1、第二章第二章 應力與平衡應力與平衡研究對象三維彈性體微分單元體入手本章從靜力學觀點出發(fā)，討論一點的應力狀態(tài)，建立平衡微分方程和邊界條件。目錄目錄2.1 內力、應力和應力張量內力、應力和應力張量2.2 斜面應力公式斜面應力公式2.3 應力的坐標轉換應力的坐標轉換2.4 應力平衡微分方程應力平衡微分方程 外 力 2.1 內力、應力和應力張量內力、應力和應力張量 外 力n 體體 力力即分布在物體體積內部各個質點上的力，又稱為即分布在物體體積內部各個質點上的力，又稱為質量力。例如物體的重力、運轉零件的慣性力等。質量力。例如物體的重力、運轉零件的慣性力等。n 面面 力力即作用在物體表面上的力，例如作用在

2、飛機機翼即作用在物體表面上的力，例如作用在飛機機翼上的空氣動力、水壩所受的水壓力等。上的空氣動力、水壩所受的水壓力等。 定定 義義 式式體力：體力：0limVV Ff110limVFfV 220limVFfV 330limVFfV 0limiiVFfV 定定 義義 式式0limSS PX面力：面力：0limiiSPXS Chapter 3.1 內 力物體內部各個部分之間將產生相互作用，這種物體一物體內部各個部分之間將產生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力，稱為內力。部分與相鄰部分之間的作用力，稱為內力。內力也是分布力，它起著平衡外力和傳遞外力的作用，內力也是分布力，它起著平衡外力和

3、傳遞外力的作用，是變形體力學研究的重要對象之一。應力的概念正是是變形體力學研究的重要對象之一。應力的概念正是為了精確描述內力而引進的。為了精確描述內力而引進的。SChapter 3.1 應 力 應力矢量應力矢量Chapter 3.1( )0limSS F 若取若取 為變形前面元的初始面積，則上式給出為變形前面元的初始面積，則上式給出工程工程應力應力，亦稱，亦稱名義應力名義應力，常用于小變形情況。，常用于小變形情況。對于大變形問題，應取對于大變形問題，應取 為變形后面元的實際面積，為變形后面元的實際面積，稱稱真實應力真實應力，簡稱真應力，簡稱真應力, 也稱也稱柯西應力柯西應力。SSS應力矢量應力

4、矢量：應力的定義應力的定義Chapter 3.1 應力矢量的大小和方向不僅和應力矢量的大小和方向不僅和 M 點的位置有關，而點的位置有關，而且和面元法線方向且和面元法線方向 有關。有關。 作用在同一點不同法向面元上的應力矢量各不相同，作用在同一點不同法向面元上的應力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通過同一點且法線方反之，不同曲面上的面元，只要通過同一點且法線方向相同，則應力矢量也相同。向相同，則應力矢量也相同。Chapter 3.1( )00limlimiiSiiSFSPXS 應力矢量應力矢量和和 面力矢量面力矢量的數的數學定義和物理量綱都相同。學定義和物理量綱都相同。區(qū)別在于：應力

5、是作用在物體內界面上的區(qū)別在于：應力是作用在物體內界面上的未知內力未知內力，而面力是作用在物體外表面的而面力是作用在物體外表面的已知外力已知外力。當內截面無。當內截面無限趨近于外表面時，應力也趨近于外加面力之值。限趨近于外表面時，應力也趨近于外加面力之值。用矩陣表示：用矩陣表示：zzyzxyzyyxxzxyx 其中，只其中，只有有6 6個量個量獨立。獨立。xy應力符號的意義：應力符號的意義：第第1個下標個下標 x 表示表示所在所在面的法線方向；面的法線方向；第第2個下標個下標 y 表示表示的方向的方向.應力應力正負號正負號的規(guī)定：的規(guī)定：正應力正應力 拉為正，壓為負。拉為正，壓為負。剪應力剪應

6、力 坐標坐標正面正面上，與坐標正向一致時為正；上，與坐標正向一致時為正；坐標坐標負面負面上，與坐標正向相反時為正。上，與坐標正向相反時為正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx與材力中剪應力與材力中剪應力正負號正負號規(guī)定的區(qū)別：規(guī)定的區(qū)別：xyxyxyxyxyyxxy規(guī)定使得單元體規(guī)定使得單元體順時的剪應力順時的剪應力為為正，反之為負。正，反之為負。yxxyxyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzxzzyyzyxzxy zxyxxij得：由 0 xMdydxdzdzdxdyyzzyyzzy (a)同理：同理： 0yMzxxz (b) 0zMyxxy(c）

