1、全等三角形中做輔助線技巧要點大匯總口訣：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現角平分 線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看 線段垂直平分 線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗線段和差不等式，移 到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線三角形中有中線，延長中線 等中線。、由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平 分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一

2、般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考 慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。與角有關的輔助線（一）、截取構全等如圖1-1，/ AOCh BOC如取OE=OF并連 接DE DF,則有 OEDAA OFD從而為我們證明線 段、角相等創造了條件。例1 .如圖12，AB/CD，BE平分/ BCD CE 平分/ BCD點E在AD上,求證：BC=AB+CD例 2.已知：如圖 1-3，AB=2ACZ BAD=/ CAD DA=DB 求證 DC! AC例3

3、.已知：如圖14，在 ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還 要用到構造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分 問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短 的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習1. 已知在 ABC中，AD平分/ BAC / B=2/C,求證：AB+BD=AC2. 已知：在A ABC 中，/ CAB=/ B，AE 平分/ CAB 交 BC 于 E、 AB=2AC求證：AE=2CE3. 已知：在A ABC中，AB>AC,A為/ BAC的平分線，M為AD上任一點求證：BM-CM>

4、AB-AC4.已知：D是A ABC的/BAC勺外角的平分線AD上的任一點，連接DBDC 求證：BD+CD>AB+AC（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題。圖2-1例 1 .如圖 2-1，已知 AB>AD, Z BACM FAC,CD=BC 求證：/ ADCZ B=180分析：可由C向Z BAD的兩邊作垂線。近而證Z ADC與 Z B之和為平角。例J2 .如圖 2-2，ABC 中，Z A=90 , AB=ACZ ABDZ CBD求證：BC=AB+AD分析：過D作DEL BC于E,則AD=DE=CE則構造

5、出 全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題， 中利用了相當于截取的方法。例3.已知如圖2-3， ABC的角平分線BM CN相交于點 P。求證：Z BAC的平分線也經過點P。分析：連接AP,證AP平分Z BAC即可，也就是證P到ABAC的距離相等。練習：1 .如圖 24 Z AOPZ BOP=15，PC/OA PDLO女口果 PC=4 貝 U PD=()A4B3C2 D12.已知在Za ABC 中、/ C=90 , AD 平分/ CAB CD=1 .5,DB=25求 AC。3.已知：如圖 2-5, / BACK CAD,AB>AP np+ar1AE=2 （AB+AD .求證：/

6、 D+Z B=180。4. 已知：如圖26,在正方形ABCD中，E為CD的中點,F為BCB圖2-5上的點，Z FAEZ DAE 求證：AF=AD+CF5. 已知：如圖 2-7，在 RtA ABC 中，Z ACB=90 ,CD ± AB,垂足為 D, A圖2-7E平分Z CAB交CD于F,過F作FH/AB交BC于H。求證CF=BH圖3-2（三）：作角平分線的垂線構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線， 使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形， 垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高， 以利用中位線的性質與等腰三 角形的三線合一的性質。（如果題目中有垂直于角平分

7、線的線段，則延長該線段與角的另一邊相 交）。例 1 .已知：如圖 3-1 , Z BADZ DAC AB>AC,Ct!AD 于 D, H 是 BC 中點。1求證：DHh （AB-AC2分析：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可證例 2 .已知：如圖 3-2 , AB=ACZ BAC=90 , AD 為 Z ABC的平分線，CE! BE.求證：BD=2CE分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線， 可延長此垂線與另外一邊相交，近而構造出等腰三角形。例3 .已知：如圖3-3在A ABC中，AD AE分別/ BAC的內、外角平分線，過n 圖 3-3 JL AF,從頂點B作

8、BFAD交AD的延長線于F,連結FC并延長交AE于M>求證：AM二ME分析：由AD AE是/ BAC內外角平分線，可得EA F.而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 .已知：如圖3-4，在 ABC中，AD平分/ BAC AD=AB CMLAD交AD1延長線于M求證：AM= (AB+AC分析：題設中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對稱變換，作a AB1D關于AD的對稱 AED然后只需證DM=EC另外人由求證的結果AMI= (AB+AC，即2AM=AB+AC也可嘗試作 ACM關于CM的對稱 FCM然后只需證DF=CF即可練習：BAC的平分1. 已知：在AABC中，AB=5

