1、第四章：機器人靜力學和動力學第四章：機器人靜力學和動力學Statics and Dynamics of Robot& 第四章第四章 機器人靜力學和動力學機器人靜力學和動力學概述概述a）靜力學問題）靜力學問題b）動力學問題）動力學問題末端力末端力F與關節力矩關系與關節力矩關系末端運動特性與關節力矩關系末端運動特性與關節力矩關系3& 第四章第四章 機器人靜力學和動力學機器人靜力學和動力學 相同點：都與關節力矩有關相同點：都與關節力矩有關 不同點：如下圖不同點：如下圖概述概述Am I strong?解決接觸力大小問題解決接觸力大小問題-靜力學問題靜力學問題Do I operate s

2、moothly?動力學問題動力學問題從力學的角度讓機器人工作的更平穩、更精確。從力學的角度讓機器人工作的更平穩、更精確。v41 機器人靜力學機器人靜力學F一、靜力學問題：一、靜力學問題：（1）假設各構件處在靜止狀態（相當于運動受限狀態）假設各構件處在靜止狀態（相當于運動受限狀態）（2）關節力矩）關節力矩末端輸出力末端輸出力末端輸出力末端輸出力v二、靜力學兩類問題：二、靜力學兩類問題：v1、 正向靜力學正向靜力學知各關節驅動力（力矩），求末端知各關節驅動力（力矩），求末端點能輸出的力（力矩）點能輸出的力（力矩） 。v2、 逆向靜力學逆向靜力學已知末端點作用力（力矩），求關已知末端點作用力（力矩）

3、，求關節需施加的力（力矩）。節需施加的力（力矩）。v三、靜力學分析方法三、靜力學分析方法F v1、靜力平衡法靜力平衡法v2、虛功原理、虛功原理 （虛位移原理）（虛位移原理）7例例 靜力平衡法靜力平衡法已知：已知：AC= =CB= = l，P= =10kN;10kN;求：求：鉸鏈鉸鏈A和和DC桿受力桿受力. .解：解：取取AB梁，畫受力圖梁，畫受力圖. 0 xF 0yFcos450AxCFFsin450AyCFFP0AMcos4520CFlPl 解得解得kN10,kN20,kN28.28AyAxCFFF8約束 虛位移虛功1 約束及其分類限制質點或質點系運動的條件稱為限制質點或質點系運動的條件稱為

4、約束約束.限制條件的數學方程稱為限制條件的數學方程稱為約束方程約束方程.限制質點或質點系在空間的幾何位置的條件稱為限制質點或質點系在空間的幾何位置的條件稱為幾何幾何約束約束.222lyx（1）幾何約束和運動約束如如9限制質點系運動情況的運動學條件稱限制質點系運動情況的運動學條件稱運動約束運動約束.2220BABABxxyyly222ryxAA102220 xylvt（2）定常約束和非定常約束約束條件隨時間變化的稱約束條件隨時間變化的稱非定常約束非定常約束.不隨時間變化的約束不隨時間變化的約束稱稱定常約束定常約束.11（3 3） 其它分類其它分類約束方程中包含坐標對時間的導數約束方程中包含坐標對

5、時間的導數, ,且不可能積分為有且不可能積分為有限形式的約束稱限形式的約束稱非完整約束非完整約束. . 約束方程是等式的，稱約束方程是等式的，稱雙側約束雙側約束（或稱（或稱固執約束固執約束）. 約束方程為不等式的，稱約束方程為不等式的，稱單側約束單側約束（或稱（或稱非固執單側約束非固執單側約束）111,01,2,innnfxyzxyzis n為質點數，為質點數，S 為約束方程數為約束方程數. . 約束方程中不包含坐標對時間的導數，或者約束方程約束方程中不包含坐標對時間的導數，或者約束方程中的積分項可以積分為有限形式的約束為中的積分項可以積分為有限形式的約束為完整約束完整約束. .本章只討論本章

