1、6-1 引言引言一、一、DF按頻率特性分類按頻率特性分類 可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通，可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通，其特點(diǎn)為：其特點(diǎn)為： （1）頻率變量以數(shù)字頻率）頻率變量以數(shù)字頻率 表示，表示， ， 為模擬角頻率，為模擬角頻率，T為抽樣時(shí)間間隔；為抽樣時(shí)間間隔； （2）以數(shù)字抽樣頻率）以數(shù)字抽樣頻率 為周期；為周期； （3）頻率特性只限于）頻率特性只限于 范圍，這范圍，這是因?yàn)橐廊佣ɡ恚瑢?shí)際頻率特性只能為抽樣頻率的是因?yàn)橐廊佣ɡ恚瑢?shí)際頻率特性只能為抽樣頻率的一半。一半。T22Tfss2/s)e (Hj)e (Hj)e (Hj0c234023低通低通0c23高通高通帶通帶通)

2、e (Hj)e (Hj002233帶阻帶阻全通全通11 二、二、DF的性能要求（低通為例）的性能要求（低通為例）)e (Hj0cst211 :c:st通帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率阻帶截止頻率通帶通帶阻帶阻帶過渡帶過渡帶 平滑過渡平滑過渡111)(1 ,jceH2)(,jsteH,stc三、三、DF頻響的三個參量頻響的三個參量 1、幅度平方響應(yīng)、幅度平方響應(yīng) 2、相位響應(yīng)、相位響應(yīng))()()()()(*2jjjjjeHeHeHeHeHjezzHzH)()(1)(Im)(Re)()()(jjejjjeHjeHeeHeHj)(Re)(Im)(1jjjeHeHtge3、群延遲、群延遲dedej

3、j)()(它是表示每個頻率分量的延遲情況；當(dāng)其為常數(shù)時(shí)，它是表示每個頻率分量的延遲情況；當(dāng)其為常數(shù)時(shí)，就是表示每個頻率分量的延遲相同。就是表示每個頻率分量的延遲相同。四、四、DF設(shè)計(jì)內(nèi)容設(shè)計(jì)內(nèi)容 1、按任務(wù)要求確定、按任務(wù)要求確定Filter的性能指標(biāo)；的性能指標(biāo)； 2、用、用IIR或或FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求；系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求； 3、選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)；、選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)； 4、用軟件還是用硬件實(shí)現(xiàn)。、用軟件還是用硬件實(shí)現(xiàn)。五、五、IIR數(shù)字?jǐn)?shù)字filter的設(shè)計(jì)方法的設(shè)計(jì)方法 1、借助模擬、借助模擬filter的設(shè)計(jì)方法的設(shè)計(jì)方法（1）將

4、）將DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成AF的技術(shù)指標(biāo)；的技術(shù)指標(biāo)；（2）按轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo)、設(shè)計(jì)模擬低通）按轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo)、設(shè)計(jì)模擬低通filter的的 ； （3）將）將 （4）如果不是低通，則必須先將其轉(zhuǎn)換成低通）如果不是低通，則必須先將其轉(zhuǎn)換成低通 AF的技術(shù)指標(biāo)。的技術(shù)指標(biāo)。 2、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法（最優(yōu)化設(shè)計(jì)法）、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法（最優(yōu)化設(shè)計(jì)法） 先確定一個最佳準(zhǔn)則，如均方差最小準(zhǔn)則，先確定一個最佳準(zhǔn)則，如均方差最小準(zhǔn)則，最大誤差最小準(zhǔn)則等，然后在此準(zhǔn)則下最大誤差最小準(zhǔn)則等，然后在此準(zhǔn)則下 ， 確定系確定系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。) s (Ha)()(zHsHa 6-2 將將DF的技

