1、四、分類討論的思想方法概述:分類討論在數(shù)學中既是一個重要的策略思想，又是一個重要的數(shù)學方法，很多數(shù)學問題涉及知識范圍廣，約束條件多，很難用統(tǒng)一方2）找出分 n項和公式，法解決，因此就從“分割”入手，將整體化為若干局部，每個局部問題相對確定，解法單一，比較容易解決，每個局部問題解決了， 整體問題也就得到解決。即采用化整為零各個擊破的方針。1。分類討論的關鍵：1）找出分類的根源，明確為什么分類？類的對策，明確怎樣分類。一般地：1）使用數(shù)學性質，定理，公式視其限制條件，成立條件進行分類；如等比數(shù)列前3）由變形所需要依據(jù)公比q 1和q 1得到兩個不同的表達式；絕對值的性質；2）由概念引起的討論，如直線

2、與平面所成的角;條件的限制引起的討論；如方程ax b 0的解的情況；4）由圖形的不確定性引起的討論，如ABC到平面的距離分別為a,b,c，求 ABC重心到平面的距離；5）對于含有參數(shù)的問題對參數(shù)的允許值進行全面的討論,如直線方程的點斜式和截距式;6）其它：根據(jù)實際問題具體分析進行討論，如排列、組合問題，應用問題域；2）合理分類統(tǒng)一標準，作到不重，不漏； 3）逐類討論，分級進行； 4） 問題中的變量或參數(shù)不確定性，需要分類討論；2）問題的條件是分類給出的；何問題中，幾何元素的形狀、圖象位置的變化需要分類討論的。簡化和避免分類討論的方法：1）直接回避，如運用反證法、補集法、消參法。2。分類討論的解

3、題步驟：1 ）確定討論的對象以及全 歸納總結得出整個題目結論。 3。分類討論的類型：1）3）解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的；4）幾2）變更主元。3 ）合理簡化運算。4）數(shù)形結合。例題分析例1 :設集合M 1,0,1, N 2,3,4,5,6，映射 f : M N，使對任何x M，都有x f（x） xf（X）是奇數(shù)，這樣變式:的映射設函數(shù)f有多少個?f :1,2,31,2,3，滿足f （f（x） f （x），則這樣的映射個數(shù)有:1 個；B： 4 個；C: 8 個；D:10 個。設 A x ax 10, B xx2 3x0，若A B，則a的值構成的集合是（對問題中變量或參數(shù)進行分類討論）函數(shù)

4、xa在0,1上最大值與最小值之差為3,則a的值是多少?變式:解關于x的不等式：X ax a0(aR)變式:已知函數(shù)f(x) lg(x2 2xm）,其中m R為常數(shù)，求這個函數(shù)的定義域。（問題的條件是分類給出的，需要分類討論）已知數(shù)列的前n項的和Sn 32 n2n求數(shù)列| an |的前n項的和Pn。例5給出定點A（a,0）（ a 0），和直線I : x 1,B是直線I上一動點，BOA的角平分線交 AB于點C,求點C的軌跡方程并討論方程表示的曲線類型與 a的關系。例6設函數(shù)f（X） ex e x）證明：f （x）的導數(shù)f '（X）2。）若對所有x 0都有f（X） ax，求a的取值范圍。)(

5、略)令 g(x) f (x) ax，則 g '(x) f '(x) a ex e x a。1)若 a 2，當 X 0時，g'(x) f '(x) a ex e xg(x)在(0,)上為增函數(shù)，X 0時，g(x) g(0) 0，即f(x) ax。2)若a 2，方程g '(X)0的正根為 人In4，此時若x(0, Xi)，則g '(X)0，故g(X)在該區(qū)間為減函數(shù)，因此g(x) g(0)0 ,即f(x) ax不符合要求。綜上：滿足條件的a的取值范圍是(,2。1)，其中b 0。2例 7:(07 山東)設 f (X) X bln(x11,當b -時，判

