1、 微積分在物理學中的應用The application of calculus in physics摘要: 關于“微積分”是高等數學中研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支，它是數學的一個基礎學科，內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關于變化率的理論，它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論，使運算也更加簡便 。“應用數學處理物理問題的能力”是我們必須掌握的一種解決物理問題的方法，“能夠根據具體問題找出物理量之間的數學關系，根據數學的特點、規律，進行推導、求解，并根據結果做出物理判斷、進行物理解釋，得出物理結論”是物理解題

2、中運用的數學方法，微積分就是其中一種。關鍵詞: 微積分Key words: calculus基金項目：本文為大學生科研項目批準文號xs11035資助項目作者簡介：姓名：李東康（出生年月198211），女，吉林省；單位全稱：通化師范學院物理學院，職稱：助教；研究方向：光學；劉明娟，通化師范學院物理學院本科學生； 1、微積分1.1定義：設函數在上有界，在中任意插入若干個分點a= <<.< < =b把區間分成個小區間。在每個小區間上任取一點，作函數值與小區間長度的乘積，并做出如果不論對怎樣分法，也不論在小區間上的點怎樣取法，只要當區間的長度趨于零時，和S總趨于確定的極限I，這

3、時我們稱這個極限I為函數在區間上的定積分。 設函數在某區間內有定義，及在此區間內。如果函數的增量可表示為 （其中是不依賴于的常數），而是比高階的無窮小，那么稱函數在點是可微的， 稱作函數在點相應于自變量增量的微分，記作，即。設函數在某區間內有定義，及在此區間內。通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作，即。于是函數的微分又可記作。函數的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數。因此，導數也叫做微商。 1.2 幾何意義： 設是曲線上的點在橫坐標上的增量，是曲線在點對應在縱坐標上的增量，是曲線在點的切線對應在縱坐標上的增量很小時，比要小得多(高階無窮小)，因此在點附近，我們可以用切線段來近似代替曲線

4、段。1.3定積分和不定積分： 定積分是微分的逆運算，即知道了函數的導函數，反求原函數。在應用上，定積分作用不僅如此，它被大量應用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質決定的一個函數的不定積分（亦稱原函數）指另一族函數，這一族函數的導函數恰為前一函數。其中：一個實變函數在區間上的定積分，是一個實數。它等于該函數的一個原函數在的值減去在的值。定積分和不定積分的定義迥然不同，定積分是求圖形的面積，即是求微元元素的累加和，而不定積分則是求其原函數，它們又為何通稱為積分呢？這要靠牛頓和萊布尼茨的貢獻了，把本來毫不相關的兩個事物緊密的聯系起來了。2微積分在物理學中的應用:

5、微積分作為數學的一門分支學科，在物理學中有著非常重要的應用價值。 尤其是在大學物理中，微積分作為一種分析連續過程累積的方法已經成為解決問題的基本方法，本文主要介紹了微積分在物理學中的一些應用。 微積分在大學物理中的應用有很多，它能使復雜的問題簡單化。例如質點運動學，功，粒子運動如速度，加速度，轉動慣量，安培定律，電磁感應定律等。 在應用微積分方法解物理問題時，微元的選取非常關鍵，選的恰當有利于問題的分析和計算，其一要保證在所選取的微元內能近似處理成簡單基本的物理模型，以便于分析物理問題；其二要盡量把微分元選取的大，這樣可使積分運算更加簡單，因為微分和積分互為逆運算，微分微的越細，越精確，但積分

6、越繁瑣，計算工作量較大，所以還要在微分和積分這對矛盾之間協調處理。微元的選取不唯一，在每一種微元里近似的物理模型是不同的，重積分遠比一元積分麻煩，所以在分析物理問題時，應充分利用對稱性，選取適當的一元微元，使積分運算簡單；不管選取怎樣的微元，結果是相同的，都是問題的精確解。由此看出，用微積分解題的神奇之處，由于微元無限趨近于零，使得有限范圍內的近似到無限小范圍內的精確，從而完成了問題的精確求解。2.1力學力學是研究物質機械運動規律的科學，自然界物質有多種層次，從宇觀的宇宙體系、宏觀的天體和常宇宙體系，細觀的顆粒、纖維、晶體，到微觀的分子、原子、基本粒子。通常理解的力學以研究天然的或人工的宏觀對

