1、山東省棗莊市高考數學一模試卷（理科）1.A.2. A.、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50 分） 已知i為虛數單位，則i2016=（）1 B . - 1 C. i D . - i已知全集 U=1 , 2, 3, 4, 5, 6，集合 A=2, 14, 5,B=1, 3, 5，則(?UA) U B=()3.已知B. 3 C. 1, 3, 5, 6 D . 1, 3P (B)=丄,P (AB )12A與B是兩個事件,B .丄4.函數f (x)=|(2x 亠 1)T的定義域為（A. (- , 1B. 1, +95.已知實數x,y滿足6.D ABC7.函數，則P (A|B)=()c.(寺,1 D

2、.(寺,，若z=2x+y的最大值為3，則實數a的值為（）a1-JL-/*1 -H 4 21* 1所在平面內一點，AD =-起+AC，若岡=W (入 R),則 店(C .- 1 D .C. - 2D . - 3f ( x) =2cos (2x+ 0) sin B sin2 (x+ 0) ( B 為常數，且 0圖象的一個對稱中心的坐,0) D . ( 0, 0)標為（A.(-,0) B . (0, 0) C.(1r：32A . - 1 B . 4C.2D. 310.若函數 f (x) =| x|+A.i +8)B . (2, +9)C.（a 0 ）沒有零點，貝U a的取值范圍是（ 丄! : -1

3、：| D. （0, 1） U)(2, +s)、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25 分）11. 若？ x -“三,mw tanx+1 ”為真命題，則實數 m的最大值為 .12. 若函數f (x) =|x+1|+| x+a|的最小值為1,則實數a的值為.13 從2名語文老師，2名數學老師，4名英語老師中選派 5人組成一個支教小組，則語文老師、數學老師、 英語老師都至少有一人的選派方法種數為 .(用數字作答)r)組成一個幾14.圓錐被一個平面截去一部分，剩余部分再被另一個平面截去一部分后，與半球(半徑為 何體，則該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若r=1，則該幾何體的體積為1415.在平

4、面直角坐標系 xOy中，雙曲線C1：2+- =1 ( ab0)交于22XyTab=1的漸近線與橢圓C2：第一、二象限內的兩點分別為 A、B，若 OAB的外接圓的圓心為(0, 一： a),則雙曲線 G的離心率為三、解答題(共6小題，滿分75分)16. 如圖，在 ABC 中，點 D 在邊 BC 上, BD=2 , BA=3 , AD= .，/ C=45 (1) 求/ B的大小；(2) 求厶ABD的面積及邊 AC的長.17. 一次測試中，為了了解學生的學習情況，從中抽取了n個學生的成績(滿分為100分)進行統計按照50, 60), 60, 70), 70, 80), 80 , 90), 90 , 1

5、00的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數的 莖葉圖(圖中僅列出了得分在50 , 60), 90 , 100的數據).沖阜井li HR詔菱對聞(1) 求樣本容量n和頻率分布直方圖中 x、y的值；(2) 在選取的樣本中，從成績是 80分以上(含80分)的同學中隨機抽取 3名參加志愿者活動，設 X表示 所抽取的3名同學中得分在80 , 90)內的學生個數，求 X的數學期望及方差.18. 如圖，在四棱錐 ABCD - A1B1C1D1中，側棱AA1丄平面ABCD ,底面ABCD為菱形，/ ABC=120 , AB=AA 1=2 , AC QBD=O , E、F分別是線段A1D、BC1的中點，延長

6、D1A1到點G,使得D1AWAG .(1) 證明：GB /平面DEF ;(2) 求直線GD與平面DEF所成角的正弦值.(1)求數列an的通項公式;(2)設bn=3a2n+2 n-7, Sn是數列bn的前n項和，求Sn以及Sn的最小值.20.已知拋物線 C: y2=2px ( p豐0)的焦點F在直線2x+y - 2=0 上.(1) 求拋物線C的方程；(2) 已知點P是拋物線C上異于坐標原點 O的任意一點，拋物線在點 P處的切線分別與x軸、y軸交于點 B, E,設=入！，求證：入為定值；(3) 在(2)的條件下，直線PF與拋物線C交于另一點A，請問： PAB的面積是否存在最小值？若存在， 請求出最

