1、第26課 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系【考點(diǎn)梳理】：一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓上；3、點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓外；二、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無(wú)交點(diǎn)；2、直線與圓相切 有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交 有兩個(gè)交點(diǎn)；知識(shí)點(diǎn)： 1. 直線與圓的位置關(guān)系： 2. 切線的定義和性質(zhì)：3.三角形與圓的特殊位置關(guān)系：4. 圓與圓的位置關(guān)系：（兩圓圓心距為d，半徑分別為）相交； 外切； 內(nèi)切； 外離； 內(nèi)含【注意點(diǎn)】與圓的切線長(zhǎng)有關(guān)的計(jì)算思考與收獲【思想方法】方程思想，分類討論【考點(diǎn)一】：直線與圓的位置關(guān)系 【例題賞析】（1）（2015齊齊哈爾,第6題3分）如圖，兩

2、個(gè)同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦ab與小圓有公共點(diǎn)，則弦ab的取值范圍是（） a 8ab10 b 8ab10 c 4ab5 d 4ab5考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系；勾股定理；垂徑定理分析： 此題可以首先計(jì)算出當(dāng)ab與小圓相切的時(shí)候的弦長(zhǎng)連接過切點(diǎn)的半徑和大圓的一條半徑，根據(jù)勾股定理和垂徑定理，得ab=8若大圓的弦ab與小圓有公共點(diǎn)，即相切或相交，此時(shí)ab8；又因?yàn)榇髨A最長(zhǎng)的弦是直徑10，則8ab10解答： 解：當(dāng)ab與小圓相切，大圓半徑為5，小圓的半徑為3，ab=2=8大圓的弦ab與小圓有公共點(diǎn)，即相切或相交，8ab10故選：a點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了切線的性質(zhì)、勾股定理和垂

3、徑定理此題可以首先計(jì)算出和小圓相切時(shí)的弦長(zhǎng)，再進(jìn)一步分析有公共點(diǎn)時(shí)的弦長(zhǎng)（2）（2015湖南張家界，第2題3分）如圖，o=30°，c為ob上一點(diǎn)，且oc=6，以點(diǎn)c為圓心，半徑為3的圓與oa的位置關(guān)系是（） a 相離 b 相交思考與收獲 c 相切 d 以上三種情況均有可能考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系分析： 利用直線l和o相切d=r，進(jìn)而判斷得出即可解答： 解：過點(diǎn)c作cdao于點(diǎn)d，o=30°，oc=6，dc=3，以點(diǎn)c為圓心，半徑為3的圓與oa的位置關(guān)系是：相切故選：c點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了直線與圓的位置，正確掌握直線與圓相切時(shí)d與r的關(guān)系是解題關(guān)鍵【考點(diǎn)二】：圓的切線的判

4、定【例題賞析】（1）（2015黔西南州）（第6題）如圖，點(diǎn)p在o外，pa、pb分別與o相切于a、b兩點(diǎn)，p=50°，則aob等于（） a 150° b 130° c 155° d 135°考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)分析： 由pa與pb為圓的兩條切線，利用切線性質(zhì)得到pa與oa垂直，pb與ob垂直，在四邊形apbo中，利用四邊形的內(nèi)角和定理即可求出aob的度數(shù)解答： 解：pa、pb是o的切線，paoa，pbob，pao=pbo=90°，p=50°，思考與收獲aob=130°故選b點(diǎn)評(píng)： 此題考查了切線的性質(zhì)，以及四邊形的內(nèi)角

5、和定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵（2）（2015貴州省貴陽(yáng),第15題4分）小明把半徑為1的光盤、直尺和三角尺形狀的紙片按如圖所示放置于桌面上，此時(shí)，光盤與ab，cd分別相切于點(diǎn)n，m現(xiàn)從如圖所示的位置開始，將光盤在直尺邊上沿著cd向右滾動(dòng)到再次與ab相切時(shí)，光盤的圓心經(jīng)過的距離是考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；軌跡.專題：應(yīng)用題分析：根據(jù)切線的性質(zhì)得到oh=ph，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出ph的長(zhǎng)，得到答案解答：解：如圖，當(dāng)圓心o移動(dòng)到點(diǎn)p的位置時(shí)，光盤在直尺邊上沿著cd向右滾動(dòng)到再次與ab相切，切點(diǎn)為q，onab，pqab，onpq，on=pq，oh=ph，在rtphq中，p=b=60°，pq

