1、北師大高中數學必修四知識點第一章三角函數2、象限的角：在直角坐標系內，頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合,角的終邊落在第幾象限，就是第幾象限的角；角的終邊落在坐標軸 上，這個角不屬于任何象限，叫做軸線角第一象限角的集合為L k 360c <ct <k 360c +90、kwz第二象限角的集合為 Q|k ,360c+90/k 360+i80，1,k w 2第三象限角的集合為 Q|k 360'+180!< k 360' +270t,kw 2第四象限角的集合為 Q k 360c + 270c<a <k 360c +3600,k = Z)終邊在x軸上

2、的角的集合為 L 口 =k 180，,k亡公終邊在y軸上的角的集合為 Q|a=k 180,十901,kwz終邊在坐標軸上的角的集合為匕口 = k 90，,k w Z 3、與角口終邊相同的角，連同角口在內，都可以表示為集合 | = ： k 360 , k Z 4、弧度制：(1)定義：等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用弧度做單位叫弧度制。半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為l ,則角口的弧度數的絕對值是l u =-.r 度數與弧度數的換算：180 口=nrad ,1 rad = (180)157.30口=5718'JI5、(3)若扇形的圓心角為弧長公式：l=|)三角函數：P( u,

3、v),(1)定義：設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點那么v叫做a的正弦，記作sin a ,即sin a = v；u叫做a的余弦，記作cos a ,即cos a =U；當a的終邊不在y軸上時，-叫 做a的正切，記作tan a ,即tan a =ty設a是一個任意大小的角，a的終邊上任意一點P必標 P(x?y)是(x, y ),它與原點的距離是r(|OP =r =J'x2 + y2 >0)、貝1J sin a =y, cosa=3, tana=?(x¥0) rrx(2)三角函數值在各象限的符號：+、+口訣：第一象限O x全為正；二正三切四余弦.(3)特殊角的三角函數值

4、口的角度«的弧度不存在U的角度a的弧度不存在6、三角函數的誘導公式:(1 )sin (2kn 十口)=sina , cos(2kn+a )=cosu , tan(2kn+口 尸 tana (kZ ).口訣：終邊相同的角的同一三角函數值相等.(2gin « )=sina , cos(R )=cosa , tan« )=tana .(3 Rin (n一u )=sinu , cos(na)=-cosct , tan(n口 )=tana .4 sin 二 +« )=sina , cos(n +« )=-cos« , tan(n +«

5、 尸tanu .(5 Rin (2打 一口產sin口，cos(2n-口)=cos , tan(2 -« )=-tan® .口訣：函數名稱不變，正負看象限.cos-：.sin：2tan - -a =cota .2fji)fji)fn、(7 sin . +u =cosu , cos +u = -since tan +a 1= cotet .12J12J12J口訣：正弦與余弦互換，正負看象限.7、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質:圖象定義域值域值域：1-1,1冗當x = 2kn十萬(k wz)時，ymax =1 ；當 X = 2依-二2(kwZ )時，ymin=1.值域：

6、1-1,1當 x=2kn(kwZ )時，ymax =1 ；當 x=2kn +n(kWZ)時，ymin=-1.值域：R既無最大值也無最小值周期性y=sinx是周期函數；周期為T =2kn,k WZ且k/0;最小正周期為2ny=cosx是周期函數；周期為T =2kn,kwZ且k 00;最小正周期為2兀y =tanx是周期函數；周期為T =依* "且卜#0；最小正周期為H奇偶奇函數偶函數奇函數性單調性在)2k 冗-,2ku +一22 J(Z工)上是增函數；在(kZ讓是減函數.在味冗-冗,2依(keZ )上是增函數；在12kn,2kn +冗】(k wZ )上是減函數.“ 二兀，"在