7、上式就是切應力互等定理。該定理表明，作用在相互垂上式就是切應力互等定理。該定理表明，作用在相互垂直的兩截面上的切應力大小相等。直的兩截面上的切應力大小相等。 應力張量通常用記號應力張量通常用記號ij表示，則有：表示，則有：應用切應力互等定理，應力張量應用切應力互等定理，應力張量ij又可表示為：又可表示為：zyzyxzxy yzxzxyxij(d)可見應力張量是一個對稱的二階張量。可見應力張量是一個對稱的二階張量。 張量簡化縮寫記號表達物理量的集合顯著優(yōu)點基本方程以及其數學推導簡潔張量的特征整體與描述坐標系無關 分量需要通過適當的坐標系定義笛卡兒（Descartes）張量定義一般張量曲線坐標系定

8、義三維Descartes坐標系中，一個含有3個與坐標相關獨立變量集合，通常可以用一個下標表示。 位移分量u，v，w縮寫記為ui（i=1, 2, 3）表示為u1, u2, u39個獨立變量的集合，兩個下標來表示 ij和eij 9個應力分量或應變分量ij,k 27個獨立變量的集合用三個下標表示 i下標求和定約求和定約張量表達式的某一項內的一個下標出現兩次，則對此下標從1到3求和。 Ajiijakkka31ijjiijakka啞標啞標： 出現兩次的下標求和后消失Ajijiycx 333232131332322212123132121111ycycycxycycycxycycycx自由標自由標：非重復

9、下標自由標個數表示張量表達式代表的方程數 偏導數的下標記法偏導數的下標記法縮寫張量對坐標xi偏導數的表達式逗號約定逗號約定 逗號后面緊跟一個下標i時，表示某物理量對xi求偏導數。)()(,iix利用偏導數下標記法，偏導數均可縮寫為 jijixuu,kijkijxee,kijkijx,kjiikixxuu,lkijklijxx ,lkijklijxx ee,張量的偏導數集合仍然是張量證明證明： ui，j如果作坐標變換 , jiu ljlklkkilxxun,)(kjkkiun,)( ljlklkkixxun,)(jijixnx ijjinxxlljkiklkjinnuu, 由此可證，ui, j服

10、從二階張量的變換規(guī)律 由于 因此 特殊的張量符號 克羅內克爾克羅內克爾（Kronecker Delta）記號記號d d ijjijiij01d顯然 100010001333231232221131111ddddddddddij克羅內克爾記號是二階張量運算規(guī)律 ijmjimimimiiTTaadddddd3332211置換符號置換符號eijk 有相等下標時的奇排列，為，的偶排列，為，032113211kjikjieijk偶排列偶排列有序數組1，2，3逐次對換兩個相鄰的數字而得到的排列奇排列奇排列11213321132312231123eeeeee二階對稱張量二階對稱張量反對稱張量反對稱張量 ji

11、ijTTjiijTT任意一個二階張量，總是可以分解為一個對稱張量和一個分對稱張量之和。張量的對稱和反對稱性質，可以推廣到二階以上高階張量。 已知一點的六個應力分量，已知一點的六個應力分量，可以確定該點任意斜截面上可以確定該點任意斜截面上的應力。為此，圍繞的應力。為此，圍繞M點用點用平行坐標平面的三對平行面平行坐標平面的三對平行面截取一微分單元體，再過此截取一微分單元體，再過此單元作一個與單元作一個與M點相距為無點相距為無窮小的任意斜截面。截面窮小的任意斜截面。截面ABC和過和過M點的單元體平面點的單元體平面形成一個微分四面體，如圖形成一個微分四面體，如圖2-5所示。顯然，截面所示。顯然，截面A

12、BC上上的應力可以認為是過的應力可以認為是過M點任點任意斜截面上的應力。意斜截面上的應力。 2.2 斜截面的應力公式斜截面的應力公式NxozACzzyzxyyxyzxxyxzpxpypzpNMyB圖圖2.2.12.2.1 設截面設截面ABC的外法線的外法線N與各坐標軸正向的夾角分別為與各坐標軸正向的夾角分別為(N,x)，(N,y)，(N，z)，則其方向余弦分別為：，則其方向余弦分別為：nzNmyNlxN),cos(,),cos(,),cos( 如果三角形如果三角形ABC的面積為的面積為dA，那么根據平面圖形面，那么根據平面圖形面積投影定理，可得三角形積投影定理，可得三角形MBC，MCA，MAB