7、小值及此時點P的坐標，若不存在，請說明理由.121 .已知函數 f (x) =x 1 a (x- 1) 2- lnx (a R).(1) 當a=0時，求函數f (x)的單調區間；(2) 若函數g (x) =f (x)- x+1有一個極小值點和一個極大值點，求a的取值范圍；(3) 若存在k ( 1, 2),使得當x( 0, k時，f (x)的值域是f (k), +s),求a的取值范圍.注：自 然對數的底數e=2.71828山東省棗莊市高考數學一模試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題(共10小題，每小題5分，滿分50分)1. 已知i為虛數單位，則i216=()A . 1 B . - 1 C.

8、i D . - i【考點】虛數單位i及其性質.【分析】利用i4=1，即可得出.【解答】解：T i4=1 ,. j2016=j4逐04=1故選：A.2. 已知全集 U=1 , 2, 3, 4, 5, 6，集合 A=2, 4, 5, B=1, 3, 5，則(？uA) U B=()A. 1 B. 3 C. 1, 3, 5, 6 D . 1, 3【考點】交、并、補集的混合運算.【分析】根據全集U求出A的補集，找出A補集與B的并集即可.【解答】解：全集 U=1 , 2, 3, 4, 5, 6，集合 A=2, 4, 5, ?UA=1, 3, 6,- B=1, 3, 5,則(?UA) U B=1 , 3,

9、5, 6.故選：C.3. 已知A與B是兩個事件，P ( B)=丄，P (AB )，則P (A| B)=()【考點】條件概率與獨立事件.【分析】由條件概率的計算公式，代入數據計算可得答案.丄【解答】解：由條件概率的計算公式，可得P (B| A)二 一丄11A . (- a, 1B . 1 , +8)C.(11, 1 D.,+m)4.函數f (x)=十琴色門的定義域為()【考點】函數的定義域及其求法.【分析】 根據函數成立的條件，即可求函數的定義域.T 故選：D.【解答】解：要使函數f (x)有意義，貝U 1dSC2H2即 0 v 2x - 1 w 1, 即 卩 1 v 2x w 2, 解得土 v

10、 x w 1 , 故函數的定義域是(寺，1, 故選：C5.已知實數x,，若z=2x+y的最大值為3，則實數a的值為()A. 1 B . 2 C. - 1 D .-2【考點】簡單線性規劃.【分析】作出不等式組對應的平面區域，根據z的幾何意義，利用數形結合即可得到a的值.【解答】解：不等式組對應的平面區域如圖:由 z=2x+y 得 y= - 2x+z,平移直線y= - 2x+z，則由圖象可知當直線 y= - 2x+z經過點A時直線 此時z最大，為2x+y=16y= - 2x+z的截距最大,解得I尸此時點A在x+y=a, 即2 -仁a,，即 A (2,-1),解得a=1,故選：A.A5-卜.1 4

11、-_州卜 州6.設 DABC 所在平面內一點，AU = - +=AC,若田 = W (入 R),貝U ；=()A . 2 B . 3 C. - 2 D . - 3【考點】平行向量與共線向量.【分析】DABC所在平面內一點， -丄疋J ,可得B, C, D二點共線若BC =（入 R）,p-I Q _討可得AC - AB= X AC- X AD，化簡與AD =-二汀AC比較，即可得出.【解答】 解： D ABC所在平面內一點， 石=-話fe, B , C, D三點共線. 若=入（疋 R）,一 1一 k -1_化為：AD = +一 AC,一 1 4 一1 I 1 入-1 憶與|=-_：,+-比較，可

