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文檔簡介
1、第一章 隨機事件與概率一、單項選擇題1.擲一枚骰子,設A=出現奇數點,B=出現1或3點,則下列選項正確的是( B).A. AB=出現奇數點 B. =出現5點C. =出現5點 D. 2.設A、B為任意兩個隨機事件,則下列選項中錯誤的是 ( A ). A. B. C. D.3.將一枚勻稱的硬幣投擲兩次,令Ai=第i次正面向上(i=1,2),則“至少有一次正面向上”可表示為 ( D ). A. B. C. D.4.某人向一目標射擊3次,設Ai表示“第i次射擊命中目標”(i=1,2,3),則3次都沒有命中目標表示為 ( A ). A. B. C. D.5.設A與B為互為對立事件,且,則下列各式中錯誤的
2、是( A ). A. B. C. D. 6.設事件A與B相互獨立,P(A)=0.2, P(B)=0.4, 則= ( D ). A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.87.已知事件A與B互不相容, P(A)>0, P(B)>0, 則 ( C ). A. B. C. D.8.設P(A)=0, B為任一事件, 則 ( C ). A. B. C.A與B相互獨立 D. A與B互不相容9.已知P(A)=0.4, P(B)=0.5, 且,則P(A|B)= ( C ). A. 0 B. 0.4 C. 0.8 D. 110.設A與B為兩事件, 則= ( B ). A. B. C. D.
3、 11.設事件, P(A)=0.2, P(B)=0.3,則 (A ). A. 0.3 B. 0.2 C. 0.5 D. 0.4412.設事件A與B互不相容, P(A)=0.4, P(B)=0.2, 則P(A|B)= ( D ). A. 0.08 B. 0.4 C. 0.2 D. 013.設A, B為隨機事件, P(B)>0, P(A|B)=1, 則必有 ( A ). A. B. C. P(A)=P(B) D. P(AB)=P(A)14.從1,2,3,4,5中任意取3個數字,則這3個數字中不含5的概率為 ( A ). A. 0.4 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.7515.某學習小
4、組有10名同學,其中6名男生、4名女生,從中任選4人參加社會活動,則4人中恰好2男2女的概率為 ( A ). A. B.0.4 C. 0.25 D.16.某種動物活20年的概率為0.8,活25年的概率為0.6,現有一只該種動物已經活了20年,它能活到25年的概率是 ( B). A. 0.48 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.817.將兩封信隨機地投到4個郵筒內,則前兩個郵筒內各有一封信的概率為 ( A ). A. 0.125 B. 0.25 C. 0.5 D. 0.418.一批產品的合格品率為96%,而合格品中有75%是優質品,從該批產品中任取一件恰好是優質品的概率為 ( A ). A
5、. 0.72 B. 0.75 C. 0.96 D. 0.7819.設有10個產品,其中7個正品,3個次品,現從中任取4個產品,則這4個都是正品的概率為 ( C ). A. B. C. D. 20.設有10個產品,其中8個正品,2個次品,現從中抽取3次,每次任取1個,取后放回,則取到的3個產品都是正品的概率為 ( C). A. B. C. D. 21.某人打靶的命中率為0.4,現獨立地射擊5次,則5次中恰有2次命中的概率為 ( C). A. B. C. D. 22.隨機地拋擲質地勻稱的6枚骰子,則至少有一枚骰子出現6點的概率為 ( D ). A. B. C. D.23.把3個不同的球分別放在3個