9、AC=3D是BC中點，AE是/線，且CELAE于E,連接DE,求DE2. 已知BE、BF分別是 ABC的/ABC的內角與外角的平分線，AFLBF1于F, AE1 BE于E,連接EF分別交AB AC于M N,求證MN= BC（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構造等腰三角形。或通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而 也構造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。圖4-1例 4 如圖 , AB>AC, / 仁/2,求證：AB- AC>BDCD例 5 如圖，BC>BA BD 平分/ ABC 且

10、AD=CD 求證：/ A+Z C=18Q如圖,AB/ CD AE DE 分別平分 Z BAD 各 Z ADE 求證：AD=AB+GDDC練習：1 .已知，如圖，/ C=2/A, AC=2BC求證： ABC是直角三角形2 .已知：如圖 , AB=2AC/ 仁/2, DA=DB 求證：DCLAC3 .已知CE人。是A ABC的角平分線，/ B=60。,求證：AC=AE+CD4 .已知：如圖在 ABC中，/ A=90。，AB=AC BD是/ ABC的平分線，求證:BC=AB+AD由線段和差想到的輔助線口訣:線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段

11、之和時，一般方法是截長補短法：1'截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于 另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段 等于長線段。對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯系到三角形中兩線段之和大于第 三 邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證不出來，可 連接兩 點或廷長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三 角形三邊的不等關系證明，如：例1、已知如圖: D、EABC內兩點，求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊

12、延長分別交AB AC于M N,在A AMN 中，AM+AN>MD+DE+NE；在Za BDM 中，MB+MD>B (2)在Za CEN 中，CN+NE>CE ( 3)由(1) + ( 2) + ( 3)得:MzCDE NAM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE AB+AC>BD+DE+EC（法二：圖 1-2）延長BD交AC于F,廷長CE交BF于G在Za ABF和 GFCffiA GDE 中有：AB+AF>BD+DG+G三角形兩邊之和大于第三邊）D E圖1 2(1)GF+FOGE+CW 上)(2)DG+GE>D0 同上)(3)由(

13、1) + (2) + (3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+>EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角 形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內角位置上，再利用外角定 理：例J如：如圖2-1 :已知D ABC內的任一點，求證：/ BDC> / BAC。分析：因為/ BDC與/ BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯系，可適當添加輔助線構造新的三角形，使/ BDC處于在外角的位置，/ BAC處于在內角的位 置；證法一：延長B

14、D交AC于點E,這時/ BDC®八EDC勺外角， / BDC2 DEC 同理/ DEC2 BAC BDC2 BAC證法二：連接AD并廷長交BC于F,這時/ 8口5是4 ABD的夕卜角，/ BDF2 BAD 同理，/ CDF* CAD BDF+/ CDF* BAD* CAD 即：/ BDC* BAC注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角 位置上，小角放在這個三角形的內角位置上，再利用不等式性質證明。有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形,B D圖3 1如：例如：如圖3-1 ：已知AD ABC的中線，且*仁* 2* 3= * 4,求證：B

15、E+CF>EF。分析要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關系定 理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知* 1二* 2，/ 3=Z 4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把EN, FN，EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取DN=DB連接NE NF,貝U DN=DC在A DBE?3NDE 中：DN=D （輔助線作法）“/仁/2 （已知）- ED=E （公共邊） DBEAA NDE （ SASBE=NE （全等三角形對應邊相等）同理可得：CF=NF在么EFN中EN+FN>EF三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CF>EF注意：當證題有

16、角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構造全 等三角形，然后用全等三角形的對應性質得到相等元素。三、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1 :在 ABC中,AB>AC/仁/ 2，P為AD上任一點求證：AB-AC>PB-PC分析:要證:AB-AOPB-PC想到利用三角形三邊關系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊 AB-AC，故可 在AB上截取AN等于AC，得ABAC=BN再連接PN貝U PC=PN又在 PNB中, PB-PNvBN即：AB-AC>PB-PC證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN,在AAPN和/1APC中A

17、N=AC （輔助線作法）/仁Z2 （已知）AP=AP （公共邊）ZAPN幻APC （SAS），/PC=PN （全等三角形對應邊相等）T在ZBPN中，有PB-PNvBN （三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PCvAB-AC證明：（補短法）犬、延長AC至M，使AM=AB，連接PM,C在 MBP 和/AMP 中B無二6 1 MF AB=AM （輔助線作法）/仁Z2 （已知）AP=AP （公共邊）z.zABPAzAMP （SAS）-PB二PM （全等三角形對應邊相等）又 . 在ZPCM中有：CM>PM-PC （三角形兩邊之差小于第三邊）AB-AOPB-PC。例J1 如AC平分 / BAD CEL