6、=1，ph=，則op=，故答案為：思考與收獲點(diǎn)評(píng)：本題考查的是直線與圓相切的知識(shí)，掌握?qǐng)A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵【考點(diǎn)三】：圓的切線性質(zhì)的應(yīng)用【例題賞析】（1）（2015寧德 第23題 4分）如圖，已知ab是o的直徑，點(diǎn)c，d在o上，點(diǎn)e在o外，eac=b（1）求證：直線ae是o的切線；（2）若d=60°，ab=6時(shí)，求劣弧的長(zhǎng)（結(jié)果保留）考點(diǎn)：切線的判定；弧長(zhǎng)的計(jì)算分析：（1）根據(jù)圓周角定理可得acb=90°，進(jìn)而可得cba+cab=90°，由eac=b可得cae+bac=90°，從而可得直線ae是o的切線；（2）連接co，計(jì)算出ao長(zhǎng)，再

7、利用圓周角定理可得aoc的度數(shù)，然后利用弧長(zhǎng)公式可得答案解答：解：（1）ab是o的直徑，acb=90°，cba+cab=90°，eac=b，思考與收獲cae+bac=90°，即 baaeae是o的切線（2）連接co，ab=6，ao=3，d=60°，aoc=120°，=2點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定和弧長(zhǎng)計(jì)算，關(guān)鍵是掌握切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線弧長(zhǎng)公式：l=（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r）（2015福建 第23題 10分）已知：ab是o的直徑，點(diǎn)p在線段ab的延長(zhǎng)線上，bp=ob=2，點(diǎn)q在o上，

8、連接pq（1）如圖，線段pq所在的直線與o相切，求線段pq的長(zhǎng)；（2）如圖，線段pq與o還有一個(gè)公共點(diǎn)c，且pc=cq，連接oq，ac交于點(diǎn)d判斷oq與ac的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；求線段pq的長(zhǎng)考點(diǎn)：圓的綜合題.思考與收獲分析：（1）如圖，連接oq利用切線的性質(zhì)和勾股定理來(lái)求pq的長(zhǎng)度（2）如圖，連接bc利用三角形中位線的判定與性質(zhì)得到bcoq根據(jù)圓周角定理推知bcac，所以，oqac（3）利用割線定理來(lái)求pq的長(zhǎng)度即可解答：解：（1）如圖，連接oq線段pq所在的直線與o相切，點(diǎn)q在o上，oqop又bp=ob=oq=2，pq=2，即pq=2；（2）oqac理由如下：如圖，連接bcbp=ob，點(diǎn)

9、b是op的中點(diǎn)，又pc=cq，點(diǎn)c是pq的中點(diǎn)，bc是pqo的中位線，bcoq又ab是直徑，acb=90°，即bcac，oqac（3）如圖，pcpq=pbpa，即pq2=2×6，解得pq=2思考與收獲點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題掌握?qǐng)A周角定理，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，熟練利用割線定理進(jìn)行幾何計(jì)算（2）（2015甘南州第21題 9分）五邊形abcde中，eab=abc=bcd=90°，ab=bc，且滿足以點(diǎn)b為圓心，ab長(zhǎng)為半徑的圓弧ac與邊de相切于點(diǎn)f，連接be，bd（1）如圖1，求ebd的度數(shù)；（2）如圖2，連接ac，分別與be，bd相交于點(diǎn)g，h，若a

10、b=1，dbc=15°，求aghc的值考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).分析：（1）如圖1，連接bf，由de與b相切于點(diǎn)f，得到bfde，通過rtbaertbef，得到1=2，同理3=4，于是結(jié)論可得；（2）如圖2，連接bf并延長(zhǎng)交cd的延長(zhǎng)線于p，由abepbc，得到pb=be=，求出pf=，通過aegchd，列比例式即可得到結(jié)果解答：解：（1）如圖1，連接bf，de與b相切于點(diǎn)f，bfde，思考與收獲在rtbae與rtbef中，rtbaertbef，1=2，同理3=4，abc=90°，2+3=45°，即ebd=45°；（2）如圖2，連接bf并