6、不同的盒子中,則出現2個空盒的概率為( A ). A. B. C. D. 24.從1,2,3,4,5,6六個數字中,等可能地、有放回地連續抽取4個數字,則取到的4個數字完全不同的概率為 ( A ). A. B. C. D. 25.某人每次射擊命中目標的概率為p(0<p<1),他向目標連續射擊,則第一次未中第二次命中的概率為 ( D ). A. p2 B. (1-p)2 C. 1-2p D. p(1-p)二、填空題1.一個盒子中有6顆黑棋子、9顆白棋子,從中任取兩顆,則這兩顆棋子是不同色的概率為 18/35 .2.甲乙兩人,每人扔兩枚均勻硬幣,則兩人所扔硬幣均未出現正面的概率為 1/
7、16 . 3.設袋中有5個紅球、3個白球和2個黑球,從袋中任取3個球,則恰好取到1個紅球、1個白球和1個黑球的概率為 0.25 . 4.從數字1,2,10中有放回地任取4個數字,則數字10恰好出現兩次的概率為 0.0486 . 5.甲乙丙三人各自獨立地向一目標射擊一次,三人的命中率分別是0.5,0.6,0.7,則目標被擊中的概率為 0.94 .6.甲袋中裝有兩白一黑共3個球,乙袋中裝有一白兩黑共3個球,從甲袋中任取一球放入乙袋中,再從乙袋中任取一球,則取到白球的概率為 5/12 .7.設事件A與B互不相容,P(A)=0.2, P(B)=0.3, 則= 0.5 .8.設事件A與B相互獨立,且P(
8、A+B)=0.6, P(A)=0.2, 則P(B)= 0.5 .9.設,則P(AB)= 0.42 .10.設,則P(A+B+C)= 5/12 . 11.已知P(A)=0.7, P(A-B)=0.3, 則= 0.6 . 12.某射手對一目標獨立射擊4次,每次射擊的命中率為0.5,則4次射擊中恰好命中3次的概率為 0.25 . 13.已知P(A)=0.4, P(B)=0.8, P(B|A)=0.25, 則P(A|B)= 0.125 . 14.設,則= 1/3 .15.一批產品的廢品率為4%,而正品中的一等品率為60%,從這批產品中任取一件是一等品的概率為 0.576 . 16.甲、乙兩門高射炮彼此
9、獨立地向一架飛機各發一炮,甲、乙擊中飛機的概率分別為0.4,0.5,則飛機至少被擊中一炮的概率為 0.7 .三、計算題1.設P(A)=0.4, P(B)=0.2, , 求P(AB)以及P(A|B).解:由得:即,解得:P(AB)=0.02. 從而, .2.已知求:(1);(2)P(AB);(3);(4) ;(5)P(B-A).:(1)由概率的性質,知;(2)因為,所以,P(AB)=P(A)=0.2;(3)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)=0;(4) 因為,所以, =P(B)=0.3;或者,=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.3-0.2=0.3;(5) P(B
10、-A)=P(B)-P(AB)=0.3-0.2=0.1.3.若事件A與B互不相容,P(A)=0.6, P(A+B)=0.9, 求:(1);(2);(3).解:(1) 因A與B互不相容,故,P(AB)=0,所以=1-P(AB)=1;(2) 因A與B互不相容,由加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B),得P(B)=0.3,從而 =;(3) =.4.已知事件A與B相互獨立,且P(A)=0.4, P(A+B)=0.6, 求(1)P(B);(2) ;(3)P(A|B).解:(1)因為事件A與B相互獨立,所以P(AB)=P(A)P(B),0.6=0.4+P(B)-0.4P(B),解得:P(B)=;(2)
11、因為事件A與B相互獨立,所以A與也相互獨立,故=;(3) 因為事件A與B相互獨立,所以P(A|B)=P(A)=0.4.四、應用題1.一批產品共有50個,其中40個一等品、6個二等品、4個三等品,現從中任取3個產品,求3個產品中至少有2個產品等級相同的概率.解:設A“3個產品中至少有2個產品等級相同”,“3個產品等級都不同”,由古典概率定義,得,從而.2.10把鑰匙中有3把能打開門,現從中任取2把,求能打開門的概率.解:A“取出2把鑰匙能打開門”,由古典概率知: .3.將5雙不同的鞋子混放在一起,從中任取4只,求這4只鞋子至少能配成一雙的概率.解:A“4只鞋子中至少能配成一雙”,則“4只鞋子都不
