使得滿足？考慮到球面上任一點P。邊界條件要求Q Qr rr 為 Q 到 P 的

24、距離。因此對球面上任一點，應有 -r出，只要選Q的位置使OQP OPQ,則Ro,或b電.3由（1）和（2）式求出QR）aa假想電荷Q的位置和大小。由Q和鏡象電荷Q激發的總電場能夠滿足在導體面上=0的邊界條件，因此是空間中電場的正確解答。球外任一點 p的電勢是：1QR0Q1QR0Qa 式中r40r1ar40R2a22RacosR2b22Rbcos 丄j1為由Q到P點的距離，r為由Q到P點的距離，R為由球心O到P點的距離,茲矢量），若令?Z,證明 A0.式中r為Q至U P的距離,Q 常數。（1由圖可看常數。（2）設Q距球心為b，兩三角形相似的條件為0Q.(4)(3)和(4)式確定a為 OP 與 OQ 的夾角4、電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內，求各點的電場強度，并由此直接計算 電場的散度。解：作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對稱性，在球面上各點的電場強度有相同的數值E,并沿徑向。當r a時，球面所圍的總電荷為Q,由高斯定理得由此得E L r40a10、靜止長度為I。的車廂，以速度v相對于地面S運行，車廂的后壁以速度為U。向前推出一個小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運動時間。解：S系的觀察者看到長度為1。；1