13、的面積的面積為為ldA ，MdA，NdA。研究微分四面體的平衡，。研究微分四面體的平衡， 得：由：0 xF0ndAmdAldAdApzxyxxx 兩邊除以兩邊除以dA移項后，并注意應用切應力互等定理，移項后，并注意應用切應力互等定理，得得(2-4)式的第一式式的第一式 nmlpnmlpnmlpzzyzxzyzyyxyxzxyxx或縮寫成矩陣形式或縮寫成矩陣形式 NNTNp斜截面的應力分量為斜截面的應力分量為 或按下標記法與求和約定寫為或按下標記法與求和約定寫為),(zyxjinpjiji 式中式中 i：自由指標：自由指標，同一項只出現一次，同一項只出現一次 ，同一方，同一方程中，各項的自由指標

14、應相同。程中，各項的自由指標應相同。j：啞指標：啞指標，表示求，表示求和，同一項重復出現，又稱為愛因斯坦求和約定。一和，同一項重復出現，又稱為愛因斯坦求和約定。一方面通過啞指標對求和起縮寫的作用，另一方面通過方面通過啞指標對求和起縮寫的作用，另一方面通過自由指標可將方程組縮寫為一個指標符號方程。自由指標可將方程組縮寫為一個指標符號方程。(2-3)(2-4)(2-5)令斜截面的正應力為令斜截面的正應力為N，切應力為，切應力為N，則，則pN將的各分量將的各分量px，py，pz向向N方向投影即得方向投影即得 NTTNNTNzyxNppnpmpl(2-6a)將上式展開將上式展開 zxyzxyzyxNn

15、lmnlmnml222222(2-6b) 由圖由圖2-5可見：可見：222222NNzyxnpppp因此，斜截面上的切應力由下式確定。因此，斜截面上的切應力由下式確定。 2122222122)(NzyxNnNpppp(2-7) 由此可見，已知物體內任意一點處的六個應力分由此可見，已知物體內任意一點處的六個應力分量，則應用式（量，則應用式（2-62-6）和（）和（2-72-7）可求得該點任意斜截）可求得該點任意斜截面上的正應力和切應力。也就是說，已知一點處的六面上的正應力和切應力。也就是說，已知一點處的六個應力分量，則該點的應力狀態(tài)就完全確定了。個應力分量，則該點的應力狀態(tài)就完全確定了。 應力的

16、邊界值與面力分量間的關系表達式，即物應力的邊界值與面力分量間的關系表達式，即物體的應力邊界條件體的應力邊界條件 zzzyzxyyzyyxxxzxyxpnmlpnmlpnml （2-8a）或 : 上）在Snpjiji(（2-8b） 以上公式在推導過程中沒有涉及物體材料的物理以上公式在推導過程中沒有涉及物體材料的物理性質，因此上述各式，不僅適用于彈性力學，也適性質，因此上述各式，不僅適用于彈性力學，也適用于塑性力學等。用于塑性力學等。2.3 應力的坐標轉換應力的坐標轉換x圖圖2.3-1Myzxyzxyx zx 設新坐標系設新坐標系x，y，z 對舊坐標對舊坐標x，y，z 的軸的方向余弦分別為，的軸的

17、方向余弦分別為，l1,m1,n1; ; l2,m2,n2; ; l3,m3,n3 。用矩陣表示為。用矩陣表示為 TTTnmlnmlnml321333222111(2-9) 顯然新坐標系的各坐標平面可分別看作是舊坐標的斜截顯然新坐標系的各坐標平面可分別看作是舊坐標的斜截面。例如，面。例如，yMz平面是外法線為平面是外法線為x軸的斜截面。根據軸的斜截面。根據(2-4)(2-4)式可得該截面上的總應力式可得該截面上的總應力PN沿原坐標軸方向的三個應力分沿原坐標軸方向的三個應力分量為量為111111111nmlZnmlYnmlXzzxzxxyzyyxxxzxyxx(2-10a)或寫成1 xp(2-10