5、術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為ALF的技術(shù)指標(biāo)的技術(shù)指標(biāo)一、意義一、意義 AF的設(shè)計(jì)有一套相當(dāng)成熟的方法：設(shè)計(jì)公式；的設(shè)計(jì)有一套相當(dāng)成熟的方法：設(shè)計(jì)公式；設(shè)計(jì)圖表；有典型的濾波器，如巴特沃斯，切比雪設(shè)計(jì)圖表；有典型的濾波器，如巴特沃斯，切比雪夫等。夫等。二、一般轉(zhuǎn)換方法二、一般轉(zhuǎn)換方法 1、 2、 3、 4、ALFDLF ALFAHFDHFALFABFDBFALFABSFDBSF三、轉(zhuǎn)換舉例三、轉(zhuǎn)換舉例 例如，一低通例如，一低通DF的指標(biāo)：在的指標(biāo)：在 的通帶的通帶范圍，幅度特性下降小于范圍，幅度特性下降小于1dB；在；在 的的阻帶范圍，衰減大于阻帶范圍，衰減大于15dB；抽樣頻率；抽樣頻率 ；

6、試將這一指標(biāo)轉(zhuǎn)換成試將這一指標(biāo)轉(zhuǎn)換成ALF的技術(shù)指標(biāo)。的技術(shù)指標(biāo)。 解：按照衰減的定義和給定指標(biāo)，則有解：按照衰減的定義和給定指標(biāo)，則有2 . 03 . 0kHzfS101)e (H/ )e (Hlg202 . 0 j0 j15)e (H/ )e (Hlg203 . 0 j0 j 假定假定 處幅度頻響的歸一化值為處幅度頻響的歸一化值為1，即即01)e (H0 j這樣，上面兩式變?yōu)檫@樣，上面兩式變?yōu)?)(lg202 . 0jeH15)(lg203 . 0jeH由于由于 ，所以當(dāng)沒有混疊時(shí)，根據(jù)關(guān)系式，所以當(dāng)沒有混疊時(shí)，根據(jù)關(guān)系式模擬模擬filter的指標(biāo)為的指標(biāo)為T),()()(jHTjHeHa

7、aj1)102(lg20)2 . 0(lg203jHTjHaa15)103(lg20)3 . 0(lg203jHTjHaa6-3 ALF的設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì) ALF的設(shè)計(jì)就是求出的設(shè)計(jì)就是求出filter的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù) Ha(S) ，使其逼近理想使其逼近理想LF的特性，逼近的形式（的特性，逼近的形式（filter的類型）的類型）有巴特沃斯型，切比雪夫型和考爾型等。而且逼近有巴特沃斯型，切比雪夫型和考爾型等。而且逼近依據(jù)是依據(jù)是幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)，即由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)，即由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)。函數(shù)。一、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)一、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù) 1、幅度平方函數(shù)、幅度

8、平方函數(shù))()()()(*22jHjHjHAaaa由于由于 所以所以)()(*jHjHjsaaaasHsHjHjHA)()()()()(2 其中，其中， 是是AF的系統(tǒng)函數(shù)，的系統(tǒng)函數(shù)， 是是AF的頻響，的頻響， 是是AF的幅頻特性。的幅頻特性。) s (Ha)j (Ha)( jHa2、Ha（S）Ha（-S）的零極點(diǎn)分布特點(diǎn)的零極點(diǎn)分布特點(diǎn) （1）如果）如果S1是是Ha（S）的極點(diǎn)，那麼的極點(diǎn)，那麼- S1就是就是Ha（-S）的極點(diǎn)；同樣，如果的極點(diǎn)；同樣，如果S0是是Ha（S）的零點(diǎn)，那麼的零點(diǎn)，那麼- S0就是就是Ha（-S）的零點(diǎn)。所以的零點(diǎn)。所以Ha（S） Ha（-S）的零極點(diǎn)是呈的零

9、極點(diǎn)是呈象限對稱的象限對稱的,例如：例如： （2）虛軸上的零點(diǎn)一定是二階的，這是因?yàn)椋┨撦S上的零點(diǎn)一定是二階的，這是因?yàn)閔a（t）是實(shí)數(shù)時(shí)的是實(shí)數(shù)時(shí)的Ha（S）的零極點(diǎn)以共軛對存在；的零極點(diǎn)以共軛對存在； （3）虛軸上沒有極點(diǎn)（穩(wěn)定系統(tǒng)在單位圓上無極點(diǎn)）；）虛軸上沒有極點(diǎn)（穩(wěn)定系統(tǒng)在單位圓上無極點(diǎn)）； （4）由于）由于filter是穩(wěn)定的，所以是穩(wěn)定的，所以Ha（S）的極點(diǎn)一定在的極點(diǎn)一定在左半平面；最小相位延時(shí)，應(yīng)取左半平面的零點(diǎn)，如無此左半平面；最小相位延時(shí)，應(yīng)取左半平面的零點(diǎn)，如無此要求，可取任一半對稱零點(diǎn)為要求，可取任一半對稱零點(diǎn)為Ha（S）的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。 ;1111jj;2222j

