1、熱點(diǎn)專題二方程與不等式【考點(diǎn)聚焦】“方程與不等式”包括方程與方程組、不等式與不等式組兩方面內(nèi)容“方程與不等式”均存在標(biāo)準(zhǔn)形式，其解法具有程序式化的特點(diǎn)是一種重要的數(shù)學(xué)基本技能此外，“方程與不等式”也是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的“方程與不等式”問(wèn)題“方程與不等式”是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一就解法與自身的應(yīng)用來(lái)說(shuō)，“方程與不等式”是初中數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)知識(shí)之一，同時(shí)也是學(xué)習(xí)函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)；就所蘊(yùn)含的“方程思想和轉(zhuǎn)化思想”而言，它更是培養(yǎng)同學(xué)們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題思想方面的重要源泉和場(chǎng)所同時(shí)對(duì)“方程與不等式”的考查，一方面注重對(duì)其解法和與其它知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系的考查，另一方面更注

2、重對(duì)其與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)考查在學(xué)業(yè)考試中所有題型均可出現(xiàn)，題量不小，而且難度將隨著題型變化而變化【熱點(diǎn)透視】熱點(diǎn)1：設(shè)計(jì)重結(jié)果的問(wèn)題考查方程與不等式的有關(guān)概念例1（1）二元一次方程組的解是（） （A） （）（C）（D）（2）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）分析：（1）小題對(duì)二元一次方程組的解法多樣，供同學(xué)們選擇的解題途徑較多，即使同學(xué)們只從方程組的解的概念出發(fā)通過(guò)驗(yàn)算也能夠解決問(wèn)題，因而題目的效度較高（2）小題通過(guò)對(duì)不等式組解集的選擇，考查了同學(xué)們解不等式組的基本功解答：（1）（A）；（2）（B）點(diǎn)評(píng)：這樣的問(wèn)題由于只關(guān)心對(duì)同學(xué)們解答問(wèn)題結(jié)果正確性的考查，具有

3、較強(qiáng)的針對(duì)性，比較適合對(duì)理解方程（組）的解和不等式（組）解集的概念水平的考查熱點(diǎn)2：設(shè)置具體的情景考查同學(xué)們構(gòu)建方程（不等式）模型的能力例2（2008湘潭）在一幅長(zhǎng)為80cm，寬為50cm的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條相同的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖1所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（）（）（） （）（） 分析：觀察圖形可知，金色紙邊的面積與矩形風(fēng)景畫(huà)的面積之和為5400，而矩形風(fēng)景畫(huà)的面積為4000，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，則可用含x的代數(shù)式表示出金色紙邊的面積為解：（B）點(diǎn)評(píng)：從同學(xué)們所熟知的生活情景入手，考查同學(xué)們建立方程模型的能力，使考

4、查的過(guò)程具有一定的趣味性，同時(shí)，建模的思想作為初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是需要師生在學(xué)習(xí)過(guò)程中有針對(duì)性突破的，而中考的命題毫無(wú)疑問(wèn)在這方面給出了一種明顯的導(dǎo)向，應(yīng)當(dāng)引起重視例3（2008長(zhǎng)沙）在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)決定對(duì)一段公路進(jìn)行改造已知這項(xiàng)工程由甲工程隊(duì)單獨(dú)做需要40天完成；如果由乙工程隊(duì)先單獨(dú)做10天，那么剩下的工程還需要兩隊(duì)合做20天才能完成（1）求乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)；（2）求兩隊(duì)合做完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)分析：工作總量工作時(shí)間=工作效率解：（1）設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，根據(jù)題意得：，解之得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解答：乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)為6