18、b)將 分別投影于 方向，可得沿新坐標系的正應力 ，切應力 和 。即xxxZYX、zyx,xyxzx xTxxxzxxTxxxyxxTxxxxpnZmYlXpnZmYlXpnZmYlX333322221111(2-10c)將式（2-10 b）代入式 (2-10c)， 即有： 131211TzxTyxTx(2-11) 同理，可求得在以同理，可求得在以 和和 軸為外法線方向的斜截面上的正應軸為外法線方向的斜截面上的正應力和切應力分別為力和切應力分別為yz 232122TzyTxyTy 323133TyzTxzTz 和和 因此，在新坐標系因此，在新坐標系 中，表示中，表示M點的應力狀態(tài)的應力張量表示

19、為點的應力狀態(tài)的應力張量表示為zyxo Tzzyzxzyyyxzxyxxij(2-14a)(2-12)(2-13) 當坐標變換按照當坐標變換按照(2-14b)式變換時，式變換時，(2-14b)式稱為張量的解式稱為張量的解析定義式。式中析定義式。式中i,j為自由指標，為自由指標，變化表示在新坐標系下的各應變化表示在新坐標系下的各應力分量，力分量，k,l為啞指標為啞指標，lik, ljk 為新老坐標軸之間的方向余弦，為新老坐標軸之間的方向余弦，i,j代表新坐標軸的軸號，代表新坐標軸的軸號，k,l代表舊坐標軸的軸號。因此，已知代表舊坐標軸的軸號。因此，已知一點處的應力分量一點處的應力分量,由式由式(

20、2-11)、(2-12)、(2-13)或或(2-14)式可以求式可以求得在新坐標系下的應力分量。當新舊坐標系下的應力分量得在新坐標系下的應力分量。當新舊坐標系下的應力分量ij和和ij和滿足和滿足(2-14b)式時，式時， ij稱為二階應力張量。這種坐標變換關稱為二階應力張量。這種坐標變換關系可以推廣到更高階的張量，即系可以推廣到更高階的張量，即pqrsmskrjqipijklllll(2-15)為為n階張量的定義式。且張量的階數就是自由指標的個數。階張量的定義式。且張量的階數就是自由指標的個數。 或采用張量的坐標變換定義式或采用張量的坐標變換定義式kljlikijll(2-14b)主應力及應力

21、狀態(tài)的不變量主應力及應力狀態(tài)的不變量主平面圖圖2.3-2NpNxpxoyzypzp 如圖如圖2-72-7所示，如果主應力所示，如果主應力 在在 軸方向的應力分量軸方向的應力分量分別為分別為Nzyx, 過一點切應力為零的平面過一點切應力為零的平面稱為主平面，主平面上的正稱為主平面，主平面上的正應力稱為主應力，主平面的應力稱為主應力，主平面的外法線方向稱為外法線方向稱為主方向主方向。為。為了建立復雜應力狀態(tài)下的強了建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件，必須研究物體內任度條件，必須研究物體內任意點的主應力和主方向。意點的主應力和主方向。 npmplpNzNyNx,(a)將將(a)(a)式代入式（式代入式（2

22、-42-4）, ,移項整理后得：移項整理后得： 0)(0)(0)(nmlnmlnmlNZzyzxyzNyyxxzxyNx(2-15)式式(2-15)(2-15)是求主平面的方向余弦是求主平面的方向余弦 的線性方程組。的線性方程組。而它們不能同時為零。而它們不能同時為零。 nml,1222nml(2-16) 由齊次方程組由齊次方程組(2-15)(2-15)可見，如果要使可見，如果要使 有非零解，則有非零解，則系數行列式的系數必須等于零。令：系數行列式的系數必須等于零。令：nml,0NzzyzxyzNyyxxzxyNx(2-17)(2-17)展開行列式，并注意切應力互等定理，得展開行列式，并注意切

23、應力互等定理，得032213IIINNN（2-182-18）xyzxyzxyzzxyyzxzyxijkjiijkxyzxyzyxxzzyijijjjiizyxiieIII2det2121222321322221(2-19) 方程（方程（2-182-18）為）為M M點應力狀態(tài)的特征方程，解方程可得三個實點應力狀態(tài)的特征方程，解方程可得三個實根，即主應力根，即主應力 , ,且且 , ,同時，也存在三個互相正交同時，也存在三個互相正交的主平面。的主平面。321,221 為了求主方向，可將主應力值分別代入式為了求主方向，可將主應力值分別代入式(2-15)(2-15)中的任意兩個方程，并和中的任意兩個

