1、 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司 技術(shù)中心/331桿系結(jié)構(gòu)的有限元法桿系結(jié)構(gòu)的有限元法 主講人：楊紅林主講人：楊紅林 2014.07.25 2014.07.25 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司 技術(shù)中心/332目錄目錄一、桿系結(jié)構(gòu)的概念與分析原理一、桿系結(jié)構(gòu)的概念與分析原理 1 1、桿系結(jié)構(gòu)定義、桿系結(jié)構(gòu)定義 2 2、桿系結(jié)構(gòu)離散與單元分析、桿系結(jié)構(gòu)離散與單元分析 3 3、平面桿單元的坐標(biāo)變換、平面桿單元的坐標(biāo)變換 4 4、整體剛度矩陣的組裝、整體剛度矩陣的組裝 5 5、整體剛度方程的求解、整體剛度方程的求解二、桿系結(jié)構(gòu)算例二、桿系結(jié)構(gòu)算例 1 1、階梯直桿算例、階梯直桿算例 2 2、桁架結(jié)構(gòu)算例、桁架結(jié)

2、構(gòu)算例 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司 技術(shù)中心/333一、桿系結(jié)構(gòu)的概念與分析原理一、桿系結(jié)構(gòu)的概念與分析原理1 、桿系結(jié)構(gòu)的定義、桿系結(jié)構(gòu)的定義由 有限根桿件在它們的端點(diǎn)處相互連接而成的結(jié)構(gòu)。有限根桿件在它們的端點(diǎn)處相互連接而成的結(jié)構(gòu)。2 、桿系結(jié)構(gòu)的離散與分析、桿系結(jié)構(gòu)的離散與分析 一般原則：桿系的交叉點(diǎn)、邊界點(diǎn)、集中力作用點(diǎn)、桿件截面尺寸突變一般原則：桿系的交叉點(diǎn)、邊界點(diǎn)、集中力作用點(diǎn)、桿件截面尺寸突變處等都應(yīng)設(shè)置節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)之間的桿件即構(gòu)成單元。處等都應(yīng)設(shè)置節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)之間的桿件即構(gòu)成單元。如圖為桁架結(jié)構(gòu)如圖為桁架結(jié)構(gòu) 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司 技術(shù)中心/334F節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)1 1節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2 2點(diǎn)

3、2單元F節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)3 3節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2 2單元如圖為階梯直桿的離散如圖為階梯直桿的離散 對(duì)其中一個(gè)桿單元進(jìn)行分析，設(shè)所需要的參數(shù)如下圖：對(duì)其中一個(gè)桿單元進(jìn)行分析，設(shè)所需要的參數(shù)如下圖： 根據(jù)勢(shì)能變分原理，它的剛度矩陣為：根據(jù)勢(shì)能變分原理，它的剛度矩陣為： 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司 技術(shù)中心/335單元的剛度方程為：?jiǎn)卧膭偠确匠虨椋浩渲衅渲袨楣?jié)點(diǎn)力列陣；為節(jié)點(diǎn)力列陣；為節(jié)點(diǎn)位移列陣。為節(jié)點(diǎn)位移列陣。3 、平面桿單元的坐標(biāo)變換、平面桿單元的坐標(biāo)變換 工程實(shí)際中，整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系要相互轉(zhuǎn)化。如下進(jìn)行推導(dǎo)分析：工程實(shí)際中，整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系要相互轉(zhuǎn)化。如下進(jìn)行推導(dǎo)分析： 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司

4、 技術(shù)中心/336平面桿單元的坐標(biāo)變換平面桿單元的坐標(biāo)變換局部坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移為：局部坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移為：整體坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移為：整體坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)位移為：兩個(gè)坐標(biāo)系下的等價(jià)變換關(guān)系為：兩個(gè)坐標(biāo)系下的等價(jià)變換關(guān)系為： 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司 技術(shù)中心/337寫(xiě)成矩陣形式為：寫(xiě)成矩陣形式為： 為坐標(biāo)變換矩陣，即為坐標(biāo)變換矩陣，即下面推導(dǎo)整體坐標(biāo)系下的剛度方程，根據(jù)勢(shì)能變分原理可得單元?jiǎng)菽芟旅嫱茖?dǎo)整體坐標(biāo)系下的剛度方程，根據(jù)勢(shì)能變分原理可得單元?jiǎng)菽転椋簽椋?江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司 技術(shù)中心/338為整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕瑸檎w坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?為整體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)力列陣，即

5、：為整體坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)力列陣，即：由最小勢(shì)能原理，對(duì)待定的節(jié)點(diǎn)位移列陣取極小值，可得到整體坐標(biāo)系下的剛由最小勢(shì)能原理，對(duì)待定的節(jié)點(diǎn)位移列陣取極小值，可得到整體坐標(biāo)系下的剛度方程度方程4、整體剛度矩陣的組裝、整體剛度矩陣的組裝 將所得到的各單元的剛度矩陣按節(jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行組裝，可得整體剛度矩陣，將所得到的各單元的剛度矩陣按節(jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行組裝，可得整體剛度矩陣，即即K= K1 + K2 + K3 + K4 + K5 + 。組裝步驟如下：。組裝步驟如下： （1）計(jì)算局部坐標(biāo)系下各個(gè)單元的剛度矩陣；）計(jì)算局部坐標(biāo)系下各個(gè)單元的剛度矩陣； （2）計(jì)算各單元從局部坐標(biāo)系到整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；）計(jì)算各單元從局部

