1、第六講格點與割補內容概述正方形格點陣中多邊形面積的計算公式，出現在各種形狀的格點陣中的直線形的面積問題，以及借 助構造格點陣求解的幾何問題通過恰當地分割與拼補進行計算的面積問題.典型問題1 如圖6-1 ,每一個小方格的面積都是I平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米【分析與解】方法一：正方形格點陣中多邊形面積公式：(N+L-1) X單位正方形面積，其中 N為2圖形內格點數，L為圖形周界上格點數.有N=4, L=7，則用粗線圍成圖形的面積為:(4+7-1 ) X仁6.5(平方厘米)2方法二：如下圖，先求出粗實線外格點內的圖形的面積，有=3-2=1.5 ,=2十2=1,=2十2=1,=

2、2十2=1，=2十2=1，=2十2=1，還有三個小正方形，所以粗實線外格 點內的圖形面積為1.5+1+1 + 1+1+1+3=9.5 ，而整個格點陣所圍成的圖形的面積為16,所以粗線圍成的圖ABCD勺面積是多少平方厘米 ？形的面積為：16-9.5=6.5 平方厘米.2.如圖6-2，如果每一個小三角形的面積是1平方厘米，那么四邊形6-2(2N+L-2)x單位正三角形面積，其【分析與解】方法一：正三角形方形格點陣中多邊形面積公式: 中N為圖形內格點數，L為圖形周界上格點數.有N=9, L=4,所以用粗線圍成的圖形的面積為：(9 X 2+4 -2) XI =20(平方厘米).方法二：如下圖，我們先數

3、出粗實線內完整的小正三角形有10個，而將不完整的小正三角形分成4部分計算，其中部分對應的平行四邊形面積為4,所以部分的面積為 2，、部分對應的平行1, 4, 3所以粗實線內圖形的面積為四邊形面積分別為 2，8，6,所以、部分的面積分別為10+2+1+4+3=20（平方厘米）.3.如果圖6-3是常見的一副七巧板的圖，圖 6-4是用這副七巧板的7塊板拼成的小房子圖，那么, 第2塊板的面積等于整幅圖的面積的幾分之幾？第4塊板與第7塊板面積的和等于整幅圖的面積的幾分之幾？設整個七巧板組成的正方形的邊長為【分析與解】如下圖，我們在圖6-3中標出圖6-4中各塊圖形的位置.1，顯然整幅圖形的面積為1，且有第

4、 2塊的面積為11有S3=S4，S2=S5 = S7=2S3，有2、3、4、5、7五塊圖形的面積之和為一，所以S4=S長方形 IGFB，S7=.281113所以第2塊板的面積等于整幅圖面積的丄，第4塊板與第7塊板面積和為整幅圖面積的+丄=-.816 8 164 .把正三角形每邊三等分，將各邊的中間段取來向外面作小正三角形，得到一個六角形. 再將這個六角形的各個“角”（即小正三角形）的兩邊三等分，又以它們的中間段向外作更小的正三角形，這樣就 得到圖6-5所示的圖形如果這個圖形面積是1,那么原來的正三角形面積是多少？【分析與解】方法一：如右圖，我們將圖 6-5分成若干個大小、形狀完全相同的小正三角

5、形，由40塊小正三角形組成圖 6-5，而由27塊小正三角形組成了圖中最大的正三角形.120 塊小正三角形的面積為81塊小正三角形組成，其11,所以每塊為，那么原來的正三角形由120面積顯然為2740方法二：如下圖，我們把圖6-5中的三角形分成A、B、C三種，設A形正三角形面積為“ 1”，則B、C兩種正三角形的面積依次為“81在圖6-5中，A種、B種、C種正三角形的個數依次為1，3，12,所以圖6-5中圖形的面積為11 40271+3X 1 +12X丄=絲所以有“ 1”對應 2，而原來的正三角形即為三角形A,所以原來的正三角形981 274027的面積為405.如圖6-6 ,正六邊形ABCDEF

