1、第1講數與式教學目標1、理解并掌握乘法公式與因式分解2、理解并掌握二次根式的運算與化簡3、理解并掌握繁分式的化簡重點、難點乘法公式與因式分解二次根式與分式考點及考試要求1、理解并掌握乘法公式與因式分解2、理解并掌握二次根式的運算與化簡3、理解并掌握繁分式的化簡教學內容知識框架乘法公式 數與式根式分式 數與式公式法,.分組分解法分解因式t宀丄豐、丄十字相乘法 其它的因式分解方法知識點一：乘法公式【內容概述】【公式 1 】(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca2233【公式2】(ab)(aabb )ab (立方和公式)【公式3】(ab)(aabb )ab (立方差公式)3332

2、2【公式4】(a b) a b 3a b 3ab (請同學證明)【公式5】(a b)3a33a2b3ab2b3(請同學證明)【典型例題一1】：例 1.計算：(x2 J2x -)2例 2.計算：2a b (4a2 2ab b2)32 2 2例 3.計算 3x 2y (9x 6xy 4y )(2) 2x 3 (4x 6xy 9)變式1:利用公式計算1 1 1 2 1 1 2 2 2 2(1) -m - (-m -m 一)(2) a b (a ab b ) a b (a ab b )3469變式2:利用立方和、立方差公式進行因式分解(1)27m3n3(2)27m31 n3(3)x3125( 4)m6

3、n68【典型例題一2】：1112112例 4.計算：(1) (-m n)( m 一mn n )5225104231例5.已知x 3x 1 0 ,求x3的值.x111111例6.已知a b c 0，求 a( ) b( ) c( )的值.bccaab變式 1:計算：(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1).2 2 2變式2：已知abc4 , abbcac4，求a b c的值.知識點二、根式【內容概述】式子,a(a 0)叫做二次根式，其性質如下：(1)(為2 a(a 0)(2) 礙 | a |(3) /ab Ta 廟(a 0,b 0)(4) $ 乎(*0)【典型例題一1】：基本的化簡、求

4、值例 7化簡下列各式：(1)3 2)2,( 3 1)2(2) ;(1 x)2 (2 x)2 (x 1)例8.計算.4 2 3變式1:二次根式a成立的條件是()A . a0B.a0C. a 0D . a是任意實數變式2:若x 3，則6xx2 |x6 |的值是()A . 3B.3C.-9D.9變式3：計算.7 4 .3【說明】1、二次根式的化簡結果應滿足：被開方數的因數是整數，因式是整式；被開方數不含能開得盡方的因數或因式.2、二次根式的化簡常見類型有下列兩種:被開方數是整數或整式化簡時，先將它分解因數或因式，然后把開得盡方的因數或因式開出來；分母中有根式（如3），或被開方數有分母（如X）這時可將

5、其化為蘭 形式（如X可2 下V2x/bV2化為二X），轉化為 “分母中有根式”的情況.23化簡時，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個根式進行化簡.（如32品 化為 3（23） ，其中23與23叫做互為有理化因式）（2.3）（23）【典型例題一2】：有理化因式和分母有理化有理化因式：兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個代 數式叫做有理化因式。如a與a ；乳x b,y與a x b” y互為有理化因式。分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。例 9.計算：（1） （、. a b 1）（1 a b） （ 一a . b）2

6、（2） 一-a_aa vab a Tab例10.設xy3的值2, y 23，求 x3232. 3知識點三、分式【典型例題一1】：分式的化簡例11.化簡x2 3x 9x3276x9x x3x 16 2x例12.化簡x1 x1x xx【典型例題一2】：分式的證明例13.（ 1）試證：1 1 1.(其中n是正整數)；n(n 1) n n 1（2）計算:11 I 1 ；1 22 39 10（3）證明：對任意大于1的正整數n，有11112 33 4 川 n（n 1）2【典型例題一3】：分式的運用變式1:對任意的正整數n,1n(n 2)例14.2 2 .設 e，且 e 1, 2c - 5ac+ 2a =

7、0,求 e 的值.a變式2:選擇題:若2xy2則x=( )xy3y546(A)1(B)(C)(D)455變式3:計算111112233 499 100知識點四、因式分解【內容概述】因式分解是代數式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形。在分式運算、解 方程及各種恒等變形中起著重要的作用。是一種重要的基本技能。因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，還有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分組分解法等等。【典型例題一1】：公式法(立方和、立方差公式)【內容概述】我們已經學習了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233(ab)(a