5、0天（2）設(shè)兩隊(duì)合做完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)為y天，根據(jù)題意得：，解之得：答：兩隊(duì)合做完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)為24天點(diǎn)評(píng)：本題背景取材于同學(xué)們所熟悉的“社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)”，巧妙將分式方程，一元一次方程的應(yīng)用結(jié)合起來(lái)考查，符合新課程理念，并且層次分明，難度適中，考查要求達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的畢業(yè)水平熱點(diǎn)3：設(shè)置與生活和社會(huì)實(shí)際相關(guān)的問(wèn)題考查運(yùn)用方程解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力例4（2008湘潭）小剛、小明一起去精品文具店買同種鋼筆和同種練習(xí)本，根據(jù)下面的對(duì)話解答問(wèn)題：小剛：阿姨，我買3支鋼筆，2個(gè)練習(xí)本，共需多少錢？售貨員：剛好19元小明：阿姨，那我買1支鋼筆，3個(gè)練習(xí)本，需多少錢呢？售貨員：正好需11

6、元（1）求出1支鋼筆和1個(gè)練習(xí)本各需多少錢？（2）小明現(xiàn)有20元錢，需買1支鋼筆，還想買一些練習(xí)本，那么他最多可買練習(xí)本多少個(gè)？分析：第（1）問(wèn)利用二元一次方程組求鋼筆和練習(xí)本的單價(jià)，第（2）問(wèn)通過(guò)一元一次不等式求出最多可買多少個(gè)練習(xí)本解：（1）設(shè)買一支鋼筆需x元，買一個(gè)練習(xí)本需y元，依題意：解之得（2）設(shè)買的練習(xí)本為z個(gè)，則，得因?yàn)閦為非負(fù)整數(shù)，所以z的最大值為7答：（1）買1支鋼筆需5元，1個(gè)練習(xí)本需2元（2）小明最多可買7個(gè)練習(xí)本點(diǎn)評(píng)：這類問(wèn)題的解答遵循“問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題解數(shù)學(xué)問(wèn)題解決問(wèn)題”，不僅對(duì)于考查“數(shù)學(xué)化”具有較高的效度,而且考查了同學(xué)們?cè)谏钪杏脭?shù)學(xué)的意識(shí)熱點(diǎn)4：考查同學(xué)們綜合運(yùn)用

7、方程（組）與不等式（組）解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力例5（2008長(zhǎng)沙）某班到畢業(yè)時(shí)共結(jié)余經(jīng)費(fèi)1 800元，班委會(huì)決定拿出不少于270元但不超過(guò)300元的資金為老師購(gòu)買紀(jì)念品，其余資金用于在畢業(yè)晚會(huì)上給50位同學(xué)每人購(gòu)買一件文化衫或一本相冊(cè)作為紀(jì)念品已知每件文化衫比每本相冊(cè)貴9元，用200元恰好可以買到2件文化衫和5本相冊(cè)（1）求每件文化衫和每本相冊(cè)的價(jià)格分別為多少元？（2）有幾種購(gòu)買文化衫和相冊(cè)的方案？哪種方案用于購(gòu)買老師紀(jì)念品的資金更充足？分析：本例第（1）問(wèn)通過(guò)列二元一次方程組解決，第（2）問(wèn)利用不等式解題，而后在（1），（2）的基礎(chǔ)上作出決策分析，較好地考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的能

8、力解：（1）設(shè)文化衫和相冊(cè)的價(jià)格分別為x元和y 元，則解得答：一件文化衫和一本相冊(cè)的價(jià)格分別為35元和26元（2）設(shè)購(gòu)買文化衫件，則購(gòu)買相冊(cè)本，則，解得為正整數(shù)，23，24，25，即有三種方案第一種方案：購(gòu)文化衫23件，相冊(cè)27本，此時(shí)余下資金293元；第二種方案：購(gòu)文化衫24件，相冊(cè)26本，此時(shí)余下資金284元；第三種方案：購(gòu)文化衫25件，相冊(cè)25本，此時(shí)余下資金275元；所以第一種方案用于購(gòu)買教師紀(jì)念品的資金更充足點(diǎn)評(píng)：決策型問(wèn)題最大特點(diǎn)是其所對(duì)應(yīng)的問(wèn)題的答案具有不確定性，盡管其中相當(dāng)多的一部分可歸結(jié)為利用“方程與不等式”來(lái)解決，也是“方程（不等式）思想”的應(yīng)用與體現(xiàn)，但是利用“方程與不等

