1、基于matlab在連續性系統中的仿真研究摘要：從數學建模到仿真系統的搭建，再到加進控制環節進行實時控制，最后得出結果的過程中，參考了大量的資料，通過對比整合，設計出了適合自己的一套實驗方法：倒立擺數學模型推導部分：首先用牛頓歐拉方法建立數學模型，接著用動態系統空間狀態方程法導出狀態方程系數矩陣，然后用MATLAB對數學模型進行從狀態空間到傳遞函數的變換（包括傳遞函數的拉氏變換與Z變換），得到系統的傳遞函數模型。接著根據數學建模得出的傳遞函數進行系統模型的搭建，在Simulink軟件上進行系統仿真，采用最為廣泛的PID控制算法，先用連續系統的設計方法設計出模擬控制器，然后在滿足一定條件下，對其進

2、行離散化處理，(采用加零階保持器的Z變換法)形成數字控制器。接著進行PID參數整定，利用試湊法,根據PID控制器各組成環節對系統性能的影響，從一組初始PID參數開始反復試湊，直至獲得，滿意的控制效果。此實驗中，系統的控制非常穩定，性能較好。關鍵詞：Matlab；仿真；PID；連續系統目錄1緒論11.1連續性系統簡介11.2連續性系統基本處理方法11.2.1數值積分法11.2.2替換法21.2.3離散相似法31.3MATLAB在連續性系統的應用52 MATLAB基礎62.1MATLAB語言介紹62.2MATLAB工具箱62.3MATLAB對連續性系統的仿真性能分析73直線一級倒立擺系統設計73.

3、1倒立擺系統概述73.2倒立擺系統工作原理83.3倒立擺系統數學模型建立93.3.1確定系統輸入輸出量及中間變量：103.3.2受力分析，列寫運動方程：103.3.3系統非線性方程的線性化：113.3.4零初始條件下的拉氏變換：113.3.5代入參數求解傳遞函數：114基于MATLAB的一級倒立擺系統仿真結果及分析124.1校正前系統性能仿真分析124.1.1穩定性分析：124.1.2階躍響應分析：124.1.3頻率特性分析：134.2PID控制設計校正裝置144.2.1計算開環增益K：144.2.2計算校正后的增益交界頻率c：164.2.3計算參數確定傳遞函數：164.3 控制實驗仿真分析1

4、65總結和展望21參考文獻2231緒論1.1連續性系統簡介連續系統是系統狀態隨時間作平滑連續變化的動態系統。包括由于數據采集是在離散時間點上進行而導致的非連續變化。連續系統可用一組微分方程來描述。當微分方程的系數為常數時稱為定常系統，當系數隨時間而變化時則稱為時變系統。這類系統的數學模型包括連續模型（微分方程等）、離散時間模型（差分方程等）及連續-離散混合模型。非線性系統是用非線性常微分方程（組）描述的系統。描述的微分方程不僅含有狀態變量及其各階導數的線性組合，也含有非線性項。其非線性特性主要表現在：（1）線性系統同時滿足均勻性與疊加性。線性方程必定有解，并且其解為零輸人響應和零狀態響應之和。

5、非線性系統則不具有這些特征，即對非線性系統，通常疊加性原理不成立，非線性方程通常沒有解析表達形式的解。（2）給定一個線性系統，對于不同的初始狀態，它只有一種類型的運動。但對于非線性定常自由系統則不然，初始狀態不同，它對應的運動類型可以不一樣。非線性系統有三種類型的運動，即穩定運動、不穩定運動和周期運動。1.2連續性系統基本處理方法1.2.1數值積分法把被仿真系統表示成一階微分方程組或狀態方程的形式。一階向量微分方程及初值為（1-1）其中，Y為n維狀態向量，F（t，Y）為n維向量函數。設方程（1-1）在處的形式上的連續解為（1-2）設 ，令（1-3）則有：也就是說，（1-4）如果準確解為近似值，