12、得：一廠=-,，解得則 Q-3.故選：D.,kZ)圖象的一個對稱中心的坐7.函數 f ( x) =2cos (2x+ 0) sin B-sin2 (x+ 0) ( B 為常數，且 片標為(A.(-)7T16*2,0) B . (0, 0) C.(三角函數中的恒等變換應用.由三角函數公式化簡可得 f (x) = - 2sin2x，由奇函數的對稱性結合選項可得. 解：由三角函數公式化簡可得：,0)D .( 0, 0)【考點】【分析】【解答】f (x) =2cos (2x+ 0) sin 0- sin2 (x+ 0)=2cos ( 2x+ 0) sin 0 - sin (2x+ 0 ) + 0=2c

13、os ( 2x+ 0) sin 0-sin (2x+ 0) cos 0- cos (2x+ 0) sin0 =cos (2x+ 0) sin 0- sin (2x+ 0) cos 0=sin (滿足f【分析】先判斷函數的奇偶性，再判斷函數值的變化趨勢，即可判斷.0- 2x- 0) = - 2sin2x,(-x) =-f (x)即函數為奇函數，圖象關于原點對稱.【解答】解：T f (- x)=-=-f ( x), y=為奇函數,圖象關于原點對稱, 當 xt+8時，yO,當 0v xv,y 0,9.執行如圖所示的程序框圖,那么輸出的S的值為()【考點】【分析】故選：A.3程序框圖.根據所給數值判定

14、是否滿足判斷框中的條件，然后執行循環語句，一旦不滿足條件就退出循環,從而到結論.【解答】解：由題意，模擬執行程序，可得S=- 1, k=1滿足條件 kv 2016 , S=4, k=2滿足條件 kv 2016 , S-, k=3滿足條件 kv 2016 , S=二，k=4滿足條件 kv 2016 , S=- 1, k=5觀察規律可知，S的取值周期為4,由2016=504 X 4,可知3滿足條件 kv 2016，S=二，k=20152S的值為二.滿足條件 kv 2016 , S=, k=2016 |3|不滿足條件kv 2016，退出循環，輸出故選：D.10. 若函數f (x) =|x|+門(a0

15、)沒有零點，貝U a的取值范圍是()A. H 亠:B. (2, +R)C. 一 ，D. (0, 1) U (2, +R)【考點】函數的零點與方程根的關系.【分析】根據函數f ( x)沒有零點，等價為函數 y= ，-與y= . ： - | x|的圖象沒有交點，在同一坐標系 中畫出它們的圖象，即可求出a的取值范圍.【解答】解：令| x|+需一”-血=0得且-工2辺-|x| ,令 滬:,-,則x2+y2=a,表示半徑為.,圓心在原點的圓的上半部分，y= . ： - |x|，表示以(0,：) 端點的折線，在同一坐標系中畫出它們的圖象：如圖，根據圖象知，由于兩曲線沒有公共點，故圓到折線的距離小于1,或者

16、圓心到折線的距離大于半徑.:, a的取值范圍為(0, 1) U (2, +R)二、填空題(共5小題，每小題5分，滿分25分)兀 7U11. 若？ x -一, ,mw tanx+1 ”為真命題，則實數 m的最大值為0【考點】全稱命題.【分析】求出正切函數的最大值，即可得到m的范圍.兀 XI【解答】解：？x - , mb0)交于C2：第一、二象限內的兩點分別為【考點】橢圓的簡單性質.2【分析】由雙曲線C1：-離公式可得:A、B，若 OAB的外接圓的圓心為（0，血 a）,則雙曲線“的離心率為_円I bi-=1，可得漸近線為y=x，與橢圓方程聯立解得 A，利用兩點之間的距22y?TT -ab【解答】解