6、勺面積是6平方厘米，M是AB中點，N是CD中點，P是EF中點.問: 三角形MNP勺面積是多少平方厘米 ？圖6-6【分析與解】如下圖，我們將圖6-6分成大小、形狀相同的三角形，有正六邊形ABCDEF含有24個小正三角形，而陰影部分 MNP包含有9個小正三角形.V1正六邊形ABCDEF勺面積為6,所以每個小正三角形的面積為6 + 2 4=，所以三角形 MNP的面積為419X =2.25（平方厘米）.46 .把同一個三角形的三條邊分別五等分、七等分，適當連接這些分點， 便得到了若干個面積相等的小三角形已知圖6-7中陰影部分的面積是 294平方分米，那么圖6-8中的陰影部分的面積是多少平方 分米？圖6

7、-7® fi-8【分析與解】在圖6-7中，原正三角形被分成25個小正三角形，而陰影部分含有12個小正三角形，所以每個小正三角形的面積為294+ 12=24.5，所以原正三角形的面積為24. 5X 25=612.5（平方分米）.49塊，而陰影部分含有 16塊，所以陰影部分的面積為而在圖6-8中，原正三角形被分成612. 5+ 49X 16=200（平方分米）.7.圖6-9是5X 5的方格紙，小方格的面積是1平方厘米，小方格的頂點稱為格點.請你在圖上選7個格點，要求選出的點中任意3點都不在同一條直線上，并且使這7個點用直線連接后所圍成的面積盡可能大那么所圍圖形的面積是多少平方厘米？【分析

8、與解】我們知道滿足題意的 7個點可以組成一個七邊形，適當的切去正方形的一個角可以得到一個五邊形，切出 2個角可以得到一個六邊形，切去3個角可以得到七邊形.為了使最后留下的七邊形的面積盡可能大，那么切去的3個角面積應盡可能的小.如下切法得到的七邊形的面積最大，為25-3X0.5=23.5（平方厘米）.8 .在圖6-10中，三角形 ABC和 DEF是兩個完全相同的等腰直角三角形，其中DF長9厘米，CF長3厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米 ABC占有9個小等腰三角形，其中陰影部分占有6個小等腰三角形，Sabc =9X 9-2=40.5（平方厘米），所以陰影部分的面積為40. 5-9X 6=27

9、（平方厘米方法二：如圖（b），連接IG,有四邊形ADGI為正方形, 1 1 2米），于是 9hIG = X S正方形 AIGD = X 6 =9.44）易知 FG=FC=3厘米），所以 DG=DF-FG=9-3=6厘而四邊形IGFB為長方形，有 BF=AD=DG=6厘米），GF=3（厘米），所以S長方形IGFB =6X 3=18.陰影部分面積為 A HIG與長方形IGFB的面積和，即為9+18=27（平方厘米）.圖（日）圖圖 6-10【分析與解】方法一：如圖（a），將原題中圖形分為 12個完全一樣的小等腰三角形.方法三：如圖（C），為了方便敘述，將圖 6-10中某些交點標上字母. 易知三角形

10、BIE、CGF AIH、DGH均為等腰直角三角形.先求出等腰直角三角形 AHI、CGF的面積，再用已知的等腰三角形 ABC的面積與其作差，即為需求陰影部分的面積.有乩ABC =SDEF = 1 X EFX DF=81 , SCGF =1 X CFX FG=9 .2 2 2 2因為 CF=FG=3 所以 DG=DF-FG=6812如圖（d），可以將4個三角形DGH拼成一個邊長為 DG的正方形.所以，SACD SDGH= X DG DG=9 而 S AIH =S DGH =9,所以 S陰影 BFGHI49-9=27（平方厘米）.2即陰影部分的面積為 27平方厘米.9. 如圖6-11 ,在長方形 A

11、BCD中, O是長方形的中心，BC長20厘米，AB長12厘米，DE=4AE CF=3DF, 那么陰影部分的面積是多少平方厘米？圖 6- 11【分析與解】我們只用先求出四邊形 ADFO勺面積，再將其減去兩個三角形AEO EFD的面積和,即為所求陰影部分的面積.而四邊形ADFC的面積等于兩個三角形 AOD ODF的面積和.由題意知 AE=4, ED=16, DF=3 FC=9.11有 SaOD = S巨形ABCD =X 20X 12=60,44Sodf=Z X DFX( AD)=2411X 3XX 20=15.221 X4X - X 12=12,2 211Saeo =X AEX( AB)=2211

