1、第九章 方差分析在生產(chǎn)過程和科學(xué)實驗中，我們經(jīng)常遇到這樣的問題：影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多.例如，在化工生產(chǎn)中，影響結(jié)果的因素有：配方、設(shè)備、溫度、壓力、催化劑、操作人員等.我們需要通過觀察或試驗來判斷哪些因素對產(chǎn)品的產(chǎn)量、質(zhì)量有顯著的影響.方差分析(Analysis of variance)就是用來解決這類問題的一種有效方法.它是在20世紀20年代由英國統(tǒng)計學(xué)家費舍爾首先使用到農(nóng)業(yè)試驗上去的.后來發(fā)現(xiàn)這種方法的應(yīng)用范圍十分廣闊，可以成功地應(yīng)用在試驗工作的很多方面.第一節(jié) 單因素試驗的方差分析在試驗中，我們將要考察的指標(biāo)稱為試驗指標(biāo)，影響試驗指標(biāo)的條件稱為因素.因素可分為兩類，一類是人們可以

2、控制的；一類是人們不能控制的.例如，原料成分、反應(yīng)溫度、溶液濃度等是可以控制的，而測量誤差、氣象條件等一般是難以控制的.以下我們所說的因素都是可控因素，因素所處的狀態(tài)稱為該因素的水平.如果在一項試驗中只有一個因素在改變，這樣的試驗稱為單因素試驗，如果多于一個因素在改變，就稱為多因素試驗.本節(jié)通過實例來討論單因素試驗.1.數(shù)學(xué)模型例9.1 某試驗室對鋼錠模進行選材試驗.其方法是將試件加熱到700后，投入到20的水中急冷，這樣反復(fù)進行到試件斷裂為止，試驗次數(shù)越多，試件質(zhì)量越好.試驗結(jié)果如表9-1.表9-1試驗號材質(zhì)分類A1A2A3A411601581461512161164155152316516

3、416015341681701621575170175164160617216616871801748182試驗的目的是確定4種生鐵試件的抗熱疲勞性能是否有顯著差異.這里，試驗的指標(biāo)是鋼錠模的熱疲勞值，鋼錠模的材質(zhì)是因素，4種不同的材質(zhì)表示鋼錠模的4個水平，這項試驗叫做4水平單因素試驗.例9.2 考察一種人造纖維在不同溫度的水中浸泡后的縮水率，在40，50,90的水中分別進行4次試驗.得到該種纖維在每次試驗中的縮水率如表92.試問浸泡水的溫度對縮水率有無顯著的影響？表9-2 （%）試驗號溫度40506070809014.36.110.06.59.39.527.87.34.88.38.78.83

4、3.24.25.48.67.211.446.54.19.68.210.17.8這里試驗指標(biāo)是人造纖維的縮水率，溫度是因素，這項試驗為6水平單因素試驗.單因素試驗的一般數(shù)學(xué)模型為：因素A有s個水平A1，A2，As,在水平Aj(j=1,2,s)下進行nj(nj2)次獨立試驗，得到如表9-3的結(jié)果：表9-3水平觀測值A(chǔ)1 A2 As樣本總和樣本均值總體均值x11 x12 x1sx21 x22 x2s T1 T2 Ts 1 2 s假定：各水平Aj(j=1,2,s)下的樣本xijN(j,2),i=1,2,nj,j=1,2,s,且相互獨立.故xij-j可看成隨機誤差，它們是試驗中無法控制的各種因素所引起的

5、，記xij-j=ij,則 (9.1) 其中j與2均為未知參數(shù).（9.1）式稱為單因素試驗方差分析的數(shù)學(xué)模型. 方差分析的任務(wù)是對于模型（9.1），檢驗s個總體N(，2),N(s,2)的均值是否相等，即檢驗假設(shè) (9.2)為將問題（9.2）寫成便于討論的形式，采用記號=，其中n=，表示，2,s的加權(quán)平均，稱為總平均.j=j-, j=1,2,s，j表示水平Aj下的總體平均值與總平均的差異.習(xí)慣上將j稱為水平Aj的效應(yīng).利用這些記號，模型（9.1）可改寫成：xij=+j+ij,xij可分解成總平均、水平Aj的效應(yīng)及隨機誤差三部分之和 (9.1)假設(shè)（9.2）等價于假設(shè) （9.2）2.平方和分解我們尋