11、延長(zhǎng)交cd的延長(zhǎng)線于p，4=15°，由（1）知，3=4=15°，1=2=30°，pbc=30°，eab=pcb=90°，ab=1，ae=，be=，在abe與pbc中，abepbc，pb=be=，pf=，p=60°，df=2，cd=df=2，eag=dch=45°，age=bdc=75°，aegchd，agch=cdae，agch=cdae=（2）=思考與收獲點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，畫出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵【真題專練】1. （2015湖南湘西州，第15題

12、，4分）o的半徑為5cm，點(diǎn)a到圓心o的距離oa=3cm，則點(diǎn)a與圓o的位置關(guān)系為（）a點(diǎn)a在圓上b點(diǎn)a在圓內(nèi)c點(diǎn)a在圓外d無(wú)法確定2. (2015年浙江省義烏市中考,14,5分)在rtabc中，c=90°，bc=3，ac=4，點(diǎn)p在以c為圓心，5為半徑的圓上，連結(jié)pa，pb。若pb=4，則pa的長(zhǎng)為 3. （2015山東萊蕪,第12題3分）如圖，在直角梯形abcd中，abcd，abbc，以bc為直徑的o與ad相切，點(diǎn)e為ad的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）（1）ab+cd=ad；（2）sbce=sabe+sdce；思考與收獲（3）abcd=；（4）abe=dce a 1 b 2 c

13、 3 d 44（2015甘南州第24題 4分）如圖，兩個(gè)同心圓，大圓半徑為5cm，小圓的半徑為3cm，若大圓的弦ab與小圓相交，則弦ab的取值范圍是 5. (2015山東泰安,第24題3分）如圖，ab是o的直徑，且經(jīng)過弦cd的中點(diǎn)h，過cd延長(zhǎng)線上一點(diǎn)e作o的切線，切點(diǎn)為f若acf=65°，則e= 思考與收獲6. （2015江蘇鎮(zhèn)江，第10題，2分）如圖，ab是o的直徑，oa=1，ac是o的弦，過點(diǎn)c的切線交ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn)d，若bd=1，則acd= °7. （2015，廣西欽州，25，8分）如圖，ab為o的直徑，ad為弦，dbc=a（1）求證：bc是o的切線；（2）連接o

14、c，如果oc恰好經(jīng)過弦bd的中點(diǎn)e，且tanc=，ad=3，求直徑ab的長(zhǎng)8. （2015甘南州第10題 10分）如圖，在abc中，c=90°，ac+bc=8，點(diǎn)o是斜邊ab上一點(diǎn)，以o為圓心的o分別與ac，bc相切于點(diǎn)d，e（1）當(dāng)ac=2時(shí)，求o的半徑；（2）設(shè)ac=x，o的半徑為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式思考與收獲9. （2015，廣西柳州，25，10分）如圖，已知四邊形abcd是平行四邊形，ad與abc的外接圓o恰好相切于點(diǎn)a，邊cd與o相交于點(diǎn)e，連接ae，be（1）求證：ab=ac；（2）若過點(diǎn)a作ahbe于h，求證：bh=ce+eh10. （2015，福建南平，22，分）

15、如圖，ab是半圓o的直徑，c是ab延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，cd與半圓o相切于點(diǎn)d，連接ad，bd（1）求證：bad=bdc；（2）若bdc=28°，bd=2，求o的半徑（精確到0.01）【真題演練參考答案】1. （2015湖南湘西州，第15題，4分）o的半徑為5cm，點(diǎn)a到圓心o的距離oa=3cm，則點(diǎn)a與圓o的位置關(guān)系為（）a點(diǎn)a在圓上b點(diǎn)a在圓內(nèi)c點(diǎn)a在圓外d無(wú)法確定考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.分析：根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷解答：解：o的半徑為5cm，點(diǎn)a到圓心o的距離為3cm，即點(diǎn)a到圓心o的距離小于圓的半徑，點(diǎn)a在o內(nèi)故選b點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)o的半徑為r，

