1、 如圖：所圍的曲邊梯形面積。、直線表示由曲線定義：0),(ybxaxxfyA一、定積分的引入一、定積分的引入曲邊梯形面積的求法曲邊梯形面積的求法注：此注：此“面積面積”一定是以一定是以x軸為一邊的曲邊梯形；軸為一邊的曲邊梯形；yxbaAy=f(x)例如：求曲線例如：求曲線y=x2、直線、直線x=0、x=1和和y=0所圍成的面積？所圍成的面積？如圖所示如圖所示此問題的難點是圖形有一邊是曲此問題的難點是圖形有一邊是曲的，如何求它的面積呢？的，如何求它的面積呢？研究此問題的基礎是已知矩形的面積公式研究此問題的基礎是已知矩形的面積公式S=長長*寬寬=a*b，那么，那么研究方法是研究方法是“無限細分，以

2、直代曲無限細分，以直代曲”，將曲邊圖形分劃為若干，將曲邊圖形分劃為若干個小矩形，用小矩形面積個小矩形，用小矩形面積Si矩矩近似代替近似代替小曲邊梯形面積小曲邊梯形面積Si曲曲，即即:xyy=x21A0niiiSSSS1i矩曲矩曲從而有：，如果右邊的和式有極限（如果右邊的和式有極限（n），則極限值即為整個），則極限值即為整個曲邊梯形的面積，即：曲邊梯形的面積，即：niinSS1lim矩曲. 1,1.,.2,1, 01210nnxnnxnixnxnxxnninxi12)()(nixfi如圖所示：如圖所示： 1）將區(qū)間）將區(qū)間0,1n等分。等分。其分點分別為：其分點分別為：2）得）得n個小條形，每個

3、小條形的寬均為個小條形，每個小條形的寬均為高則分別高則分別 取區(qū)間右端點取區(qū)間右端點xi(i=1,2,n)的函數(shù)值的函數(shù)值3）相乘為第）相乘為第i個小矩形面積：個小矩形面積：xy0 x2x3xn=1xn-1y=x2x0 x1矩曲iiSS2)(1)(ninxfxSiii矩4）第）第i個小曲邊梯形面積近似：個小曲邊梯形面積近似：5）曲邊梯形面積）曲邊梯形面積S曲曲近似：近似：2111i1)(1)(SniniiininininxfxSS矩曲曲xy010y=x2x01若取若取n=10384. 06) 12)(1(111)(.312312121nnnninnniSSSSSnininiin曲得，上述由6)

4、12)(1(12nnnini容易發(fā)現(xiàn)容易發(fā)現(xiàn)n越大（即區(qū)間分得越細）則此面積誤差越小，越大（即區(qū)間分得越細）則此面積誤差越小，6）直到用極限方法令直到用極限方法令n，得曲邊梯形的精確值：，得曲邊梯形的精確值：333.0316)12)(1(limlim21nnnSSnniin矩曲1maxii nt 其中其中 tvv 分割區(qū)間分割區(qū)間取近似值取近似值作和作和取極限取極限 （1）細分區(qū)間）細分區(qū)間12111212 , , , ,nT TT tt ttTti-1tii iiiSvt(2) 取近似值取近似值 11( )nniiiiiSSvt（3）作和）作和01lim( )niiiSvt（4）取極限）取極

5、限 T1T2vt曲邊梯形面積曲邊梯形面積A：變速運動的路程變速運動的路程 S：01lim( )niiiSvt dttvTT21記為記為01lim( )niiiAfx baf x dx記為記為 定積分定義定積分定義niiiiiiiiiiiniixfxxnixxxxxnbabxxxxxxabaxf11111210)(,),.2,1(,.,)(作累積的和式，任取，其中個小區(qū)間分成將區(qū)間，區(qū)間有定義，任取分點在定義：設函數(shù)badxxf)(iniinbaxfdxxf)(lim)(1 如果當最大的子區(qū)間的長度如果當最大的子區(qū)間的長度 時，此和式有極限，時，此和式有極限，則此極限叫作則此極限叫作f(x)在在

