1、第一節分類加法計數原理與分步乘法計數原理1分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法那么完成這件事共有Nmn種不同方法2分步乘法計數原理 完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nm×n種不同的方法注意1應用兩種原理解題(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯系；(3)有無特殊條件的限制；(4)檢驗是否有重漏2混合問題一般是先分類再分步，分類時標準要明確，做到不重復不遺漏練習1在2012年奧運選手選拔賽上

2、，8名男運動員參加100米決賽其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有_種答案：2 8802用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為1、2、9的9個小正方形(如圖)，使得任意相鄰(有公共邊)的小正方形所涂顏色都不相同，且標號為1、5、9的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有_種答案：108考點一分類加法計數原理1在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數共有()A50個B45個 C36個 D35個解析：選C 2五名籃球運動員比賽前將外衣放在休息室，比賽后都回到休息室取衣服由于燈光暗淡，看不清自己的外衣，則至少有兩人拿

3、對自己的外衣的情況有()A30種 B31種C35種 D40種解析：選B3有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數學，在數學檢測時要求每位教師不能在本班監考，則監考的方法有()A8種 B9種C10種 D11種解析：選B 考點二分步乘法計數原理例1、如圖所示的幾何體是由一個正三棱錐 P­ABC 與正三棱柱 ABC­A1B1C1 組合而成，現用3種不同顏色對這個幾何體的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有_種 答案12練習在航天員進行的一項太空實驗中，先后要實施6個程序，其中程序A只能出現在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，

4、則實驗順序的編排方法共有()A24種 B48種C96種 D144種考點三兩個原理的綜合應用例1、(2014·黃岡質檢)設集合I1,2,3,4,5選擇集合I的兩個非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，則不同的選擇方法共有()A50種 B49種C48種 D47種 答案B本例中條件若變為“A1,2,3,4，B5,6,7，C8,9現從中取出兩個集合，再從這兩個集合中各取出一個元素，組成一個含有兩個元素的集合”，則可以組成多少個集合？解：(1)選集合A，B，有CC12；(2)選集合A，C，有CC8；(3)選集合B，C，有CC6；故可以組成128626個集合練習上海某區政府

5、召集5家企業的負責人開年終總結經驗交流會，其中甲企業有2人到會，其余4家企業各有1人到會，會上推選3人發言，則這3人來自3家不同企業的可能情況的種數為_答案：16 練習1已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面個數為()A40B16C13 D10解析：選C 2.如圖所示，從甲地到乙地有3條公路可走，從乙地到丙地有2條公路可走，從甲地不經過乙地到丙地有2條水路可走則從甲地經乙地到丙地和從甲地到丙地的走法種數分別為()A6,8 B6,6C5,2 D6,2解析：選A 3.如圖所示的陰影部分由方格紙上3個小方格組成，我們稱這樣的圖案為L型(每次旋轉90°仍

6、為L型圖案)，那么在由4×5個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L型圖案的個數是()A16 B32C48 D64解析：選C 4集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ.把滿足上述條件的一對有序整數對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數是()A9 B14C15 D21解析：選B 5.現有4種不同顏色對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有多少種？解：共有4×3×2×248種方法6(2014·福州模擬)高三年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參加社會實踐，但去何工廠可自

7、由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的分配方案有()A16種 B18種C37種 D48種解析：選C 7如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”，在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數是()A60 B48C36 D24解析：選B 8有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這項任務，不同的選法有()A1 260種 B2 025種C2 520種 D5 040種解析：選C 9將甲、乙、丙、丁四名實習老師分到三個不同的班，要求每個班至少分到一名老師，且甲、乙兩名老師不能分到同一個班，則不同分法的