6、是準確積分值的近似值，則式（1-4）就是式（1-2）的近似公式。換句話說，連續系統的數值解就轉化為相鄰兩個時間點上的數值積分問題。因此，所謂數值解法，就是尋求初值問題（1-1）的真解在一系列離散點上的近似解，相鄰兩個時間離散點的間隔，稱為計算步距或步長，通常取為定值。1.2.2替換法基于數值積分的連續系統仿真方法具有成熟、計算精度比較高的優點，但算法公式比較復雜、計算量比較大，通常只有在對速度要求不高的純數字仿真時使用。當進行實時仿真或在計算機控制系統中實現數字控制器的算法時，要求計算速度快，以便能在一個采樣周期內完成全部計算任務，這就需要一些快速計算方法。用數值積分方法在數字機上對一個連續系

7、統進行仿真時，實際上已經進行了離散化處理，只不過在離散化過程中每一步都用到連續系統的模型，離散一步計算一步。那么，能否先對連續的模型進行離散化處理，得到一個“等效”的離散化模型，以后的每一步計算都直接在這個離散化模型基礎上進行，而原來的連續數學模型不再參與計算呢？回答是肯定的。這些結構上比較簡單的離散化模型，便于在計算機上求解，不僅用于連續系統數字仿真，而且也可用于數字控制器在計算機上實現。替換法的基本思想是：對于給定的函數G（s），設法找到s域到z域的的某種映射關系，它將S域的變量s映射到z平面上，由此得到與連續系統傳遞函數G（s）相對應的離散傳函G（z）。進而再根據G（z）由z反變換求的系

8、統的時域離散模型差分方程，據此便可以進行快速求解。根據z變換理論，s域到z域的最基本的映射關系是或 如果按這一映射關系直接代入G（s），得到的G（z）是相當復雜的，不便于算法實現，所以往往借助于Z變換的基本映射關系或作一些簡化和近似處理。1.2.3離散相似法“離散相似法”將一個連續系統進行離散化處理,然后求得與它等價的離散模型(差分方程)的方法。獲取離散相似模型的兩個途徑：（1）對傳遞函數作離散化處理得離散傳遞函數稱為“頻域離散相似模型”；（2）基于狀態方程離散化稱為“時域離散相似模型3”；對連續系統進行數字仿真可以先在系統加入虛擬的采樣器和保持器，如圖1-1所示，圖1-1 連續系統離散化結構

9、圖附注：圖1-1所示系統的采樣開關和保持器實際上是不存在的，而是為了將(1-5)式離散化而虛構的。然后利用Z變換的方法求出系統的脈沖傳遞函數，再從脈沖傳遞函數求出對應于系統G(s)的差分方程。 根據圖1-1,有脈沖傳遞函數 : （1-5）其中Gh(s)是保持器的傳遞函數。若選擇不同的保持器，則可得不同的G(z)，見表1-1。表1-1不同保持器的G(z)保持器的傳遞函數Gh(s)脈沖傳遞函數G(z)零階： 一階： 三角形： 假設連續系統的狀態方程為:（1-6）若人為地在系統的輸入端及輸出端加上采樣開關，同時為了使輸入信號復原為原來的信號，在輸入端還要加一個保持器，如圖1-2所示。 圖1-2采樣控

10、制系統結構圖若對方程(1-6)式兩邊進行拉普拉斯變換，得： 即： 以左乘上式的兩邊可得 ：（1-7）考慮到狀態轉移矩陣：（1-8）故對(1-7)式反變換可得：（1-9）此為(1-5)式的連續解，由此可推導出系統的離散解。 根據上式，n及n+1兩個相連的采樣瞬間，有： （1-10）（1-11）（1-12）將(1-10)式減去(1-10)式后乘以，得： 將(1-11)式右邊積分進行變量代換，即令： （1-13）則得：（1-14）但由圖1-2可知：若系統采用零階保持器時，則兩個采樣點之間輸入量可看做常數，即u(nT+t)=u(nT)，這樣(1-14)式可寫為： 式中 ：1.3MATLAB在連續性系統