10、j;3344jjj11j3322j22j11j4j4 j3、由、由 確定確定 的方法的方法 （1）求）求 （2）分解）分解 得到各零極點(diǎn)，將左半面的得到各零極點(diǎn)，將左半面的極點(diǎn)極點(diǎn) 歸于歸于 ，對稱的零點(diǎn)任一半歸，對稱的零點(diǎn)任一半歸 。若要求。若要求最小相位延時(shí)，左半面的零點(diǎn)歸最小相位延時(shí)，左半面的零點(diǎn)歸 （全部零極點(diǎn)（全部零極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)）。位于單位圓內(nèi)）。 （3）按頻率特性確定增益常數(shù)。）按頻率特性確定增益常數(shù)。 22)()(jHAa)(sHa22)()()(2SaaAsHsH),S(H)S(Haa)S(Ha)S(Ha)S(Ha例例6-1 由由)36)(49/()25(16)(22222

11、A確定系統(tǒng)函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù) 。)(SHa解：解：)36)(49()25(16)()()(2222222SSSASHSHSaa所以，極點(diǎn)為所以，極點(diǎn)為 零點(diǎn)為零點(diǎn)為, 6s , 7s4, 32, 1, 5 j均為二階的。我們選極點(diǎn)均為二階的。我們選極點(diǎn)-6，-7，一對虛軸零點(diǎn)，一對虛軸零點(diǎn)5 j為為 的零極點(diǎn)，這樣的零極點(diǎn)，這樣)S(Ha)6S)(7S()25S(K)S(H20a由由 ，可確定出，可確定出 ，)0(A)0(Ha0K76K25)0(H0a,76254)0(A所以所以 。4K0因此因此42S13S100S4)6S)(7S()25S(4)S(H222a因因二、巴特沃斯低通濾波器二、巴特

12、沃斯低通濾波器 1、幅度平方函數(shù)、幅度平方函數(shù)NCajjjHA222)(11)()(其中，其中，N為整數(shù)，是為整數(shù)，是filter的階數(shù)；的階數(shù)； 為截止頻率。為截止頻率。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，則時(shí)，則CC;21)()(22CaCjHA即即,2/1)(CajHdBjHjHCa3)(/ )0(lg20（1）通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性；）通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性；（2）不管）不管N為多少，都通過為多少，都通過 點(diǎn)。點(diǎn)。)3(2/1dB2、幅頻特性、幅頻特性)j (Ha1.02/10N=2N=4N=8c3、巴特沃斯、巴特沃斯filter的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù))(SHa由于由于 所以其零點(diǎn)全部所以其零點(diǎn)全部在在

13、處；即所謂全極點(diǎn)型，它的極點(diǎn)為處；即所謂全極點(diǎn)型，它的極點(diǎn)為,)(1/1)()(2NCaajSSHSHS,)() 1()21221(21NkjCCNkejSNk2 , 2 , 1 也就是說，這些極點(diǎn)也是呈象限對稱的。而且分布也就是說，這些極點(diǎn)也是呈象限對稱的。而且分布在巴特沃斯圓上（半徑為在巴特沃斯圓上（半徑為 ），共有），共有2N點(diǎn)。點(diǎn)。C)2,.,2 , 1,1() 12(Nkekj例如，例如，N=2時(shí)，時(shí)，,431jCeS,eS45jC2,eS47jC3N=3時(shí)，時(shí)，,eS35jC4;eS49jC4,eS32jC1,eSjC2,eS34jC3,eS2jC537jC6eSj2N 1S2S3