6、找適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，對參數(shù)作假設(shè)檢驗.下面從平方和的分解著手，導(dǎo)出假設(shè)檢驗（9.2）的檢驗統(tǒng)計量.記ST=， (9.3)這里，ST能反應(yīng)全部試驗數(shù)據(jù)之間的差異.又稱為總變差.Aj下的樣本均值 . (9.4)注意到，而 =記 SE=， （9.5）SE稱為誤差平方和;記 SA=， （9.6）SA稱為因素A的效應(yīng)平方和.于是ST=SE+SA. （9.7）利用ij可更清楚地看到SE,SA的含義，記為隨機誤差的總平均, j=1,2,s.于是SE=; (9.8)SA=. (9.9)平方和的分解公式（9.7）說明.總平方和分解成誤差平方和與因素A的效應(yīng)平方和.（9.8）式說明SE完全是由隨機波動引起的.而（9.

7、9）式說明SA除隨機誤差外還含有各水平的效應(yīng)j，當(dāng)j不全為零時，SA主要反映了這些效應(yīng)的差異.若H0成立，各水平的效應(yīng)為零，SA中也只含隨機誤差，因而SA與SE相比較相對于某一顯著性水平來說不應(yīng)太大.方差分析的目的是研究SA相對于SE有多大，若SA比SE顯著地大，這表明各水平對指標(biāo)的影響有顯著差異.故需研究與SA/SE有關(guān)的統(tǒng)計量.3.假設(shè)檢驗問題當(dāng)H0成立時，設(shè)xijN(,2)(i=1,2,nj；j=1,2,s)且相互獨立，利用抽樣分布的有關(guān)定理，我們有, (9.10), (9.11)F= F(s-1,n-s). (9.12)于是，對于給定的顯著性水平(01),由于PFF(s-1,n-s)=

8、, (9.13)由此得檢驗問題（9.2）的拒絕域為FF(s-1,n-s).（9.14）由樣本值計算F的值，若FF,則拒絕H0，即認為水平的改變對指標(biāo)有顯著性的影響；若FF,則接受原假設(shè)H0，即認為水平的改變對指標(biāo)無顯著影響.上面的分析結(jié)果可排成表9-4的形式，稱為方差分析表.表9-4方差來源平方和自由度均方和F比因素ASAs-1誤差SEn-s總和STn-1當(dāng)FF0.05(s-1,n-s)時，稱為顯著，當(dāng)FF0.01(s-1,n-s)時，稱為高度顯著.在實際中，我們可以按以下較簡便的公式來計算ST，SA和SE.記Tj=, j=1,2,s,T=，即有 (9.15)例9.3 如上所述，在例9.1中需

9、檢驗假設(shè)H0:1=2=3=4；H1:1,2,3,4不全相等.給定=0.05,完成這一假設(shè)檢驗.解 s=4,n1=7,n2=5,n3=8,n4=6,n=26.ST=1957.12，SA=443.61，SE=ST-SA=1513.51.得方差分析表9-5.表9-5方差來源平方和自由度均方和F比因素A誤差443.611513.51322147.8768.802.15總和1957.1225因 F(3,22)=2.15FA=3.583F0.05(5,18)=2.77,故浸泡水的溫度對縮水率有顯著影響，但不能說有高度顯著的影響.本節(jié)的方差分析是在這兩項假設(shè)下，檢驗各個正態(tài)總體均值是否相等.一是正態(tài)性假設(shè)，

