1、北京市東城區2018-2019學年度第？學期高三綜合練習(一)數學(理科)本試卷共5頁，共150分。考試時長120分鐘。考？生務必將答案答在答題卡上，在試卷 上作答？無效。考試結束后，將答題卡交回。第一部分(選擇題一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。 目要求的？ 一項。共40分)在每小題列列出的四個選項中，選出符合題(1)已知集合x2x2則AI B(A)(C)(A)(C)(3)在復平？面內，若復數2i在平面直角坐標系 XOY中，角各式的值一定為負的是(A) sin cos(C)sin cos(B)(D)(2 i)z對應的點在第？二象限, (B)(B)(D)z可以為(D) 2+i以OX為始

2、邊，終邊經過點P( 1,m)(m 0)，則下列sin cossin(4) 狀為(A)(C)tan正方體被一個平面截去？一部分后，所得幾何體的三視圖如圖所示，則該截面圖形的形等腰三角形平行四邊形(B)直角三角形(D)梯形(5)若x, y滿足00 ,則x y的最大值為2x(A)(6)(B) 1已知直線l過拋物線y2 8x的焦點(C) 2F,與拋物線交于(D)A, B兩點，與其準線交于點C.若-5 -點F是 的AC中點，則線段BC的長為(A)83(B)3(C)16(D)6他在實踐的基礎提出祖晅原理:(7)南北朝時代的偉大數學家祖咂在數學上有突出貢獻,勢既同，則 積不容異”.其含義是：夾在兩個平行平面

3、之間的兩個幾何體，被平行于這兩個 平行平面的任意平面所 截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.如圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為Vi,V2 ,被平行于這兩個平?面的任意平面截得的兩個截面的面積分別為S,S2,則“ V1M相等”是“ S1,S2總相等”的(A)充分？而不不必要條件(B)必要？而不 不充分條件(C)充分必要條件(D)既不不充分也不 不必要條件a°(8)已知數列an滿足：a1 a , an+1 =2是(A) E a 0, n 2,使得 an 22(B) a 0, n 2,使得 an ani(C) a 0, m N*,總有 am an

4、1(n N*),則下列關于 an的判 斷正確的 an(D) a 0, m N*,總有 amn an第二部分(非選擇題共110分)、填空題共6小題，每小題5分，共30分。(9)在(J2 x)6的展開式中，X2的系數是.(用數字作答)(10 )在 ABC 中，若 bcosC csin B 0,則 C=(11)若曲線c：xacos(為參數)關于直線l - x 1 t( t為參數)對稱，則.y2sin.y 2 2ta ；此時原點O到曲線C上點的距離的最大值為 -(12 )已知向量a=(1,J3),向量b為單位向量，且 a b=1,則2 b- a與2 b夾角為 (13)已知函數 f (x) 4x x3,

5、若 x1,x2 a,b, x1 x2 都有0,x A,0,x Bn1,x A,1,x B2f(用x2) f(2x1) f(2xz)成立，則 滿足條件的一個區間是 -(14)設A,B,是R中兩個子集，對于 x R,定義：m若A B .則對任意x R , m(1 n) ;三、解，答題共6 ?小題，共 (15)(本小題13分)若對任意x R, m n 1 ,則A,B的關系為80分。解答應.寫出？文字說明，演算步驟或證明過程。已知函數 f(x) 4acosxsin(x ),且 f () 1 .(I )求a的值及f(x)的最小正周期；(n )若f (x)在區間0, m上單調遞增，求f (x)的最大值.(

6、16)(本小題13分)改革開放40年年來，體育產業蓬勃發展反映了 “健康中國”理念的普及.下圖是我國2006年至2016年體育產業年增加值及年增速圖. 其中條形圖為體育產業年增加值 (單位：億元)， 折線圖為體育產業年增長率().體白產業增加但一一體育產業年增長率(%)(I )從2007年至2016年隨機選擇1年，求該年體育產業年增加值比前一年的體育產 業年增加值多 億 元以上的概率；(n )從2007年至2016年隨機選擇3年，設X是選出的三年中體育產業年增長率超過 20%勺年數，求X的分布列 列與數學期望；(m )由圖判斷，從哪年開始連續三年的體育產業年增長率方差最大？從哪年開始連續三年