6、只討論定常的雙側、完整、幾何約束定常的雙側、完整、幾何約束. .122 2 虛位移虛位移 在某瞬時在某瞬時,質點系在約束允許的條件下質點系在約束允許的條件下,可能實現的任何可能實現的任何無限小的位移稱為無限小的位移稱為虛位移虛位移 .只與約束條件有關只與約束條件有關.虛位移虛位移,xr等等實位移實位移d ,d ,drx等等OABxyArBrM實位移實位移是質點系真實實現的位移，它與約束條件、時間、是質點系真實實現的位移，它與約束條件、時間、主動力以及運動的初始條件有關主動力以及運動的初始條件有關 . 13（1）靜止質點可以有虛位移，但肯定沒有實位移。 即：實位移與力有關，而虛位移只與約束有關。

7、 （2）虛位移是約束允許的微小位移，與時間無關， 實位移是真實發生的位移，可以是微小值，也可 以是有限值，而且與時間有關。 2 2、虛位移與實位移的區別與聯系、虛位移與實位移的區別與聯系W1r2rrdW1r2rWrd（4）在定常系統中，微小的實位移是虛位移之一 ， 在非定常系統中，微小的實位移不再成為虛位移之一。 （3）虛位移不惟一，而實位移是惟一的。143 3 虛功虛功 rFW4 4 理想約束理想約束如果在質點系的任何虛位移中如果在質點系的任何虛位移中,所有約束力所作虛功的和所有約束力所作虛功的和等于零，稱這種約束為等于零，稱這種約束為理想約束理想約束.0iNiNiNrFWW力在虛位移中作的

8、功稱虛功力在虛位移中作的功稱虛功.WM 光滑固定面約束、光滑鉸鏈、無重剛桿，不可伸長光滑固定面約束、光滑鉸鏈、無重剛桿，不可伸長的柔索、固定端、輪子只滾不滑等約束為理想約束的柔索、固定端、輪子只滾不滑等約束為理想約束.15即即0iirF設質點系處于平衡設質點系處于平衡, ,有有0NiiFF或記為或記為0FiW此方程稱此方程稱虛功方程,其表達的原理稱其表達的原理稱虛位移原理虛位移原理或或虛功原理虛功原理.0iNiiirFrF0iNiiirFrF虛位移原理虛位移原理對于具有理想約束的質點系對于具有理想約束的質點系,其平衡的充分必要條件是其平衡的充分必要條件是:作用于質點系的所有主動力在任何虛位移中

9、所作的虛功的和作用于質點系的所有主動力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零等于零.解析式為解析式為0iziiyiixizFyFxF16已知：如圖所示已知：如圖所示, ,在螺旋壓榨機的手柄在螺旋壓榨機的手柄AB上作用一在水平上作用一在水平 面內的力偶面內的力偶( ( ),),其力矩其力矩 , ,螺桿螺桿 的導程為的導程為. .FF,FlM2h求：機構平衡時加在被壓物體上的力求：機構平衡時加在被壓物體上的力.例例17解解:02FlsFWNFs與hs2022hFFlWNF是任意的因02hFFl2NFhlFN4給虛位移給虛位移以手柄、螺桿和壓板組成的系統為研究對象以手柄、螺桿和壓板組成的系統為研究對象,

10、受力如圖受力如圖.FFsNF18總結：虛功原理解題步驟分析系統所受主動力分析系統所受主動力選擇虛位移選擇虛位移 求解求解 靜平衡系統虛功之和為零靜平衡系統虛功之和為零求力在虛位移上的虛功求力在虛位移上的虛功利用虛功原理建立靜力平衡方程，令利用虛功原理建立靜力平衡方程，令Fxzy忽略摩擦力和重力忽略摩擦力和重力式中式中 J 雅可比矩陣。雅可比矩陣。該式表明關節空間力矩和笛卡爾空間廣義力可以借助于雅可比矩陣該式表明關節空間力矩和笛卡爾空間廣義力可以借助于雅可比矩陣 J 變換。變換。0TTJFqTJF1221221112212211clclclslslslJ1221221221112211clslc

11、lclslslJTYXTFFclslclclslslFJ122122122111221121YXYXFclFslFclclFslsl122122212211122111)()(靜力平衡方法驗證靜力平衡方法驗證XYXFlFlFl2212123靜力學小結v理解靜力學問題及分類v掌握逆靜力學計算方法一、動力學問題：一、動力學問題：42 機器人動力學機器人動力學二、機器人動力學研究的問題可分為兩類二、機器人動力學研究的問題可分為兩類：（：（總結總結） 1、給定機器人的驅動力（矩），用動力學方程求解機器、給定機器人的驅動力（矩），用動力學方程求解機器 人（關節）的運動參數或動力學效應（即已知人（關節）的