10、假定數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布；二是等方差性假設(shè)，假定各正態(tài)總體方差相等.由大數(shù)定律及中心極限定理，以及多年來的方差分析應(yīng)用，知正態(tài)性和等方差性這兩項假設(shè)是合理的.第二節(jié) 雙因素試驗的方差分析進行某一項試驗，當(dāng)影響指標(biāo)的因素不是一個而是多個時，要分析各因素的作用是否顯著，就要用到多因素的方差分析.本節(jié)就兩個因素的方差分析作一簡介.當(dāng)有兩個因素時，除每個因素的影響之外，還有這兩個因素的搭配問題.如表9-7中的兩組試驗結(jié)果，都有兩個因素A和B，每個因素取兩個水平.ABA1 A2B1 B230 50100 80表9-7(a) 表9-7(b)ABA1 A2 B1B230 5070 90表9-7（a）中，無論B在

11、什么水平（B1還是B2），水平A2下的結(jié)果總比A1下的高20；同樣地，無論A是什么水平，B2下的結(jié)果總比B1下的高40.這說明A和B單獨地各自影響結(jié)果，互相之間沒有作用.表9-7(b)中，當(dāng)B為B1時，A2下的結(jié)果比A1的高，而且當(dāng)B為B2時，A1下的結(jié)果比A2的高；類似地，當(dāng)A為A1時，B2下的結(jié)果比B1的高70，而A為A2時，B2下的結(jié)果比B1的高30.這表明A的作用與B所取的水平有關(guān)，而B的作用也與A所取的水平有關(guān).即A和B不僅各自對結(jié)果有影響，而且它們的搭配方式也有影響.我們把這種影響稱作因素A和B的交互作用，記作AB.在雙因素試驗的方差分析中，我們不僅要檢驗水平A和B的作用，還要檢驗

12、它們的交互作用.1.雙因素等重復(fù)試驗的方差分析設(shè)有兩個因素A，B作用于試驗的指標(biāo)，因素A有r個水平A1,A2,Ar,因素B有s個水平B1,B2,Bs,現(xiàn)對因素A，B的水平的每對組合(Ai,Bj),i=1,2,r；j=1,2,s都作t(t2)次試驗（稱為等重復(fù)試驗），得到如表9-8的結(jié)果：表9-8因素B因素AB1B2BsA1x111, x112, x11tx121,x122, x12tx1s1, x1s2, x1stA2x211, x212, x21tx221,x222,x22tx2s1, x2s2, x2stArxr11, xr12, xr1txr21, xr22, xr2txrs1, xrs

13、2, xrst設(shè)xijkN(ij,2), i=1,2,r； j=1,2,s； k=1,2,t,各xijk獨立.這里ij,2均為未知參數(shù).或?qū)憺?(9.16)記=, , i=1,2,r, j=1,2,s, i=1,2,r, , j=1,2,s,.于是 ij=+i+j+ij. (9.17)稱為總平均，i為水平Ai的效應(yīng)，j為水平Bj的效應(yīng)，ij為水平Ai和水平Bj的交互效應(yīng)，這是由Ai,Bj搭配起來聯(lián)合作用而引起的.易知=0, =0，=0, j=1,2,s,=0, i=1,2,r，這樣（9.16）式可寫成 (9.18)其中,i,j,ij及2都為未知參數(shù).（9.18）式就是我們所要研究的雙因素試驗方

14、差分析的數(shù)學(xué)模型.我們要檢驗因素A，B及交互作用AB是否顯著.要檢驗以下3個假設(shè)：類似于單因素情況，對這些問題的檢驗方法也是建立在平方和分解上的.記, i=1,2,r； j=1,2,s，, i=1,2,r，, j=1,2,s，ST=.不難驗證分別是,i,j,ij的無偏估計.由 ，1ir,1js,1kt得平方和的分解式：ST=SESASBSAB， (9.19)其中SE=，SA=，SB=，SAB=.SE稱為誤差平方和，SA，SB分別稱為因素A，B的效應(yīng)平方和，SAB稱為A，B交互效應(yīng)平方和.當(dāng)H01:1=2=r=0為真時，F(xiàn)A= F(r-1,rs(t-1)；當(dāng)假設(shè)H02為真時，F(xiàn)B= F(s-1,