11、的應用在瑞典Lunds大學反射物理學研究所在一項為期三個月的極地探險計劃中，廣泛使用MATLAB及其工具箱，在北冰洋研究放射性物質對環境生態學 的影響。研究人員主要用MATLAB進行數據分析，用神經網絡工具箱辨識北冰 洋流木的年輪圖案，并據此識別這些漂流數年的數木成長自何方。 Forsmark核 電站使用MATLAB優化反應堆的功率輸出。工程師們從堆芯讀取大量數據，算出燃料棒和控制棒的最佳位置以便產生最大的輸出功率。這是一個極為龐大且十分復雜的數值分析問題，包括分析1700個以上的節點。為了簡化計算過程，Forsmark用MATLAB開發出他們自己的圖形用戶界面，這個圖形用戶界面容許沒有任何使

12、用經驗的使用者執行計算和評價分析結果。Forsmark還使用MATLAB建模和分析各種設想的失效及擾動情況。在反應堆中當發生擾動時，數據必須被詳細分析以便確定擾動的原因。借助于MATLAB和它的系統辨識及控制工具箱，Forsmark的工程師們將分析時間從原來的一星期減少到現在的15分鐘。Calspan先進技術中心試驗高度可修改的實驗型飛行器，它可以成倍提高其它飛行器的性能。其仿真程序運行在一組并行操作的浮點DSP上，所用硬件來自dSPACE。飛行器和飛行控制系統首先在地面用Simulink模塊建模、仿真，然后用實時Workshop生成C源代碼并被下載到飛行器的DSP上。當實驗飛機飛行時，試飛員

13、可以在飛機在預先編好的程序DSP模塊控制時評價飛行器和飛行控制系統，飛行中各種控制參數可以直接被調整并被下載給硬件作試驗，這種形式的實時試驗節省了大量時間和經費，一個1s行控制系統在其原型被建立之前就可以完成幾乎全部試驗。2 MATLAB基礎2.1MATLAB語言介紹MATLAB語言在開發之處只是作為Eispack與Linpack這兩種數值線性代數軟件包的接口，剛開始使用Fortran，之后使用C語言進行編程。1975年左右，M公司將其推出面向市場，并且將其功能逐漸豐富，開發了文字圖像的處理、數值的運算以及符號的解譯等功能，將其編程語言升級為面向對象語言，并以此為用戶界面的設計語言，從而將其打

14、造成了一個能夠在多個領域、多個學科都很好地發揮功能的軟件。其版本也逐漸的更新換代，它把矩陣計算、科學數據可視化、數值分析和非線性動態系統的建模和仿真等諸多強大功能集于一體，為工程設計、科學研究和需要進行有效數值計算的很多領域提供了一種簡單、效率高的編程工具。其幾大功能可概括如下：2.2MATLAB工具箱到目前為止，MATLAB中有不少于三十七個工具箱，并且這些工具箱主要有兩類：一類是功能型，一類是領域型。領域型專業性很強，包括信號處理工具箱、模糊邏輯工具箱、高階譜分析、自動控制工具箱、圖象處理、通訊、偏微分方程等等很多細化的工具箱，可應用的領域涵蓋了化學、數學、工程還有經濟等等很多的領域范圍。

15、功能型的工具箱主要是增強其圖形文字處理能力、模型建立和仿真功能、數值符號運算解議和軟硬件的實時交互等功能。在這些工具箱中MATLAB提供了開放式體系結構使用戶能夠進入工具箱源碼以便修改、定制、擴展算法和工具箱功能以適應用戶特殊需要。3直線一級倒立系統設計3.1倒立擺系統概述倒立擺系統是一種具有結構簡潔，低成本，物理參數和結構方便調整等諸多優點的用來研究控制理論的經典實驗儀器，是一個不穩定系統，他有多變量、高階次、不穩定、非線性以及藕合性強等特點。在控制過程中，倒立擺系統可以很好地反映出很多控制中存在的關鍵問題，例如魯棒性、可鎮定性、隨動性和可追蹤等，其是驗證各種控制理論的理想模型。目前人們已經