14、S4S1S2S3S4S5S6Sj3N 4NkeSkjck2,.,1,)41221(取取 左半平面的極點(diǎn)為左半平面的極點(diǎn)為 的極點(diǎn)，的極點(diǎn)，這樣極點(diǎn)僅有這樣極點(diǎn)僅有N個，即個，即其中，常數(shù)其中，常數(shù) 由由 的低頻特性決定。的低頻特性決定。)()(SHSHaa)(SHaNkeSNkjCk, 2 , 1,)21221( 則則NkkaSSKSH10)()(0K)(SHa23j21eS34j3例例6-2導(dǎo)出三階巴特沃斯導(dǎo)出三階巴特沃斯LF的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)s /rad1C解：解：所以所以)1(6622111/1)()(jjjHA6aaS1/1)S(H)S(H其極點(diǎn)為其極點(diǎn)為6 , 2 , 1k

15、,eS)61k221( jk 因此有因此有,23j21eS32j1, 1eSj2,23j21eS35j4, 1eS2j523j21eS37j6取前三個極點(diǎn)，則有取前三個極點(diǎn)，則有1S2S2SK) 1S)(23j21S)(23j21S(K)S(H2300a, 1)0(AK)0(H0a1S2S2S1)S(H23a4、歸一化的系統(tǒng)函數(shù)、歸一化的系統(tǒng)函數(shù) 如果將系統(tǒng)函數(shù)的如果將系統(tǒng)函數(shù)的S, 用濾波器的截止頻率去除，這用濾波器的截止頻率去除，這樣對應(yīng)的截止頻率變?yōu)闃訉?yīng)的截止頻率變?yōu)?，即所謂歸一化，相應(yīng)的系統(tǒng)，即所謂歸一化，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)稱作歸一化的系統(tǒng)函數(shù)記作函數(shù)稱作歸一化的系統(tǒng)函數(shù)記作 例如，對

16、于巴特沃斯例如，對于巴特沃斯filter)S(Han,)SS(K)S(HN1kk0a)N21k221( jCkeSN, 2 , 1k )21221(10,)()(NkjkCNkkaneSSSSSKSH 如果將低通如果將低通filter歸一化，就稱作歸一化原型歸一化，就稱作歸一化原型 濾波器。濾波器。三、歸一化原型三、歸一化原型filter的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù) 不論哪種形式（巴特沃斯，切比雪夫）的不論哪種形式（巴特沃斯，切比雪夫）的filter，都有自己的歸一化原型都有自己的歸一化原型filter，而且它們都有現(xiàn)成的數(shù)，而且它們都有現(xiàn)成的數(shù)據(jù)表可查和設(shè)計(jì)公式據(jù)表可查和設(shè)計(jì)公式 例如，歸一化巴特沃

17、斯原型例如，歸一化巴特沃斯原型filter的系統(tǒng)函數(shù)（這的系統(tǒng)函數(shù)（這里的里的S即即 ）為）為當(dāng)當(dāng) ,增益為增益為1，則有，則有 ，N=110階的各階的各個系數(shù)，如表個系數(shù)，如表5-3，P148所示。所示。 如果如果 ，則，則 E（S）的根。即）的根。即 的極點(diǎn)如表的極點(diǎn)如表5-5，P150所示。所示。 * 由歸一化系統(tǒng)函數(shù)由歸一化系統(tǒng)函數(shù) 得得 ，只需將，只需將S代代入入 即可。即可。SN2210anSSaSa1d)S(H 01ad00)S(E/d)S(H0an)S(Han)S(Han)S(HaC/S 0a四、設(shè)計(jì)舉例（巴特沃斯四、設(shè)計(jì)舉例（巴特沃斯filter） 1、技術(shù)指標(biāo)、技術(shù)指標(biāo) 2

18、、計(jì)算所需的階數(shù)及、計(jì)算所需的階數(shù)及3dB截止頻率截止頻率將技術(shù)指標(biāo)，代入上式，可得將技術(shù)指標(biāo)，代入上式，可得1)102 j (Hlg203a15)103 j (Hlg203aC)(1/1)j (HN2C2a)(1lg10)j (Hlg20N2Ca1)102(1lg10N2C315)103(1lg10N2C3解上述兩式得：解上述兩式得：1 . 0N2C310)102(15 . 1N2C310)103(1因此，因此，3C1004743. 7,8858. 5N取取N=6，則，則3C100321. 73、 的求得的求得查查P148，表，表5-3，可得，可得N=6時(shí)的歸一化原型模擬巴特時(shí)的歸一化原型模