15、rs(t-1)；當(dāng)假設(shè)H03為真時，F(xiàn)AB= F(r-1)(s-1),rs(t-1).當(dāng)給定顯著性水平后，假設(shè)H01，H02，H03的拒絕域分別為： (9.20)經(jīng)過上面的分析和計算，可得出雙因素試驗的方差分析表9-9.表9-9方差來源平方和自由度均方和F比因素ASAr-1FA=因素BSBs-1FB=交互作用SAB(r-1)(s-1)FAB=誤差SErs(t-1)總和STrst-1在實際中，與單因素方差分析類似可按以下較簡便的公式來計算ST，SA，SB，SAB,SE.記 T=，Tij=, i=1,2,r; j=1,2,s，Ti=, i=1,2,r,Tj=, j=1,2,s,即有 (9.21)例

16、9.5 用不同的生產(chǎn)方法（不同的硫化時間和不同的加速劑）制造的硬橡膠的抗?fàn)坷瓘姸龋ㄒ詋gcm-2為單位）的觀察數(shù)據(jù)如表9-10所示.試在顯著水平0.10下分析不同的硫化時間（A），加速劑（B）以及它們的交互作用（AB）對抗?fàn)坷瓘姸扔袩o顯著影響.表9-10140下硫化時間（秒）加速劑甲乙丙40608039，3643，3737，4141，3542，3939，4040，3043，3636，38解 按題意，需檢驗假設(shè)H01,H02,H03.r=s=3, t=2，T,Tij,Ti,Tj的計算如表9-11.表9-11加速劑Tij硫化時間甲 乙 丙Ti406080Tj75 80 7876 81 7970 7

17、9 74221 240 231233236223692ST=178.44，SA=15.44，SB=30.11，SAB= =2.89，SE=ST-SA-SB-SAB=130，得方差分析表9-12.表9-12方差來源平方和自由度均方和F比因素A（硫化時間）因素B（加速劑）交互作用AB誤差15.4430.112.8913022497.7215.560.722514.44FA=0.53FB=1.04FAB=0.05總和178.44由于F0.10(2,9)=3.01FA,F0.10(2,9)FB,F0.10(4,9)=2.69FAB,因而接受假設(shè)H01,H02,H03,即硫化時間、加速劑以及它們的交互作

18、用對硬橡膠的抗?fàn)坷瓘姸鹊挠绊懖伙@著.2.雙因素?zé)o重復(fù)試驗的方差分析在雙因素試驗中，如果對每一對水平的組合（Ai,Bj）只做一次試驗，即不重復(fù)試驗，所得結(jié)果如表9-13.表9-13因素B因素AB1 B2 BsA1 A2Arx11 x12 x21 x22 xr1 xr2 x1sx2sxrs這時=xijk,SE=0,SE的自由度為0，故不能利用雙因素等重復(fù)試驗中的公式進行方差分析.但是，如果我們認為A，B兩因素?zé)o交互作用，或已知交互作用對試驗指標(biāo)影響很小，則可將SAB取作SE，仍可利用等重復(fù)的雙因素試驗對因素A，B進行方差分析.對這種情況下的數(shù)學(xué)模型及統(tǒng)計分析表示如下：由（9.18）式, (9.22

19、)要檢驗的假設(shè)有以下兩個：記 平方和分解公式為：ST=SA+SB+SE， (9.23)其中 分別為總平方和、因素A，B的效應(yīng)平方和和誤差平方和.取顯著性水平為,當(dāng)H01成立時，F(xiàn)A= F(r-1),(r-1)(s-1)，H01拒絕域為FAF(r-1),(r-1)(s-1). (9.24)當(dāng)H02成立時，F(xiàn)B= F(s-1),(r-1)(s-1)，H02拒絕域為FBF(s-1),(r-1)(s-1). (9.25)得方差分析表9-14.表9-14方差來源平方和自由度均方和F比因素A因素B誤差SASBSEr-1s-1(r-1)(s-1)SA= SB= SE=FA=FB=總和STrs-1例9.6 測