8、abb )ab(立方和公式)(ab)(a2abb2)a3b3(立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到：a3 b3 (a b)(a2 ab b2)a3 b3 (a b)(a2 ab b2)這就是說，兩個數的立方和(差)，等于這兩個數的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)。運用這兩個公式，可以把形式是立方和或立方差的多項式進行因式分解。例15.用立方和或立方差公式分解下列各多項式：(1) 8 x3(2) 0.125 27b3變式：分解因式：(1) 3a3b 81b4(2) a7 ab6【典型例題一2】：分組分解法【內容概述】從前面可以看出，能夠

9、直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式而對于四項 以上的多項式，如 ma mb na nb既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取因此，可以先將多 項式分組處理這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的關鍵在于如何分組常見題型：(1) 分組后能提取公因式(2)分組后能直接運用公式(1) 分組后能提取公因式例16.把2ax 10ay 5by bx分解因式。變式：把ab(c2 d2) (a2 b2)cd分解因式。(2) 分組后能直接運用公式2 2例17.把x y ax ay分解因式。2 2 2變式：把2x 4xy 2y 8z分解因式。【典型例題一3】：十字相乘法【內容概述】2(

10、1) x (p q)x pq型的因式分解這類式子在許多問題中經常出現，其特點是：二次項系數是1;常數項是兩個數之積；一次項系數是常數項的兩個因數之和.2 2 x (p q)x pq x px qx pq x(x p) q(x p) (x p)(x q), 運用這個公式，可以把某些二次項系數為1的二次三項式分解因式.(2) 一般二次三項式ax2 bx c型的因式分解2由ax(aa2G)xc(xcJ(a2Xc?)，我們發現，二次項系數a分解成,可 ci常數項c分解成gc2 ,把ai,a2,G,C2寫成豈c2，這里按斜線交叉相乘， 再相加，就得到aiC2 a2Ci。如果它正好等于ax2 bx c的一

11、次項系數b ,那么ax2 bx c就可以分解成 (a/ cJ(a2X q)，其中耳，&位于上一行，a2,C2位于下一行這種借助畫十字交叉線分解系數， 從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必須注意，分解因數及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過多次嘗試，才能確定一個 二次三項式能否用十字相乘法分解.2(1) x (p q)x pq型的因式分解例18.把下列各式因式分解：2(1) x 7x 6(2)2x 13x36例19.把下列各式因式分解：2(1) x 5x 24(2)2小x 2x15例20.把下列各式因式分解：2 2(1) x xy 6y(2)(x22 2x)28(x2 x)

12、12)一般二次三項式 ax2bx c型的因式分解2 2例21.把下列各式因式分解：(1) 12x2 5x 2(2) 5x 6xy 8y變式練習：2 2 2 2 2 2 2(1) x -6x+5(2) x +15x+56(3) x +2xy-3y(4) (x +x) -4(x +x)-12【典型例題一3】：其它因式分解的方法(1)配方法224224例 22.分解因式 x2 6x 16變式：(1) x+12x+20(2) a+a b+b（2）拆項法（選講）例23.分解因式x3 3x24(3) 其它方法(選講)例 24. (x 2-5x+2)(x 2-5x+4)-8課后練習1.填空：(1)打21.2

13、 _bJb1 、a)(）；9423(2) (4 m)216m2 4m (）；(3) (a 2bc)22 a2 24b c ()(4)若 x2yx2 2xy 4y28y31，則x, y的值為(5)x24 x2 2x 1(6)3a2 ab3a25ab 2b2x2xy2y2x2 3xy y2(8)a，則(A) a b(B) ab(C)0(D) b a 0(9 )計算a等于(10 )若112，則3xxy3y的值為(xyxxyyA3B.35C.553-I2.化簡：(1)m 0有最小值，av 0有最大值； 第二步：配方求頂點，頂點的縱坐標即為對應的最大值或最小值. 3求二次函數在某一范圍內的最值.2女口：

14、 y ax bx c在m x n (其中m n)的最值.第一步：先通過配方，求出函數圖象的對稱軸：x 人；第二步：討論：(1)若a 0時求最小值或a 0時求最大值，需分三種情況討論： 對稱軸小于 m即x0 m，即對稱軸在 m x n的左側； 對稱軸 m xo n，即對稱軸在 m x n的內部； 對稱軸大于n即x0 n，即對稱軸在 m x n的右側。(2)若a 0時求最大值或a 0時求最小值，需分兩種情況討論： 對稱軸x0_-，即對稱軸在 m x n的中點的左側；2 對稱軸x0 m_-，即對稱軸在 m x n的中點的右側；2說明：求二次函數在某一范圍內的最值，要注意對稱軸與自變量的取值范圍相應位