16、通過現代控制理論、經典控制理論和很多智能控制理論實現了多種倒立擺系統的控制穩定。3.2倒立擺系統工作原理便攜式直線一級倒立擺試驗系統總體結構如圖3-1所示：圖3-1便攜式一級倒立擺試驗系統總體結構圖主體結構包括擺桿、小車、便攜支架、導軌、直流伺服電機等。主體、驅動器、電源和數據采集卡都置于實驗箱內，實驗箱通過一條USB數據線與上位機進行數據交換，另有一條線接220v交流電源。便攜式直線一級倒立擺的工作原理如圖3-2所示：圖3-2便攜式一級倒立擺工作原理圖數據采集卡采集到旋轉編碼器數據和電機尾部編碼器數據，旋轉編碼器與擺桿同軸，電機與小車通過皮帶連接，所以通過計算就可以得到擺桿的角位移以及小車位

17、移，角位移差分得角速度，位移差分可得速度，然后根據自動控制中的各種理論轉化的算法計算出控制量。控制量由計算機通過USB數據線下發給伺服驅動器，由驅動器實現對電機控制，電機尾部編碼器連接到驅動器形成閉環，從而可以實現擺桿直立不倒以及自擺起。便攜式倒立擺是具有反饋功能的閉環系統，其控制目標是實現在靜態和動態下的穩擺。當輸入量為理想擺角，即g=0時，偏差為0，控制器不工作；當輸入量不為理想擺角時，偏差存在，控制器做出決策，驅動電機，使小車擺桿系統發生相應位移，輸出的擺角通過角位移傳感器作用于輸出量，達到減小偏差的目的。根據控制原理繪制出控制方框圖如圖3-3所示：圖3-3便攜式一級倒立擺控制原理方框圖

18、3.3倒立擺系統數學模型建立便攜式倒立擺的組成部分主要是包含小車、擺桿兩部分，二者可以自由鏈接。擺桿能夠在垂直的平面內自由地擺動，小車能夠在軌道上自由移動。忽略摩擦力以及空氣阻力，可以把便攜式倒立擺看成是由勻質桿以及小車組成的剛體系統，在慣性坐標內通過經典力學理論創建系統動力學方程，利用力學分析方法創建小車-擺桿的數學模型。在平面坐標系中該系統的結構如圖4-1所示，規定逆時針方向的轉角和力矩均為正。圖4-1 便攜式倒立擺結構圖模型參數符號如下：M: 小車質量；m: 擺桿質量；I: 擺桿轉動慣量；l: 擺桿質心到轉軸的距離；L: 擺桿長度； F: 外加在小車上的力；N:擺桿給小車的力；P:小車給

19、擺桿的支持力； : 轉角；x: 小車位置；b: 小車與導軌間的摩擦系數。3.3.1確定系統輸入輸出量及中間變量： 輸入量：F: 加在小車上的力輸出量：: 轉角 中間變量：x: 小車位置3.3.2受力分析，列寫運動方程：小車水平方向所受合力： （1）擺桿水平方向所受合力： （2）由（2）得： （3）將（3）代入（1）得到系統第一個運動方程： (4)擺桿垂直方向的合力： （5）由（5）得： （6）擺桿對質心的力矩平衡方程： （7）從(3)、(6)、(7)中消去P和N，得到系統第二個運動方程： （8）綜上所述，系統的兩個運動方程為（4）式和（8）式： 3.3.3系統非線性方程的線性化：因為倒立擺擺桿

20、旋轉角度不會太大，即1（1為弧度），可以做近似處理，即在穩定點附近線性化。系統平衡工作點F0,0為0,0，可得：倒立擺系統的線性化模型為：3.3.4零初始條件下的拉氏變換：3.3.5代入參數求解傳遞函數：已知的系統物理參數：小車的質量M：0.618 kg擺桿的長度L：0.350m擺桿的質量m：0.0737 kg擺桿質心到轉軸距離l：0.1225m將數據代入數學模型中求得擺桿角度對小車位移的傳遞函數：(s)X(s)=6.122s2s-604基于MATLAB的一級倒立擺系統仿真結果及分析4.1校正前系統性能仿真分析4.1.1穩定性分析：在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出校正前系統開環Nyqui