12、運動參數或動力學效應（即已知 , 求求 和和 ，稱為動力學正問題）。，稱為動力學正問題）。 2、給定機器人的運動要求，求應加于機器人上的驅動力、給定機器人的運動要求，求應加于機器人上的驅動力（矩）（即已知（矩）（即已知 和和 ，求，求 , 稱為動力學逆問題稱為動力學逆問題 ）。）。, , （1）機器人處于運動狀態（）機器人處于運動狀態（不論是否與外界接觸不論是否與外界接觸）（2）關節力矩）關節力矩末端位置、速度、加速度末端位置、速度、加速度 給定期望的給定期望的末端位末端位置、速度、加速度置、速度、加速度動力學計算關節力矩（時變）動力學計算關節力矩（時變）自動控制算法自動控制算法控制電機轉矩控

13、制電機轉矩三、動力學研究方法：三、動力學研究方法：1拉格朗日方程法：拉格朗日方程法：通過通過動、勢能變化與廣義力的關系動、勢能變化與廣義力的關系，建，建立機器人的動力學方程。代表人物立機器人的動力學方程。代表人物 R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。等。3高斯原理法高斯原理法: 利用力學中的高斯最小約束原理利用力學中的高斯最小約束原理,把機器人動把機器人動力學問題化成極值問題求解力學問題化成極值問題求解.代表人物波波夫代表人物波波夫(蘇蘇)。4凱恩方程法：凱恩方程法：引入引入偏速度偏速度概念，應用矢量分析建立動力學概念，應用矢量分析建立動力學方程。該方法在求

14、構件的速度、加速度及關節驅動力時，只進方程。該方法在求構件的速度、加速度及關節驅動力時，只進行一次由基礎到末桿的推導，即可求出關節驅動力，其間不必行一次由基礎到末桿的推導，即可求出關節驅動力，其間不必求關節的約束力，具有完整的結構，也求關節的約束力，具有完整的結構，也適用于閉鏈機器人適用于閉鏈機器人。2牛頓牛頓歐拉方程法：歐拉方程法：用用構件質心的平動和相對質心的轉動構件質心的平動和相對質心的轉動表示機器人構件的運動，利用動靜法建立基于牛頓表示機器人構件的運動，利用動靜法建立基于牛頓歐拉方程歐拉方程的動力學方程。代表人物的動力學方程。代表人物Orin, Luh(陸養生陸養生)等。等。26質點的

15、拉格朗日方程fmgyxomyfmg2()1()2()d myddKmymydtdtydtyPmgmgyyy212DefineLKPmymgyLKLPandyyyydLLfdtyy總結：解題的一般思路v 系統的動能和勢能可在任何形式的坐標系（極坐標系、系統的動能和勢能可在任何形式的坐標系（極坐標系、圓柱坐標系等）中表示圓柱坐標系等）中表示 ，不是一定在直角坐標系中，不是一定在直角坐標系中。四四 串聯二自由度機器人的拉格朗日方程串聯二自由度機器人的拉格朗日方程定義：定義：L=K-P LLagrange函數；函數；K系統動能之和；系統動能之和；P系統勢能之和。系統勢能之和。剛體系統拉格朗日方程剛體系

16、統拉格朗日方程應用質點系的拉格朗日方程來處理桿系的問題。應用質點系的拉格朗日方程來處理桿系的問題。一、動能和勢能一、動能和勢能 v（負號與坐標系建立有關）（負號與坐標系建立有關）機器人拉格朗日方程機器人拉格朗日方程三、動力學方程三、動力學方程 先求第一個關節上的力矩先求第一個關節上的力矩 1,1,2,iiidLLindtqq同理，對同理，對 和和 微分，可求得第二關節力矩微分，可求得第二關節力矩 22,1,2,iiidLLindtqq32Written in Matrices Form:有效慣量(effective inertial)：關節i的加速度在關節i上產生的慣性力，等效轉動慣等效轉動慣

17、量的概念量的概念四、動力學方程中各系數的物理意義四、動力學方程中各系數的物理意義2111121111221121211111222212221122221222122221DDDDDDDDDDDDDD 33Written in Matrices Form:耦合慣量(coupled inertial)：關節i,j的加速度在關節j,i上產生的慣性力222112122212112221222()2cos()cos()mm dm dm d dm dm d d221221221222121122122sin()sin()()sin()sin()m d dm d dmmgdm gd 22222221221

