1、教學設計一元二次不等式恒成立問題似曾相識燕歸來（認真聽講，做好筆記，就不會似曾相識）無可奈何花落去（大而化之，步步緊逼，就不會無可奈何）大而化之，步步緊逼（化，分解討論的意思）【師】好，我們今天來繼續研究一元二次不等式問題.對于一元二次不等式，通過三四天的學習，想必大家已經非常熟悉了，對于一般的一元二次不等式，大家都能熟練的掌握.那么對于一元二次不等式的綜合問題，大家可能還沒有頭緒，一拿到這種題，都可能頭暈腦漲了.這不禁令我想起了古人的一句詩（師板書）：似曾相識燕歸來無可奈何花落去【生】（笑，課堂氣氛活躍）：老師，寫反了！應該是：無可奈何花落去，似曾相識燕歸來！【師】（故作嚴肅）：我為什么寫反

2、啊？因為我們學數學需要逆向思維啊！那么我們大家對于一元二次不等式的綜合問題可能就是這個感覺.一接觸到題就“似曾相識”，但一下筆就“無可奈何”了.（師在兩句詩內相應的詞下加下劃線）這就要求我們平時聽課的時候要認真聽講，做好筆記，這樣一來我們做題的時候就不會似曾相似了，即使我們做不出來，我們也可以翻開筆記找到類似的題.（師在副標題相應的位置后面加認真聽講等語）.（生思考，拿出筆記本）而即使做到記筆記了，認真聽講了，有些同學做這類綜合題的時候也會覺得“無可奈何”，這是什么原因呢？這就要求我們多做多練，練熟了，遇到這類題時就不會是“無可奈何”了，而是“下筆千言”了.（生笑，認真聽講）那么對于這一類題，

3、我們通常采用的是“大而化之，步步緊逼”的方法來解決.大家注意，這個“化”的意思是分解討論的意思.（師在副標題下加上“大而化之，步步緊逼”8個字）它既然是個大難題，那么我們就把它化為幾個容易的步驟，再依次的討論，這類題就做出來了.好，我們今天就通過一個典型例題來研究不等式的恒成立問題.（師板書）一、 典例例：關于的不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍.【師】一拿到這類題，同學們可能都傻眼了，題目中好像什么都沒給啊，這個題怎么做啊？大家不用怕，看上面（師示意學生看題目下的“大而化之”四個字），既然它是以大題的形式出現了，那么咱們就用做大題的方法去對付它，“大而化之”，咱們一步步的來分解它.那么

4、大家看這個題它是個什么不等式啊？一元二次不等式嗎？（師設下陷阱）【生】是！（大部分學生說是，只有一小部分說不一定，但聲音小，底氣不足）【師】（繼續暗示）是嗎？你敢肯定么？【生】（大部分反應過來）不一定！【師】為什么不一定啊？【生】因為的值不定！【師】（及時插入話）對！它的值不定，那么它的值不定我們該怎么做啊？【生】討論！（因為前幾節課都在培育學生具有討論思想，所以學生能一口答出來）【師】對，它的值不定我們就要討論它，這是我們學習數學必備的思想，大家一定要具備這個基本素質.下面我們來分類討論這個不等式的系數，看看它的廬山真面目到底是什么.（一）（準備工作）：討論系數（師邊寫邊說：那么它的二次項系

5、數分幾種情況啊？生回答：兩種.師問：是什么啊？生回答：等于零或不等于零兩種.師板書并言語：那么我們來討論這兩種情況.）當即時，那么原不等式變成了常數不等式當時，原不等式是一元二次不等式.【師】（板完后說）那么這是我們每個人腦海中都要具備最基本的東西，一遇到這類題，我們腦海中立馬要想到討論它的二次項系數，這一步你寫出來了，高考時兩分就拿到手了.（二）（具體步驟）：分類討論當，即時，原不等式可化為：【師】那么這個不等式是不是最終成了，它是不是無論取何值時不等式都恒成立成立啊？【生】是！ 時，不等式恒成立【師】那么我們來討論第二步.當，即時，不等式是一個一元二次不等式.【師】那么我們說解一元二次不等

6、式分四個步驟.第一步是化為標準形式，也就是二次項系數大于零的形式.那么這個不等式好不好化啊？因為我們不知道的正負，這樣的話就需要討論，而討論起來又很麻煩，那么我們怎么做啊？那么大家回憶一下，學習數學最重要的兩個思想是什么啊？【生】分類討論和數形結合的思想！【師】對！那么這類題我們用數形結合的思想來做是很容易理解的.那么既然是數形結合，我們就先畫出的圖像.然后再在圖像上找出時的取值是什么就可以了.那么它的圖像有幾種情況啊？無非就有兩種. 或.那么我們就先畫出，即開口向上時的情況.那么開口向上又分三種情況.那么這個圖像又是經過的這個點的，那么我們先拋開這個條件，來根據與軸交點 是兩個一個還是沒有的

7、情況做出開口向上時函數的圖像.如下圖：【師】那么當時，圖像就是這三種情況.那么大家看，不等式的對應方程的根的情況對應圖像上就分別是兩個、一個或無.那么它的判別式依次是：、或. 的圖像 【師】好，那么我們把的情況也畫出來，也是三個圖像. 的圖像 【師】好，到此為止，體力活已經做完了，該做腦力活了.大家觀察一下圖像，再看一下題目，看哪個圖像適合題目的條件啊？（念題目：不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍）.（到此，基本上所有的同學已經能順利的指出第6個圖像適合題目的要求，老師再逐個的分析，然后得出結論）（此時有一部分同學瞌睡，老師觀察到這個現象后說道：同學們注意了，關鍵時刻到了.比如說我們看N

8、BA比賽，火箭隊正和湖人隊比賽，比賽已經到了第四節了，剩下十幾秒的時間了，科比或者姚明再投進去一個球，勝負都出來了，可不要錯過精彩啊！生笑，注意力重新集中起來.課堂氣氛活躍）【生】第6個圖像滿足！【師】對！第6個圖像滿足.那么不等式的對應方程應滿足什么條件啊？【生】（能迅速回答出來）且！【師】對！所以立馬我們就能得出兩個聯立的不等式解之得：綜上所述，當 時，關于的不等式對一切實數恒成立.（師強調：我們第一步做的等于2的那個值一定不要忘記）【師】好了這道題我們基本上做完了.那么我把原不等式變為（）那么哪一個圖像滿足條件啊？對應方程要滿足什么條件啊？【生】（基本上所有的同學都能回出來）第5個！對應方程要滿足且.【師】對！那