7、的體育產業年增加值方差最大？(結論不不要求證明)(17)(本小題14分)如圖，在棱長均為2的三棱柱 ABC AB1G 中，點C在平面 AAB0內的射影。為AB1與A1B的交點，E,F分別為BC,AC1的中點.(I )求證：四邊形 AABB為正方形；(n )求直線EF與平面 AACC1所成角的正弦值;(出)在線段AB1上存在一點D,使得直線EF與平面ACD沒有公共點，求黑的值.DB1(18)(本小題13分)設函數f(x) ax2 (a 2) x In x的極小值點為x0 .(I)若x0 1,求a的值f(x)的單調區間；(II )若0 Xo 1,在曲線y f(x)上是否存在點P,使得點P位于X軸的

8、下方？若存在, 求出一個 點P坐標，若不存在，說明理由.(19)(本小題13分) 22已知橢圓C : - -y- 1(m 0)與x軸交于兩點Ai, A2,與y軸的一個交點為B, BAA? 4m m的面積為2.(I )求橢圓C的方程及離心率；(n )在y軸右側且平行于 y軸的直線l與橢圓 交于不同的兩點 P,P2,直線 AP與直線 A2P2交于點P.以原點。為圓心，以AB為半徑的圓與x軸交于 兩點M,N(點M在點N的左 側)，求PM PN 的值.(20)(本小題14分)已知L N，數列A：a, a2,L , %中的項均為不大于 L的正整數.a表示ai,a2,L ,%中k 的個數(k 1, 2,L

9、 , L).定義變換T, T將數列A變成數列T(A) ：tg),t(a2),L ,t(an)其中t(k)(I)(n)(m)L G C2 L 最 n若L 4,對數列A： 1, 1, 2, 3, 3, 4,寫出g(1 i 4)的值；已知對任意的 k(k 1,2,L ,n),存在a中的項am,使得am k.求證：Na) ai (i 1,2,L ,n)的充分必要條件為 qCj(i, j 1,2,L , L)；若 l n ,對于數列 A：a1,a2,L ,4 ,令T(T(A) ：b,b2,L h 求證：b t(aj (i 1,2,L ,n).北京市東城區2018-2019學年度第二學期高三綜合練習（一）

10、019.4數學（理科）參考答案及評分標準、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）(1) C(2) B(3) D(4)(5) D(6) C(8)二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）(9)(10)(11)(（13） （0，1） （答案不唯一）不（14）三、解答題（共6小題，共80分）(15)(共 13 分)解:(I )由已知,x4xns6得，解得- J4cos x(sin x2 cosx) 22 . 3 sin xcosx 2cos2x3 sin 2x cos2x 12sin(2x -) 1f(x) 2sin(2x -) 1 6(D)f(x) 2sin(2x -) 1. 62x 當 x

11、0, m時， 6一 ,2m -, 66若在區間上單調遞增, 則有，即.13(16)(共 13 分)解：(I)設A表示事件“從2007年至2016年隨機選出1年，該年體育產業年增加值比前 一年的體育產業年增加值多億元以上” 由題意可知，2009年，2011年，2015年，2016年滿足要求,隰42T05(n)由題意可知， X的所有可能取值為0, 1, 2, 3,且c3 iP(X 0)*=- C106 .P(X1)c14 c61C30P(X 2)等嘖P(X3)C3C3030所以X的分布列為:E(X)31013 30X0123P1131621030X的期10(m)從年或年開始連續三年的體育產業年增長

12、率方差最大.從年開始連續年的體育業年增加值方13大.(17)(共14分)解:(I )連結.因為C在平面aabb1內的射影O為與的交點,所以平面.由已知三棱柱ABC A1 B1C1各棱長均相等，所以，且為菱形.由勾股定理得，即.所以四邊形為正方形 5分（n）由（I）知 CO 平面 AABBi，C0 OA,CO OAi.在正方形中，.如圖建立空間直角坐標系.O(0,0,0), A(,，2,0,0), a(0, ,2,0), B( ,2,0,0), C(0,0, 2),Ci(,2, ,2, .2)E(二,0,二),F(、2,二,二) 2222Uur - - UHT 所以 AiA ( .2, ,2,0