6、 a，b上的定積分，上的定積分， 記為：記為：即即0)max(ix在定積分在定積分 中中316) 12)(1(lim3102nnnndxxSnbadxxf)(其中“”為積分號（把字母s拉長），a，b為積分下限和上限，即積分變量x的范圍：axb，又叫積分區(qū)間；f(x)為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式。上例曲邊圖形的面積用定積分表示注意注意：據(jù)定義有如下說明：據(jù)定義有如下說明:(1)定積分是特殊和式極限定積分是特殊和式極限,它是一個定數(shù)它是一個定數(shù);(2)定積分的大小僅與區(qū)間定積分的大小僅與區(qū)間a,b和被積函數(shù)和被積函數(shù)f(x)有關；有關；(3)規(guī)定：規(guī)定：abbaaadxxfdxxfdxx

7、f)()(, 0)( f x, a b f x, a b f x, a b f x, a b有界是函數(shù)在區(qū)間有界是函數(shù)在區(qū)間a,b上可積的必要條件。上可積的必要條件。 123baf x dxAAA 表示曲線表示曲線 與與 x 軸圍成的圖形面積的軸圍成的圖形面積的代數(shù)和代數(shù)和。 123baf x dxAAA表示曲線表示曲線 與與 x 軸圍成的圖形面積。軸圍成的圖形面積。 xfyabA1A2A3)(xfy （1）（2）)(xfy （2）若）若 是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)，則( )f x aaf x dx 0aaf x dx 02af x dx( )f xa-a-aa補充規(guī)定補充規(guī)定： 10aaf x d

8、x 2baabf x dxf x dx abxx+dx3 (7 1)18 1(28) 3152 142817371(1)3dx41(2)2xdx21932200 xy2-33323(3)9x dx20(4)sin xdx把區(qū)間把區(qū)間1 , 0分成分成n等份，每份長等份，每份長1 n，各分點是：，各分點是：0120,1,2,1nxxnxnxn n21011limnniixdxnnninin1231lim31121611lim3nnnnn 01limnbiiaifxf x dx120 x dx解解 因為因為 在在 上連續(xù)，所以上連續(xù)，所以 存在存在2x0,1dxx102=規(guī)定規(guī)定： 10aaf x

9、 dx 2baabf x dxf x dx abxx+dx無論無論 a, b, c 的相對位置如何，（的相對位置如何，（3）式均成立。）式均成立。 3bcbaacf x dxf x dxf x dx caabcbdxxfdxxfdxxf bcbaacf x dxf x dxf x dx 1bbbaaaf xg xdxf x dxg x dx 2 bbaak f x dxkf x dxbcaacb 41badxba.則有ba ,bax)()(xgxf推論推論1設 ，對任意，對任意babadxxgdxxf)()(,bax（5）對任意）對任意)0，則有(xfbaxf0)()()()()( ,)(2x

10、fxfxfbadxxfdxxfbaba因）（：推論.)()()(abMdxxfabmba性質6（介值定理）：設f(x)在a,b上可取得最大值M和最小值m， 于是， 由性質5有.幾何意義也很明顯幾何意義也很明顯babaabfdxxfbabaxf)(),)()(,)(7使得則至少存在一點上連續(xù)，在若函數(shù)（積分中值定理）：性質baMdxfabmab)x1,6（得的不等式同除證明：將性質再根據(jù)閉區(qū)間上的聯(lián)系函數(shù)的介值定理可得 21TTSv tdt 2121( )TTSs Ts Tv t dt F bF a f x, a b F x微積分基本公式微積分基本公式 stv t而而？微積分基本公式（一）微積分

11、基本公式（一）變上限的積分定理變上限的積分定理xaxadttfxxxfdttfxaxfbaxbaxf)()()()()(,)(,)(即：記作的變上限的定積分，為也可積，稱上在上可積，則對在定義：設函數(shù)形面積，如圖鄰邊可以變動的曲邊梯表示為右側時，變上限的定積分幾何意義：當)(0)(xxf)(xfaxb)(x)()()()(,)()(,)(1bxaxfdttfdxdxxbadttfxbaxfxaxa的可導函數(shù)，且區(qū)間上關于是分上連續(xù)，則變動上限積在區(qū)間若函數(shù)定理證明思路證明思路 參見書參見書 例例1 cos12xtdtdxd求cos22 xxtdtdxd求coscos02022xxtdttdtd