16、點(diǎn)p到圓心的距離op=d，則有點(diǎn)p在圓外dr；點(diǎn)p在圓上d=r；點(diǎn)p在圓內(nèi)dr2. (2015年浙江省義烏市中考,14,5分)在rtabc中，c=90°，bc=3，ac=4，點(diǎn)p在以c為圓心，5為半徑的圓上，連結(jié)pa，pb。若pb=4，則pa的長(zhǎng)為 考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；勾股定理；垂徑定理.專題：分類討論分析：連結(jié)cp，pb的延長(zhǎng)線交c于p，如圖，先計(jì)算出cb2+pb2=cp2，則根據(jù)勾股定理的逆定理得cbp=90°，再根據(jù)垂徑定理得到pb=pb=4，接著證明四邊形acbp為矩形，則pa=bc=3，然后在rtapp中利用勾股定理計(jì)算出pa=，從而得到滿足條件的pa的長(zhǎng)為3

17、或解答：解：連結(jié)cp，pb的延長(zhǎng)線交c于p，如圖，cp=5，cb=3，pb=4，cb2+pb2=cp2，cpb為直角三角形，cbp=90°，cbpb，pb=pb=4，c=90°，pbac，而pb=ac=4，四邊形acbp為矩形，pa=bc=3，在rtapp中，pa=3，pp=8，pa=，pa的長(zhǎng)為3或故答案為3或點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系也考查了垂徑定理和勾股定理3. （2015山東萊蕪,第12題3分）如圖，在直角梯形abcd中，abcd，abbc，以bc為直徑的

18、o與ad相切，點(diǎn)e為ad的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）（1）ab+cd=ad；（2）sbce=sabe+sdce；（3）abcd=；（4）abe=dce a 1 b 2 c 3 d 4考點(diǎn)： 圓的綜合題.分析： 設(shè)dc和半圓o相切的切點(diǎn)為f，連接of，根據(jù)切線長(zhǎng)定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可解答： 解：設(shè)dc和半圓o相切的切點(diǎn)為f，在直角梯形abcd中abcd，abbc，abc=dcb=90°，ab為直徑，ab，cd是圓的切線，ad與以ab為直徑的o相切，ab=af，cd=df，ad=ae+de=ab+cd，故正確；如圖1，連接oe，ae=de，bo=co，oeabcd

19、，oe=（ab+cd），oebc，sbce=bcoe=（ab+cd）=（ab+cd）bc=sabe+sdce，故正確；如圖2，連接ao，od，abcd，bad+adc=180°，ab，cd，ad是o的切線，oad+edo=（bad+adc）=90°，aod=90°，aob+doc=aob+bao=90°，bao=doc，abocdo，abcd=oboc=bcbc=bc2，故正確，如圖1，ob=oc，oebc，be=ce，beo=ceo，aboecd，abe=beo，dce=oec，abe=dce，故正確，綜上可知正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)，故選d點(diǎn)評(píng)： 本題考查了

20、切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理，做到靈活運(yùn)用4（2015甘南州第24題 4分）如圖，兩個(gè)同心圓，大圓半徑為5cm，小圓的半徑為3cm，若大圓的弦ab與小圓相交，則弦ab的取值范圍是8ab10考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系；勾股定理；垂徑定理專題： 計(jì)算題分析： 解決此題首先要弄清楚ab在什么時(shí)候最大，什么時(shí)候最小當(dāng)ab與小圓相切時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)可知ab最小；當(dāng)ab經(jīng)過同心圓的圓心時(shí)，弦ab最大且與小圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)ab最大，由此可以確定所以ab的取值范圍解答： 解：如圖，當(dāng)ab與小圓相切時(shí)有一個(gè)公共

21、點(diǎn)d，連接oa，od，可得odab，d為ab的中點(diǎn)，即ad=bd，在rtado中，od=3，oa=5，ad=4，ab=2ad=8；當(dāng)ab經(jīng)過同心圓的圓心時(shí)，弦ab最大且與小圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)ab=10，所以ab的取值范圍是8ab10故答案為：8ab10點(diǎn)評(píng)： 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，勾股定理，以及切線的性質(zhì)，其中解題的關(guān)鍵是抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：1、當(dāng)弦ab與小圓相切時(shí)最短；2、當(dāng)ab過圓心o時(shí)最長(zhǎng)5. (2015山東泰安,第24題3分）如圖，ab是o的直徑，且經(jīng)過弦cd的中點(diǎn)h，過cd延長(zhǎng)線上一點(diǎn)e作o的切線，切點(diǎn)為f若acf=65°，則e=50