19、擬巴特沃斯沃斯LF的系統(tǒng)函數(shù)為的系統(tǒng)函數(shù)為3456anS1416202. 9S4641016. 7S8637033. 3S/(1)S(H) 1S8637033. 3S4641016. 72) 1S4142135. 1S)(1S51763809. 0S/(122)1S931851652. 1S(2)(sHa將將S用用 代入，可得代入，可得3C100321. 7/SS)S(Ha)104504.49S1064003. 3S/101 .120923)S(H6328a)104504.49S1058498.13S)(104504.49S1094475. 9S(6326326-4 沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變

20、法 AF設(shè)計(jì)完畢以后，還應(yīng)將設(shè)計(jì)完畢以后，還應(yīng)將 變換成變換成H（Z），），也就是將也就是將S平面映射到平面映射到Z平面。通常有三種方法：平面。通常有三種方法：（1）沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法；（2）階躍響應(yīng)不變法；）階躍響應(yīng)不變法；（3）雙線性變換法。）雙線性變換法。我們這里只討論沖激響應(yīng)不變法。我們這里只討論沖激響應(yīng)不變法。)S(Ha一、變換原理一、變換原理 h（n）為）為DF的單位沖激響應(yīng)序列，的單位沖激響應(yīng)序列， 為為AF的的沖激響應(yīng)，沖激響應(yīng)不變法就是使沖激響應(yīng)，沖激響應(yīng)不變法就是使h（n）正好等于）正好等于 的抽樣值，即的抽樣值，即如果如果 則有則有上式表明，先對上式表明，先對

21、沿虛軸作周期延拓，再經(jīng)過沿虛軸作周期延拓，再經(jīng)過的映射關(guān)系映射到的映射關(guān)系映射到Z平面。平面。二、混迭失真二、混迭失真 DF的頻響并不是簡單的重復(fù)的頻響并不是簡單的重復(fù)AF的頻響，而是的頻響，而是AF的頻響的周期延拓，即的頻響的周期延拓，即 ) t (ha) t (ha)nT(h)n(ha),n(hZ)Z(H),t (hL)S(HaakaeZkTjSHTzHST)2(1)()S(HaSTeZ haj)Tk2j (HT1)e (H根據(jù)取樣定理，只有當(dāng)根據(jù)取樣定理，只有當(dāng)AF的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)時(shí)，即時(shí)，即才能使才能使DF在折疊頻率在折疊頻率 內(nèi)重現(xiàn)內(nèi)重現(xiàn)AF的頻響，而

22、不產(chǎn)生混的頻響，而不產(chǎn)生混疊失真。但是，任何一個實(shí)際疊失真。但是，任何一個實(shí)際AF的頻響卻不是嚴(yán)格帶的頻響卻不是嚴(yán)格帶限的，就會產(chǎn)生限的，就會產(chǎn)生混迭混迭失真，如下圖失真，如下圖2T, 0)j (HSa)T/j (Ha022三、三、AF的數(shù)字化方法的數(shù)字化方法 1、一般方法、一般方法 。先。先 ，再對，再對抽樣，使抽樣，使 ，最后，最后 H（Z）=Zh（n），一，一般說來過程復(fù)雜。般說來過程復(fù)雜。 2、方法的簡化、方法的簡化 設(shè)設(shè) 只有單階極點(diǎn)，而且分母的階次大于分只有單階極點(diǎn)，而且分母的階次大于分子的階次，子的階次， 可展成如下的部分公式可展成如下的部分公式)Z(H)S(Ha)S(HL) t

23、 (ha1a) t (ha)nT(h)n(ha)S(Ha)S(HaN1kkkaSSA)S(HN1ktSka1a) t (ueA)S(HL) t (hk因此，因此，N1kN1knTSknTSka)n(u)e (A)n(ueA)nT(h)n(hkknnZ)n(h)n(hZ)Z(H0nN1kkn1TSA)ze (kN1k0nn1TSk)ze (AkN1k1TSkZe1Ak3、幾點(diǎn)結(jié)論、幾點(diǎn)結(jié)論（1）S平面的單極點(diǎn)平面的單極點(diǎn) 變?yōu)樽優(yōu)閆平面單極點(diǎn)平面單極點(diǎn) 就可求得就可求得H（Z）。）。（2） 與與H（Z）的系數(shù)相同，均為）的系數(shù)相同，均為（3）AF是穩(wěn)定的，是穩(wěn)定的，DF也是穩(wěn)定的。也是穩(wěn)定的。（