15、置【典型例題】例8.求下列函數的最大值或最小值.2 2(1) y 2x 3x 5 ；(2) y x 3x 4例9.當1 x 2時，求函數y2x x 1的最大值和最小值.例10.當x 0時，求函數yx(2 x)的取值范圍.例11.當tx t 1時，求函數y1 5x2 x 的最小值(其中t為常數).2 2變式1：設a 0，當1 x 1時，函數yx2 ax b 1的最小值是 4，最大值是0,求a,b的值.變式2:已知函數y x 2ax 1在1 x 2上的最大值為4,求a的值.變式3:2求關于x的二次函數y X 2tx 1在1 x1上的最大值(t為常數).變式4:已知函數y= x2 2x + 3，當自

16、變量x在下列取值范圍內時，分別求函數的最大值或最小 值，并求當函數取最大(小)值時所對應的自變量x的值：(1) x 2;( 2) x 2;( 3) 2 x 1;( 4) 0 x 或 xa aD. xaa13. 若0a1,則不等式(x a)(x- 1 )0的解是(afl 1 m 1A. axB. xaC.aa4. 如果方程axx (1 + a)x + av 0 (a 為常數) + bx+ b= 0中，av 0,它的兩根X1, X2滿足X1 1;是5. 解下列不等式：2(1) 3x 2x + 1 v 0；(5)4+32x 2x 0;(6)92x 12x 4;6.解關于x的不等式7.關于x的不等式a

17、x2bx c 0的解為x2或x1求關于x的不等式ax2 bx c 0的2解.第3講一元二次方程與韋達定理教學目標1、理解并掌握一兀二次方程根的判別式2、理解并掌握根與系數的關系(韋達定理)重點、難點1、韋達定理與一兀二次方程的關系2、韋達定理的應用考點及考試要求1、一兀二次方程根的判別式2、根與系數的關系(韋達定理)教學內容知識框架1、一兀二次方程根的判別式2、根與系數的關系(韋達定理)3、簡單的二元二次方程組(選講)4 、分式方程和無理方程的解法(選講)知識點一、一兀二次方程根的判別式【典型例題】例1.求下列方程的根2 2 2(1) x 2x 30(2)x 2x 10(3)x 2x 30例2

18、.判定下列關于x的方程的根的情況(其中a為常數)，如果方程有實數根， 寫出方程的實數根.(1) x2 3x+ 3 = 0;(2) x2 ax 1 = 0;(3) x2-ax+ (a 1) = 0(4) x2-2x+ a= 0.變式練習：已知關于x的一兀二次方程3x2 2x k 0，根據下列條件，分別求出k的范圍：(1)方程有兩個不相等的實數根；(2)方程有兩個相等的實數根；(3)方程有實數根；(4)方程無實數根。知識點二、根與系數的關系(韋達定理)【內容概述】若一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a豐0 )有兩個實數根為b / b 4ac2ab 、b例3.已知方程5x kx 6

19、 0的一個根是2,求它的另一個根及 k的值.例4.已知關于x的方程x2+ 2( m2)x + mi+ 4= 0有兩個實數根，并且這兩個實數根的平方和比兩個 根的積大2i,求m的值. 4ac2a則有：XiX2b b2 4acb b2 4ac2b2a2a2aaX|X2bb2 4ac bb2 4ac b2(b24ac)4ac c2a2a4a24a2a所以，一元二次方程的根與系數之間存在下列關系：bcX1 + X2= ,X1 X2=.a a這一關系也被稱為“韋達定理”.特別地，對于二次項系數為1的一元二次方程 x2 + px + q= 0, 若X1 , X2是其兩根，由韋達定理可知:x i+ X2=

20、p, Xi X2= q，即：p = (x 1+ X2) , q= Xi X2,所以，方程 x2+ px + q = 0可化為x 2 (x i + X2)x + xi X2= 0。由于Xi, X2是一元二次方程 x2 + px+ q= 0的兩根，所以，xi, X2也是一元二次方程 x (x i + X2)x + xi X2= 0的兩根.因此有： 以Xi , X2為根的一元二次方程(二次項系數為i)是X2 (x i + X2)x + Xi X2= 0.【典型例題】例5.已知兩個數的和為 4，積為一12,求這兩個數.2例6.若X1和X2分別是一兀二次方程 2x + 5x 3 = 0的兩根.1 1(1