20、試某種鋼不同含銅量在各種溫度下的沖擊值（單位：kgmcm-1），表9-15列出了試驗的數(shù)據(jù)（沖擊值），問試驗溫度、含銅量對鋼的沖擊值的影響是否顯著？（=0.01）表9-15銅含量沖擊值試驗溫度0.2%0.4%0.8%200-20-4010.67.04.24.211.611.16.86.314.513.311.58.7解 由已知，r=4,s=3,需檢驗假設(shè)H01,H02，經(jīng)計算得方差分析表9-16.表9-16方差來源平方和自由度均方和F比溫度作用銅含量作用試驗誤差64.5860.745.4332621.5330.370.90523.7933.56總和130.7511由于F0.01(3,6)=9.

21、78FA,拒絕H01.F0.01（2,6）=10.92FB,拒絕H02.檢驗結(jié)果表明，試驗溫度、含銅量對鋼沖擊值的影響是顯著的.第三節(jié) 正交試驗設(shè)計及其方差分析在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實驗中，為改革舊工藝，尋求最優(yōu)生產(chǎn)條件等，經(jīng)常要做許多試驗，而影響這些試驗結(jié)果的因素很多，我們把含有兩個以上因素的試驗稱為多因素試驗.前兩節(jié)討論的單因素試驗和雙因素試驗均屬于全面試驗（即每一個因素的各種水平的相互搭配都要進行試驗），多因素試驗由于要考慮的因素較多，當(dāng)每個因素的水平數(shù)較大時，若進行全面試驗，則試驗次數(shù)將會更大.因此，對于多因素試驗，存在一個如何安排好試驗的問題.正交試驗設(shè)計是研究和處理多因素試驗的一種科學(xué)

22、方法，它利用一套現(xiàn)存規(guī)格化的表正交表，來安排試驗，通過少量的試驗，獲得滿意的試驗結(jié)果.1.正交試驗設(shè)計的基本方法正交試驗設(shè)計包含兩個內(nèi)容：（1）怎樣安排試驗方案；（2）如何分析試驗結(jié)果.先介紹正交表.正交表是預(yù)先編制好的一種表格.比如表9-17即為正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3個數(shù)字有3種不同的含義：表9-17列號試驗號1 2 312341 1 11 2 22 1 22 2 1 (1) L4（23）表的結(jié)構(gòu)：有4行、3列，表中出現(xiàn)2個反映水平的數(shù)碼1，2.列數(shù) L4 （23） 行數(shù) 水平數(shù)（2） L4（23）表的用法：做4次試驗，最多可安排2水平的因素3個. 最多能安排的因素數(shù)

23、 L4 (23) 試驗次數(shù) 水平數(shù)(3) L4（23）表的效率：3個2水平的因素.它的全面試驗數(shù)為23=8次，使用正交表只需從8次試驗中選出4次來做試驗，效率是高的.L4 (23) 實際試驗數(shù) 理論上的試驗數(shù)正交表的特點：（1） 表中任一列，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同.如正交表L4(23)中，數(shù)字1，2在每列中均出現(xiàn)2次.（2） 表中任兩列，其橫向形成的有序數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相同.如表L4（23）中任意兩列，數(shù)字1，2間的搭配是均衡的.凡滿足上述兩性質(zhì)的表都稱為正交表(Orthogonal table).常用的正交表有L9（34），L8（27），L16（45）等，見附表.用正交表來安排試驗的方法，就叫

24、正交試驗設(shè)計.一般正交表Lp（nm）中，p=m(n-1)+1.下面通過實例來說明如何用正交表來安排試驗.例9.7 提高某化工產(chǎn)品轉(zhuǎn)化率的試驗.某種化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率可能與反應(yīng)溫度A，反應(yīng)時間B，某兩種原料之配比C和真空度D有關(guān).為了尋找最優(yōu)的生產(chǎn)條件，因此考慮對A，B，C，D這4個因素進行試驗.根據(jù)以往的經(jīng)驗，確定各個因素的3個不同水平，如表9-18所示.表9-18水平因素1 2 3A:反應(yīng)溫度（）60 70 80B:反應(yīng)時間（小時）2.5 3.0 3.5C:原料配比1.11 1.151 1.21D:真空度（毫米汞柱）500 550 600分析各因素對產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率是否產(chǎn)生顯著影響，并指出最好生產(chǎn)