17、：由雙曲線C1：，可得漸近線為y=二x,3.=.a解得a利用雙曲線&的離心率即可得出.聯立円b y=2ax2 y2 T+r2=1 a h，解得則，y - - 二 化為：b2 - 4ab+a2=o , 解得 _=2 -;.a雙曲線Cl的離心率=故答案為：弋$ -弋買.a.H三、解答題（共6小題，滿分75 分）16.如圖，在 ABC中，點D在邊BC上，BD=2 ,（1）求/ B的大小；BA=3 , AD= . ； ,/ C=45 （2）求厶ABD的面積及邊 AC的長.【分析】（1）直接利用余弦定理化簡求解即可.（2）禾U用三角形的面積以及正弦定理求解即可.【解答】解：（1 ）在厶ABD中，由余弦定

18、理，得又 0 Z B v 180 所以/ B=60 (2)池AED3 X ,于是直線 GD與平面DEF所成角的正弦值等于| cosv寸和平面DEF:|- i | .U 八匚為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標O-xyz.AB=AD=BC=2 ，/ ABC=120 【解答】證明：(1)以O為坐標原點，分別以在菱形ABCD中， BD=2， :, O 為 AC 和 BD 的中點.又 AA 1平面 ABCD , AA1=2 . B (1, 0, 0), D (- 1, 0, 0),卜f斬佰 2), C(0,廣，D1 (- 1 , 0 , 2)./ E、F分別是線段A1D、BC1的中點，+ 2_二1

19、, 于是卄(弋.牛 設平面DEF的一個法向量.二一.-D,麗二晅、0)，鬲珂0殳-2).x, y, z).n* ED=OnE?=O令 y= - 1，得I，:孑(2 s+V3y=o,；：= (，-，冋)V10535=:|GD|n|直線GD與平面BEF所成的角的正弦值為|cosv 19. 數列an滿足 ai=i, a2=q,(1) 求數列an的通項公式；anan+i是公比為二的等比數列. -工=， .又 GB?平面 DEF ,. GB /平面 DEF .(2)n4 -亍-2-;, | ; ,| =2 _ ； |= . 7. cosv#.匚(2) 設bn=3a2n+2 n-7, Sn是數列bn的前n

20、項和，求Sn以及Sn的最小值.【考點】數列遞推式；數列與函數的綜合.豈 L *【分析】(1)可求得 =7；從而可得隔項成等比數列，從而分別求通項公式；空Sn,討論其單調性(2)化簡b二孔占)2 +2n- T=-2n-7，從而利用拆項求和法求 nZn9 7小從而求最小值.的等比數列, ai, a3, a5, a?,，a2k-i, 是公比為q二寺的等比數列;1a2, a4, a6,西，a2k, 是公比為的等比數列.當n為奇數時，設 n=2k - 1 (k N*),皆牡-1二“ J_、（寺廣_1=.當n為偶數時，設n=2k （ k N*）,綜上,n- 1(y) 2 ,說哥Krt（寺）兀曲偶數.I匕

21、2n（2）二九心十山&3寺）2吃n-加-72上計）吃1+2+3+口）- 7r23 211,3 , 3Sn=bl + b2+b3+bn=.nn 2Fn (n+1) - Tn1詩=- En+3 -2n即1當n 3時，（ n - 3） 2 - 6和 都是關于n的增函數,2 -.當n 3時，Sn是關于n的增函數，即S3V S4V S5V. - . .- _. Si S2S3；二220.已知拋物線 C: y =2px （ p豐0）的焦點F在直線2x+y - 2=0 上.（1）求拋物線C的方程；（2）已知點P是拋物線C上異于坐標原點 O的任意一點，拋物線在點 P處的切線分別與x軸、y軸交于點 B, E,設