12、同”.由古典概率得:,故.4.從0,1,2,3這4個數中任取3個進行排列,求取得的三個數字排成的數是三位數且是偶數的概率.解:A“排成的數是三位數且是偶數”,A0“排成的三位數末位是0”,A2“排成的三位數末位是2”,則A=A0+A2,且A0與A2互不相容,因為 所以,.5.一批零件共100個,次品率為10%,每次從中任取一個零件,取出的零件不再放回去,求下列事件的概率:(1)第三次才取得合格品;(2)如果取得一個合格品后就不再取零件,在三次內取得合格品.解:設Ai “第i次取到合格品”(i=1,2,3),則(1)第三次才取到合格品的概率為: .(2)A“三次內取得合格品”,則,所求概率為:
13、6.盒子中有8個紅球和4個白球,每次從盒子中任取一球,不放回地抽取兩次,試求:(1) 兩次取出的都是紅球的概率;(2)在第一次取出白球的條件下,第二次取出紅球的概率;(3)第二次取到紅球的概率.解:A1“第一次取出的是紅球”,A2“第二次取出的是紅球”,則(1)由乘法公式得,兩次取出的都是紅球的概率為: ;(2)在第一次取出白球的條件下,第二次取出紅球的概率為:;(3)由全概率公式得,第二次取到紅球的概率為: .7.某工廠有三臺設備生產同一型號零件,每臺設備的產量分別占總產量的25%,35%,40%,而各臺設備的廢品率分別是0.05,0.04,0.02,今從全廠生產的這種零件中任取一件,求此件
14、產品是廢品的概率.解:設Ai“第i臺設備生產的零件”(i =1,2),B“產品是廢品”,由題意知:P(A1)=25%,P(A2)=35%,P(A3)=40%,P(B|A1)=0.05, P(B|A2)=0.04, P(B|A3)=0.02,由全概率公式得,產品是廢品的概率為: .8.兩臺車床加工同一種零件,加工出來的零件放在一起,已知第一臺出現廢品的概率是0.03,第二臺出現廢品的概率是0.02,且第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍.(1)求任取一個零件是合格品的概率;(2)如果取出的是廢品,求它是由第二臺車床加工的概率.解:設B“零件是合格品”,A“第一臺車床加工的零件”,則“第二臺車
15、床加工的零件”,由題意知:.(1)由全概率公式得: ;(2)由貝葉斯公式得,如果取出的是廢品,求它是由第二臺車床加工的概率為: 9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假設男人女人各占一半.現隨機地挑選一人,求:(1)此人恰是色盲的概率是多少?(2)若隨機挑選一人,此人是色盲,問他是男人的概率多大?(3)若隨機挑選一人,此人不是色盲,問他是男人的概率多大?解:設B“色盲患者”,A“隨機挑選一人是男人”,由題設知: ,則(1)由全概率公式得,隨機挑選一人是色盲的概率為: ;(2)由貝葉斯公式得,隨機選一人是色盲,他是男人的概率為: ;(3)由貝葉斯公式得,隨機選一人不是色盲,他是男人的概率為
16、:.10.現有10張考簽,其中4張是難簽,甲、乙、丙三人抽簽考試(取后不放回),甲先乙次丙最后,求下列事件的概率:(1)甲乙都抽到難簽;(2)甲沒有抽到難簽,而乙抽到難簽;(3)甲乙丙都抽到難簽;(4)證明:甲乙丙抽到難簽的機會均等.解:設A,B,C分別表示“甲、乙、丙抽到難簽”,則(1)甲乙都抽到難簽的概率為:;(2)甲沒有抽到難簽,而乙抽到難簽的概率為: ;(3)甲乙丙都抽到難簽的概率為: ;(4)由古典概率知,甲抽到難簽的概率為:.由全概率公式得,乙抽到難簽的概率為: .丙抽到難簽的概率為: =0.4.得,P(A)=P(B)=P(C)=0.4,所以,甲乙丙抽到難簽的機會均等,各占40%.
