1、1第一章二元一次方程組【知識要點】1.1.二元一次方程：含有兩個未知數，且未知項的次數為 1,這樣的方程叫二元一 次方程。1二元一次方程左右兩邊的代數式必須是整式；（不是整式的化成整式）2二元一次方程必須含有兩個未知數；3二元一次方程中的“一次”是指含有未知數的項的次數，而不是某個未知數的 次數。2.2.二元一次方程的解：能使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數的值 叫做二元一次方程的解任何一個二元一次方程都有無數解。3.3.二元一次方程組：1由兩個或兩個以上的整式方程組成，常用“一 ”把這些方程聯合在一起；2整個方程組中含有兩個不同的未知數，且方程組中同一未知數代表同一數量；3方程組中每

2、個方程經過整理后都是一次方程，4.4.二元一次方程組的解：注意：方程組的解滿足方程組中的每個方程，而每個方程的解不一定是方程組的 解。5.5.會檢驗一對數值是不是一個二元一次方程組的解6.6.二元一次方程組的解法： （1）代入消元法（2）加減消元法三、理解解二元一次方程組的思想（一）、代入法一般步驟：變形一一代入一一求解一一回代一一寫解（二）、加減法一般步驟：變形加減求解代入寫解消元轉化二元一次方程組夕一元一次方程2四、解二元一次方程組的一般步驟31.1 二元一次方程組的解法（1 1）用代入法解二元一次方程組例：解方程組3x +2y =5x + y =1解題方法：1編號：將方程組進行編號；2變

3、形：從方程組中選定一個系數比較簡單的方程進行變形，用含有x x （或 y y）的代數式表示 y y （或 x x），即變成 y=ax+by=ax+b （或 x=ay+bx=ay+b ）的形式；3代入：將 y=ax+by=ax+b （或 x=ay+bx=ay+b ）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去 y y （或 x x）,得到一個關于 x x （或 y y）的一元一次方程；4求 x x （或 y y）：解這個一元一次方程，求出x x （或 y y）的值；5求 y y （或 x x）：把 x x （或 y y）的值代入 y=ax+by=ax+b （或 x=ay+bx=ay+b ）中，求

4、出 y y （或 x x）的 值；6聯立：用“ ”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解。（2 2）用加減消元法解二元一次方程組例：解方程組3x+2y =5kx + y=14解題方法:1編號：將方程組進行編號；2系數相等：根據“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0 0 的數，等式仍然成立”的性質，將原方程組化成有一個未知數的系數絕對值相等的形式；3相加（或相減）：根據“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，將變形后的兩個方程相加 （或相減）， 消去一個未知數，得到一個一元一次方程；4求值：解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；5求另值：把求得的未知數的值代入

5、原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數的值；6聯立：用“ ”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解。點評 如果方程組中沒有系數是 1 的未知數，那么就選擇系數最簡單的未知數來 變形.例 2 解方程組-8y = 10.分析此方程組里沒有一個未知數的系數是簡單，可選擇它來變形.（2）1,但方程中 x 的系數是 2,比較例I解方程組皆(1)5盹解方程組爲 M例5解方程組3x + 4y = 16,5x - 6y = 33.例3解方程組53K+47y = 11247x + 53y = 88 *(1)6例 6 已知 xmjn+1y 與一 2xnJy3m-n-5是同類項，求 m 和 n 的值.蝕己知滿

6、足方程組驚芻廣，腿,血的和等于 2,求ma- 2m + 啲值.例 8 已知 x+2y=2x+y+仁 7x-y，求 2x-y 的值.70 + + 4 刊解方程組 1: 1x+ 2 =m,m,若方程組 1. - -y 1的解 x、y，滿足，求正數 m 的取值范圍.例 10嚴+ 2 尸 13解方程組：:：|例 118卩=2 羞-1(1)例 12 解方程組丨；11例 13解方程組3x + 2y-2Q(1)呼-291.2 二元一次方程組的應用學習目標：1 1 能夠借助二元一次方程組解決簡單的實際問題，再次體會二元一次方程組與現實生活的聯系和作用2 2 進一步使用代數中的方程去反映現實世界中等量關系，體會

