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1、【步步高】(江蘇專用)2017版高考數學一輪復習 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.5 指數與指數函數 理1分數指數冪(1)規定:正數的正分數指數冪的意義是正數的負分數指數冪的意義是0的正分數指數冪等于0;0的負分數指數冪沒有意義(2)有理數指數冪的運算性質:asatast,(as)tast,(ab)tatbt,其中a0,b0,s,tQ.2指數函數的圖象與性質yaxa10a0時,y1;當x0時,0y0時,0y1;當x1(6)在(,)上是增函數(7)在(,)上是減函數【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)()na.()(2)分數指數冪可以理解為個a相乘()(3) (

2、)(4)函數yax是R上的增函數()(5)函數 (a1)的值域是(0,)()(6)函數y2x1是指數函數()1若a(2)1,b(2)1,則(a1)2(b1)2的值是_答案解析a(2)12,b(2)12,(a1)2(b1)2(3)2(3)2.2函數f(x)ax(a0,a1)的圖象可能是_(填圖象序號)答案解析函數f(x)的圖象恒過(1,0)點,只有圖象適合3(教材改編)已知0.2m”或“解析設f(x)0.2x,f(x)為減函數,由已知f(m)n.4若函數y(a21)x在(,)上為減函數,則實數a的取值范圍是_答案(,1)(1,)解析由y(a21)x在(,)上為減函數,得0a211,1a22,即1

3、a或a1.5函數y823x(x0)的值域是_答案0,8)解析x0,x0,3x3,023x238,0823x1,b1,b0;0a0;0a1,b0.(2)若曲線|y|2x1與直線yb沒有公共點,則b的取值范圍是_答案(1)(2)1,1解析(1)由f(x)axb的圖象可以觀察出,函數f(x)axb在定義域上單調遞減,所以0a1.函數f(x)axb的圖象是在f(x)ax的基礎上向左平移得到的,所以b0,且a1)經過點E,B,則a_.(2)已知函數f(x)|2x1|,abf(c)f(b),則下列結論中,一定成立的是_a0,b0,c0; a0;2a2c; 2a2c2.答案(1)(2)解析(1)設點E(t,

4、at),則點B坐標為(2t,2at)因為2ata2t,所以at2.因為平行四邊形OABC的面積OCACat2t4t,又平行四邊形OABC的面積為8,所以4t8,t2,所以a22,a.(2)作出函數f(x)|2x1|的圖象,如圖,abf(c)f(b),結合圖象知0f(a)1,a0,02a1.f(a)|2a1|12a1,f(c)1,0c1.12cf(c),12a2c1,2a2c1.73; 0.610.62;0.80.11.250.2; 1.70.30.93.1.(2)設則a,b,c的大小關系是_答案(1)(2)acb解析(1)中, 函數y1.7x在R上是增函數,253,1.72.51.73,錯誤;

5、中,y0.6x在R上是減函數,10.62,正確;中,(0.8)11.25,問題轉化為比較1.250.1與1.250.2的大小y1.25x在R上是增函數,0.10.2,1.250.11.250.2,即0.80.11,00.93.10.93.1,正確(2)yx為減函數,即b01,ac,故acb.命題點2解簡單的指數方程或不等式例4設函數f(x)若f(a)1,則實數a的取值范圍是_答案(3,1)解析當a0時,不等式f(a)1可化為a71,即a8,即a3,因為03,此時3a0;當a0時,不等式f(a)1可化為1,所以0a0且a1)是定義域為R的奇函數(1)若f(1)0,試求不等式f(x22x)f(x4

6、)0的解集;(2)若f(1),且g(x)a2xa2x4f(x),求g(x)在1,)上的最小值解因為f(x)是定義域為R的奇函數,所以f(0)0,所以k10,即k1,f(x)axax.(1)因為f(1)0,所以a0,又a0且a1,所以a1.因為f(x)axln aaxln a(axax)ln a0,所以f(x)在R上為增函數,原不等式可化為f(x22x)f(4x),所以x22x4x,即x23x40,所以x1或x1或x0,a1)在區間1,1上的最大值是14,則a的值為_答案(1)(,4(2)或3解析(1)令t|2xm|,則t|2xm|在區間,)上單調遞增,在區間(,上單調遞減而y2t為R上的增函數