22、戸入I】，求證：入為定值；（3） 在（2）的條件下，直線PF與拋物線C交于另一點A，請問： PAB的面積是否存在最小值？若存在， 請求出最小值及此時點 P的坐標，若不存在，請說明理由.【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；拋物線的標準方程.【分析】（1）拋物線C的焦點F （牙，）在x軸上，求出p=2 由此能求出拋物線 C的方程.(2)由點P是C上異于坐標原點 O的任意一點，設.設切線BP的方程為由y-t二，得:ky2-4y - kt2+4t=0，由此利用根的判別式、切線方程，結2y =4合已知條件能證明入為定值.(3)設直線FP的方程為x=my + 1，由|x(4f t2)x|a-ir+12y，令

23、卓t丨“產。)，則f (t)為偶函數，只需研究函，得:J -町-，由此利用韋達定理、弦長公式得到4Sa pab=數f (t)在t 0時的最小值即可.禾U用導數性質能求出結果.【解答】解：(1)由題意，拋物線 C的焦點F在方程2x+y- 2=0中，令y=0,得x=1 . 在x軸上.-曰是,所以,證明:上二i.解得p=2.拋物線C的方程為y2=4x .(2)由點P是C上異于坐標原點 O的任意一點，設p(才 土)(十工0).設切線BP的斜率為k,則切線BP的方程為.- y- t=k(x )，消去x并整理得：ky2- 4y kt2+4t=0 .2_y 二4工由k工0,考慮到判別式 =16- 4k (-

24、 kt2+4t) =0. 可得4 ( kt - 2) 2=0 .所以kt - 2=0 .故切線BP的斜率切線BP的方程為y - t=仗，令x=0，得，令y=o,得所以,j. ;C：-;1I 所以 - .故二二，為定值.解：(3)由直線FP過點F (1, 0),設直線FP的方程為x=my +1.，消去x得:1所以點B的坐標為t24，0).亠)4 12，步222亠斗，0) - ( t (-亠 t)442；,即 尸專.所以點E的坐標為0，寺);-my- 1=0.由韋達定理，得yAyp= -4.所以丫包二2血F 詩K (1+V3x 1 7吉X (4+ X沖十I令fCt)=y (4+t2)X |-譏產0

25、)，則f (t)為偶函數，當t 0時，f(t)二寺(4十)(t3+8u1t6)于是一7-I只需研究函數 f (t)在t 0時的最小值即可.耳)(3t4+8t2 - 16二一 (3t 8tJStJ0t 0時，函數f (t)在| 0, f (t)為增函數.寸取最小值因為f (t)為偶函數，當t V 0時，函數f (t)在-y-時取最小值2當I -時，點P的坐標為V3綜上， PAB的面積存在最小值 ；當1&V3，點P的坐標為如請.)或1421 .已知函數 f (x) =x- 1 - a (x- 1) 2- Inx (a R).(1) 當a=0時，求函數f (x)的單調區間；(2) 若函數g (x)

26、=f (x)- x+1有一個極小值點和一個極大值點，求a的取值范圍；(3) 若存在k ( 1, 2),使得當x( 0, k時，f (x)的值域是f (k), +),求a的取值范圍.注：自 然對數的底數e=2.71828【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值.【分析】(1)(2) 求出g(3) 求出f【解答】解:求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；(x)的導數，得到關于 a的不等式組，解出驗算即可；(x)的導數，通過討論 a的范圍確定函數的單調區間，得到關于a的不等式，解出即可.(1) f (x)的定義域為(0, +8).1 * 8 :當 a=0 時，f (x)二 1 - =if (x)v 0? 0 V XV 1 ； f (x) 0? x 1.所以，函數f (X)的增區間為(1, +8),減區間為(0, 1). -2(2) g (x) = - a (x - 1) 2-Inx,則呂(血)二-2巳(龍- 1) -丄2曲十1令h (x) =2ax2-2ax+1 (x0)，若函數g (x)有兩個極值點, 則方程h (x) =0必有兩個不等的正根，設兩根為X1, X2,二4護-k1 + x7=10解得a2.當a2時，h ( x) =0有兩個不相等