7、 kn 一，k兀 +一122，(kwZ )上是增函數.對稱對稱中心(k%0 IYZ )對稱軸x =kn + (kW工)2對稱中心對稱中心性( n )Jn+萬,0對稱軸x=kn(kwZ )kn 八） 一 。無對稱軸8、函數y = Asingx+邛）+b （A >0© > 0）的相關知識:（1） y =Asin （cox +中）+b的圖象與y=sinx圖像的關系:一、圖象上每個點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍振幅變換： y =sin xy - Asin x1 周期變換： y =sin x圖象上母個點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不會y =. sin xco圖象整體向左（邛A

8、 0 ）或向右（邛< 0）平移|勺個單位相位變換：y =sin xy = sin（x - "）圖象整體向上（b>0）或向下（b<0）平移變換：y=Asin（cox+b個單位>y = .-'.sin x 廠b先平移后伸縮：函數y =sinx的圖象整體向左（邛>0）或向右（平<0）平移四個單 位，得到函數y=sin（x+中）的圖象；再將函數y = sin（x +甲）的圖象上每個點的橫坐 標變為原來的 工倍，縱坐標不變，得到函數y =sin（cox +中）的圖象；再將函數y =sin（x十中）的圖象上每個點的縱坐標變為原來的A倍，橫坐標不變，得到

9、函數y = Asin（x+邛）的圖象；再將函數 y =sin（8x +平）的圖象整體向上（b>0）或向下 （b<0）平移b個單位，得至ij函數 y = Asingx +平）+b .先伸縮后平移：函數y= sin x的圖象上每個點的橫坐標變為原來的1倍，縱坐標不變，得到函數y=sinx的圖象；再將函數y =sinx的圖象整體向左（> 0 ）或向右（中<0）平移U個單位，得到函數y =sin（sx+學）的圖象；再將函數y = sin（cox +中）的 0圖象上每個點的縱坐標變為原來的 A倍，橫坐標不變，得到函數 y = Asin（Ex +邛）的 圖象；再將函數y =sin（

10、cox +中）的圖象整體向上（b>0）或向下（b<0）平移b個單 位，得至ij函數 y = Asin（sx+中）+b .（2）函數 y =Asin（®x+中）+b （A >0,6 >0）的性質：振幅：A ；周期：丁=至；頻率：f=1=2;相位：0x +中；初.2二相：中.定義域：R值域：I- A b, A b 1當切x+* = 2kn(k wZ )時，ymax=A+b；當(ox + 9 = 2kn(k wZ )時，ymin = A + b .周期性：函數y =Asin3x+中)+b (A>0：>0)是周期函數；周期為 丁=空 co單調性：Ex+邛在

11、.|2kn -；,2kn +；（kw工）上時是增函數;（kwZ ）上時是減函數.一 3二cox+邛在.|2kn + ,2kn + 一 22k 二對稱性：對稱中心為.一,0 1（k = Z）;對稱軸為ox + cP = ku +（ ke Z ）第二章平面向量1、向量定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面內的有向線段表示.2、零向量：長度為0的向量叫零向量，記作0;零向量的方向是任意的.3、單位向量：長度等于i個單位長度的向量叫單位向量；與向量 a平行的單位向量：e=±-a-.|a|4、平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共線向量,記作a / b

12、;規定0與任何向量平行.5、相等向量：長度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量與零向量相等注意：任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關。6、向量加法運算：三角形法則的特點：首尾相接平行四邊形法則的特點:起點相同運算性質：交換律：a +b =b +a ;結合律：(：+b)+C = a+(b+C); 2+0 = 0 + ： =，.坐標運算：設 a = (xi,y ), b=(x2,y2),貝1J，+：=(為+x2,y1 + y2 ).7、向量減法運算：三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指被減向量.坐標運算：設 a = (x1,y1 ), b=(x2,y

13、2),則a -b =(xi -x2,y -y2).設A、B兩點的坐標分別為(x，y1 ), (x2,y2 ),AB =限 一。丫2 y18、向量數乘運算:實數九與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作,a =1刈a ；當九a。時，九2的方向與a的方向相同；當人<o時，？、a的方向與a的方向相反； 當九=o時，九a=0.I運算律： 九（口）二（，出禽；（九十N0=九:十虜；九（a+b ）="十九b .坐標運算：設 a = （x,y）,貝U九a = ?”（x,y ）=（九x,九y ）.9、向量共線定理：向量a（a#0）與b共線，當且僅當有唯個實數人使b=?4. 設 a =