8、種數為()A28 B24C30 D36解析：選C10用0,1，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為()A243 B252C261 D279解析：選B11.如圖所示，在A，B間有四個焊接點1,2,3,4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通今發現A，B之間電路不通，則焊接點脫落的不同情況有()A9種 B11種C13種 D15種解析：選C 12.一個旅游景區的游覽線路如圖所示，某人從P點處進，Q點處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個景點及沿途風景，則不重復(除交匯點O外)的不同游覽線路有()A6種 B8種C12種 D48種解析：選D 13我們把各位數字之和為6的四位數稱為“六合數”(如2 01

9、3是“六合數”)，則“六合數”中首位為2的“六合數”共有()A18個 B15個C12個 D9個解析：選B 14一個乒乓球隊里有男隊員5人，女隊員4人，從中選出男、女隊員各一名組成混合雙打，共有_種不同的選法答案：2015如果把個位數是1，且恰有3個數字相同的四位數叫作“好數”，那么在由1,2,3,4四個數字組成的有重復數字的四位數中，“好數”共有_個答案：1216三邊長均為正整數，且最大邊長為11的三角形的個數是_答案：3617.如圖所示，一環形花壇分成A，B，C，D四塊，現有四種不同的花供選種，要求在每塊花壇里種一種花，且相鄰的兩塊花壇里種不同的花，則不同的種法共有_種答案：8418標號為A

10、，B，C的三個口袋，A袋中有1個紅色小球，B袋中有2個不同的白色小球，C袋中有3個不同的黃色小球，現從中取出2個小球(1)若取出的兩個球顏色不同，有多少種取法？(2)若取出的兩個球顏色相同，有多少種取法？解：(1)應有1×21×32×311(種)(2)若兩個球顏色相同，則應在B或C袋中取出2個應有134(種)3124519編號為A，B，C，D，E的五個小球放在如圖所示的五個盒子里，要求每個盒子只能放一個小球，且A球不能放在1,2號，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，求不同的放法有多少種？解：由分類加法計數原理得不同的放法共有661830種第二節排列與組合1排列與排列

11、數(1)排列：從n個不同元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列(2)排列數：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記作A.2組合與組合數(1)組合：從n個不同元素中取出m(mn)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合(2)組合數：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，記作C.3排列數、組合數的公式及性質公式排列數公式An(n1)(n2)(nm1)組合數公式C性質(1)An！；(2)0！1(1)C1

12、；(2)CC_；(3)CCC備注n，mN*且mn易錯點1易混淆排列與組合問題，區分的關鍵是看選出的元素是否與順序有關，排列問題與順序有關，組合問題與順序無關2計算A時易錯算為n(n1)(n2)(nm)3易混淆排列與排列數，排列是一個具體的排法，不是數是一件事，而排列數是所有排列的個數，是一個正整數練習1電視臺在直播2012倫敦奧運會時要連續插播5個廣告，其中3個不同的商業廣告和2個不同的奧運宣傳廣告，要求最后播放的是奧運宣傳廣告，且2個奧運宣傳廣告不能連播則不同的播放方式有()A120B48C36 D18解析：選C 22010年上海世博會某國將展出5件藝術作品，其中不同書法作品2件、不同繪畫作

13、品2件、標志性建筑設計1件，在展臺上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必須相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則該國展出這5件作品不同的方案有_種(用數字作答)答案：24重要方法1排列問題與組合問題的識別方法：識別方法排列若交換某兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素順序有關組合若交換某兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取元素順序無關2組合數的性質中(2)的應用主要是兩個方面，一個簡化運算，當m時，通常將計算C轉化為計算C.二是列等式，由CC可得xy或xyn.性質(3)主要用于恒等變形簡化運算練習1有A，B，C，D，E五位學生參加網頁設計比賽，決出