7、象為主。但由于學科的互相滲透，有時也涉及宇觀或細觀甚至微觀各層次中的對象以及有關的規律。又稱經典力學，是研究通常尺寸的物體在受力下的形變，以及速度遠低于光速的運動過程的一門自然科學。力學是物理學、天文學和許多工程學的基礎，機械、建筑、航天器和船艦等的合理設計都必須以經典力學為基本依據。 力是物質間的一種相互作用，機械運動狀態的變化是由這種相互作用引起的。靜止和運動狀態不變，則意味著各作用力在某種意義上的平衡。因此，力學可以說是力和(機械)運動的科學。理論力學是研究物體的機械運動規律及其應用的科學，理論力學是力學的學科基礎。它可分為靜力學、運動學和動力學三部分：靜力學：研究物體在平衡狀態下的受力

8、規律；運動學：研究物體機械運動的描述，如速度、切向加速度、法向加速度等等，但不涉及受力；動力學：討論質點或者質點系受力和運動狀態的變化之間的關系。16世紀到17世紀間，理論力學開始發展為一門獨立的、系統的學科。伽利略通過對拋體和落體的研究，提出慣性定律并用以解釋地面上的物體和天體的運動。17世紀末牛頓提出力學運動的三條基本定律，使經典力學形成系統的理論。根據牛頓三定律和萬有引力定律成功地解釋了地球上的落體運動規律和行星的運動軌道，此后兩個世紀中在很多科學家的研究與推廣下，終于成為一門具有完善理論的經典力學。微積分在力學中應用的實例：例1.如圖 1 所示，計算半徑為，質量為，密度均勻圓盤繞過圓心

9、且與盤面垂直的轉軸的轉動慣量. Rm圖1我們用微分的方法來求解:如圖1 所示，把圓盤分成許多無限薄的圓環，圓盤的密度為 ，圓盤的厚度為，則半徑為，寬為的薄圓環的質量為： （11）薄圓環對軸的轉動慣量為: （12）然后沿半徑積分得: （13）其中為圓盤體積，為圓盤質量，故圓盤轉動慣量為例2.計算半徑為，質量為的均勻球體繞任意直徑轉動的轉動慣量.圖2解：如圖2所示,任選一體積元，則該體積元可近似為一質點，它到軸的距離為，繞軸的轉動慣量為: （21）所有微分元對軸的轉動慣量的和即積分值: （22）各質元質量與其到轉動軸線垂直距離平方乘積之和，叫做剛體對稱軸的轉動慣量，用來表示，即它決定于剛體本身的質

10、量分布以及轉動軸線的位置。剛體的轉動慣量應用實例：例如在汽車中，左邊轉動慣性大者稱飛輪，與發動機相連，右邊輪則與傳動裝置和驅動輪相連，待飛輪獲得轉速后，再與右方相連，利用飛輪大的慣性帶動傳動裝置和驅動輪運動起來。由此可以看出轉動慣量的重要性。剛體轉動慣量在剛體力學中有著廣泛的應用，若物體的密度均勻形狀規則，轉動慣量可以分為圓柱體對柱體軸線的，細圓環對任意切線，實球體對任意直徑的等。例1和例2都應用到了微積分解決問題即求剛體的轉動慣量的典型例題，（11）（21）是對質量的微分，（12）是對薄圓環的轉動慣量的微分，（13）（22）是對轉動慣量的積分， 用微積分去解決就比較容易，把各個復雜的軌跡分成