25、條件.解 本題是4因素3水平，選用正交表L9（34）.表9-19列號水平試驗號A B C D1 2 3 41234567891 1 1 11 2 2 21 3 3 32 1 2 32 2 3 12 3 1 23 1 3 23 2 1 33 3 2 1把表頭上各因素相應(yīng)的水平任意給一個水平號.本例的水平編號就采用表9-18的形式；將各因素的諸水平所表示的實際狀態(tài)或條件代入正交表中，得到9個試驗方案，如表9-20所示.表9-20列號水平試驗號A B C D1 2 3 41234567891(60) 1(2.5) 1(1.1:1) 1(500)1 2(3.0) 2(1.15:1) 2(550)1 3

26、(3.5) 3(1.2:1) 3(600)2(70) 1 2 32 2 3 12 3 1 23(80) 1 3 23 2 1 33 3 2 1從表9-20看出，第一行是1號試驗，其試驗條件是：反應(yīng)溫度為60，反應(yīng)時間為2.5小時，原料配比為1.11，真空度為500毫米汞柱，記作A1B1C1D1.依此類推，第9號試驗條件是A3B3C2D1.由此可見，因素和水平可以任意排，但一經(jīng)排定，試驗條件也就完全確定.按正交試驗表9-20安排試驗，試驗的結(jié)果依次記于試驗方案右側(cè)，見表9-21.表9-21列號水平試驗號A B C D試驗結(jié)果（%）1234567891(60) 1(2.5) 1(1.1:1) 1(

27、500)1 2(3.0) 2(1.15:1) 2(550)1 3(3.5) 3(1.2:1) 3(600)2(70) 1 2 32 2 3 12 3 1 23(80) 1 3 23 2 1 33 3 2 13837765150824455862.試驗結(jié)果的直觀分析正交試驗設(shè)計的直觀分析就是要通過計算，將各因素、水平對試驗結(jié)果指標(biāo)的影響大小，通過極差分析，綜合比較，以確定最優(yōu)化試驗方案的方法.有時也稱為極差分析法.例9.7中試驗結(jié)果轉(zhuǎn)化率列在表9-21中，在9次試驗中，以第9次試驗的指標(biāo)86為最高，其生產(chǎn)條件是A3B3C2D1.由于全面搭配試驗有81種，現(xiàn)只做了9次.9次試驗中最好的結(jié)果是否一定

28、是全面搭配試驗中最好的結(jié)果呢？還需進一步分析.（1） 極差計算在代表因素A的表9-21的第1列中，將與水平“1”相對應(yīng)的第1，2，3號3個試驗結(jié)果相加，記作T11，求得T11=151.同樣，將第1列中與水平“2”對應(yīng)的第4，5，6號試驗結(jié)果相加，記作T21，求得T21=183.一般地，定義Tij為表9-21的第j列中，與水平i對應(yīng)的各次試驗結(jié)果之和(i=1,2,3; j=1,2,3,4).記T為9次試驗結(jié)果的總和，Rj為第j列的3個Tij中最大值與最小值之差，稱為極差.顯然T=，j=1,2,3,4.此處T11大致反映了A1對試驗結(jié)果的影響，T21大致反映了A2對試驗結(jié)果的影響，T31大致反映了

29、A3對試驗結(jié)果的影響，T12，T22和T32分別反映了B1，B2，B3對試驗結(jié)果的影響，T13，T23和T33分別反映了C1，C2，C3對試驗結(jié)果的影響，T14，T24和T34分別反映了D1，D2，D3對試驗結(jié)果的影響.Rj反映了第j列因素的水平改變對試驗結(jié)果的影響大小，Rj越大反映第j列因素影響越大.上述結(jié)果列表9-22.表9-22T1j T2j T3j151 133 175 174183 142 174 163185 244 170 182T=519Rj34 111 5 19 (2) 極差分析(Analysis of range)由極差大小順序排出因素的主次順序：主次B；A、D；C這里，R