21、st圖如圖4-1：num=6.122;den=1 0 -60;nyquist(num,den)圖4-1校正前系統開環Nyquist圖由圖分析知，系統開環右極點數P=1，N=0。根據Z=P+N的公式知Z=1，系統不穩定。4.1.2階躍響應分析：在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出校正前系統階躍響應曲線圖如圖4-2：s=tf('s')G=6.122/(s2-60);GB=G/(1+G);step(GB)圖4-2校正前系統階躍響應曲線圖由圖分析知，系統的階躍響應值不隨時間的增加而衰減，呈現不斷發散的趨勢，故系統不穩定。4.1.3頻率特性分析：在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出校

22、正前系統Bode圖如圖4-3：num=6.122;den=1 0 -60;bode(num,den);圖4-3校正前系統Bode圖由圖分析知，相頻特性圖中相位裕度為0，故系統不穩定，需串聯頻率控制器加以校正。4.2PID控制設計校正裝置設計控制器，使得校正后系統滿足穩態位置誤差系數Kp=10，相位裕度(c)=50°。設串聯超前校正裝置的傳遞函數為：Gcs=Ts+1Ts+1系統開環增益為K，則校正后系統的開環傳遞函數為：KGcsG(s)=KTs+1Ts+16.122s2-604.2.1計算開環增益K：因為，即：KGcsGs=KTs+1Ts+16.122s2-60=10計算得于是有：KG

23、s=6.122×98s2-60在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出KG(s)的Bode圖如圖4-4：num=6.122*98;den=1 0 -60;bode(num,den)圖4-4添加增益后的便攜式倒立擺的Bode圖可以看出，系統的相位裕量仍為0°，根據相位裕度要求，確定校正裝置所要提供的最大相位超前角m：對本系統：根據m 確定：=1+sinm1-sinm7.554.2.2計算校正后的增益交界頻率c：為了最大限度的發揮串聯超前校正裝置的相位超前能力，應使校正裝置的最大超前相角出現在校正后系統的增益交界頻率c處，即m=c，因此，在校正后的增益交界頻率處，有：Lc(m)+

24、L(c)=0 即： 20lg+L(c)=0得：c=39.5rad/s4.2.3計算參數確定傳遞函數：m=c=T=39.5rad/s得：T =0.0696s則校正后系統的開環傳遞函數為：KGcsG(s)=98×0.0696s+10.0092s+16.122s2-604.3 控制實驗仿真分析首先確定臨界增益Ku和臨界振蕩周期Tu，只加入P控制器，令Kp=9得：在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出增益后系統的階躍響應曲線圖如圖4-5：s=tf('s')G=9*6.122/(s2-60);GB=G/(1+G);step(GB,10)圖4-5Kp=9時系統的階躍響應曲線圖由圖

25、分析知，系統的階躍響應不隨時間的增加而衰減，呈現不斷發散的趨勢，系統不穩定。故加大P控制量，令Kp=100得系統的階躍響應曲線圖如圖4-6：圖4-6Kp=100時系統的階躍響應曲線圖由圖分析知，系統的階躍響應緩慢收斂，為使階躍響應曲線呈現振蕩趨勢，需減小Kp，故令Kp=90得系統的階躍響應曲線圖如圖4-7：圖4-7 Kp=90時系統的階躍響應曲線圖由圖分析知，臨界增益Ku=90，振蕩周期Tu=0.4。根據經驗公式計算Kp、Ti和Td：Kp=0.6Ku=0.6×90=54Ti=0.5Tu=0.2Td=0.125Tu=0.05Gks=54×(1+0.05s+10.2s)