21、 )求I X1 X2|的值； (2)求22的值；X1x233（3）X1X2 .變式：若x1,x2是方程X2 2x 20070的兩個根，試求下列各式的值:(1)為2X，；(2)；:；（Xi 5）（X25）； I XiX2 |例7.若關于x的一元二次方程X2 x + a 4= 0的一根大于零、另一根小于零,求實數a的范圍.例8.已知關于x的方程x2 (k1）x孔2410,根據下列條件，分別求出k的值。(1)方程兩實根的積為 5；方程的兩實根x,x2滿足|捲|x2。例9.已知x1,x2是一元二次方程4kx24kx(1)是否存在實數若存在，求出k 10的兩個實數根。3成立？2k的值；若不存在，請說明理

22、由。k，使（2x1X2）（x2X2）求使X1x2X2X12的值為整數的實數k的整數值。變式1:填空:2 1 1(1) 若方程x - 3x 1= 0的兩根分別是 X1和X2,貝y=.片 X2(2) 方程m+ x 2m= 0 (m 0)的根的情況是(3) 以一3和1為根的一元二次方程是(4) 若m, n是方程x2 + 2005x 1 = 0的兩個實數根，則 mn+ m6 mn的值等于(5) 如果a, b是方程x2+ x 1= 0的兩個實數根，那么代數式a3+ a2b+ ab2+ b3的值是變式2：已知、.a2 8a 16 |b 1| 0，當k取何值時，方程 kx2+ ax + b= 0有兩個不相等

23、的實 數根？2變式3:已知方程x 3x 1 = 0的兩根為X1和X2,求(X1 3)( X2 3)的值.變式4:已知關于x的方程x2 kx 2= 0.(1) 求證：方程有兩個不相等的實數根；2)設方程的兩根為 X1和X2,如果2(X1 + X2) X1X2，求實數k的取值范圍. 2變式5： 一元二次方程 ax + bx + c= 0 (a0)的兩根為X1和X2. 求：(1) | x 1 X2| 禾口；(2) X13+ X23.2變式6：關于x的方程x2 + 4x + m= 0的兩根為X1, X2滿足| x 1 X2| = 2,求實數 m的值.知識點三、簡單的二元二次方程組(選講內容)【內容概述

24、】在初中我們已經學習了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了用“消元法”解二元一次方程組高中新課標必修2中學習圓錐曲線時，需要用到二元二次方程組的解法因此，需介紹簡單的二元二次方程組的解法。含有兩個未知數、且含有未知數的項的最高次數是2的整式方程，叫做二元二次方程。由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，或由兩個二元二次方程組組成的方程組，叫做二元二次方程組。(1) 由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組【內容概述】一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，一般都可以用“代入法”求解其蘊 含著轉化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解。例1

25、0.解方程組2x y 0x2 y230(1)例11.解方程組x y 11 xy 28(1)(2) 由兩個二元二次方程組成的方程組(可因式分解型)【內容概述】方程組中，一個方程可以因式分解化為兩個二元一次方程，則原方程組可轉化為兩個方程組, 其中每個方程組都是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成。例12.解方程組2x2xy25(x y)2xy y 43(1)例13.解方程組 x xy 12xy y 4(1)例14.解方程組2xxy26(1)例15.解方程組xy X 33xy y 8(1)變式練習：解方程組(1)2 23x 2xy y 0(x y)23( x y) 180(2)2c2,x2xy

26、 y 42(x y) 5x 5y 6知識點四、分式方程和無理方程的解法(選講)【內容概述】初中大家已經學習了可化為一元一次方程的分式方程的解法。這里將要學習可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法.要求掌握：(1) 不超過三個分式構成的分式方程的解法，會用“去分母”或”換元法”求方程的根，并會 驗根；(2) 了解無理方程概念，掌握可化為一元二次方程的無理方程的解法，會用”平方”或”換元 法”求根，并會驗根。【典型例題一1】可化為一元二次方程的分式方程(1)去分母，化分式方程為一兀二次方程例16.解方程4xx2 4(2) 用換元法，化分式方程為一元二次方程2例17.解方程(一)2x

27、13x2例18.解方程28(x2x)x2123(x1)x2 2x11 .【典型例題一2】可化為一元二次方程的無理方程(1)平方法解無理方程例19.解方程 x 7 x 1例20.解方程 3x 2 x 33(2)換元法解無理方程例 21.解方程 3x215x 2、X2 5x 12變式練習：解下列方程(1、 x 5 x 7(2)x 3 2 x( 3) 3x 1 x 4 1(4) x-12+ x 0(5) x2 3x ,x2 3x 6課堂練習1 選擇題：2(1 )已知關于x的方程x + kx 2 = 0的一個根是1,則它的另一個根是()(A) 3(B) 3( C) 2( D) 2(2 )下列四個說法：