7、,所以要使函數f(x)2|2xm|在2,)上單調遞增,則有2,即m4,所以m的取值范圍是(,4(2)令axt,則ya2x2ax1t22t1(t1)22.當a1時,因為x1,1,所以t,a,又函數y(t1)22在上單調遞增,所以ymax(a1)2214,解得a3(負值舍去)當0a0,a1)的性質和a的取值有關,一定要分清a1與0a0且a1)的圖象經過定點的坐標為_答案(2,2)解析a01,f(2)2,故f(x)的圖象必過點(2,2)2已知a22.5,b2.50,c()2.5,則a,b,c的大小關系是_答案abc解析a201,b1,cbc.3若函數f(x)a|2x4|(a0,a1),滿足f(1),

8、則f(x)的單調遞減區間是_答案2,)解析由f(1)得a2,所以a或a(舍去),即f(x)()|2x4|.由于y|2x4|在(,2上遞減,在2,)上遞增,所以f(x)在(,2上遞增,在2,)上遞減4若關于x的方程|ax1|2a (a0且a1)有兩個不等實根,則a的取值范圍是_答案解析方程|ax1|2a (a0且a1)有兩個實數根轉化為函數y|ax1|與y2a有兩個交點當0a1時,如圖(1),02a1,即0a1時,如圖(2),而y2a1不符合要求綜上,0a0)的圖象經過點P(1,3),如圖所示,則的最小值為_答案解析由函數yaxb (b0)的圖象經過點P(1,3),得ab3,所以1,又a1,則2

9、2,當且僅當,即a,b時取等號,所以的最小值為.7已知正數a滿足a22a30,函數f(x)ax,若實數m、n滿足f(m)f(n),則m、n的大小關系為_答案mn解析a22a30,a3或a1(舍)函數f(x)3x在R上遞增,由f(m)f(n),得mn.8已知函數f(x)2x,函數g(x)則函數g(x)的最小值是_答案0解析當x0時,g(x)f(x)2x為單調增函數,所以g(x)g(0)0;當xg(0)0,所以函數g(x)的最小值是0.9已知函數 (1)若a1,求f(x)的單調區間;(2)若f(x)有最大值3,求a的值解(1)當a1時, 令g(x)x24x3,由于g(x)在(,2上單調遞增,在(2

10、,)上單調遞減,而yt在R上單調遞減,所以f(x)在(,2上單調遞減,在(2,)上單調遞增,即函數f(x)的單調遞增區間是(2,),單調遞減區間是(,2(2)令g(x)ax24x3,f(x)g(x),由于f(x)有最大值3,所以g(x)應有最小值1,因此必有解得a1,即當f(x)有最大值3時,a的值為1.10已知函數f(x)exex(xR,且e為自然對數的底數)(1)判斷函數f(x)的單調性與奇偶性;(2)是否存在實數t,使不等式f(xt)f(x2t2)0對一切xR都成立?若存在,求出t;若不存在,請說明理由解(1)f(x)exx,f(x)exx,f(x)0對任意xR都成立,f(x)在R上是增

11、函數f(x)的定義域為R,且f(x)exexf(x),f(x)是奇函數(2)存在由(1)知f(x)在R上是增函數和奇函數,則f(xt)f(x2t2)0對一切xR都成立,f(x2t2)f(tx)對一切xR都成立,x2t2tx對一切xR都成立,t2tx2x2對一切xR都成立,t2t(x2x)mint2t20,又20,20,t.存在t,使不等式f(xt)f(x2t2)0對一切xR都成立B組專項能力提升(時間:20分鐘)11函數f(x)a|x1|(a0,a1)的值域為1,),則f(4)與f(1)的大小關系是_答案f(4)f(1)解析由題意知a1,f(4)a3,f(1)a2,由單調性知a3a2,f(4)

12、f(1)12已知實數a,b滿足等式ab,下列五個關系式:0ba;ab0;0ab;ba0;ab.其中不可能成立的關系式有_個答案2解析函數y1x與y2x的圖象如圖所示由ab得ab0或0ba或ab0.故可能成立,不可能成立13關于x的方程x有負數根,則實數a的取值范圍為_答案解析由題意,得x0,所以0x1,從而01,解得a.14當x(,1時,不等式(m2m)4x2x0恒成立,則實數m的取值范圍是_答案(1,2)解析原不等式變形為m2mx,因為函數yx在(,1上是減函數,所以x12,當x(,1時,m2mx恒成立等價于m2m2,解得1m2.15已知定義在實數集R上的奇函數f(x)有最小正周期2,且當x(0,1)時,f(x).(1)求函數f(x)在(1,1)上的解析式;(2)判斷f(x)在(0,1)上的單調性;(3)當取何值時,方程f(x)在(1,1)

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