14、了第一到第五的名次A，B兩位學生去問成績，老師對A說：你的名次不知道，但肯定沒得第一名；又對B說：你是第三名請你分析一下，這五位學生的名次排列的種數為()A6 B18C20 D24解析：選B25個人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有_種(用數字作答)答案：72考點一排列問題1數列an共有六項，其中四項為1，其余兩項各不相同，則滿足上述條件的數列an共有()A30個B31個C60個 D61個解析：選A 2在數字1,2,3與符號“”，“”這五個元素的所有全排列中，任意兩個數字都不相鄰的全排列方法共有()A6種 B12種 C18種 D24種解析：選B3 8名游泳運動員參加男子100米的決賽，已知

15、游泳池有從內到外編號依次為1,2,3,4,5,6,7,8的8條泳道，若指定的3名運動員所在的泳道編號必須是3個連續數字(如：5,6,7)，則參加游泳的這8名運動員被安排泳道的方式共有()A360種 B4 320種 C720種 2 160種解析：選B 小結 求解排列應用題的主要方法直接法把符合條件的排列數直接列式計算優先法優先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中先整體后局部“小集團”排列問題中先整體后局部定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限

16、制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉化的方法考點二組合問題例1從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫生中選派5人組成一個抗震救災醫療小組，則骨科、腦外科和內科醫生都至少有1人的選派方法種數是_(用數字作答) 答案590 小結 組合兩類問題的解法(1)“含”與“不含”的問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取(2)“至少”、“最多”的問題：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解用直接法或間接法都可以求解通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理練習從5名男醫生、4名女醫生中選

17、3名醫生組成一個醫療小分隊，要求其中男、女醫生都有，則不同的組隊方案共有()A70種 B80種 C100種 D140種解析：選A 考點三分組分配問題分組分配問題是排列、組合問題的綜合應用，解決這類問題的一個基本指導思想就是先分組后分配。歸納起來常見的命題角度有：(1)整體均分問題；(2)部分均分問題； (3)不等分問題.角度一整體均分問題1國家教育部為了發展貧困地區教育，在全國重點師范大學免費培養教育專業師范生，畢業后要分到相應的地區任教現有6個免費培養的教育專業師范畢業生要平均分到3所學校去任教，有_種不同的分派方法答案：90角度二部分均分問題2將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個人，每人至

18、少1本的不同分法共有_種(用數字作答)答案：1 560角度三不等分問題3將6名教師分到3所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有_種不同的分法答案：360小結 解決分組分配問題的策略1對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數)，避免重復計數2對于部分均分，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數3對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數練習1我國第一艘航母“遼寧艦”在

19、某次艦載機起降飛行訓練中，有5架殲­15飛機準備著艦如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而丙、丁兩機不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有()A12種B18種 C24種 D48種解析：選C 2從1,3,5,7,9這五個數中，每次取出兩個不同的數分別記為a，b，共可得到lg alg b的不同值的個數是()A9 B10 C18 D20解析：選C 3甲、乙兩人計劃從A，B，C三個景點中各選擇兩個游玩，則兩人所選景點不全相同的選法共有()A3種 B6種 C9種 D12種解析：選B4將并排的有不同編號的5個房間安排給5個工作人員臨時休息，假定每個人可以選擇任一房間，且選擇各個房間是等可能的，則恰有2個房間

20、無人選擇且這2個房間不相鄰的安排方式的種數為_答案：9005將A，B，C，D，E，F六個字母排成一排，且A，B均在C的同側，則不同的排法共有_種(用數字作答)解析：“小集團”處理，特殊元素優先，CCAA480. 答案：4806把標號為1,2,3,4,5的同色球全部放入編號為15號的箱子中，每個箱子放一個球且要求偶數號的球必須放在偶數號的箱子中，則所有的放法種數為()A36 B20 C12 D10解析：選C 7班班會準備從含甲、乙的7名學生中選取4人發言，要求甲、乙2人至少有一人參加，若甲、乙同時參加，則他們發言時順序不能相鄰，那么不同的發言順序種數為()A720 B520 C600 D360解