17、11.三個人向同一敵機射擊,設三人命中飛機的概率分別為0.4,0.5和0.7.若三人中只有一人擊中,飛機被擊落的概率為0.2;若有兩人擊中,飛機被擊落的概率為0.6;若三人都擊中,則飛機必被擊落.求飛機被擊落的概率. 解:設Ai表示“三人中恰有i人擊中飛機”,i=0,1,2,3.B“飛機被擊落”.A0, A1, A2, A3構成完備事件組,且,,.由題設知:.故,由全概率公式得,飛機被擊落的概率為: .12.在上題中,假設三人的射擊水平相當,命中率都是0.6,其他條件不變,再求飛機被擊落的概率.解:設Ai表示“三人中恰有i人擊中飛機”,i=0,1,2,3.B“飛機被擊落”.A0, A1, A2
18、, A3構成完備事件組,且由貝努里公式得:,.由題設知:.故由全概率公式得,飛機被擊落的概率為:.13.已知一批產品中有95%是合格品,檢查產品質量時,一個合格品被誤判為次品的概率為0.02,一個次品被誤判為合格品的概率為0.03,求:(1)任意抽查一個產品,它被判為合格品的概率;(2)一個經檢查被判為合格的產品,它確實是合格品的概率.解:設A“產品是合格品”,B“經檢查產品被判為合格品”,且由題意知:P(A)=95%, .則(1)由全概率公式得,任意抽查一個產品,它被判為合格品的概率為: ;(2)由貝葉斯公式得,一個經檢查被判為合格的產品,它確實是合格品的概率為: .14.一個工人看管三臺機
19、床,在一小時內機床不需要工人看管的概率第一臺為0.9,第二臺為0.8,第三臺為0.7,且三臺機床是否需要看管彼此獨立.求在一小時內三臺機床中最多有一臺需要工人看管的概率.解:設Ai“第i臺機床需要看管”,i=1,2,3. “三臺機床中最多有一臺需要工人看管”表示為,且這4個事件兩兩互不相容,由加法與獨立性知,所求的概率為: 15.加工某一零件共需經過三道工序,設第一、第二、第三道工序的次品率分別是2%,3%,5%.假定各道工序是互不影響的,問加工出來的零件的次品率是多少?解:設Ai“第i道工序加工出次品”,i=1,2,3.則加工出來的零件是次品表示為A1+A2+A3,且A1,A2,A3相互獨立
20、,從而也相互獨立.所求概率為: .16.甲、乙、丙三人獨立地破譯一密碼,他們各自能破譯出的概率分別是0.4,0.6,0.7,求此密碼被破譯的概率.解:設A,B,C分別表示“甲、乙、丙破譯出密碼”,則A+B+C表示“密碼被破譯”,且A,B,C相互獨立,從而也相互獨立,故所求概率為: .17.有甲、乙兩批種子,發芽率分別為0.8和0.7,各在兩批中隨機取一粒,求:(1)兩粒種子都能發芽的概率;(2)至多有一粒種子能發芽的概率;(3)至少有一粒種子能發芽的概率.解:設A,B分別表示“甲、乙種子發芽”,由題設知: .(1)兩粒種子都能發芽的概率為:;(2)至多有一粒種子能發芽的概率為: ;(3)至少有
21、一粒種子能發芽的概率為: .18.一批產品有70%的一級品,進行重復抽樣檢查,共抽取5件樣品,求:(1)取出5件樣品中恰有2件一級品的概率p1;(2)取出5件樣品中至少有2件一級品的概率p2;(3)取出5件樣品中至少有一件一級品的概率p3.解:該問題是參數p=0.7的5重貝努里試驗,由貝努里公式得:(1)取出5件樣品中恰有2件一級品的概率p1=;(2)取出5件樣品中至少有2件一級品的概率為: p2=;(3)取出5件樣品中至少有一件一級品的概率為:p3=.19.一射手對一目標獨立地射擊4次,若至少命中一次的概率為, 求射手射擊一次命中目標的概率.解:設射手射擊一次命中目標的概率為p,由貝努里定理
22、知,4次射擊中至少有一次命中目標的概率為:,由題設知: ,解得:.20.一射手對一目標獨立地射擊, 每次射擊命中率為p, 求射擊到第4次時恰好兩次命中的概率.解:射手射擊到第4次恰好有兩次命中目標,即第四次命中,而前三次中恰有一次命中,由貝努里定理知,所求概率為: .五、證明題1.設0<P(B)<1,證明事件A與B相互獨立的充分必要條件是.證:必要性 設事件A與B相互獨立,則P(AB)=P(A)P(B),P(A|B)=P(A),又 ,所以,.充分性 若,則 ,對上式兩端化簡,得:,所以A與B相互獨立2.證明條件概率的下列性質:(1)若P(B)>0,則;(2)若A與B互不相容,
23、則;(3).證:(1)因為,而,所以,且,;(2)若A與B互不相容,則AC與BC也互不相容,從而 ;(3)由性質(2)得:,又,由性質(1)知,所以,即第二章 隨機變量及其概率分布X 0 1 2P0.3 0.2 0.5 一、單項選擇題1.設隨機變量X的分布律為 則PX<1= ( C). A. 0 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.5X 0 1 2 3P0.1 0.2 0.3 a2.設隨機變量X的概率分布為則a= ( D ). A. 0.2 B. 0.3 C. 0.1 D. 0.43.設隨機變量X的概率密度為則常數c = ( D ). A. B. C. - D. 14.設隨機變量X的概