9、式”不能夠直接求出問(wèn)題的最終解答要最終解決這樣的問(wèn)題，涉及到解決問(wèn)題的策略，以及需要其他的數(shù)學(xué)知識(shí)好的決策型問(wèn)題在考查同學(xué)們運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力方面具有較好的效度，因而，決策型問(wèn)題成為近年來(lái)較為常見(jiàn)的考查同學(xué)們運(yùn)用“方程與不等式”思想和知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力的題目熱點(diǎn)5：考查同學(xué)們綜合運(yùn)用方程（組）、不等式（組）與其它數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力例6（2008長(zhǎng)沙）如圖2，已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段的垂直平分線的解析式；（3）如圖3，取與線段等長(zhǎng)的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在兩處用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖在直線上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)將與構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，這些三

10、角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由分析：（1）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式得方程組，可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)（2）先作出的垂直平分線，利用解直角三角形或者是三角形相似的知識(shí)，可求出的垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得直線的解析式（3）由于線段的長(zhǎng)度確定，要使的面積最大，只要點(diǎn)到的距離最大即可，故點(diǎn)P既要在拋物線上，又必須在與平行的直線上解：（1）依題意得解之得， ，（2）作的垂直平分線交x軸，y軸于兩點(diǎn)，交于（如圖4），由（1）可知：，過(guò)作軸，為垂足，由，得：，同理：，設(shè)的解析式為（）， 的垂直平分線的解析式為：（3）若存在點(diǎn)使的面積最

11、大，則點(diǎn)在與直線平行且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線上，并設(shè)該直線與x軸，y軸交于G、H兩點(diǎn) ，拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，在直線中，設(shè)到的距離為，到的距離等于到的距離點(diǎn)評(píng)：本題的背景對(duì)同學(xué)們既現(xiàn)實(shí)又親切，考查同學(xué)們經(jīng)歷建立函數(shù)關(guān)系和解方程組的過(guò)程意圖明顯，有較好的效度、可推廣性和教育價(jià)值【考題預(yù)測(cè)】1方程組的解是_2分式方程的解為_(kāi)3不等式組的解集是（）（）（）（）（）無(wú)解4中國(guó)人民銀行宣布，從2007年6月5日起，上調(diào)人民幣存款利率，一年定期存款利率上調(diào)到3.06%某人于2007年6月5日存入定期為1年的人民幣5000元（到期后銀行將扣除20%的利息銳）設(shè)到期后銀行應(yīng)向儲(chǔ)戶支付現(xiàn)金x元，則所列方

12、程正確的是（）（A） （B）（C）（D）5 已知是一元二次方程的一個(gè)解，且，求的值6為凈化空氣，美化環(huán)境，市冷水灘區(qū)在許多街道和居民小區(qū)都種上了玉蘭和樟樹(shù)，冷水灘區(qū)新建的某住宅區(qū)內(nèi)，計(jì)劃投資1.8萬(wàn)元種玉蘭樹(shù)和樟樹(shù)共80棵，已知某苗圃負(fù)責(zé)種活以上兩種樹(shù)苗的價(jià)格分別為：玉蘭樹(shù)300元/棵，樟樹(shù)200元/棵，問(wèn)可種玉蘭樹(shù)和樟樹(shù)各多少棵？7某商場(chǎng)用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)兩種商品，銷售完后共獲利6萬(wàn)元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：進(jìn)價(jià)（元/件）12001000售價(jià)（元/件）13801200（注：獲利售價(jià)進(jìn)價(jià)）（1）該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)兩種商品各多少件；（2）商場(chǎng)第二次以原進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)兩種商品購(gòu)進(jìn)種商品的件數(shù)不變，而購(gòu)進(jìn)種商品的件數(shù)是第一次的2倍，種商品按原售價(jià)出售，而種商品打折銷售若兩種商品銷售完畢，要使第二次經(jīng)營(yíng)活動(dòng)獲利不少于81 600元，種商品最低售價(jià)為每件多少元？8市政公司為綠化一段沿江風(fēng)光帶，計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種樹(shù)苗共500株，甲種樹(shù)苗每株50元，乙種樹(shù)苗每株80元有關(guān)統(tǒng)計(jì)表