7、代數方法的優越性3 3 體會列方程組比列一元一次方程容易4 4 進一步培養化實際問題為數學問題的能力和分析問題，解決問題的能力5 5 掌握列方程組解應用題的一般步驟；重點：1 1 經歷和體驗用二元一次方程組解決實際問題的過程。2 2 進一步體會方程（組）是刻畫現實世界的有效數學模型。難點：正確找出問題中的兩個等量關系知識要點梳理知識點一：列方程組解應用題的基本思想列方程組解應用題是把“未知”轉化為“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的相等關系 一般來說，有幾個未知數就列出幾個方程，所列方程必須滿足：（1 1）方程兩邊表示的是同類量；（2 2）同類量的單位要統一；（

8、3 3）方程兩邊的數值要 相等 知識點二：列方程組解應用題中常用的基本等量關系1.1. 行程問題：（1 1）追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段，用圖便于理解與分析。其等量關系式是：兩者的行程差=開始時兩者相距的i i護路程時間路穆路程;昨-訂已閆;-工二相遇問題 湘遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關系是：雙方所走的路程之和=總路程。（3 3）航行問題：船在靜水中的速度+水速=船的順水速度；2船在靜水中的速度-水速=船的逆水速度；3順水速度逆水速度= 2 2

9、X水速。注意：飛機航行問題同樣會出現順風航行和逆風航行，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似。2.2. 工程問題： 工作效率X工作時間= =工作量. .10X利潤率； 標價=成本（進價）X（1 1 +利潤率）；（5 5）實際售價=標價X打折率；注意：“商品利潤=售價一成本”中的右邊為正時，是盈利；為負時，就是虧損。打幾 折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標價的十分之八即五分之四或者百分之八十）4 4儲蓄問題：（1 1） 基本概念1本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。本息和：本金與利息的和叫做本息和。期數：存入銀行的時間叫做期數。利率：每個期

10、數內的利息與本金的比叫做利率。利息稅：利息的稅款叫做利息稅。（2 2） 基本關系式1利息=本金X利率X期數2本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期數=本金X（1 1 +利率X期數）3利息稅=利息X利息稅率=本金X利率X期數X利息稅率。4稅后利息=利息X（1 1 利息稅率）年利率=月利率X1212月利率專利率工丄1212。注意：免稅利息= =利息5.5. 配套問題：解這類問題的基本等量關系是：總量各部分之間的比例= =每一套各部分之間的比例。6.6. 增長率問題：解這類問題的基本等量關系式是：原量X（1 1 +增長率）=增長后的量；原量X（1 1 一減少率）=減少后的量. .7.7. 和差倍分

11、問題：解這類問題的基本等量關系是：較大量=較小量+多余量，總量=倍數X倍量8.8. 數字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數、奇數、偶數等有關概念、特征及其表示。如當3 3商品銷售利潤問題:（1 1）利潤=售價成本利潤率（進價）；（2 2）X100%;（3 3）利潤=成本（進價）11n n 為整數時，奇數可表示為2n2n +1+1（或 2n-12n-1），偶數可表示為 2n2n 等，有關兩位數的基本等量關系式為：兩位數= =十位數字 10+10+個位數字9.9. 濃度問題：溶液質量X濃度= =溶質質量. .10.10. 幾何問題：解決這類問題的基本關系式有關幾何圖形的性質、周長、面積等計算

12、公 式11.11.年齡問題：解決這類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數是相等，兩人的年齡差是 永遠不會變的12.12. 優化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網絡的使用、 到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案。注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點，比較幾種方案得出最佳方案。知識點三：列二元一次方程組解應用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實際問題時，一般可分為以下六個步驟：1 1審題：弄清題意及題目中的數量關系；2 2 設未知數：可直接設元，也可間接設元；3 3找出題目中的等量關系；4 4列出方程組：根據題目中能