11、盡量小的幾個部分，例如軌跡可以把它分割成無限個小的可以看成直線的一段，算出一段的距離，然后在積在一起，這樣就比較簡單，使問題更加的容易理解和算出。 2.2電磁學電磁學是研究電、磁和電磁的相互作用現象，及其規律和應用的物理學分支學科。根據近代物理學的觀點，磁的現象是由運動電荷所產生的，因而在電學的范圍內必然不同程度地包含磁學的內容。所以，電磁學和電學的內容很難截然劃分，而“電學”有時也就作為“電磁學”的簡稱.早期，由于磁現象曾被認為是與電現象獨立無關的，同時也由于磁學本身的發展和應用，如近代磁性材料和磁學技術的發展，新的磁效應和磁現象的發現和應用等等，使得磁學的內容不斷擴大，所以磁學在實際上也就

12、作為一門和電學相平行的學科來研究了。電磁學從原來互相獨立的兩門科學(電學、磁學)發展成為物理學中一個完整的分支學科，主要是基于兩個重要的實驗發現，即電流的磁效應和變化的磁場的電效應。這兩個實驗現象，加上麥克斯韋關于變化電場產生磁場的假設，奠定了電磁學的整個理論體系，發展了對現代文明起重大影響的電工和電子技術。 麥克斯韋電磁理論的重大意義，不僅在于這個理論支配著一切宏觀電磁現象(包括靜電、穩恒磁場、電磁感應、電路、電磁波等等)，而且在于它將光學現象統一在這個理論框架之內，深刻地影響著人們認識物質世界的思想。電子的發現，使電磁學和原子與物質結構的理論結合了起來，洛倫茲的電子論把物質的宏觀電磁性質歸

13、結為原子中電子的效應，統一地解釋了電、磁、光現象。和電磁學密切相關的是經典電動力學，兩者在內容上并沒有原則的區別。一般說來，電磁學偏重于電磁現象的實驗研究，從廣泛的電磁現象研究中歸納出電磁學的基本規律；經典電動力學則偏重于理論方面，它以麥克斯韋方程組和洛倫茲力為基礎，研究電磁場分布，電磁波的激發、輻射和傳播，以及帶電粒子與電磁場的相互作用等電磁問題，也可以說，廣義的電磁學包含了經典電動力學。微積分在電磁學中的應用實例：例3.同軸電纜的內導體是半徑為的金屬圓柱，外道體是內外半徑分別為和的金屬圓桶，兩導體相對磁導率為，兩者之間充滿相對磁導率為的不導電的均勻介質。電纜工作時，兩導體的電流均為I（方向

14、相反），電流在每個導體的橫截面均勻分布。求各區的B。解：根據有介質時的安培環路定理分別在區內求解 (31) (32) (33)在區域，由有介質的安培環路定理得：H=0 B=0 (34)這是一個計算磁感應強度的典型例題，在空間的傳導電流分布及磁介質性質已知時，運用了安培環路定理，在恒定磁場理論原則上應能求的中安培環路定理是非常重要的一個定理，它說明了磁場不是勢場，不是勢場的矢量場稱為渦旋場。所以磁場B是渦旋場。在靜磁學中，當電荷分布有適當對稱性時單從安培環路定理就可求得恒定磁場。它對任意恒定磁場中的任意閉曲線都是成立的.當空間的傳導電流分布及磁介質的性質已知時，原則上應能求得空間各點的磁感應強度B。但是比較困難，運算的方式比較復雜。題中的電流分布電流在每個導體的橫截面均勻分布。滿足條件，如題中的（11）等，先把閉合曲線運用微分分解成無限小的，可以當成直線的小段，在運用有介質的安培環路定理去求磁場強度H，進而求出磁感應強度B。3.結束語由此可見，微積分不僅在數學中有重要的作用而且在物理學中也有著十分的廣泛的作用。在使用微積分解決問題時應注意由微積分導出的許多物理概念、物理定律，分析每個物理量的意義，讓學生把復雜的物理問題化整為零，然后再積零為整的這種方法學會，應用到實際問題中去，增加