18、AR 且/B+/D=180 ,求證：AE=AD+BE求證：/ ADC# B=18G0例I 2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分/ BAD, CE±AB于E,例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC A=108, BD平分ABC求證：BC=AB+DC例4如圖，已知RtA ABC中，/ ACB=90 , AD是/ CAB的平分線，DMLAB1于 M,且 AM=MB 求證：CD=2 DB【夯實基礎】例J ： ABC中，AD是BAC的平分線，且BD=CD，求證AB=AC方法1：作DE_LAB于E，作DF_LAC于F，證明二次全等方法2：輔助線同上，利用面積方法3：倍長中線AD【方法精講

19、】常用輔助線添加方法一一倍長中線方式1:延長AD到E, 使 DE=AD , 連接BE方式2:間接倍長【經典例題】E彳乍CFJ_AD于F, 作BE1AD的延K線于連接BE延長 MCgiJ N, 使 DN=MD 連接CDN例1 ： A ABC中, AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長中線AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊DE交BC于F,且例2：已知在 ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DF=EF，求證：BD=CE方法1：過D作DG/ AE交BC于G,證明 DG1A CEF方法2：過E作EG/ AB交BC的延長線于G,證明AEFG”i方法3：過D作DG_L

20、BC于G,過E作EFUBC的延長線于H證明 A BDGAA ECH例3 :已知在a ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC 于 F,求證：AF=EF提示：倍長AD至G,連接BG,證明ABDGACDA三角形BEG是等腰三角形例4 ：已知：如圖，在 ABC中，AB AC , D、E在BC上，且DE=EC過D作DF BA 交 AE 于點 F, DF=AC.求證：AE平分BAC提示：方法1:倍長AE至G,連結DG方法2：倍長FE至H，連結CH例 5：已知 CD=AB，/ BDA= / BAD , AE 是A ABD 的 中線，求證：/ C= / BAE提示：倍長A

21、E至F,連結DF證明 A ABEAA FDE( SAS 進而證明 A ADFAA ADC(SAS【融會貫通】1在四邊形ABCD中，AB DC, E為BC邊的中點，/ BAE= / EAF , AF與DC的延長線相交于點 F。試探究線段AB與AF、CF之間的數量關系，并證明你的結論提示：延長AE、DF交于G證明 AB=GC AF=GF所以 AB=AF+FC2、如圖, AD為ABC的中線，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F.求第14題圖證：BECFEF提示：方法1在DA上截取DG=BD，連結EG、FG證明 BDEAA GDE DCFAA DGF 所以 BE=EG、CF=FG 利用三

22、角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長ED至H，連結CH、FH證明 FH=EF、CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖， ABC中， C=90 , CM AB于M , AT平分BAC交CM于D,交BC于T,過D作DE/AB交BC于E,求證：CT=BE.提示：過T作TN_LAB于N證明 A BTNAA ECD1 .如圖，AB/ CD AE DE 分另lj平分/ BAD 各 Z ADE 求證：AD=AB+GD2 .如圖， ABC中，/ BAC=90 , AB=AC AE是過A的一條直線，且B, C在AE的異側，BD1 AE 于 D, CELAE 于 E。求證：BD=DE+CE四、由中點想

23、到的輔助線口訣:三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯想到三角 形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關性質（直角三角形斜邊中線性質、等腰三 角形底邊中線性質），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形±即如圖1，人口是 ABC的中線，貝U Saabd=sace=j Saabc （因為 ABD與 ACD是等底同高的）例1 .如圖2, A ABC中，AD是中線，延長AD至（JE,使DE=ADDF是ADCE的中線。已知A ABC的面積為2,求：A CDF的面積。

24、解：因為AD是A ABC的中線，所以saac= Saab=, X 2=1，又因CD是 A AC E的中線，故 Sacd=Saac=1 1因DF是A CDE的中線，所以sacdeSacde=X仁.。（二八由中點應想到利用三角形的中位線例2 如圖3,在四邊形ABCD中，AB=CD E、F分另（J是BCAD的中點，BACD的延長線分別交EF的延長線G耳求證：/ BGEM CHE證明：連結BD并取BD的中點為M連結ME MF ME是 BCD勺中位線， ME CD / MEFM CHE MF是 ABD的中位線， MF AB / MFEM BGE AB=CD 二 ME=MF / MEFM MFE從而/ B