13、表示全部含義的等量關系列出方程，并組成方程組；5 5解所列的方程組，并檢驗解的正確性；6 6寫出答案 要點詮釋：(1)(1)解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得 的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；(2)(2) “設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；(3)(3) 一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組解答步驟簡記為：問題 方程組解答列方程組解應用題應注意的問題弄清各種題型中基本量之間的關系；審題時，注意從文字，圖表中獲得有關信息；注意用方程組解應用題的過程中單位的書寫，設未知數和寫答案都要帶單位，列方程組與解方程組時，不要帶單位；正確書寫

14、速度單位，避免與路程單位混淆；在尋找等量關系時，應注意挖掘隱含的條件； 列方程組解應用題一定要注意檢驗。經典例題透析橫類型一：列二元一次方程組解決-行程問題1 1 甲、乙兩地相距 160160 千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1 1 小時 2020 分相遇. .相遇后，拖拉機繼續前進，汽車在相遇處停留1 1 小時后調轉車頭原速返12回，在汽車再次出發半小時后追上了拖拉機 這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米？舉一反三：【變式 1 1】甲、乙兩人相距 3636 千米，相向而行，如果甲比乙先走2 2 小時，那么他們在乙出發 2.52.5 小時后相遇；如果乙比甲先走 2 2 小時

15、，那么他們在甲出發 3 3 小時后相遇，甲、乙 兩人每小時各走多少千米?【變式 2 2】兩地相距 280280 千米，一艘船在其間航行，順流用1414 小時，逆流用 2020 小時,求船在靜水中的速度和水流速度。類型二：列二元一次方程組解決工程問題02.家商店要進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工,兩組費用共 35203520 元；若先請甲組單獨做 6 6 天，再請乙組單獨做 1212 天可完成，需付兩組費用 共 34803480 元，問：（1 1）甲、乙兩組工作一天，商店應各付多少元？ （2 2）已知甲組單獨做需 1212 天完成，乙組單獨做需 2424 天完成，單獨請哪組，商店所付費用最

16、少？總結升華：工作效率是單位時間里完成的工作量，同一題目中時間單位必須統一，一般地，將工作總量設為 1 1，也可設為 a a,需根據題目的特點合理選用；工程問題也經常利用線 段圖或列表法進行分析。8 8 天可以完成，需付13舉一反三：【變式】小明家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6 6 周完成需工錢 5.25.2萬元；若甲公司單獨做 4 4 周后，剩下的由乙公司來做，還需9 9 周完成，需工錢 4.84.8 萬元. .若只選一個公司單獨完成， 從節約開支的角度考慮， 小明家應選甲公司還是乙公司？請你說明 理由 類型三：列二元一次方程組解決一一商品銷售利潤問題3.3.有甲、乙兩件商品

17、，甲商品的利潤率為5%5%乙商品的利潤率為 4%,4%,共可獲利 4646元。價格調整后，甲商品的利潤率為4%4%乙商品的利潤率為 5%5%共可獲利 4444 元，則兩件商品的進價分別是多少元？舉一反三：【變式 1 1】（20112011 湖南衡陽）李大叔去年承包了1010 畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利1800018000 元，其中甲種蔬菜每畝獲利20002000 元，乙種蔬菜每畝獲利 15001500 元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？14【變式 2 2】某商場用 3636 萬元購進 A A、B B 兩種商品，銷售完后共獲利 6 6 萬元，其進價和售價如下表：A AB B進價（元