26、5;6.122s2-60在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出PID校正后系統階躍響應曲線圖如圖4-8： s=tf('s')G=54*(1+0.0375*s+1/0.15/s)*6.122/(s2-60);GB=G/(1+G);step(GB,4)圖4-8 Kp=90時PID校正后系統的階躍響應曲線圖由圖分析知，曲線振蕩很頻繁，故加大比例系數，取Kp=100可繪制出PID校正后系統階躍響應曲線圖如圖4-9：圖4-9 Kp=100時PID校正后系統的階躍響應曲線圖由圖分析知，穩態誤差較大，穩定時間較大，故增加微分參數，加大微分作用，分別取Td=0.05、0.1、0.3。在MATL

27、AB中輸入如下代碼，可繪制出三種情況下的系統階躍響應曲線圖如圖4-10：s=tf('s')G1=100*(1+0.05*s+1/0.15/s)*6.122/(s2-60);GB1=G1/(1+G1);G2=100*(1+0.1*s+1/0.15/s)*6.122/(s2-60);GB2=G2/(1+G2);G3=100*(1+0.3*s+1/0.15/s)*6.122/(s2-60);GB3=G3/(1+G3);subplot(3,1,1)step(GB1,4)subplot(3,1,2)step(GB2,4)subplot(3,1,3)step(GB3,4)圖4-10 Td=

28、0.05、0.1、0.3時系統的階躍響應曲線圖三幅圖由上至下Td依次增大。由圖分析知，Td越大，穩態誤差越小，穩定時間越小，控制效果越明顯。在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出校正后系統的Nyquist及Bode圖如圖4-11圖4-12：s=tf('s')G=599.956*(0.0696*s+1)/(0.0092*s+1)*(s2-60);nyquist(G)bode(G)圖4-11校正后系統的Nyquist圖圖4-12校正后系統的Bode圖由圖分析知，Nyquist曲線逆時針包圍-1,0一圈，即N=-1。系統開環右極點數P=1。根據Z=P+N的公式知Z=0，系統穩定；同樣

29、，在Bode圖中，增益交界頻率c=0處對應的相位裕度為最大值，約為50°，達到校正要求。5總結和展望通過本次實驗，對PID控制理論以及倒立擺的相關知識有了一定的了解，實現了利用PID理論來控制直線一級倒立擺。實驗證明，PID在倒立擺控制中，在精度、穩定性和抗干擾性上面都有良好的表現，并且其系統成本低、安裝簡單、維護調試方便，更易于擴展。本次實驗也讓我更加了解MATLAB軟件的操作，并加深認識信號之間的處理和圖像的處理，MATLAB的功能很強大，很多實驗都可以用MATLAB仿真，表現了MATLAB強大的仿真及數據分析處理能力。MATLAB作為當前控制技術界最流行的面向工程與科學計算的高

30、級語言，他可以輕易地再現C語言幾乎全部的功能。從本次的實驗看來，在線性控制系統的分析和仿真中，MATLAB擁有非常方便快捷的數據處理能力。其實我了解MATLAB只是一小部分，在今后的日子我會繼續學習MATLAB，經過這次實驗，我對MATLAB的認識和應用有了更加深刻的理解。（1）本實驗，從數學建模到仿真系統的搭建，再到加進控制環節進行實時控制，最后得出結果的過程中，參考了大量的資料，通過對比整合，設計出了適合自己的一套實驗方法：倒立擺數學模型推導部分：首先用牛頓歐拉方法建立數學模型，接著用動態系統空間狀態方程法導出狀態方程系數矩陣，然后用MATLAB對數學模型進行從狀態空間到傳遞函數的變換（包括傳遞函數的拉氏變換與Z變換），得到系統的傳遞函數模型。接著根據數學建模得出的傳遞函數進行系統模型的搭建，在Simulink軟件上進行系統仿真，采用最為廣泛的PID控制算法，先用連續系統的設計方法設計出模擬控制器，然后在滿足一定條件下，對其進行離散化處理，(采用加零階保持器的