24、方程，并和(2-(2-16)16)聯(lián)立求解，可得三個主方向。例如：求聯(lián)立求解，可得三個主方向。例如：求 的的方向，將主應力的的方向，將主應力 的值代入的值代入式式(2-15)(2-15)前兩個方程得：前兩個方程得：110)(1111nmlzxyxx(b)0)(1111nmlzyyxy(c)且從式且從式(2-16)(2-16)有：有： 1212121nml(d)聯(lián)解這三個方程可得與主應力聯(lián)解這三個方程可得與主應力 相應的方向余弦。相應的方向余弦。 1 另一方面，因主應力另一方面，因主應力 均為特征方程均為特征方程(2-18)(2-18)的根，故的根，故又可將此方程表示為又可將此方程表示為321,

25、0)()(321NNN(e)0)()(32113322123213NNN展開后有展開后有與式（與式（2-182-18）、（）、（f f）對照得：）對照得： (f)3212223133221222232112xyzxyzxyzzxyyzxzyxxyzxyzyxxzzyzyxIII(2-20)由于主應力是表征應力狀態(tài)的一種物理量，它們與所采用由于主應力是表征應力狀態(tài)的一種物理量，它們與所采用的坐標系無關，故當坐標變換時，的坐標系無關，故當坐標變換時， 是不變量，分是不變量，分別稱為應力張量的第一、第二和第三不變量。它們不因為別稱為應力張量的第一、第二和第三不變量。它們不因為坐標變換而改變。坐標變換

26、而改變。321,III 是過一點任意三個相互垂直截面上的正應力之和，它是一個是過一點任意三個相互垂直截面上的正應力之和，它是一個常數且等于平均應力的三倍。應力狀態(tài)的第二和第三不變量在塑常數且等于平均應力的三倍。應力狀態(tài)的第二和第三不變量在塑性理論中有很重要的應用。同時，若給定了性理論中有很重要的應用。同時，若給定了 , ,也就等于給也就等于給定了主應力定了主應力 。 1I321,III321,例例2.12.1 已知一點的應力狀態(tài)為已知一點的應力狀態(tài)為513162324ij 應力的單位為應力的單位為 。確定主應力的大小和最大主應力。確定主應力的大小和最大主應力相對于原坐標軸的方向余弦。相對于原坐

27、標軸的方向余弦。 MPa解：從方程（解：從方程（2-202-20）有）有54253614312256426031245566415564222222322222221xyzxyzxyzzxyyzxzyxxyzxyzyxxzzyzyxIII因此，方程（因此，方程（2-182-18）成為）成為054601523NNN 以上三次方程既可以通過數值方法求解以上三次方程既可以通過數值方法求解，也有許多手算的方也有許多手算的方法求解上述問題。方程的三個根為法求解上述問題。方程的三個根為和和 73. 4, 92127. 13 為了獲得最大主應力對應的方向余弦，在此應用方程為了獲得最大主應力對應的方向余弦，在

28、此應用方程(2-(2-15)15)，將相關的應力值，將相關的應力值( (例如例如:1=9Mpa)1=9Mpa)代入，我們有代入，我們有043, 032,0325nmlnmlnml 使用上面任意兩個方程和使用上面任意兩個方程和 ， 的值就的值就可以確定。這樣可以確定。這樣 對應的方向余弦就很容易確定。對應的方向余弦就很容易確定。1222nmlnml,321,例例2.2 證明應力張量的第二不變量證明應力張量的第二不變量 ，當坐標變換時為一，當坐標變換時為一不變量不變量(方向余弦之間的正交關系為：方向余弦之間的正交關系為： 或或 )2IijkjkilldijjkikdijijjjiiI21212證明

29、：由二階張量的定義式并結合如上正交關系：證明：由二階張量的定義式并結合如上正交關系：于是得證。于是得證。kljlikpqjqipkljljkpqiqipllllI21212klpqqlpkklklpqpqdddd212122121Ipqpqkkpp根據張量的定義式根據張量的定義式:kljlikijll2.4 平衡微分方程平衡微分方程平衡物體整體平衡，內部任何部分也是平衡的。對于彈性體，必須討論一點的平衡。微分平行六面體單元圖圖2.4-12.4-1微分體微分體 上作用的正應力分量就應為上作用的正應力分量就應為 將上式按級數展開，有將上式按級數展開，有dcba),(zydxxfx222)(),(! 21),(),(),(dxxzyxfdxxzyxfzyxfzydxxfx略去含有二階以上的高階微量各項可得略去含有二階以上的高階微量各項可得dxxxxx其余各面上作用的應力分量都可以依此類推。其余各面上作