12、xd原式cos12xtdtdxd解：原式cos12xtdtdxdx2cos例例2 解：用分點0插分區(qū)間x,-2xcoscos02022xxtdttdtdxdtdtdxdxx2202coscos)2().cos(cos202xuutdtdudxxuxxxx2cos2cos).2)(2(coscos2222例例34030sinlimxdttxx求極限型，由羅必達法則解：此極限為00414sinlim330 xxx原式例例4的極值。求xtdtetxf02.)(,.)(2xexxf解：0, 0)(xxf得唯一駐點令01)21 ()(0202 xxxexxf令0)0(0fxxf處取得極小值）在（ f x

13、, a b F x baf x dxF bF a xaF xf x dxC baF bf x dxC aaF af x dxCC baf x dxF bF a微積分基本公式（二）微積分基本公式（二）牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式證明思路證明思路 ( )baF x記作記作 1201x dx1231001()3x dxx13解解 因為因為 在在 上連續(xù)，上連續(xù)， 是它的一個原函數(shù)是它的一個原函數(shù) 2yx0,1313yx所以所以 211dxx）（變：333)(, 1, 1)(, 1, 1)(, 2, 0 xxfbaxxfbaxxfbadxxfba）（計算定積分02sin xdx4cos20 x20

14、coscosxx 2200sinsinsinx dxxdxxdx11114 204sin x dx解解 原式原式 幾何意義幾何意義 dxxdxx3220223222022222xxxx25262902dxx302 dxx30225解解 原式原式 幾何意義幾何意義 112 21 12252 3202xdx402cosxdx402 sin2x 2071 sin2xdx2012sin cosxxdx220sincosxxdx20sincosxx dx 20cossin0 11 02xx 解解 原式原式 解解 原式原式 合理應用對稱區(qū)間上合理應用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質，奇偶函數(shù)的積分性質，簡化定

15、積分的計算。簡化定積分的計算。44cos6xdx）（22112x dx解解122310126xx設設 21,11,12xxf xxx 20f x dx，求，求 8181822663分段函數(shù)的積分分段函數(shù)的積分計算，應分區(qū)間計算，應分區(qū)間選取相應的函數(shù)選取相應的函數(shù)函數(shù)在函數(shù)在x=1處間斷處間斷 20f x dx101xdxexit引例曲邊梯形的面積引例曲邊梯形的面積 exit定積分的定義定積分的定義 exit定積分的幾何意義定積分的幾何意義 exit估值定理估值定理 exit積分中值定理積分中值定理 若若 是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)，則( )f x aaf x dx 0aaf x dx 02af x

16、 dx( )f xa-a是偶函數(shù)，是偶函數(shù)， 是奇函數(shù)。是奇函數(shù)。cosyx2sin1tanxyx-aa偶函數(shù)偶函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù) adxxf)(adxxf)(定義定義 假設對假設對 在在a,b a,b 有定義且可積，有定義且可積， (1) (1) 對于對于a,+a,+上的無窮積分上的無窮積分 如果如果 存在，我們稱存在，我們稱 收斂，收斂， 且定義：且定義： 否則，稱否則，稱 發(fā)散。發(fā)散。 )(xfbabdxxf)(limadxxf)(babdxxf)(limadxxf)( (2) 對于對于-，bb的無窮積分的無窮積分 如果如果 存在，我們稱存在，我們稱 收斂，收斂， 且定義：且定義： 否則

17、，稱否則，稱 發(fā)散發(fā)散。 baadxxf)(limbdxxf)(bdxxf)(baadxxf)(limbdxxf)(bdxxf)(),()(lim)(lim存在BABAdxxfdxxfbcbcaadxxf)(即：dxxf)(ccdxxfdxxf)()(（3 3）對于區(qū)間（）對于區(qū)間（-，+）的無窮積分）的無窮積分 如果如果 =A+B.=A+B. 如果右邊每一個無窮積分都存在，我們稱如果右邊每一個無窮積分都存在，我們稱 收斂，收斂， 如果其中之一不存在如果其中之一不存在 ，則則 發(fā)散發(fā)散。 dxxf)(dxxf)(dxxf)(例例1 1 求 05dxexbxdxe05解解 首先我們考察求 bxdxe05515105155bxebe，當b0515 be有bxbdxe05lim從而有：b