1、幾何學輔導綱要第一章 公理化方法與非歐幾何主要內容：1幾何學公理化方法的構造和原理及其作用、意義2希爾伯特公理體系的結構3公理系統的相容性、獨立性和完備性4羅氏幾何和黎曼幾何的數學模型重點掌握：1 公理法的三個基本問題是相容性問題、獨立性問題、完備性問題。2.公理法的結構是原始概念的列舉；定義的敘述；公理的敘述；定理的敘述和證明.3三角形內角和等于180度與歐氏平行公理等價。 4歐氏幾何與非歐幾何的本質區別為平行公設不同。5公理系統的完備性: 如果公理系統的所有模型都是同構的，則稱這個公理系統是完備的，或稱其具有完備性。6幾何公理: 公理是作為幾何基礎而本身不加證明的命題，是建立一種理論體系的

2、少數思想規定。在幾何演繹體系里，每條定理都要根據已知定理加以證明，而這些作為依據的定理又要根據另外的已知定理加以證明，如此步步追尋起來，過程是無止境的，必須適時而止。因此，需要選取一些不加證明的原始命題作為證明一切定理的基礎，這就是公理。7公理系統的相容性: 一個公理系統及其一切推論不含有矛盾命題時，稱這個公理系統是相容的或無矛盾的。8歐幾里得的第五公設： 在一平面上如果直線與另外兩條直線相交，有一側的兩個同側內角的和小于兩直角，則直線與在同側內角的和小于兩直角的那一側相交。9公理法的基本思想：若干個原始概念（包括元素和關系）、定義和公理一起叫做一個公理體系，構成了一種幾何的基礎。全部元素的集

3、合構成了這種幾何的空間。在這個公理體系的基礎上，每個概念都必須給出定義，每個命題都必須給出證明，原始概念、定義、公理和定理按照邏輯關系有次序地排列而構成命題系統邏輯結構，這就是公理法思想。10公理系統的獨立性：如果一個公理系統中的某條公理不能由其余公理證明，即不時其余公理的推論，則稱這條公理在公理系統中是獨立的。如果一個公理系統中的沒一條工理都是獨立的，則稱這個公理系統是獨立的。 第二章 射影變換群與幾何學主要內容：1點變換的概念2正交變換的不變性質與不變量3相似變換的不變性質與不變量4仿射變換的不變性質與不變量5射影變換的不變性質與不變量6非齊次坐標7利用不變量對二次曲線進行分類8利用不變量

4、將二次曲線的一般方程化簡為標準型重點掌握：1仿射變換把平行線變成平行線，把正三角形變成三角形，把矩形變成平行四邊形。2設共線三點，則2。4共點的直線經仿射變換后變成共點的直線。5不共線的點經仿射變換后變成不共線的點。6在仿射對應下，單比不變。7設點共線，且在仿射變換下分別變成，則三點共線。8正方形在仿射變換下變成平行四邊形。9對正方形，對邊平行、對角線互相平分是仿射性質。10線段的中點、交比、點偶的調和共軛性、兩平行線段的比和對稱中心都屬于仿射性質。11求一個仿射變換，它把拋物線變成自身，把原點變成點。設所求的仿射變換為由它把（0，0）變成（2，2）可知因為它把拋物線變成自身，所以應滿足 ，于

5、是 即 比較方程兩邊的系數得令，則，因此所求的仿射變換為它依賴于參數。12求出將點變成點的平移變換，在這個平移變換下，拋物線變成什么曲線？設所求的平移變換為將已知對應點的坐標代入上式得于是 所以所求的平移變換為 即 將此變換用于所給的拋物線上即13求出將點變成點的繞原點的旋轉變換，再將所得的變換用于拋物線上。設所求的旋轉變換為則 于是所求的旋轉變換為 即將此變換用于所給的拋物線得。 14求仿射變換的二重直線。 設所求的不變直線為 （不同時為0）即在所給的變換下，對應因為 所以 消去得展開化簡得解得由于當時，因此不對應不變直線，分別將代入（1），（2），（3）得 和 所以不變直線為 和 15若存

6、在，求下列各點的非齊次坐標， 存在，設，則這個點的非齊次坐標為。不存在，因為無窮遠點沒有非齊次坐標。16證明：使向量內積保持不變的仿射變換是正交變換。設在使二向量內積不變的仿射變換下，點變成點，點變成點，則所以（表示兩點間的距離）。由于這個變換保持兩點間的距離不變，因此它是正交變換。17線坐標所表示的直線方程為或。18在仿射變換下， 菱形的對邊平行、對角線互相平分和對邊相等的性質在仿射變換下保持不變；鄰邊相等、對角線互相垂直和對角線平分菱形對角的性質都改變了。19相交于影消線的二直線必射影成兩平行線。 設二直線和交于點，點在影消線上，和經射影對應，對應直線為和，則點對應無窮遠點。由于射影對應保

7、持結合性不變，所以的對應點是和的交點，即無窮遠點，也就是。20.將二次曲線化簡成標準型。1）計算不變量2）判別類型說明曲線為拋物線型說明曲線為退化的拋物線故仍需求故曲線為兩重合直線標準方程為 21設的內切圓與三邊分別切于，試證：交于一點。證明：如圖所示 由已知可得 于是對有向線段 有 由塞瓦定理，可得交于一點22設為的一條中線，引任一直線交于，交于，證明：如圖所示在中，分別為三邊上的點，（或其延長線上的點），由梅內勞斯定理有 因為為中點，所以 即 即 從而 23設平面上的點變換和分別由和表示，求 （1）；（2）；，即若求，只需從中求出即可，所以24試確定仿射變換，使軸、軸的象分別為直線和，且點

8、的象為原點。所求變換的公式為 其中 則變成直線但由題設變成可知，與表示同一直線。所以 因此 同理 此處是參數。又因為點（1，1）的象為原點，于是，所以，所求變換的逆式為由此得出所求的仿射變換為第三章 向量方法在幾何中的應用主要內容：1向量的概念及其運算對于學習過向量的學員來講并不陌生，但是利用向量來解決初等幾何問題，如：共點問題、共面問題、求線段的長度問題和直線間的夾角問題等等，是以往我們沒涉及到的方法，他給我們提供了另一種解決初等幾何問題的新思路。2向量的概念、向量的運算以及向量的線性相關和線性無關。3熟悉向量的運算，包括向量的加減法、向量數乘運算、向量的內積、外積，以及向量的線性相關和線性

9、無關的定義及幾何意義。4 熟悉如何用向量描述幾何問題。重點掌握：1 設與是兩個非零向量，若與線性相關，則。2已知向量，則與之間的內積。3空間中三個向量線性相關當且僅當它們共面，空間中的四個向量一定線性相關。4如果兩個向量線性相關，則它們的位置關系是平行或重合，夾角為0或。 5設與是兩個非零向量，若，則與垂直。6 平面上兩個向量線性無關當且僅當它們不共線；平面上兩個向量線性無關當且僅當它們平行；平面上的三個向量一定線性相關。7若與是兩個非零向量，則。8設與是兩個非零向量，若，則與平行。9. 已知向量，分別計算與的模長與夾角。的模長分別，夾角的余弦為10. 試用向量法證明：半圓的圓周角是直角。設為半圓的圓心，為直徑，為半圓上任意一點，見圖，要證明，取，則，設，由于都是圓的半徑，所以，1