28、 方程x2+ 2x 7 = 0的兩根之和為一2，兩根之積為一7; 方程x2 2x+ 7 = 0的兩根之和為一2，兩根之積為7;27 方程3 x 7 = 0的兩根之和為0,兩根之積為-3 方程3 x 2+ 2x= 0的兩根之和為一 2，兩根之積為0.其中正確說法的個數是()(A) 1 個(B) 2 個(C) 3 個(D) 4 個2 2(3) 關于x的一元二次方程 ax 5x + a + a= 0的一個根是0，貝U a的值是()(A) 0( B) 1(C) 1(D) 0,或一12.填空：(1) 方程kx2 + 4x 1 = 0的兩根之和為一 2，則k=.(2) 方程 2X? x 4 = 0 的兩根

29、為 a,3，則 a 2+3 2=.(3) 已知關于x的方程x - ax 3a= 0的一個根是一2，則它的另一個根是2(4) 方程 2x + 2x 1 = 0 的兩根為 xi 和 X2,則 | x 1- X2| =.3.試判定當 m取何值時，關于 x的一元二次方程 nix2 (2 m 1) x + 1 = 0有兩個不相等的實數根? 有兩個相等的實數根？沒有實數根？課后練習1. 選擇題：2(1) 已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x 8x + 7= 0的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于()(A) .3( B) 3(C) 6( D) 9(2) 若X1, X2是方程2x2 4x+ 1 =

30、0的兩個根，則 蘭 竺的值為 ()x2 x13(A) 6( B) 4(C) 3( D)22 2(3) 如果關于x的方程x 2(1 n)x+ m= 0有兩實數根a,3，則a + 3的取值范圍為()11(A)a + B一(B)a + W (C)a + B1 (D)a + BW 1222C(4) 已知a, b, c是厶ABC的三邊長，那么方程 cx + (a+ b) x+= 0的根的情況是()4A)沒有實數根B)有兩個不相等的實數根C)有兩個相等的實數根D )有兩個異號實數根2. 填空：若方程 x 8x+ m= 0的兩根為 X1, X2，且3x1 + 2X2= 18,貝U m=.3. 求一個一元二次

31、方程，使它的兩根分別是方程x2 7x 1= 0各根的相反數、2m24已知關于x的方程x (m 2)x 0 .4(1)求證：無論 m取什么實數時，這個方程總有兩個相異實數根；2)若這個方程的兩個實數根X1,X2滿足| X2|=| X1|+ 2,求m的值及相應的X1,X2.25. 若關于x的方程x + x+ a= 0的一個大于1、零一根小于1,求實數a的取值范圍6. (選做)已知 X1, X2是關于x的一元二次方程4kx2 4kx + k+ 1 = 0的兩個實數根. .3 (1) 是否存在實數k，使(2 X1 X2)( x 1 2 x 2)=成立？若存在，求出 k的值；若不存在，說2明理由；(2)

32、 求使X1 X2 2的值為整數的實數 k的整數值；X2 X(3) 若k=- 2,Xl，試求的值.X2第4講絕對值不等式與無理式不等式教學目標1、理解絕對值的意義，能夠熟練的解絕對值不等式2、了解解無理不等式的方法，會解無理不等式重點、難點絕對值不等式與無理不等式的解法考點及考試要求絕對值不等式與無理不等式的解法教學內容知識框架1、絕對值的意義2、絕對值不等式的解法3、簡單咼次不等式的解法4、無理不等式的解法知識點一、絕對值【內容概述】絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍是零即：a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.絕對值的幾何意義：一個數的

33、絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離.兩個數的差的絕對值的幾何意義：a b表示在數軸上，數 a和數b之間的距離.知識點二、絕對值不等式的解法【內容概述】(1)不等式x a(a 0)的解是x a x a ；(2)不等式x a(a 0)的解是xx a,或xa ；(3)不等式ax bc(c 0)的解為 x | c ax b c (c 0)；(4)不等式ax bc(c 0)的解為 x | ax b c,或ax b c (c 0).【典型例題】例1.解下列不等式：|x 3| 4.1 |x 1 | 3變式1:不等式1 w|2x-71 v 3的解集是().A.x | 4W xv 5 B.x | x 4 或