1、第27章 圓與正多邊形【考點(diǎn)清單】1、 基本概念及性質(zhì)1. 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓；2. 圓是軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸；3. 圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心；4. 在平面上，經(jīng)過(guò)給定兩點(diǎn)的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，這些圓的圓心聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)的線段的垂直平分線上；5. 三角形的外心是這個(gè)三角形的外接圓的圓心；6. 三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，都等于這個(gè)外接圓的半徑；7. 直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的外心在三角形的外部；8. 三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心；9. 三角形的內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等；10. 基本概念：弧

2、、弦、圓心角、半圓、優(yōu)弧、劣弧、弦心距、等圓、同心圓、切線、割線、圓心距（線段）、連心線（直線）；正多邊形的半徑、邊心距、中心角；11. 等弧：能夠重合的兩條弧稱為等弧。（長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧。）12. 切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。13. 正n邊形（n3）： 正n邊形都是軸對(duì)稱圖形，正n邊形有n條對(duì)稱軸； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正n邊形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，最小旋轉(zhuǎn)角=360/n 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正n邊形是中心對(duì)稱圖形； 正n邊形的內(nèi)角和：180（n-2） 一個(gè)內(nèi)角 180（n-2）/n 或者180-（360/n） 外角和360 一個(gè)外角360/n 每

3、一個(gè)正n邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓14. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（d點(diǎn)和圓心的距離） 15. 直線與圓的位置關(guān)系（d圓心到直線的距離） Ex R取何值，圓O與線段AB有一個(gè)交點(diǎn)？?jī)蓚€(gè)交點(diǎn)？沒(méi)有交點(diǎn)？ R=1，AO取何值時(shí)，圓O與線段AB有一個(gè)交點(diǎn)？?jī)蓚€(gè)交點(diǎn)？沒(méi)有交點(diǎn)？ 16. 圓與圓的位置關(guān)系（d兩圓心之間的距離）圖形兩圓的位置關(guān)系d、R1、R2之間的關(guān)系圖形兩圓的位置關(guān)系d、R1、R2之間的關(guān)系同心圓d=02、 尺規(guī)作圖17. 作一個(gè)圓的圓心：任取非平行的兩條弦，作它們的垂直平分線，這兩條垂直平分線的交點(diǎn)即圓心；18. 三角形的外心：作任意兩邊的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)即三角形的外心；

4、19. 三角形的內(nèi)心：作三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角的平分線，這兩條角平分線的交點(diǎn)即三角形的內(nèi)心；20. 作一個(gè)圓的內(nèi)接正三邊形、四邊形、六邊形、八邊形；3、 計(jì)算21. 圓中的相關(guān)計(jì)算：第一步：常添的輔助線：半徑，弦心距，公共弦；第二步：用好垂徑定理、四等定理、等腰三角形三線合一性質(zhì)進(jìn)行說(shuō)理；第三步：抓住半徑，半弦和弦心距構(gòu)成的直角三角形OAD，運(yùn)用勾股定理或三角比進(jìn)行計(jì)算；22. 圓中計(jì)算的幾種類型：（1） 已知半徑OA，AOB，求OD、AB； 利用三角比求OD、AD、AB；（2） 已知AB和CD，求半徑； 設(shè)半徑為R，則OD=R-CD，利用OA=OD+AD求出R；（3） 已知半徑R和AC，求AB

5、; 利用兩個(gè)直角三角形AD=AO-OD AD=AC-CD 得AO-OD=AC-CD ，設(shè)OD為x，得R-x=AC-(R-x)嗎，求出x，最后利用勾股定理求AD，從而利用垂徑定理得出AB；（4） 求三個(gè)兩兩外切的圓的半徑 設(shè)元，根據(jù)R1+R2=d 列出方程求解。（5） 正n邊形中求中心角、邊長(zhǎng)、半徑、邊心距， 轉(zhuǎn)化為解等腰三角形OAB和RtAOH。4、 圓的幾何證明（1） 與圓相關(guān)的基本圖形：等腰三角形、直角三角形、線段垂直平分線、角平分線（2） 常用的定理：四等定理：前提在同圓或等圓中， 圓心角相等劣弧（或優(yōu)弧）相等弦相等弦心距相等。垂徑定理：在圓中，對(duì)于某一條直線“經(jīng)過(guò)圓心”、“垂直于弦”、

6、“平分弦（非直徑）”、“平分弦所對(duì)的弧”這四組關(guān)系中，如果有兩組關(guān)系成立，那么其余兩組關(guān)系也成立。相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦；相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；角平分線的性質(zhì)定理 OM平分AOB，點(diǎn)P在OM上，PEOA，PFOB B PE=PF角平分線的判定定理 PEOA，PFOB，PE=PF OP平分AOB線段垂直平分線的性質(zhì)定理 直線,MN垂直平分線段AB，點(diǎn)P在直線MN上 PA=PB 線段垂直平分線的判定定理PA=PB 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上（但不能說(shuō)明直線MN垂直平分AB）若還有一個(gè)點(diǎn)Q也在線段AB的垂直平分線上，那么直線PQ垂直平分線段AB（3） 補(bǔ)充證明 AB是圓O的直徑，

7、ACB=90 聯(lián)結(jié)OC， OA=OC，OB=OC，A=OCA，B=OCB， A+OCA+B+OCB=180 2OCA+2OCB=180OCA+OCB=90 即ACB=905、 圓中的分類討論(1) 兩圓相切考慮內(nèi)切和外切兩種情況(2) 兩圓內(nèi)切考慮|R1-R2|=d即 R1-R2=d或R1-R2=-d兩種情況；(3) 兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩圓可能內(nèi)含，也可能外離； 兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓可能內(nèi)切，也可能外切；(4) 已知弦AB平行于弦CD，并已知這兩條弦的長(zhǎng)度，求兩條弦之間的距離； 當(dāng)弦AB與弦CD在圓心同側(cè)時(shí)，HG=OG-OH 當(dāng)弦AB與弦CD在圓心異側(cè)時(shí)，HG=OG+OH （5）圓O1與圓O2相交，AB是公共弦，已知兩圓的半徑及公共弦長(zhǎng)，求圓心距； 當(dāng)兩圓的圓心在公共弦的異側(cè)時(shí)，O1O2=O1E+O2E 當(dāng)兩圓的圓心