18、/ /件）1200120010001000售價（元/ / 件）1380138012001200（注：獲利= =售價一進價）求該商場購進 A A B B 兩種商品各多少件;類型四：列二元一次方程組解決-銀行儲蓄問題4 4小明的媽媽為了準備小明一年后上高中的費用，現在以兩種方式在銀行共存了20002000 元錢，一種是年利率為 2.252.25 %的教育儲蓄，另一種是年利率為 2.252.25 %的一年定期存款， 一年后可取出2042.752042.75 元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅=利息金額X20%20%教育儲蓄沒有利息所得稅）15總結升華：我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長

19、率等的實際問題時，有時候不容易找出其等量關系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊涵的數量關系，題目中的相等關系隨之浮現出來 舉一反三： 【變式 1 1】李明以兩種形式分別儲蓄了20002000 元和 10001000 元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息 43.9243.92 元. .已知兩種儲蓄年利率的和為 3.24%3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是 百分之幾？（注：公民應繳利息所得稅= =利息金額X20%20%【變式 2 2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共存了40004000元錢. .第一種，一年期整存整取，共反復存了3 3 次，每次存款數都相同

20、，這種存款銀行利率為年息 2.25%2.25%;第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為 2.70%.2.70%.三年后同時取出共 得利息 303.75303.75 元（不計利息稅），問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？16類型五：列二元一次方程組解決一一生產中的配套問題5 5 某服裝廠生產一批某種款式的秋裝，已知每2 2 米的某種布料可做上衣的衣身 3 3個或衣袖 5 5 只. .現計劃用 132132 米這種布料生產這批秋裝 （不考慮布料的損耗），應分別用多少 布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？總結升華：生產中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、 桌面與桌腿的配套、衣

21、身與衣袖的配套等 各種配套都有數量比例， 依次設未知數，用未知數可把 它們之間的數量關系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關系是解題的關鍵 舉一反三：【變式 1 1】現有 190190 張鐵皮做盒子，每張鐵皮做 8 8 個盒身或 2222 個盒底，一個盒身與兩 個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底， 可以正好制成一批完整的盒子？【變式 2 2】某工廠有工人 6060 人，生產某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產品，每人每天生產螺栓 1414 個或螺母 2020 個，應分配多少人生產螺栓，多少人生產螺母，才能使生產出的螺栓和螺母剛好配套。17【變式 3 3】

22、一張方桌由 1 1 個桌面、4 4 條桌腿組成，如果 1 1 立方米木料可以做桌面 5050 個, 或做桌腿 30300 0條。現有 5 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少張方桌？類型六：列二元一次方程組解決-增長率問題C6.某工廠去年的利潤（總產值一總支出） 為 200200 萬元，今年總產值比去年增加了20%20%總支出比去年減少了 10%10%今年的利潤為 780780 萬元，去年的總產值、總支出各是多少 萬元？思路點撥：設去年的總產值為 x x 萬元，總支出為 y y 萬元，則有總產值（萬兀）總支出（萬兀）利潤

23、（萬元）去年X Xy y200200今年120%x120%x90%y90%y780780根據題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤= =總產值一總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個等式。18舉一反三:【變式 1 1】若條件不變，求今年的總產值、總支出各是多少萬元?【變式 2 2】某城市現有人口 4242 萬，估計一年后城鎮人口增加 0.8%0.8%,農村人口增加 1.1%1.1%， 這樣全市人口增加 1%1%求這個城市的城鎮人口與農村人口。類型七：列二元一次方程組解決 和差倍分問題7.7.（ 20112011 年北京豐臺區中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃 每周生產帳篷

24、共 9 9 千頂，現某地震災區急需帳篷1414 千頂， 兩廠決定在一周內趕制出這批帳篷為此，全體職工加班加點，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內制作的帳篷數分別達到了原來的 1.61.6 倍、1.51.5 倍，恰好按時完成了這項任務.求在趕制帳篷的一周內，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產帳篷多少千頂？蕊19舉一反三：【變式 1 1】（20112011 年北京門頭溝區中考一模試題 ）“地球一小時”是世界自然基金會在 20072007 年提出的一項倡議. 號召個人、社區、企業和政府在每年 3 3 月最后一個星期六 2020 時 3030 分一 2121 時 3030 分熄燈一小時，旨在通過一