18、222212212212cos()sin()sin()m dm d dm dm d dm gd D12=D21，慣量矩陣為對稱陣（symmetry）四、動力學方程中各系數的物理意義四、動力學方程中各系數的物理意義2111121111221121211111222212221122221222122221DDDDDDDDDDDDDD 34向心加速度(acceleration centripetal)系數：關節i的速度在關節i上產生的向心力222112122212112221222()2cos()cos()mm dm dm d dm dm d d221221221222121122122sin()

19、sin()()sin()sin()m d dm d dmmgdm gd 22222221221222212212212cos()sin()sin()m dm d dm dm d dm gd 四、動力學方程中各系數的物理意義四、動力學方程中各系數的物理意義2111121111221121211111222212221122221222122221DDDDDDDDDDDDDD 35向心加速度(acceleration centripetal)系數：關節j的速度在關節i上產生的向心力222112122212112221222()2cos()cos()mm dm dm d dm dm d d22122

20、1221222121122122sin()sin()()sin()sin()m d dm d dmmgdm gd 22222221221222212212212cos()sin()sin()m dm d dm dm d dm gd 四、動力學方程中各系數的物理意義四、動力學方程中各系數的物理意義2111121111221121211111222212221122221222122221DDDDDDDDDDDDDD 36哥氏加速度(Coriolis accelaration)系數：關節j,k的速度引起的在關節i上產生的哥氏力(Coriolis force)22211212221211222122

21、2()2cos()cos()mm dm dm d dm dm d d221221221222121122122sin()sin()()sin()sin()m d dm d dmmgdm gd 22222221221222212212212cos()sin()sin()m dm d dm dm d dm gd 此時，哥氏力(Coriolis force)只在關節1產生，因為哥氏力是由于牽連運動是轉動造成的哥氏力是由于牽連運動是轉動造成的四、動力學方程中各系數的物理意義四、動力學方程中各系數的物理意義2111121111221121211111222212221122221222122221DDD

22、DDDDDDDDDDD 37重力項(gravity)：關節i,j處的重力222112122212112221222()2cos()cos()mm dm dm d dm dm d d221221221222121122122sin()sin()()sin()sin()m d dm d dmmgdm gd 22222221221222212212212cos()sin()sin()m dm d dm dm d dm gd 四、動力學方程中各系數的物理意義四、動力學方程中各系數的物理意義2111121111221121211111222212221122221222122221DDDDDDDDDDD

23、DDD 比較二桿機器人例中的系數與一般表達式中的系數得到比較二桿機器人例中的系數與一般表達式中的系數得到有效慣量系數：有效慣量系數： 2211121222121()2cos()Dmm dm dm d d22222Dm d耦合慣量系數：耦合慣量系數： 21221222122cos()DDm dm d d向心力項系數：向心力項系數： 111122212221121222220sin()sin()0DDm d dDm d dD 哥氏力項系數：哥氏力項系數： 1121212122212221sin()0DDm d dDD 重力項：重力項： 112112212()sin()sin()Dmmg dm g

24、d22212sin()Dm g dv 動力學方程中的慣量項和重力項在機器人控制中特別重要，動力學方程中的慣量項和重力項在機器人控制中特別重要，將直接影響系統的穩定性和定位精度。只有當機器人高速運將直接影響系統的穩定性和定位精度。只有當機器人高速運動時，向心力項和哥氏力項才是重要的。傳動裝置的慣量值動時，向心力項和哥氏力項才是重要的。傳動裝置的慣量值往往較大，對系統動態特性的影響也不可忽略。往往較大，對系統動態特性的影響也不可忽略。 在機器人動力學問題的討論中，拉格朗日動力學方程常寫在機器人動力學問題的討論中，拉格朗日動力學方程常寫作更簡化的一般形式：作更簡化的一般形式：( )( ( ) ( )( ( ),( )( ( )tD q tq th q tq tG q t式中：式中：12( )( ),( ),( ),)Tntttt12( )( ),( ),( ),)Tnq tqtqtqt12( )( ),( ),( ),)Tnq tqtqtqt12( )( ),( ),( ),)Tnq tqtqtqt( ( ),( ( ),( ),