1、一階微分方程的 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解二、解微分方程應用問題二、解微分方程應用問題解法及應用 第十二章 一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解 1. 一階標準類型方程求解 關鍵關鍵: 辨別方程類型 , 掌握求解步驟2. 一階非標準類型方程求解 (1) 變量代換法 代換自變量自變量代換因變量因變量代換某組合式某組合式(2) 積分因子法 選積分因子, 解全微分方程四個標準類型: 可分離變量方程, 齊次方程, 線性方程, 全微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 求下列方程的通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1)

2、,33xyxyeee因故為分離變量方程:通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy331機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 方程兩邊同除以 x 即為齊次方程 , ,0時xyyxyx22)2(時，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y = u x ,化為分離變量方程.調換自變量與因變量的地位 ,221)3(yxy,2dd2yxyx用線性方程通解公式求解 .化為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 32232336)4(yyxyxxy方法方法 1 這是一個齊次方程 .方法方法 2 化為微分形式 0d)23

3、(d)36(3223yyyxxyxx故這是一個全微分方程 .xyu 令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xQyxyP6例例2. 求下列方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令 u = x y , 得(2) 將方程改寫為0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(貝努里方程) 2 yz令(分離變量方程)原方程化為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd

4、22xyyxxy(齊次方程)ytytty23dd22令 t = x 1 , 則tyxttyxydddddddd可分離變量方程求解化方程為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設F(x)f (x) g(x), 其中函數 f(x), g(x) 在(,+)內滿足以下條件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求F(x) 所滿足的一階微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表達式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x)

5、滿足的一階線性非齊次微分方程:.2)()(xexgxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 由一階線性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，將0)0()0()0(gfF1C得于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee22 求下列微分方程的通解:xyyyx2) 1 (提示提示: 令 u = x y , 化成可分離變量方程 :uu2) 1ln(ln)2(xxayxyx提示提示: 這是一階線性方程 , 其中,ln1)(xxxP)ln11()(xaxQ機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )ln(2dd)3(xyyxy提示提示:

6、可化為關于 x 的一階線性方程yyxyyxln22dd0dd)4(33yxyxxy提示提示: 為貝努里方程 , 令2 yz0dddd)5(22yxyxyyyyxx提示提示: 為全微分方程 , 通解Cyxyxarctan)(21220dd)3()9(24xyxyxy提示提示: 可化為貝努里方程xyxyxy43dd令2xz 微分倒推公式微分倒推公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 原方程化為 yxxy2)10(xyxu2, 即,22uuxy則xydduxuuxudd)(22故原方程通解Cyxxyx23)(33222ddxuuxuuexd2Cueuud2d2Cuuud21222232uCu u2x

7、uxdd2xuudd2提示提示: 令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二階微分方程的 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、微分方程的應用二、微分方程的應用 解法及應用 一、兩類二階微分方程的解法一、兩類二階微分方程的解法 第十二章 一、兩類二階微分方程的解法一、兩類二階微分方程的解法 1. 可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次積分求解 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 二階線性微分方程的解法二階線性微分

8、方程的解法 常系數情形齊次非齊次代數法 歐拉方程yx 2yxpyq)(xftDextdd,令qpDDD ) 1(y)(tef機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解答提示解答提示 求以xxeCeCy221為通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根為,2,121rr故特征方程為,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程為023 yyy 求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令, )(ypy 則方程變為,01dd2 pyppyyypppd1d2即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 特征根:xyyy2sin52)7( ,212

9、, 1ir齊次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齊次方程特解為xBxAy2sin2cos*代入方程可得174171,BA思思 考考若 (7) 中非齊次項改為,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxBxAy2sin2cos*故D原方程通解為xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xCxCeyx特解設法有何變化 ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求解02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令),(xpy 則方程變為2ddpaxp積分得,11Cxap利用100 xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00 xy定常數.2C思考思考若問題改為

10、求解0321 yy,00 xy10 xy則求解過程中得,112xp問開方時正負號如何確定正負號如何確定?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設函數222, )(zyxrrfu在 r 0內滿足拉普拉斯方程, 0222222zuyuxu)(rf其中二階可導, 且,1) 1 () 1 ( ff試將方程化為以 r 為自變量的常微分方程 , 并求 f (r) .提示提示:rxrfxu)( 2222)(rxrfxu )(rf r132rx利用對稱性, 0)(2)( rfrrf即0)(2)(2 rfrrfr( 歐拉方程歐拉方程 )原方程可化為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0)(2)(2 rfrrfr,

11、lnrt 令1) 1 () 1 ( ff.12)(rrf解初值問題:,ddtD 記則原方程化為 02) 1(fDDD02fDD即通解: teCCrf21)(rCC121利用初始條件得特解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2.,)(二階導數連續設xf且滿足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求提示提示: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf則xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx問題化為解初值問題:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得xxxxfcos2sin21)(機動 目錄 上頁 下

12、頁 返回 結束 的解. 例例3.設函數),()(在xyy,)()(, 0的函數是xyyyxxy內具有連續二階導機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (1) 試將 xx( y) 所滿足的微分方程 變換為 yy(x) 所滿足的微分方程 ;(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y數, 且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式兩端對 x 求導, 得: (1) 由反函數的導數公式知(03考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得 xy

13、ysin (2) 方程的對應齊次方程的通解為 xxeCeCY21設的特解為 ,sincosxBxAy代入得 A0,21B,sin21xy故從而得的通解: 題 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xeCeCyxxsin2121由初始條件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121CC故所求初值問題的解為 xeeyxxsin21備用題備用題 )()(xfyxy 有特,1xy 解而對應齊次方程有解,2xy 及求)(, )(xfx微分方程的通解 . 解解:, 0)(2 yxyxy代入將xx1)(得代入再將xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所給二階非齊次方程為331xyxy ),(xpy 令方程化為3

14、31xpxp1. 設二階非齊次方程一階線性非齊次方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 331xpxp故py xxed1xCx121再積分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13d3Cxexxx)()(xfyxpyCxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(復習: 一階線性微分方程通解公式 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. ! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1) 驗證函數)(x滿足微分方程;xeyyy (2) 利用(1)的結果求冪級數! )3(30nxnn的和.解解: (1)! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn! ) 13(!8!5!2)(13852nxxxxxyn ! )23(!7!4)(2374nxxxxxyn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (02考研考研)!0nxnn所以 yyyxe(2) 由(1)的結果可知所給級數的和函數滿足