30、j值相近的兩因素間用“、”號隔開，而Rj值相差較大的兩因素間用“；”號隔開.由此看出，特別要求在生產(chǎn)過程中控制好因素B，即反應(yīng)時間.其次是要考慮因素A和D，即要控制好反應(yīng)溫度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.選擇較好的因素水平搭配與所要求的指標(biāo)有關(guān).若要求指標(biāo)越大越好，則應(yīng)選取指標(biāo)大的水平.反之，若希望指標(biāo)越小越好，應(yīng)選取指標(biāo)小的水平.例9.7中，希望轉(zhuǎn)化率越高越好，所以應(yīng)在第1列選最大的T31=185；即取水平A3，同理可選B3C1D3.故例9.7中較好的因素水平搭配是A3B3C1D3.例9.8 某試驗被考察的因素有5個：A，B，C，D，E.每個因素有兩個水平.選用正交表L8(27)，現(xiàn)

31、分別把A，B，C，D，E安排在表L8(27)的第1，2，4，5，7列上，空出第3，6列仿例9.7做法，按方案試驗.記下試驗結(jié)果，進行極差計算，得表9-23.表9-23列號水平試驗號A B C D E1 2 3 4 5 6 7試驗結(jié)果123456781 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 2 21 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 2141317178101115T1jT2j61 45 53 50 56 54 5244 60 52 55 49 51 53T=105Rj17 1

32、5 1 5 7 3 1試驗?zāi)康囊页鲈囼灲Y(jié)果最小的工藝條件及因素影響的主次順序.從表9-23的極差Rj的大小順序排出因素的主次順序為主 次A、B；D；C、E最優(yōu)工藝條件為A2B1C1D2E1.表9-23中因沒有安排因素而空出了第3，6列.從理論上說，這兩列的極差Rj應(yīng)為0，但因存有隨機誤差，這兩個空列的極差值實際上是相當(dāng)小的.3.方差分析正交試驗設(shè)計的極差分析簡便易行，計算量小，也較直觀，但極差分析精度較差，判斷因素的作用時缺乏一個定量的標(biāo)準(zhǔn).這些問題要用方差分析解決.設(shè)有一試驗，使用正交表Lp(nm),試驗的p個結(jié)果為y1,y2,yp,記T=, =，ST=為試驗的p個結(jié)果的總變差；Sj=為第

33、j列上安排因素的變差平方和，其中r=p/n.可證明ST=即總變差為各列變差平方和之和，且ST的自由度為p-1，Sj的自由度為n-1.當(dāng)正交表的所有列沒被排滿因素時，即有空列時，所有空列的Sj之和就是誤差的變差平方和Se，這時Se的自由度fe也為這些空列自由度之和.當(dāng)正交表的所有列都排有因素時，即無空列時，取Sj中的最小值作為誤差的變差平方和Se.從以上分析知，在使用正交表Lp(nm)的正交試驗方差分析中，對正交表所安排的因素選用的統(tǒng)計量為：F=.當(dāng)因素作用不顯著時，F(xiàn)F(n-1,fe),其中第j列安排的是被檢因素.在實際應(yīng)用時，先求出各列的Sj/(n-1)及Se/fe,若某個Sj/(n-1)比

34、Se/fe還小時，則這第j列就可當(dāng)作誤差列并入Se中去，這樣使誤差Se的自由度增大，在作F檢驗時會更靈敏，將所有可當(dāng)作誤差列的Sj全并入Se后得新的誤差變差平方和，記為Se,其相應(yīng)的自由度為fe,這時選用統(tǒng)計量F= F(n-1,fe).例9.9 對例9.8的表9-23作方差分析.解 由表9-23的最后一行的極差值Rj，利用公式Sj=,得表9-24.表9-24A B C D E1 2 3 4 5 6 7Rj17 15 1 5 7 3 1Sj36.125 28.125 0.125 3.125 6.125 1.125 0.125ST=74.875表9-24中第3，6列為空列，因此Se=S3+S6=1

