1、實用文檔元二次方程的求根公式及根的判別式主講：黃岡中學高級教師 余國琴一、一周知識概述1、一元二次方程的求根公式將一元二次方程 ax2+bx+c=0(a w現行配方,當b24ac>0時的根為該式稱為一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法稱為求根公式法,簡稱公式法.說明：(1)一元二次方程的公式的推導過程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2 + bx+ c=0(a 豐 0)(2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系數a、b、c的值決定的；(3)應用求根公式可解任何一個有解的一元二次方程,但應用時必須先將其化為一般形2、一元二次方程的根的判別式(1)當b2-4ac&

2、gt;0時,方程有兩個不相等的實數根(2)當b24ac=0時,方程有兩個相等的實數根2白；(3)當b2-4ac<0時,方程沒有實數根.二、重難點知識1、對于一元二次方程的各種解法是重點,難點是對各種方法的選擇,突破這一難點的關鍵 是在對四種方法都會使用的根底上,熟悉各種方法的優缺點.(1)開平方法一般解形如觀工")三網"口)類型的題目,如果用 公式法就顯得多余的了.標準文案實用文檔(2)因式分解法是一種常用的方法,一般是首先考慮的方法.(3)配方法是一種非常重要的方法,一般不使用,但假設能恰當地使用,往往能起到簡化作用,思考于 因式分解法之后,公式法之前.如方程 戶一

3、外=6剪1 ；用因式分解,那么6391這個數太大,不易分解；用公式法,也太繁；假設配方,那么方程化為=位口.就易解,假設一次項系數中有偶因數,一般也應考慮運用.(4)公式法是一般方法,只要明確了二次項系數、一次項系數及常數項,假設方程有實-土 J&口 -4,g根,就一定可以用求根公式求出根,但由于要代入/ 時-4四>0求值,所以對某些特殊方程,解法又顯得復雜了.2、在運用b2 4ac的符號判斷方程的根的情況時,應注意以下三點：(1) b24ac是一元二次方程的判別式,即只有確認方程為一元二次方程時,才能確定a、b、c,求出 b24ac;(2)在運用上述結論時,必須先將方程化為一般

4、形式,以便確認a、b、c；(3)根的判別式是指b2-4ac,而不是 舊一4“ 三、典型例題講解例1、解以下方程：(1)/-4 島+1口-口；(2)嚴揚;(3)【岳分析：用求根公式法解一元二次方程的關鍵是找出a、b、c的值,再代入公式計算,解：(1)由于 a=1, B = 7出,c=10b, = (-4 k lx 10-4B 40 - 8>0“土出立二業正一布土立所以,-標準文案實用文檔所以(2)原方程可化為：2點"2一口由于 a=1,占= -2j5, c=2f -A&e =(-2)2-41«2 = 0及 f 一 所以一(3)原方程可化為-2點芯-1 = 口由于

5、a=1,"三-2返,c=- 1所以,；、 ,一一五二軍在絲心出所以二所以西二戊+ J5,叼=應一5總結：(1)用求根公式法解一元二次方程首先將方程化為一般形式；如果二次項系數為負數, 通常將其化為正數；如果方程的系數含有分母,通常先將其化為整數,求出的根要化為最簡形式；(2)用求根公式法解方程按步驟進行.例2、用適當方法解以下方程：%青工一 2犬=224標準文案實用文檔/ + 2(1 +耳)工斗2收=0(3T)":97)(4x + 1X7-1)=(3z-1Xx-1)分析：要合理地選用適當的方法解一元二次方程,就必須熟悉各種方法的優缺點,處理好特殊方法和一般方法的關系.就直接

6、開平方法、配方法、公式法、因式分解法這四種方法而言, 配方法、公式法是一般方法,而開平方法、因式分解法是特殊方法.公式法是最一般的方法,只要明確了二次項系數、一次項系數和常數項,假設方程有 實根,就一定可以用求根公式求出根,但由于要代入一元二次方程的求根公式-b +飛墳- 4鼻丁% 求值,所以對某些方程,解法又顯得復雜了.如,可以直接開平方,就 能馬上得出解；假設此時還用求根公式就顯得繁瑣了.配方法是一種非常重要的方法,在解一元二次方程時,一般不使用,但并不是一定不用,假設能合理地使用,也能起到簡便的作用.假設方程中的一次項系數有因數是偶數,那么可使用,計算量也不大.如,由于 224比擬大,分

7、解時較繁,此題中一次項系數是 -2.可以利用用配方法來解,經過配方之后得到元-+=225 ,顯得很簡單.直接開平方法一般解符合事工三色俗三°)型的方程,如第小題.(4)因式分解法是一種常用的方法,它的特點是解法簡單,故它是解題中首先考慮的方法,假設一元二次方程的一般式的左邊不能分解為整數系數因式或系數較大難以分解時,應考慮變換方法.兩邊開平方,得T一三二三標準文案實用文檔所以'1-二.1 22-配方,得二 二 -'!-(h-1/二225所以,.-U所以一 -1配方,得 ：- 1 J所以- 11 ,r -,由于漢二弓 b = -2 c = -l標準文案所以=4+20=2

8、4實用文檔2 ± 2 展 1 + VX _ 二 所以“一 一 一i+#1-7X= 3所以,:-/ + 2(14#)1+ 2招二.配方：' I /1 1'X斗(1+=4所以： 1'1- 1所以二'->匾T=g整理,得 二 ：目(4x + l)-l) = (3x-lXx-l)移項,提公因式,得. ,丁 1(工-1)0+2) =.標準文案實用文檔小結:以上各題請同學們用其他方法做一做,再比擬各種方法的優缺點,體會如何選用適宜的方法,下面給出常規思考方法,僅作參考.司合$0+吟,二厚g# Q)；直接開平方法,如 一f 一元二次方程- 普項看公因式,或可直

9、接因式分解；因武分解法,如化為一般形式后：首先要假設慮因式分解法,如假設常數項分解較煩,且一次項系數有因敬是偶數,可考慮使用配方法.如© 最后使用公式法,如例3、關于x的方程ax23x+1=0有實根,求a的取值范圍解：當a=0時,原方程有實根為-9(-歹-加,卿口 ? 時,假設awo時,當4原方程有兩個實根故,綜上所述a的取值范圍是4小結:此題要分方程ax2 3x + 1=0為一元一次方程和一元二次方程時討論,即分當a=0與awo兩種情況.例4、一元二次方程 x24x+k=0有兩個不相等的實數根.(1)求k的取值范圍；(2)如果k是符合條件的最大整數,且一元二次方程x2-4x + k

10、=0與x2+ mx 1=0有一個相同的根,求此時 m的值.解：(1)由于方程x24x+k=0有兩個不相等的實數根,所以 b2-4ac=16-4k>0,得 k<4.(2)滿足k<4的最大整數,即k=3.標準文案實用文檔此時方程為x2-4x + 3=0,解得Xi=l , x2=3.當相同的根為x=1 時,那么 1+m 1=0,得 m=0;當相同的根為 x=3時,那么9 +3m1=0,得 38 所以m的值為0或三工J例5、設m為自然數,且3<m<40 ,方程 工一 20例-加+ 4網-14網+2-0有兩個整數根求m的值及方程的根.解：鹿-加-+ 4城-14陰+8 = 0,& =412加一3H _14股 4耳=4(2冽+ 1) 方程有整數根, -4 (2m + 1)是完全平方數. 3<m<40.l- 7<2m+ 1<81,2m+1值可以為9, 25, 49,m的值可以為4, 12, 24.當m=4時方程為工10工+16 =