14、（x, y），b =（X2,y2 ）,其中 b #0 ,則當且僅當 xy2 x2% =0 時，向量 a> b（b * 0 ） 共線.10、平面向量基本定理：如果 :、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于、 一一 一，一一0 J 1I- t -,r 4 T H 一，,這一平面內的任意向量a,有且只有一對實數儲、入2,使a=%e f.（不共線的向量0、e2作為這一平面內所有向量的一組基底）11、分點坐標公式：設點 p是線段P1P2上的一點，Pi、P2的坐標分別是（xi，y1）,342）,當彘=而2時，點P的坐標是專三二4里1 <. .1 12、平面向量的數量積：b =謝片85日（

15、：#0,b #0,0,£8180"）.零向量與任一向量的數量積為0.性質:設a和b都是非零向量,則aibtt ab=0.當a與b同向時, a匕=1 a b ；當a與b反向時，a b=-忖；a a=a2 =胃或a =右,a .a后自八 運算律：a b =b ,a ；（九a）b=九（？匕）=a九b）；（a+b）c=a c+b c.坐標運算：設兩個非零向量 a = （x1,y1）, b=（x2,y2）,則a-b = x1x2 + y1y2.若 a = （x, y）,則 a，=x2+y2,或 a = Jx2 + y2 .設 a=（x1,y）， b=（x2,y2）,貝1Ja_Lbu

16、為乂2+%丫2=0.I設a、b都是非零向量，?=（4,丫1）, b=（x2,y2）, 8是a與b的夾角，則X1X2y1y222 -22XiyiX2y2弟二章三角包等變形1、同角三角函數基本關系式(1)平方關系：sin2 o( +cos2o( =1(2)商數關系：tana =號吧cos：(3 )倒數關系:tan:. cot ： = 1,2 tan2 121sin a =2; c o sa =21 tan 工1 tan :注意：sina , cosa , tana按照以上公式可以“知一求二”2、兩角和與差的正弦、余弦、正切S(口布：sin(a + 0)= sin a cos P + cosa si

17、n 口S(ot 串：sin(a - P) = sin a cos R 一 cosa sin 0C(ot由：cos(a + B) =cosa cos P - sin a sin PC(ot_p : cos(a - P) = cos« cos P + sinu sin PT(a+0 :3：tan(：£ F)二tan(:工 P)二tan 二 一 tan :1 一 tan 二 tan :tan c- -tan :1 tan .：: tan :正切和公式：tan 二：1 tan : = tan（二"）（1-tan 二：tan ：）3、輔助角公式 ：asin x+bcosx

18、= %a2+b2 a a sin x+ b b cosx 3a2+b2ta2+b2J（其中邛稱為輔助角，邛的終邊過點（a,b） , tan=b）a4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：S2o(:sin2 s =2sinscosu2. 222.C2a：cos2a =cos a sin a =1 2sin a =2cos 久-1T2 a：tan2:2tan ;,21 - tan二倍角公式的常用變形： 、Ji cos20t =理 |sinot |,J1 + cos2ot = 12 |cosa | ;1 -1cos2a =| since |,1-cos2： -I cos ： | 2、 sin4 .工二 cos4 1=1 - 2sin 22cos 二, sin2 2.：s=1 -24.4cos 二 一sin : =cos2:1降次公式：sin ： cos sin 2： 2sin2 ;1 -cos2：cos25、半角的正弦、余弦和正切公式:asin 一 二21 -cos ;acos二21 cos：6、同角三角函數的常見變形:（活用1”)2 _,2 _D sin « =1 -cos 口 ；sin a = ±V1 - cos2a ;2/. 2cos 口 =1 -sin 口 ；c