24、率密度為則常數a = ( D ). A. B. C. 3 D. 45.下列函數中可作為某隨機變量的概率密度函數的是 ( A ). A. B. C. D. 6.設函數在區間上等于,而在此區間外等于0;若可以作為某連續型隨機變量的概率密度函數,則區間為 ( A ). A. B. C. D. 7.下列函數中,可以作為某隨機變量X的分布函數的是 ( C ). A. B. C. D. 8.設是隨機變量X的分布函數,則 (B ). A. 一定連續 B. 一定右連續 C. 是不增的 D. 一定左連續9.設是隨機變量X的分布函數,則下列結論錯誤的是( D ). A.是定義在上的函數 B. C. D.對一切實數
25、x,都有0<<110.設隨機變量的概率分布為,則常數a=( B ). A. 1 B. C. 2 D. X 0 1 2 3P0.3 0.4 0.1 0.211.已知隨機變量X的分布律為 是X的分布函數,則F(2.5)= ( B ). A. 0.7 B. 0.8 C. 0.1 D. 112.隨機變量X的概率密度,則( A ). A. B. C. D.X -1 0 1 2 P0.1 0.2 0.3 0.413.已知隨機變量X的分布律為若隨機變量Y=X2,則PY=1= ( C ). A. 0.1 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.214.設隨機變量XB(4, 0.2),則PX>3
26、= ( A ). A. 0.0016 B. 0.0272 C. 0.4096 D. 0.819215.設隨機變量XN(1,4),Y=2X+1,Y ( C ). A. N(1, 4) B. N(0, 1) C. N(3, 16) D. N(3, 9)16.設,是N(0, 1)的分布函數,則= ( D ). A. B. C. D.17.設XN(-1,4),是N(0, 1)的分布函數,則P(-2<X<0)= ( A ). A. B. C. D.18.設XN(0,1),是X的概率密度函數,則 ( C ). A. 0 B. 0.5 C. D. 119.設X服從均勻分布U0,5,Y=3X+2,
27、則Y服從 ( B ). A. U0, 5 B. U2, 17 C. U2, 15 D. U0, 1720.某種商品進行有獎銷售,每購買一件有0.1的中獎率.現某人購買了20件該商品,用隨機變量X表示中獎的件數,則X的分布為 ( D ). A.正態分布 B.指數分布 C.泊松分布 D.二項分布21.設X服從參數的泊松分布,是X的分布函數,則下列正確的選項是 ( B ). A. B. C.P(X=0)=P(X=1) D.22.設X服從參數的泊松分布,且,則= ( C ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空題1.若,其中x1<x2, 則= 1 .X -2 0 1 2 P0.1 0
28、.2 0.3 0.42.設隨機變量X的概率分布為記Y=X2, 則P(Y=4)= 0.5 .3.若X是連續型隨機變量, 則P(X=1)= 0 .4.設隨機變量X的分布函數為F(x), 已知F(2)=0.5, F(-3)=0.1, 則= 0.4 .5.設隨機變量X的分布函數為,則其密度函數為 .6.設連續型隨機變量X的分布函數為, 其密度函數為,則= 1/2 .7.設隨機變量X的分布函數為, 則當x>0時, X的概率密度= 1 .8.設隨機變量X的分布律為X 0 1 2 P0.4 0.2 0.4 則= 0.6 .9.設隨機變量XN(3, 4), 則 0.148 .(其中)10.設隨機變量X服
29、從參數為6的泊松分布, 寫出其概率分布律 P(X=K)=6K/K! K=0,1,2,3 .11.若隨機變量XB(4, 0.5), 則= 15/16 .12.若隨機變量XU(0, 5),且Y=2X,則當時, Y的概率密度= 1/10 .13.設隨機變量XN(0, 4),則= 0.5 .14.設隨機變量XU(-1, 1),則= 0.5 .15.設隨機變量X在2, 4上服從均勻分布,則= 0.5 .16.設隨機變量XN(-1, 4),則 N(0,1) .17.設隨機變量X的分布律為,則a= 2/3 .18.設連續型隨機變量X的概率密度為,則k= -1/2 .19.若隨機變量XN(1, 16),Y=2