21、析：選C 8航空母艦“遼寧艦”將進行一次編隊配置科學試驗，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅逐艦和3艘護衛艦分列左右，每側3艘，同側不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數為()A72 B324 C648 D1 296解析：選D 9身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍色衣服的有一人，現將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法種數為()A24 B28 C36 D48解析：選D 10把五個標號為1到5的小球全部放入標號為1到4的四個盒子中，不許有空盒且任意一個小球都不能放入標有相同標號的盒子中，則不同的放法有()A36種 B45種 C54種 D96種解析：選A 11將4

22、名實習教師分配到高一年級的3個班實習，若每班至少安排1名教師，則不同的分配方案種數為()A12 B36 C72 D108解析：選B12某高校從5名男大學生志愿者和4名女大學生志愿者中選出3名派到3所學校支教(每所學校一名志愿者)，要求這3名志愿者中男、女大學生都有，則不同的選派方案共有()A210種 B420種 C630種 D840種解析：選B 13 2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是()A60 B48 C42 D36解析：選B 14張、王兩家夫婦各帶1個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園為安全起見，首尾一定要排兩位

23、爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數為_(用數字作答)答案：2415有4名同學參加唱歌、跳舞、下棋三項比賽，每項比賽至少有1人參加，每名同學只參加一項比賽，另外甲同學不能參加跳舞比賽，則不同的參賽方案的種數為_(用數字作答)答案：2416某公司計劃在北京、上海、廣州、南京4個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該公司不同的投資方案種數是_(用數字作答)答案：6017將7個相同的球放入4個不同的盒子中，則每個盒子都有球的放法共有_ _種答案：2018從1到9的9個數字中取3個偶數4個奇數，試問：(1)能組成多少個沒有重復數字的七位數？(2)

24、上述七位數中，3個偶數排在一起的有幾個？(3)(1)中的七位數中，偶數排在一起，奇數也排在一起的有幾個？解：(1)分三步完成：第一步，在4個偶數中取3個，有C種情況；第二步，在5個奇數中取4個，有C種情況；第三步，3個偶數，4個奇數進行排列，有A種情況所以符合題意的七位數有CCA100 800個(2)上述七位數中，3個偶數排在一起的有CCAA14 400個(3)上述七位數中，3個偶數排在一起，4個奇數也排在一起的有CCAAA5 760個19有4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(1)恰有1個盒不放球，共有幾種放法？(2)恰有1個盒內有2個球，共有幾種放法？(3)恰有2個盒不放球，共有

25、幾種放法？解：(1)共有CCC×A144種(2)所以共有144種放法(3)故共有C84種第三節二項式定理1二項式定理(1)定理：公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)叫做二項式定理(2)通項：Tk1Cankbk為展開式的第k1項2二項式系數與項的系數(1)二項式系數：二項展開式中各項的系數C(k0,1，n)叫做二項式系數(2)項的系數：項的系數是該項中非字母因數部分，包括符號等，與二項式系數是兩個不同的概念3二項式系數的性質性質內容對稱性與首末兩端等距離的兩個二項式系數相等，即CC增減性當k時，二項式系數逐漸增大；當k時，二項式系數逐漸減小最大值當n是偶數時，中間

26、一項的二項式系數最大，最大值為C n；當n是奇數時，中間兩項的二項式系數相等，且同時取得最大值，最大值為或4各二項式系數的和(ab)n的展開式的各個二項式系數的和等于2n，即CCCCC2n.二項展開式中，偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和，即CCCCCC2n1.易錯點1二項式的通項易誤認為是第k項實質上是第k1項2(ab)n與(ba)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不相同的，所以公式中的第一個量a與第二個量b的位置不能顛倒3易混淆二項式中的“項”，“項的系數”、“項的二項式系數”等概念，注意項的系數是指非字母因數所有部分，包含符號，二項式系數僅指C(k0,1，n)1設復