22、76;考點(diǎn)：切線的性質(zhì).分析：連接df，連接af交ce于g，由ab是o的直徑，且經(jīng)過弦cd的中點(diǎn)h，得到，由于ef是o的切線，推出gfe=gfd+dfe=acf=65°根據(jù)外角的性質(zhì)和圓周角定理得到efg=egf=65°，于是得到結(jié)果解答：解：連接df，連接af交ce于g，ab是o的直徑，且經(jīng)過弦cd的中點(diǎn)h，ef是o的切線，gfe=gfd+dfe=acf=65°fgd=fcd+cfa，dfe=dcf，gfd=afc，efg=egf=65°，e=180°efgegf=50°， 故答案為：50°點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，圓周

23、角定理，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵6. （2015江蘇鎮(zhèn)江，第10題，2分）如圖，ab是o的直徑，oa=1，ac是o的弦，過點(diǎn)c的切線交ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn)d，若bd=1，則acd=112.5°考點(diǎn)：切線的性質(zhì)分析：如圖，連結(jié)oc根據(jù)切線的性質(zhì)得到ocdc，根據(jù)線段的和差故選得到od=，根據(jù)勾股定理得到cd=1，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到doc=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得到oca=doc=22.5°，再根據(jù)角的和差故選得到acd的度數(shù)解答：解：如圖，連結(jié)ocdc是o的切線，ocdc，bd=1，oa=ob=oc=1，od=，cd=1，

24、oc=cd，doc=45°，oa=oc，oac=oca，oca=doc=22.5°，acd=oca+ocd=22.5°+90°=112.5°故答案為：112.5點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)本題關(guān)鍵是得到ocd是等腰直角三角形7. （2015，廣西欽州，25，8分）如圖，ab為o的直徑，ad為弦，dbc=a（1）求證：bc是o的切線；（2）連接oc，如果oc恰好經(jīng)過弦bd的中點(diǎn)e，且tanc=，ad=3，求直徑ab的長(zhǎng)考點(diǎn)：切線的判定分析：（1）由ab為o的直徑，可得d=90°，繼而可得abd+a=90

25、76;，又由dbc=a，即可得dbc+abd=90°，則可證得bc是o的切線；（2）根據(jù)點(diǎn)o是ab的中點(diǎn)，點(diǎn)e時(shí)bd的中點(diǎn)可知oe是abd的中位線，故adoe，則a=boc，再由（1）d=obc=90°，故c=abd，由tanc=可知tanabd=，由此可得出結(jié)論解答：（1）證明：ab為o的直徑，d=90°，abd+a=90°，dbc=a，dbc+abd=90°，即abbc，bc是o的切線；（2）點(diǎn)o是ab的中點(diǎn)，點(diǎn)e時(shí)bd的中點(diǎn)，oe是abd的中位線，adoe，a=boc、由（1）d=obc=90°，c=abd，tanc=，tana

26、bd=，解得bd=6，ab=3點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，熟知經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解答此題的關(guān)鍵8. （2015甘南州第10題 10分）如圖，在abc中，c=90°，ac+bc=8，點(diǎn)o是斜邊ab上一點(diǎn)，以o為圓心的o分別與ac，bc相切于點(diǎn)d，e（1）當(dāng)ac=2時(shí)，求o的半徑；（2）設(shè)ac=x，o的半徑為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；三角形的面積專題： 壓軸題分析： （1）連接od，oe，由abc是直角三角形，以o為圓心的o分別與ac，bc相切于點(diǎn)d，e，可知odbc，在ado中，解得半徑（2）由題意可知，odbc，aod=b，則兩角正切值相等，進(jìn)而列出關(guān)系式解答： 解：（1）連接oe，od，在abc中，c=90°，ac+bc=8，ac=2，bc=6；以o為圓心的o分別與ac，bc相切于點(diǎn)d，e，四邊形oecd是正方形，tanb=tanaod=，解得od=，圓的半徑為；（2）ac=x，bc=8x，在直角三角形abc中，tanb=，以o為圓心的o分別與ac，bc相切于點(diǎn)d，e，四邊形oecd是正方形tanaod=tanb=，解得y=x2+x點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查切線的性質(zhì)和解三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，不是很難9.