30、X-1,則Y N(1,64) .20.若隨機變量XU(1, 6),Y=3X+2,則Y U(5,20) .三、計算題 1.設連續型隨機變量X的分布函數為,求X的概率密度函數.解:由分布函數與概率密度函數之間的關系知,當0<x<1時, ,當或時,=0,所以,X的概率密度為.2.設X服從參數p=0.2的0-1分布,求X的分布函數及P(X<0.5).解:X的分布律為 X 0 1 P0.8 0.2當時,=0;當時,=;當時,=.所以,X的分布函數為;而P(X<0.5)= P(X=0)=0.8.3.設隨機變量XU(a, b),求X的密度函數與分布函數.解:X的密度函數為;分布函數,
31、當時,;當時,;當時,.所以,X的分布函數為.4.設隨機變量XN(3, 4),求:(1)P(2<X<3);(2) P(-4<X<10);(3) P(|X|>2);(4)P(X>3).解:(1)P(2<X<3)= =0.1915;(2) P(-4<X<10)= =0.9996;(3) P(|X|>2)= =0.6977; (4)P(X>3)=0.5.5.已知隨機變量X的密度函數為,求:(1)常數k;(2)分布函數;(3).解:(1)因為,所以,故k=3.即隨機變量X的概率密度為;(2)當時,=0,當時,=,當時,=.所以,隨
32、機變量X的分布函數為;(3);6.設隨機變量X的概率密度為,求X的分布函數.解:當時,=0;當時,=;當時,=;當時,=.所以,隨機變量X的分布函數為.7. 設隨機變量X,求:(1);(2)解:(1)= =;(2)=.8.設隨機變量X在0,5上服從均勻分布,求方程有實根的概率.解:X,而方程有實根的充分必要條件是,即,故所求概率為: =0+=0.6.X-1 0 1 2 P0.1 0.2 0.3 0.49.設隨機變量X的分布律為求:(1)Y=2X的分布律;(2)Z=|X|的概率分布;(3)X2的分布律.解:(1)由X的分布律知,Y的取值為-2,0,2,4.且 , ,.Y-2 0 2 4 P0.1
33、 0.2 0.3 0.4所以,Y的分布律為(2)Z=|X|的取值為0,1,2. , .所以,Z的分布律為:Z 0 1 2 P 0.2 0.4 0.4(3)X2的取值為0,1,4.且 , .所以,X2的分布律為:X2 0 1 4 P 0.2 0.4 0.410.設XU0,4, Y=3X+1,求Y的概率密度.解:X,Y=3X+1的取值范圍是1,13.Y的分布函數當時,有,;當時,有,;當時,有,.所以,Y的分布函數為,Y的概率密度為.11.已知隨機變量XN(1,4),Y=2X+3,求Y的概率密度.解:X,建立Y的分布函數與X的分布函數之間的關系.因為: ,兩邊對y求導: ,即YN(5,16).12
34、.已知X服從參數的指數分布,Y=2X-1,求Y的概率密度.解:由題設知,X,方法1 ,兩邊對y求導:,又因為,所以,Y的概率密度為: .四、應用題1.一批零件中有10個合格品和2個廢品,安裝機器時,從這批零件中任取一個,如果每次取出廢品后不再放回,用X表示在取得合格品以前已取出的廢品的個數,求:(1)隨機變量X的分布律;(2)隨機變量X的分布函數.解:(1)隨機變量X的可能取值為0,1,2,且,得到X的分布律為:X 0 1 2 P (2)X的可能取值0,1,2將分布函數F(x)的定義域分為四部分:當時,當時,當時,當時,.從而得到X的分布函數為: .2.袋中有標號為1,2,2,3,3,3的六個
35、球,從中任取一個球,求所取出的球的號碼X的概率分布及分布函數.解:X的可能取值為1,2,3.且,所以,X的概率分布為:X 1 2 3 P 當時,當時,當時,當時,.從而得到X的分布函數為: 3. 袋中有標號為1,2,2,3,3,3的六個球,從中任取兩個球,X表示取出的兩個球的最大號碼,求X的概率分布.解:X的所有可能的取值為2,3.且,從而得到X的概率分布為:X 2 3 P 4.設一批產品共1000個,其中40個是次品,隨機抽取100個樣品,按下列兩種方式抽樣,分別求樣品中次品數X的概率分布.(1)不放回抽樣;(2)有放回抽樣.解:(1)不放回抽樣,X的可能取值為0,1,2,40.X=k表示1
36、00個樣品中恰好有k個次品,則,得到X的概率分布為: (2)有放回抽樣,X的可能取值為0,1,2,100.由于有放回抽樣,抽取100個樣品可看作進行了100重貝努里試驗,且每次抽到次品的概率都是0.04,抽到正品的概率為0.96,XB(100,0.04).則X的概率分布為: 5.拋擲一枚質地不均勻的硬幣,每次正面出現的概率為,連續拋擲10次,以X表示正面出現的次數,求X的分布律.由題設知,XB(10,). 則X的分布律為: 6.有一繁忙的交通路口,每天有大量的汽車經過,設每輛汽車在一天的某段時間內出事故的概率為0.0001.在某天的該段時間內有1000輛汽車經過,問出事故的次數不小于2的概率.