6、斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調性;2,求函數(shù)f(x)的極值點;3,證明對任意的正整數(shù)n，不等式ln(1-)n丄都成立。n分析:f(x)的定義域為(1,)f'(x)討論:當b2x -X1-時,2b2x2 2x b1 X 1無極值點;X12(x，當-時，f'(x)0，結論成立。2一時,21時,2f'(x)害=0有兩個相等的解xf '(x) =0有兩個不同解1 71 2b 1 41 2b2;X220 時，x,1,x21，即 x1 ( 1,),X2(1,-左右兩側f '(X)符號相等，無極值。2)，且f (x), f '(x)隨x的變化情況如下表:X(1

7、,X2)X2(X2,)f '(X)0f(x)極小值/當0 b 1時，x11, x1,x2 ( 1,)，f (X), f '(X)隨X的變化情況如下表:X(1,X1)X1(X1,X2)X2(X2,)f'(X)+00+f(x)/極大值極小值/縱上所述:1時,23f (x) X In(X 1)，令 h(x) X f (x)，則例8:已知函數(shù)f(X)2aX2a21(x R),其中 a R .X 1(I)當1時，求曲線y f(x)在點(2, f(2)處的切線方程;(n)當0時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間與極值.(I)解：當a2x41 時，f(X)廠，g 5又 f(X)2(X2 1)

8、 2X-2X 牡，f(2)(X21)2' 丿Z 2八2(X 1)625所以，曲線yf (X)在點(2, f (2)處的切線方程為即 6x 2y(n)解:()2a(x21) 2x(2ax a2 1)(x)2(x由于a 0，以下分兩種情況討論.(1)所以函數(shù)Z 2 八2(X 1)a)(ax 1)z 2772(X 1)當a 0時，令f(X)0,得到X,f (x)在區(qū)間f (X)在 X,X18 a1 a1一，a aa(a, 8)f (X)00f(x)極小值/極大值1，x2aa .當X變化時，f (X)，f (x)的變化情況如下表:-,a內(nèi)為增函數(shù).ag, 1，(a,8)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間a丄處

9、取得極小值f 丄，且f 1aaa函數(shù)1f (X)在冷一處取得極大值f(a)，且f (a)1 .a(2)1當a 0時，令f(X) 0，得到x1 a, x2,當x變化時，f (x)，f (x)的變化情況如下表:aXg, aa1 a?一a1 a1一，+ gaf (X)00f(x)/極大值極小值/內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間a,1內(nèi)為減函數(shù).a所以1f(x) 在區(qū)間(g , a) ,+ g函數(shù)f(X)在X| a處取得極大值f (a)，且f(a)1.函數(shù)1f (x)在x2處取得極小值fa，且a2.2例 9：設函數(shù) f (x) x(x a) (xe R)，其中 ae r，(1 )當a=1時，求曲線y= f(x)在點

10、(2，f (2)處的切線方程;(2)當a工0時，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值；。(3)當a>3時，證明存在k1,0，使得不等式f(kCOSX)2 2f (k cos x)對任意的xe R恒成立。(I)解:1時,f(x)x(x 1)2X3 2x2，得 f(2)2，且f (X)3x24x1，f (2)所以，曲線yx(x1)2在點(2，2)處的切線方程是y5(x2)，整理得5x y(n)解:f(x)x(x a)23_22X 2ax a xf (x)3x24ax2a (3x a)(x a).由于a 、 或 X a .3a 0，以下分兩種情況討論.(x)(1)Xg旦aa -,aa(a,g )33

11、3若a 0，當x變化時，f(X)的正負如下表:f (X)00aa因此，函數(shù)f (X)在X -處取得極小值f ，且334 3a ;27函數(shù)f(X)在x a處取得極大值f (a)，且 f(a) 0.(2)若a 0，當X變化時，f(X)的正負如下表:XX，aaa a,-3a33f (X)00f(a)，且因此，函數(shù)f (x)在X a處取得極小值f(a) 0 ；函數(shù)f (X)在Xa處取得極大值f3，且3a .27a(m)證明：由a 3，得一3時,2k COSX< 1， k2cos X由(n)知，f (x)在上是減函數(shù)，要使2 2f (k cosx) > f (k COS x)，X R只要kc