13、), AC (0, .2, .2).設平面AACCi的法向量為m （x, y,力,uuirm AA10,uuum AC 0.則即令則于是. 2x . 2 y 0,2y 2z 0.-14 -uuirEF又因為所以直線與平面所成角的正弦值為103<2.2 m(r- , -,0)22 ,設直線EF與平面AACC1所成角為，則 uuruuirm EF730sin | cos m ,EF | uutr m EF 15（ID）直線與平面沒有公共點，即/平面.設D點坐標為(0, y0,0) , uuuu 一因為 ad ( Zy。,0)D與O重合時不合題意，所以.uuurAC(,20, 2)設為平面的法

14、向量,于是uuiirA1D0,uuurA1C0.2x1 V0 V12x12乙即n (1, ,1)V00,0.若/平面,uurEF (又3.2所以2V。14(18)(共13分)解:(I )定義域為.f '(x) 2ax(a2)_2-2ax (a 2)x 1(2x 1)(ax 1)此時平面,所以，.所以.由已知，得，解得.f'(x) 當a = 1時，(2x1)(x 1)當時，；當時，.所以的遞減區間為，單調遞增區間為所以時函數在處取得極小值 .即 f(X) 的 極 小 值 點 為1.6(II)當。x0 1時，曲線y f(x)上不存在點P位于X軸的下方，理由如下:f'(x)

15、由(I)知(2x 1)(ax 1)當時,所以在單調遞減，不存在極小值點;工人x緋/口。時，令x ,得.x當當時,(0,a時，f (x) 。，f(x)在區間.上單調遞減;,在區間上單調遞增.1a是在上的最小值.f ( ) = Ina + 1-所以 a由已知，若，則有，即當時，且，.所以當0x01時，曲線yf(x)上所有的點均位于x軸的上方.故當0 x0 1時，曲線y f上不存在點P位于x軸的下方 13分(19)(共 13 分)解：(1)因為m 0,由橢圓方程知：a2 4m,b2 m,a 2Kb 后,_1 S BA1A2 2ab 2Gm ;m 2m 22,所以所以橢圓J的方程為.由，得，所以橢圓C

16、的離心率分0),不妨設 A1( 2,0), A2(2,0),為.5（n）設點 P（xp,yp）, P1（x0，y0），P2（x0， y0）（x0RA：yyo xop2A2: yxo2xo又4化簡得y。xo 2yoxpxoyp4, xo2yoxo2yo2xp42 yp4 2 ()2 xp424yp2 xp1(xp0).因為A（ 3即），所以|ab后,即 M( >/5,0),N(V5,0).所以點所pmp的軌跡為雙曲線的右支，兩點恰為其焦點，為雙曲線的頂點，且aA213PN分（20）.一（共 14 分） 解(I)(n)由于對任意的正整數k(1k L),存在A中的項電,使得.所以均不為零.必要

17、性：若t(ai) ai(1 i可，由于t(k) L cc2 L cknt(1) L c1 1 t(2) L所以有n ；c22 t(3) L Gc2 c3； nt(L) l 0 c2 LcLL ； n通過解此方程組，可得c Cj(i, j12L，L)成立.充分性：若qCj (i1,2, LL)成立，不妨設h ci(i1,2,L ,L),可以得到.所以有:t(2)2hL 2n.l""n13.(m)設 A:aia2,Lan的所有不同取值為Ui,U2,L , Um ,且滿足：UiU2 L Um不妨設A：UiiUi2,L ,Uiri，U2i, U22,L ,U2r2,Umi, Um2, L , Umm甘中 UiiU12-LU11 ,U21U22 L U2r:Umi Um2 =L Umrm又因為t(Uii) t(U12),根據變換T有：t(U1ri)t(U1)L Cj1nrit(U21)t(U22)Lt(u2r2)t(U2)rit(Uml)t(Um2) L tU 仙riLGmT(A):映5555