12、Sefd= X EDX DF= X 16X 3=24.22有 S陰影=(SAOD + S ODF )- S AEO - S EFD =60+15-12-24=39(平方厘米).即陰影部分的面積為 39平方厘米.10. 如圖6-12，大正方形的邊長為10厘米.連接大正方形的各邊中點得小正方形，將小正方形每邊三等分，再將三等分點與大正方形的中心和一個頂點相連，那么圖中陰影部分的面積總和等于多少平 方厘米？圖 6-12【分析與解】如下圖，我們將大正方形中的所有圖形分成A、B兩種三角形.A形三角形4個，B形三角形8個.其中含有A形三角形8個，B形三角形16個，其中陰影部分含有所以，陰影部分面積恰好為大

13、正方形面積的丄，即為丄X 10X 10=50（平方厘米）.2 211 .如圖6-13 , ABCD是邊長為8厘米的正方形，梯形 AEBD的對角線相交于 0，三角形AOE的面積比三 角形BOD的面積小16平方厘米，則梯形 AEBD的面積是多少平方厘米 ？圖 6-13【分析與解】 如下圖，將梯形 AEBD內 4個三角形的面積分別記為、.在梯形AEBD中，有 EBD ABD同底等高，所以有 Sebd=Sabd，即+=+.顯然有 二. 由題意知 Sb o d- Saoe =16 ,即-=16，于是有（+）-（+）=16 .已知I1+二 Sabd = X 8X 8=32,所以 + =（ +）-16=16

14、 .所以有S梯形aebd =（+）+（+）=32+16=48（平方厘米）.評注：在任意梯形ABCD中,兩條對角線將其分成四個部分， 記它們的面積為“上”、“下”、“左”、“右”，有：左=右；左乂右=±X下；上：下 =AD2 : BC2 .12.如圖6-14 , ABCD是長方形，長 AD等于7.2厘米，寬AB等于5厘米，CDEF是平行四邊形.如 果BH的長是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？【分析與解】S平行四邊形 cdef =DCX BC=5<7 .2=36 , HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以. 1 1Scdh= x CDK HC= X 5X4.2=1

15、0.5 .2 2S陰影=$平行四邊形cdef - Scdh =36-10.5=25.5（平方厘米）.13 如圖6-15，已知一個四邊形的兩條邊的長度和三個角，那么這個四邊形的面積是多少【分析與解】有 EC=DC將ADECD=90，所以 CDE為等腰直角三角形,而/ ECD =45，/ EAB=90，所以 ABE也是等腰直角三角形，有 EA=AB有 Sabe= x2ABX EA=49 , SedcX ECX DC=9 .2 2 2有S四邊形ABCD = S ABESEDC =4929 =20.14.圖6-16是邊長為1的正方形和一個梯形拼成的“火炬” 梯形的上底長1.5米，A為上底的中點，B為下

16、底的中點，線段 AB恰好是梯形的高，長為 0.5米，CD長為丟米那么圖中陰影部分的面積是 多少平方米？AS 6-16【分析與解】方法一：為了方便敘述.將下圖中一些點標上字母.延長AB交正方形邊EF于H點，再求出三角形AFH與梯形AHED勺面積和，將前者與1 X( 0.5+1)-( 1 X 1) =0.375 ,2 2=0.625+1-0.375-13 =口 （平方米）.24 24即陰影部分的面積為1717平方米.24有綣影=S梯形JICK +S正方形ifec - S AFH - S梯形AHED方法二：如下圖，連接 AI、AC,將陰影部分分成四個部分. AJI可以看作以AJ為底,AB的長為高的三

17、角形； AKC可以看作以AK為底，AB的長為高的三角形； AJF可以看作以IF為底,IB的長為高的三角形； ACD可以看作CD為底.CB的長為高的三角形.我們先求出梯形 JICK與正方形IFEC的面積和, 后者做差所得到的值即為所求陰影部分的面積.1S梯形 jick = X （1 .5+1） X0 .5=0.625 ,2S正方形 IFEC =1 X 1=1-11 1Safh= X AHX FH= X（ AB+BH X（ FE）=2 2 211111113S梯形 ahed = X (AH+DEX HE= X (AB+BH+CECD)X( _ FE)= X (0.5+1 + 1-) X( X 1)=形 22223224112=0.75X0.5-2+O. 75XO . 5-2+l XO . 5-2+1 X0 . 5-23陰影部分面積為Saji +S_ akc + Saif + S acd=0.1875+0.1875+0.25+（平方米）2