12、osx < k22COS x(x R)COS2 Xcosx < k2k(X R)設 g(X)2COS X COSX COSX1，則函數(shù)g(x)在R上的最大值為2 .4要使式恒成立，必須 k2 k > 2，即k > 2或k <1.2 2所以，在區(qū)間1,0上存在k 1，使得f (k cosx) > f (k cos x)對任意的x R恒成立.CXd，方程f(x)=o有實數(shù)根，且232例10:已知a、b、c、d是不全為零的實數(shù)，函數(shù) f(x) bx cx d , g(x) ax bxf(x)=0的實數(shù)根都是g(f(x)=0的根，反之，g(f(x)=0的實數(shù)根都是f

13、(x)=0的根。(1 )求d的值；(2) 若a=0，求c的取值范圍；(3) 若a=1 , f(1)=0，求c的取值范圍。解：(1)設r為方程的一個根，即f(r) 0,則由題設得g( f (r)0 .于是,g(0)g(f(r)0,即 g(0) d所以，d 0.2(2)由題意及(o 知 f(x) bx cx , g(x)ax3 bx2 cx .由a 0得b, c是不全為零的實數(shù)，且 g(x) bx2CX x(bx c)，則 g(f (x) x(bx c) bx(bx c) c x(bxc)(b2x2 bcx c).方程f(x) 0就是x(bx c) 0 .(i)當 c0時，b 0，方程、的根都為

14、x0,符合題意.(ii)當 c0 , b 0時，方程、的根都為 x0，符合題意.(iii)當 c0, b 0時，方程的根為x-i 0 ,c2 2X2,它們也都是方程的根，但它們不是方程b xbcx c 0的實數(shù)c)0 .根.方程 g( f (x) 0就是 x(bx c)(b2x2 bcx由題意，方程b2xbcx c0無實數(shù)根，此方程根的判別式(be)2 4b2c0，得 0 c 4 .綜上所述，所求c的取值范圍為0,4 .(3)由 a1，f (1)0 得 bc, f (x) bx2cx cx( x 1)，g(f(x)f (x) f 2(x) cf (x) c 由 f (x)0可以推得g( f (

15、x)0，知方程f (x)0的根一定是方程g( f (x)0的根.當c 0時，符合題意.當c 0時，b 0，2方程f(x) 0的根不是方程f (x) cf (x) c 0的根，因此，根據(jù)題意,方程應無實數(shù)根.那么當(c)2 4c0,即 0 c 4 時，f2(x) cf (x) c 0 ,符合題意.當(c)2 4c > 0 ,2c vc4c即c 0或c > 4時，由方程得f(x) cx cx 廠即 ex2 ex0，則方程應無實數(shù)根，所以有(c)2 4c c "c4c0且(c)2 4cc 疔忑 0.當c 0時，只需 c2 2cjc2 4c0，解得0當c > 4時，只需 c

16、2 2c 4c0，解得016，矛盾，舍去.316亍.因此，4 < c16y綜上所述，所求*1Ac的取值范圍為 0,.3例11：44已知函數(shù) f(x) ax In x bx c(x0)在x=1處取得極值一3 C,其中a, b, c為常數(shù)。(1)(2)試確定a，b的值； 討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;若對任意x>0，2不等式f(x) 2c恒成立，求c的取值范圍。解：(I)由題意知f(1)c，因此b c3 c，從而b 3 .又對f (x)求導得f (x) 4ax3lnx ax41* x4bx3(II)因此x3 (4 a l nx a 4 b).由題意f (1)0，因此a 4b 0，解得a3