25、GEM CHE圖3（三）、由中線應想到延長中線例3 .圖4，已知 ABC中，AB=5 AC=3連BC上的中線AD=2求BC的長。解：延長 AD 至 U E,使 DE=AD 貝 U AE=2AD=£2=4。在 ACD和 EBD中， AD=EDZ ADCM EDB CD=BD ACDAA EBD 二 AC=BE從而 BE=AC=3在 A ABE 中，因 AW+BE=42+32=25=AB，故/ E=90。， BDJr ； J =廠=.，故 BC=2BD=2 j °例4.如圖5,已知 ABC中，AD是/BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證： ABC是等腰三角形。證明：延長

26、AD至（E,使DE=AD仿例3可證： BEDAA CAD故 EB=ACZ E=Z2,又/仁/2, 7 仁/ E,AB=EB從而AB=AC即口 A ABC是等腰三角形（四）、直角三角形斜邊中線的性質例5.如圖6,已知梯形ABCD中，AB/DC, ACJLBC, ADLBD,求證：AC=BD證明：取AB的中點E,連結DE CE貝U DE CE分別為Rt A ABD Rt A ABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB,因此/ CDEM DCE AB/DC , / CDEM 1,/DCEN2,/仁/2 ,在A ADE和A BCE中， vDE=CE/1=Z2, AE=BE-A ADEA BCE二AD=

27、BC從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD（五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線例6.如圖7, A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90, BD平分/ ABC交AC于點D, CE垂直于BD交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE證明：延長BA CE交于點F,在A BEF和A BEC中，v/ 仁/ 2 , BE=BE / BEF=/ BEC=90 , A BEFAA BEC EF=EC 從而 CF=2CE又/ 1+/ F=/ 3+/ F=90。,故/ 1 = / 3。在 ABDDA ACF 中，I / 仁/ 3, AB=AC / BAD2 CAF=90 , ABDAA AC

28、F 二 BD=CF 二 BD=2CE注：此例中BE是等腰/A BCF的底邊CF的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形例一：如圖4-1 ：BE+CF>ABC的中線，且/ 1 = / 2，/ 3=/4，求證:EF。證明：廷長ED至M使DM=D，連接CM MR在ABDEffiACDM 中，<BD=C （中點定義）“ /仁/5 （對頂角相等）fED=M （輔助線作法） BDEAA CDM （ SAS又 / 仁/ 2 5 / 3=/ 4 （已知）/ 1 + / 2+/ 3+/ 4=180&#

29、176; （平角的定義）即：/ EDF=90/FDM/ EDF=90在A EDFmMDF 中ED=M （輔助線作法）/ EDF/ FDM （已證）"DF=DF （公共邊）A EDFAA MDF （ SAS EF=MF （全等三角形對應邊相等） 在 CMF中，CF+CM>Mf三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CF>EF上題也可加倍FD,證法同上注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全 等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1 :ABC的中線，求證：AB+AC>2AD分析：要證 AB+AC>2AD 由圖想至1J ： AB+BD

30、>AD,AC+CD>A®以有 AB+AC+BD+CD>AD+AD=2A左邊比要證結論多BD+CD故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去證明：延長AD至E,使DE=AD連接BE,CEABC的中線（已知） BD=C （中線定義）在A ACDfAA EBD 中BD=C （已證）/仁/2 （對頂角相等）AD=ED輔助線作法） ACDAA EBD （ SASBE=CA （全等三角形對應邊相等）一在 ABE中有：AB+BE>AE三角形兩邊之和大于第三邊） AB+AO2AD練習：1如圖，AB=6 AC=8 D為BC的中

31、點，求AD的取值范圍2 如圖，AB=CD E 為 BC 的中點，/ BACK BCA 求證：AD=2AEEC3 如圖，AB=ACAD=AEM 為 BE 中點，/ BACK DAE=90。求證：AML DC4,已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD5.已知:如圖AD為ABQ3勺中線，AE呻求證:BF=ACBDC1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折” 2）遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等常見輔助線的作法有以下幾種：B D三角形，利用的思

32、維模式是全等變換中的“旋轉” 3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的 思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理 或逆定理.4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”5）截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等， 或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明 這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點 的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答.（一