24、4）S平面的極點(diǎn)與平面的極點(diǎn)與Z平面的極點(diǎn)一一對應(yīng)，但兩平面的極點(diǎn)一一對應(yīng)，但兩平面并不一一對應(yīng)。平面并不一一對應(yīng)。例如，零點(diǎn)就沒有這種對應(yīng)關(guān)系。例如，零點(diǎn)就沒有這種對應(yīng)關(guān)系。4、修正的、修正的H（Z）由于由于DF的頻響與的頻響與T成反比，當(dāng)成反比，當(dāng)T很小時(shí)，很小時(shí)，DF的增益的增益過高，這樣很不好，為此做如下修正：過高，這樣很不好，為此做如下修正：kSSTSkeZ )S(HakA)nT(Th)n(haN1k1TSkZe1TA)Z(Hkkaaj),Tj (H)kT2jTj (H)e (H例例6-3 AF的系統(tǒng)函數(shù)為的系統(tǒng)函數(shù)為 ，試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIRDF，T

25、=1解：解： 設(shè)設(shè)T=1，3S11S1)S(HaT31T1eZ1TeZ1T)Z(H42311311T3111eZ)ee (Z1)ee (ZeZ11eZ11)Z(H08315679. 0e ,049789068. 0e ,367879441. 0e431211Z01831. 0Z4177. 01Z3181. 0)Z(H6-5 雙線性變換法通常，信號大都為時(shí)限的，據(jù)信號理論可知，時(shí)限信號變換到頻域， 將變成非帶限信號，系統(tǒng)也遵循這一原則。這樣當(dāng)用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)DF時(shí)，不可避免的產(chǎn)生混疊失真。為了克服混疊失真，可采用雙變換法。這種方法的基本思想是，先將 S 平面中非帶限的所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)變換到

26、平面，并使其為帶限的，然后再轉(zhuǎn)換到Z平面。1S一、變換原理 在S平面與Z平面的映射關(guān)系中,我們知道，S平面中一條寬為 （如 到 ）的橫帶就可以變換到整個Z平面.因此，可先將整個S平面壓縮到一個中介的 平面的一條橫帶里，再通過 將此橫帶變換到整個Z平面上。這樣就使S平面和Z平面是一一映射關(guān)系。如下圖所示：1ST2TTTSeZ1 時(shí)，將由 經(jīng)過0變到 由上圖可知，將 S平面進(jìn)行壓縮，實(shí)際上，就是將其 軸壓縮到 平面的 軸上的 到 的范圍內(nèi)。這可通過正切變換實(shí)現(xiàn)：1Sj1jTT)2(1TtgC 其中C為任意常數(shù)。由上式可知，當(dāng) 由 經(jīng)過0變到1TT通過歐拉公式，可得：CeeeejTjTjTjTj22

27、221111 上式表示兩個線性函數(shù)之比，稱作線性分式變換，若用S表示Z，可得：將上式關(guān)系延拓到整個S和 平面，則有：1SCeeSTSTS1111借助于 平面和Z平面的映射關(guān)系： ，可以得到：1STSeZ1111111ZZCZZCSSCSCZ 可見，也是線性分式變換（函數(shù)），這樣( )間的變換是雙向的，故稱作雙線性變換ZS 二、 S平面與Z平面的映射關(guān)系由于jCjCSCSCZ可得：2222_)(_)(CCZ（1）當(dāng) 時(shí)， ；這就是說，S平面的 軸映射Z平面的單位圓上。01Zj（1）當(dāng) 時(shí)，上式的分母大于分子，則有 ；這表明S左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)。兩者均是穩(wěn)定的。01Z三、 變換常數(shù)C的選擇 由于 ，所以只有當(dāng) 很小（一般）， 和 之間才存在線性關(guān)系，即：)2(1TtgCT13 . 01 T121TC1.如果使AF和DF在低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系，則選擇 1這時(shí)有 ，即211TCTC22.如果使DF的某一穩(wěn)定頻率（如 ）與AF的一特定頻c嚴(yán)格相對應(yīng)，則有)2()2(1ccctgCTtgCTcc1率即2ccctgC四、雙線性變換的特點(diǎn)1。S平面的虛軸（ ）映