17、由(I)知 f(X)48x lnx ( x 0)，令 f (x)0 ,解得 x 1 .x 1時，f (x)0，此時f (x)為減函數(shù);1時，f(X)0，此時f (x)為增函數(shù).f (x)的單調遞減區(qū)間為(0,1)，而f(x)的單調遞增區(qū)間為(1, g ).2(III )由(II，知，f (x)在x 1處取得極小值f(1)3 c，此極小值也是最小值，要使f(X)> 2c ( x 0,恒成立，只需2即 2c c 3 > 0 ,從而(2c 3)(c 1) > 0 ,3所以c的取值范圍為(，1例12:設f(x)32xQ，對任意實數(shù)t,記gt(x) t3x3lt(2)求函數(shù)y f(x)

18、g8(x)的單調區(qū)間;求證：當x>0時,f (x) gt(x)對任意正實數(shù)t成立;有且僅有一個正實數(shù)x0，使得g8(x0) gt(x0)對任意正實數(shù)t成立。(I)解：y34x3163由y x2因為當x (，2)時,當 x ( 2,2)時，y 0,當 x (2,)時，y 0,故所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,2)，(2,)，單調遞減區(qū)間是(2,2).(II)證明：方法一:令 h(x) f(x) gt(x)2t3x-t(x 0)，則3h (x) x22t3 ,當t 0時,由 h (x)0，得 x1t3,1 當x (汽)時，h (x)0 ,1所以h(x)在(0,)內(nèi)的最小值是h(t3)t成立.故當x

19、 0時，f (x) > gt(x)對任意正實數(shù)方法二:2對任意固定的x 0，令h(t) gt(x) t3x -t(t 0)，則2 - - h(t) t 3(x t3)，由 h (t)0，得 t X3.t X3 時，h (t)0 .X3時，h (t)0，3313所以當因此當t X時，h(t)取得最大值h(x )-X .3x 0時，f(x)> g(x)對任意正實數(shù)t成立.(ii )方法一：8 f(2)3gt(2).由(i)得，gt(2) > gt(2)對任意正實數(shù)t成立.即存在正實數(shù)X02，使得gx(2) > gt(2)對任意正實數(shù)t成立.下面證明x0的唯一性:當X02，X

20、o8時,f(Xo)3X0gx(x0)163由(i)得,3X0163再取t3X0，得9嚴0)所以 gx(x0)4X01633X0gx3(x0)，即X02時，不滿足gx(x0) > gt(x0)對任意t 0都成立.故有且僅有一個正實數(shù)X02，使得gx(x0)0 > gt (x0)對任意正實數(shù)t成立.16方法二：對任意 X0 0， gx(x0) 4x0 31 3因為gt (X0)關于t的最大值是-x03，所以要使gX(x0) > gt(x0)對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是:32即(X02)(X04)< 0 ,又因為x00，不等式成立的充分必要條件是X02 ,所以有且僅有一個

21、正實數(shù)X02,使得gx(Xo) > gt(Xo)對任意正實數(shù)t成立.鞏固性訓練21.設常數(shù)a>0,橢圓X22ax a2 y20的長軸長是短軸長的二倍，則a=2.從4臺甲型電視機和5臺乙型電視機中任選3臺，其中至少要有甲乙電視機各一臺，則不同的選法有3.數(shù) y sin x|sin X |cosx tan X|cosx| |ta nx|cot X 的值域是| cot X |4.5.知 A(-1,0),B(3,4)集合A=x| I X I < 4,B=x| I x-3 l< a,若A B,那么a的取值范圍是兩點到過原點的直線的距離相等，則直線的方程為6.32a>0,且 a工 1,P = log a ( a a 1) ,Q = g a ( a a 1),則 p, q 的大小關系是7.2已知 A=x| X (p 2)x10,X R，且 A R =o,實數(shù)P的取值范圍是8.五張卡片上分別寫有 2,3,4,5,6,現(xiàn)從中選出3張排成一個三位數(shù),如果6也能當9用,則能組成的三位數(shù)的個數(shù)是9.橢圓中心在原點,一個頂點和一個焦點分別是直線 X 3y 60與坐標軸的交點，則橢圓的方程是10.M(2,4)向圓(X1)2 (y 3)21所引切線方程是11 .如果區(qū)間-2,-1是關于