33、）、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3貝忡線AD的取值范圍是B D C2：如圖， ABC中，E、F分別在ABAC上，DEIDF, D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.3：如圖， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中點，求證：AD平分/ BAE.中考應用（09崇文二模）以ABC的兩邊AB AC為腰分別向外作等腰Rt ABD和等腰RtACE，BAD CAE 90,連接DE, M N分別是BG DE的中點探究:AM與DE的位置關系及數量關系.（1）如圖 當ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是?線段AM與DE的數量關系是（2）將圖中的等

34、腰Rt ABD繞點A沿逆時針方向旋轉（OvV90）后,如圖所示，（1）問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理山.（二）、截長補短1 .如圖，ABC 中，AB=2AC AD 平分 BAG，且 AD=BD 求證：CDLACAD2：如圖，AC/ BD, EA,EB 分另tj平分/ CAB,/ DBA CD 過點 E,求證;AB= AC+BD3：如圖,已知在VABC內,BAC 60Cc分別在BC CA上，并且AP, BQ分別是BAC , ABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BC> BA,AD=CD, BD平分ABC，求證:AC 180。5:如圖在 ABC

35、中,ABAC, / 1=Z 2，P為AD上任意一點，求證；AB-AC> PB-PC中考應用（08海淀一模）如圖在四邊形/中49宗成莊是仍上一個翻點仝筒鐵卜處打配的關系井;夬明你的結誑,I.)解:例題講解:一、利用轉化倍角，構造等腰三角形當一個三角形中出現一個角是另一個角的2倍時，我們就可以通過轉化倍角尋找到等腰三角形如圖中，若/ ABC=2/ C,如果作BD平分/ ABC，則 DBC是等腰三角形；如圖中，若/ ABC=2 / C,如果延長線CB到D，使BD二BA，連結AD，則 ADC是等腰 三角形；如圖中，若/ B=2/ ACB，如果以C為角的頂點，CA為角的一邊，在形外作/ ACD=Z

36、 ACB，交BA的延長線于點D，則 DBC是等腰三角形1 如圖， ABC 中，AB = AC, BD_LAC 交 AC 于 D.求證：/2、如圖 , ABC 中，/ ACB = 2/ B, BC = 2AC.求證：/ A = 90、利用角平分線+平行線，構造等腰三角形當一個三角形中出現角平分線和平行線時，我們就可以尋找到等腰三角形如圖中，若AD平分/ BAG , AD/ ECJIJA ACE是等腰三角形；如圖中,如圖S彈分/如圖中DE/則/ ADE是等腰三角形;AD平分/， CE AC,則/ ACE是等腰三角形; 啜出，EF AD,則AAGE是等腰三角形，AB,D F3、如圖，/ ABC中，A

37、B=AC,在AC上取點P,過點P作EF_LBC,交BA的延長線于點 E,垂足為點F.求證：.AE=AP.4、如圖，/ ABC中, 求證：EF / AB.AD 平分/ BAG, E、F 分另在 BD、AD 上，且 DE = CD,B F ,三、利用角平分線+垂線，構造等腰三角形當一個三角形中出現角平分線和垂線時，我們就可以尋找到等腰三角形若AD 平分/ BAG , AD±DC，則 AEC是等腰三角形D圖1BD交BF的延長線5、如圖 2,已知等腰 RtA ABC 中 , AB= AC,/ BAG = 90 ° BF 平分/ ABC , CD ±E于 D。求證：BF =

38、 2CD.四：其他方法總結1截長補短法6、如圖，已知：正方形ABCD中，/ BAC的平分線交BC于E,求證： AB+BE=AC .2倍長中線法題中條件若有中線，可延長一倍，以構造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內。7、如圖(7) AD是A ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF .求證：AC=BF8、已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰且角三角 形，如圖，求證EF=2ADb3 .平行線法(或平移法)若題設中含有中點可以試過中點作平行線或中位線，對Rt ，有時可作出斜邊的中線.9、A ABC 中，/ BAC=60。，/ C=400 AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q, 求證：AB+BP=BQ+AQ .P說明：本題也可以在AB截取AD=AQ，連OD ,構造全等三角形，即“截長補短法”.A圖本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下：如圖（1），過。作OD/ BC交AC于D，則 ADO。/ABO來解決.A如圖(2),過。作DE/ BC交AB于D，交AC于E,則A ADO ©A AQO , ABO AEO 來解決. 如圖（3）,過P作PD/ BQ交AB的延長線于口，則4 APDAPC來解決. 如圖（4）,過P作PD / BQ交AC于D，則a A