25、個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關注氣候 變化，倡導低碳生活.中國內地去年和今年共有119119 個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數比去年的 3 3 倍少 1313 個，問中國內地去年、今年分別有多少個城市參加了此項 活動.【變式 2 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多1 1 倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？類型八：列二元一次方程組解決一一數字問題8.8.兩個兩位數的和是 6868,在較大的兩位數的右邊接著寫較小的兩位數，得到一 個四位數；在較大的兩位數的左邊寫上較小的

26、兩位數，也得到一個四位數，已知前一個四位數比后一個四位數大 21782178，求這兩個兩位數。20舉一反三:【變式 1 1】一個兩位數，減去它的各位數字之和的 3 3 倍，結果是 2323;這個兩位數除以它 的各位數字之和，商是 5 5,余數是 1 1,這個兩位數是多少?【變式 2 2】一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字大5 5，如果把十位上的數字與個位上的數字交換位置，那么得到的新兩位數比原來的兩位數的一半還少【變式 3 3】某三位數，中間數字為 0 0，其余兩個數位上數字之和是 9 9,如果百位數字減 1 1, 個位數字加 1 1，則所得新三位數正好是原三位數各位數字的倒序排列，求原三

27、位數。類型九：列二元一次方程組解決濃度問題9.9.現有兩種酒精溶液， 甲種酒精溶液的酒精與水的比是3 3 : 7 7 乙種酒精溶液的酒精與水的比是 4 4： 1 1,今要得到酒精與水的比為 3 3 : 2 2 的酒精溶液 50kg50kg，問甲、乙兩種酒精 溶液應各取多少？9 9，求這個兩位數?21舉一反三：【變式 1 1】要配濃度是 45%45%勺鹽水 1212 千克，現有 10%10%勺鹽水與 85%85%勺鹽水，這兩種鹽水各需多少？【變式 2 2】一種 35%35%勺新農藥，如稀釋到 1.75%1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%35%的農藥加水多少千克，才能配成1.75%1

28、.75%的農藥 800800 千克？類型十：列二元一次方程組解決-幾何問題1010 .如圖，用 8 8 塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬 分別是多少？22總結升華：幾何應用題的相等關系一般隱藏在某些圖形的性質中，解答這類問題時應注意認真分析圖形特點，找出圖形的位置關系和數量關系，再列出方程求解。舉一反三：【變式 1 1】用長 4848 厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3 3 厘米，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？總結升華：解題的關鍵找兩個等量關系， 最關鍵的是本題設的未知數不是該題要求的，本題要是設正方形的面積比矩形面積大多

29、少，問題就復雜了。設長方形的長和寬， 本題就簡單多了，所以列方程解應用題設未知數是關鍵?！咀兪?2 2】一塊矩形草坪的長比寬的 2 2 倍多 10m,10m,它的周長是 132m132m 則長和寬分別為多 少？類型一：列二元一次方程組解決年齡問題1111 .今年父親的年齡是兒子的 5 5 倍，6 6 年后父親的年齡是兒子的 3 3 倍，求現在父 親和兒子的年齡各是多少？舉一反三：【變式 1 1】今年，小李的年齡是他爺爺的五分之一 小李發現，1212 年之后，他的年齡變成爺爺的三分之一 試求出今年小李的年齡. .23類型十二：列二元一次方程組解決優化方案問題:CC 1212 .某地生產一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為10001000 元；經粗加工后銷售，每噸利潤可達 45004500 元；經精加工后銷售， 每噸利潤漲至 75007500 元. .當地一家農工 商公司收獲這種蔬菜 140140 噸，該公司加工廠的生產能力是：如果對蔬菜進行