27、數x(i是虛數單位)，則CxCx2Cx3Cx2 013()AiBI C1i D1i解析：選C2若(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，則a3_.答案：803設二項式(x)6的展開式中x2的系數為A，常數項為B，若B4A，則a_.答案：3重點方法1賦值法研究二項式的系數和問題“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(axb)n、(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x1即可；對形如(axby)n(a，bR)的式子求其展開式各項系數之和，只需令xy1即可2利用二項式定理解決整除問題的思路要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證

28、明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可因此，一般要將被除式化為含相關除式的二項式，然后再展開3二項式系數最大項的確定方法(1)如果n是偶數，則中間一項的二項式系數最大；(2)如果n是奇數，則中間兩項的二項式系數相等并最大4二項展開式系數最大項的求法：如求(abx)n(a，bR)的展開式系數最大的項，一般是采用待定系數法，設展開式各項系數分別為A1，A2，An1，且第k項系數最大，應用從而解出k來，即得1設aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，則a()A0 B1 C11 D12解析：選D2若x(0，)，則(12x)15的二項展開式中系數最大的項為()A第8項 B第

29、9項 C第8項和第9項 D第11項解析：選D 考點一二項式中的特定項或特定項的系數1 5展開式中的常數項為()A80 B80 C40 D40解析：選C2在5的展開式中x的系數為()A5 B10 C20 D40解析：選B3若8的展開式中x4的系數為7，則實數a_. 答案：小結求二項展開式中的指定項，一般是利用通項公式進行化簡通項公式后，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；求有理項時，指數為整數等)，解出項數r1，代回通項公式即可考點二 二項式系數和或各項系數和問題例1(1)若m的展開式中二項式系數之和為128，則展開式中的系數是()A21 B21 C7 D7(2)若(12x)4a0a1x

30、a2x2a3x3a4x4，則a1a2a3a4_. 答案(1)A(2)0在本例(2)中條件不變，問題變為“求|a0|a1|a2|a3|a4|的值”.解：由題意知(12x)4a0|a1|x|a2|x2|a3|x3|a4|x4，令x1得a0|a1|a2|a3|a4|3481.小結1二項式定理給出的是一個恒等式，對于a，b的一切值都成立因此，可將a，b設定為一些特殊的值在使用賦值法時，令a，b等于多少時，應視具體情況而定，一般取“1、1或0”，有時也取其他值2一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)的展開式中各項系數之和為f(1)，奇數項系數之和為a0a2a4，偶數項系數之和為a1a3

31、a5.練習若(12x)2 013a0a1xa2x2a2 013x2 013，則_.答案：1考點三多項式展開式中的特定項(系數問題)在高考中，常常涉及一些多項式二項式問題，主要考查學生的化歸能力，歸納起來常見的命題角度有：(1)幾個多項式和的展開式中的特定項(系數)問題；(2)幾個多項式積的展開式中的特定項(系數)問題；(3)三項展開式中的特定項(系數)問題.角度一幾個多項式和的展開式中的特定項問題1.48的展開式中的常數項為()A32 B34 C36 D38解析：選D角度二幾個多項式積的展開式中的特定項(系數)問題2已知(1x)(1x)5的展開式中x2的系數為5，則()A4 B.3 C2 D1

32、解析：選D角度三三項展開式中特定項(系數)問題3.5的展開式中的常數項為_(用數字作答)答案：小結1對于幾個多項式和的展開式中的特定項(系數)問題，只需依據二項展開式的通項，從每一項中分別得到含x3的項，再求和即可2對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式連乘的規律，結合組合思想求解，但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏3對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決.練習1使n(nN)的展開式中含有常數項的最小的n為()A4 B5 C6 D7解析：選B 2在二項式(x2x1)(x1)5的展開式中，含x4項的系數是()A25 B5 C5 D25解析：選B3 8的展開式中不含x4項的系數的和為()A1 B0 C1 D2解析：選B4若(2x3)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，則a12a23a34a45a5等于_答案：105已知a4cosdx，則二項式5的展開式中x的系數為_答案：806