37、解:設X表示1000輛汽車通過路口時出事故的次數,由題意知,XB(1000,0.0001).由于n=1000很大,p=0.0001很小,故利用泊松分布近似代替二項分布計算.其中,查泊松分布表可得,所求概率為: .7.以電話交換臺每分鐘收到的呼喚次數服從參數為4的泊松分布,求:(1)每分鐘恰有4次呼喚的概率;(2)每分鐘的呼喚次數至少有4次的概率.解:設X表示電話交換臺每分鐘收到的呼喚次數,由題意知,XP(4),其分布律為: ,則(1)每分鐘恰有4次呼喚的概率;(2)每分鐘的呼喚次數至少有4次的概率8.袋中裝有8個球,其中3個紅球、5個白球,現從袋中任取3個球,求取出紅球數的概率分布.解:X表示
38、取出3個球中含有紅球的個數,則X的可能取值為0,1,2,3.且 , ,于是,X的概率分布為:X 0 1 2 3 P 9.已知某類電子元件的壽命X(單位:小時)服從指數分布,其概率密度為,一臺儀器裝有3個此種類型的電子元件,其中任意一個損壞時儀器便不能正常工作,假設3個電子元件損壞與否相互獨立.試求:(1)一個此類電子元件能工作1000小時以上的概率p1;(2)一臺儀器能正常工作到1000小時以上的概率p2.解:(1)一個此類電子元件能工作1000小時以上的概率為: p1=;(2)一臺儀器能正常工作到1000小時以上,需要這3個電子元件的壽命都在1000小時以上,由獨立性知,所求概率為: p2=
39、.10.公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機會在0.01以下來設計的.設男子身高X服從(厘米),(厘米)的正態分布,即.問車門高度應如何確定?解:設車門高度為h厘米,由題意知,即.因為XN(170,36),所以,查表得:,所以,解得h=183.98.設計車門的高度為183.98厘米時,可使男子與車門碰頭的機會不超過0.01.五、綜合題1.設10件產品中有2件次品,現進行連續無放回抽樣,直至取到正品為止,求:(1)抽樣次數X的概率分布;(2)X的分布函數F(x);(3).解:(1)X的可能取值為1,2,3.且,.所以,X的概率分布為:X 1 2 3 P (2)當時,當時,當時,當時,.所以
40、,X的分布函數為:;(3);或.2.司機通過某高速路收費站等候的時間X(單位:分鐘)服從參數的指數分布.(1)求某司機在此收費站等候時間超過10分鐘的概率p;(2)若該司機一個月要經過此收費站兩次,用Y表示等候時間超過10分鐘的次數,寫出Y的分布律,并求. 解:(1)由題設知,則司機在此收費站等候時間超過10分鐘的概率為: ;(2)由題意知,Y的分布律為: . .3.甲乙丙三人獨立地等1,2,3路公共汽車,他們等車的時間(單位:分鐘)都服從0,5上的均勻分布,求三人中至少有兩人等車不超過2分鐘的概率.解:設一個人等車的時間為X,由題設知,XU0,5,其密度函數:.則一個人等車不超過2分鐘的概率為:.設Y表示三人中等車時間不超過2分鐘的人數,則YB(3,0.4),則三人中至少有兩人等車不超過2分鐘的概率為:=0.352.4.設測量距離時產生的隨機誤差XN(0,102)(單位:米),現作三次獨立測量,記Y為三次測量中誤差絕對值大于19.6的次數,已知(1)求每次測量中誤差絕對值大于19.6的概率p;(2)問Y服從何種分布,并寫出其分布律;(3)求三次測量中至少有一次誤差絕對值大于19.6的概率.解:(1) p=0.05.(2)由題意
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