35、.250,其中fe=1+1=2,所以Se/fe=0.625,而第7列的S7=0.125，S7/f7=0.1251=0.125比Se/fe小，故將它并入誤差.Se=Se+S7=1.375,fe=3.整理成方差分析表9-25.表9-25方差來源SjfjF=顯著性A36.125136.12578.818B28.125128.12561.364C3.12513.1256.818D6.12516.12513.364E0.12510.125e1.125020.625e1.37530.458由于F0.05(1,3)=10.13, F0.01(1,3)=34.12,故因素A，B作用高度顯著，因素C作用不顯著，

36、因素D作用顯著，這與前面極差分析的結(jié)果是一致的.F檢驗法要求選取Se，且希望fe要大，故在安排試驗時，適當(dāng)留出些空列會有好處的.前面的方差分析中，討論因素A和B的交互作用AB.這類交互作用在正交試驗設(shè)計中同樣有表現(xiàn)，即一個因素A的水平對試驗結(jié)果指標(biāo)的影響同另一個因素B的水平選取有關(guān).當(dāng)試驗考慮交互作用時，也可用前面講的基本方法來處理.本章就不再介紹了.小 結(jié)本章介紹了數(shù)理統(tǒng)計的基本方法之一：方差分析.在生產(chǎn)實踐中，試驗結(jié)果往往要受到一種或多種因素的影響.方差分析就是通過對試驗數(shù)據(jù)進行分析，檢驗方差相同的多個正態(tài)總體的均值是否相等，用以判斷各因素對試驗結(jié)果的影響是否顯著.方差分析按影響試驗結(jié)果的

37、因素的個數(shù)分為單因素方差分析、雙因素方差分析和多因素方差分析.1. 單因素方差分析的情況.試驗數(shù)據(jù)總是參差不齊，我們用總偏差平方和ST=來度量數(shù)據(jù)間的離散程度.將ST分解為試驗隨機誤差的平方和(SE)與因素A的偏差平方和（SA）之和.若SA比SE大得較多，則有理由認為因素的各個水平對應(yīng)的試驗結(jié)果有顯著差異，從而拒絕因素各水平對應(yīng)的正態(tài)總體的均值相等這一原假設(shè).這就是單因素方差分析法的基本思想.2. 雙因素方差分析的基本思想類似于單因素方差分析.但雙因素試驗的方差分析中，我們不僅要檢驗因素A和B各自的作用，還要檢驗它們之間的交互作用.3. 正交試驗設(shè)計及其方差分析.根據(jù)因素的個數(shù)及各個因素的水平

38、個數(shù)，選取適當(dāng)?shù)恼槐聿幢磉M行試驗.我們通過對這少數(shù)的試驗數(shù)據(jù)進行分析，推斷出各因素對試驗結(jié)果影響的大小.對正交試驗結(jié)果的分析，通常采用兩種方法，一種是直觀分析法（極差分析法）,它通過對各因素極差Rj的排序來確定各因素對試驗結(jié)果影響的大小.一種是方差分析法，它的基本思想類似于雙因素的方差分析. 重要術(shù)語及主題單因素試驗方差分析的數(shù)學(xué)模型 ST=SE+SA單因素方差分析表 雙因素方差分析表 正交試驗表極 差分析表習(xí) 題 九1. 燈泡廠用4種不同的材料制成燈絲，檢驗燈線材料這一因素對燈泡壽命的影響.若燈泡壽命服從正態(tài)分布，不同材料的燈絲制成的燈泡壽命的方差相同，試根據(jù)表中試驗結(jié)果記錄，在顯著性水平0.05下檢驗燈泡壽命是否因燈絲材料不同而有顯著差異？試驗批號1 2 3 4 5 6 78燈絲材