6、坐標(biāo)系到整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣； （3）計(jì)算整體坐標(biāo)系下各單元?jiǎng)偠染仃嚕唬┯?jì)算整體坐標(biāo)系下各單元?jiǎng)偠染仃嚕?（4）“對(duì)號(hào)入座對(duì)號(hào)入座”組裝成整體剛度矩陣。組裝成整體剛度矩陣。5、整體剛度方程的求解、整體剛度方程的求解 由于整體剛度矩陣是奇異的，它的行列式為零，不能立即求逆；整體分由于整體剛度矩陣是奇異的，它的行列式為零，不能立即求逆；整體分 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司 技術(shù)中心/339 若結(jié)構(gòu)的某些節(jié)點(diǎn)位移值為零時(shí)（即與剛性支座連接點(diǎn)的位移），則可若結(jié)構(gòu)的某些節(jié)點(diǎn)位移值為零時(shí)（即與剛性支座連接點(diǎn)的位移），則可將總體剛度矩陣中相應(yīng)的行列刪行刪列劃掉，然后將矩陣壓縮即可求解。這將總體剛度矩陣中相應(yīng)的行

7、列刪行刪列劃掉，然后將矩陣壓縮即可求解。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是道理簡(jiǎn)單。如果刪去的行列很多，則總體剛度矩陣的階數(shù)可種方法的優(yōu)點(diǎn)是道理簡(jiǎn)單。如果刪去的行列很多，則總體剛度矩陣的階數(shù)可大大縮小。例如整體剛度方程為：大大縮小。例如整體剛度方程為： 去行去列法去行去列法析時(shí)，結(jié)構(gòu)處于自由狀態(tài)，在節(jié)點(diǎn)載荷的作用下，結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生任意的剛體析時(shí)，結(jié)構(gòu)處于自由狀態(tài)，在節(jié)點(diǎn)載荷的作用下，結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生任意的剛體位移，不能通過(guò)平衡方程唯一地解出節(jié)點(diǎn)位移，故需處理邊界條件。方法有位移，不能通過(guò)平衡方程唯一地解出節(jié)點(diǎn)位移，故需處理邊界條件。方法有刪行刪列法、分塊法、對(duì)角元素置一法、乘大數(shù)法。刪行刪列法、分塊法、對(duì)角元素置一法

8、、乘大數(shù)法。邊界條件為：邊界條件為： ，根據(jù)邊界條件去行去列，如上圖，根據(jù)邊界條件去行去列，如上圖， 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司 技術(shù)中心/3310二、桿系結(jié)構(gòu)算例二、桿系結(jié)構(gòu)算例1、階梯直桿算例、階梯直桿算例算例一：算例一： 求解所示階梯直桿的力學(xué)參量，材料參量和參數(shù)為：求解所示階梯直桿的力學(xué)參量，材料參量和參數(shù)為：則去行去列后有：則去行去列后有：這樣就求得節(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而可求支反力、單元應(yīng)變和單元應(yīng)力等。這樣就求得節(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而可求支反力、單元應(yīng)變和單元應(yīng)力等。 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司 技術(shù)中心/3311圖圖1：三連桿結(jié)構(gòu)的受力狀況：三連桿結(jié)構(gòu)的受力狀況1）節(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元?jiǎng)澐郑┕?jié)點(diǎn)編號(hào)和單元

9、劃分圖圖2：各單元的節(jié)點(diǎn)位移和外力：各單元的節(jié)點(diǎn)位移和外力2）計(jì)算各單元的單元?jiǎng)偠确匠蹋┯?jì)算各單元的單元?jiǎng)偠确匠?單元的剛度方程為：?jiǎn)卧膭偠确匠虨椋?江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心單元的剛度方程為：?jiǎn)卧膭偠确匠虨椋簡(jiǎn)卧膭偠确匠虨椋簡(jiǎn)卧膭偠确匠虨椋?）組裝各單元?jiǎng)偠确匠蹋┙M裝各單元?jiǎng)偠确匠?整體結(jié)構(gòu)由各個(gè)單元按一定連接關(guān)系組合而成。整體結(jié)構(gòu)由各個(gè)單元按一定連接關(guān)系組合而成。12 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心就是節(jié)點(diǎn)就是節(jié)點(diǎn)1、2、3、4上的合成節(jié)點(diǎn)力。即上的合成節(jié)點(diǎn)力。即由已知得：由已知得：為支座的支反力。為支座的支反力。將材料參數(shù)和幾何尺寸參數(shù)代入得：將材料參數(shù)和幾何

10、尺寸參數(shù)代入得：4）處理邊界條件并求解）處理邊界條件并求解 結(jié)構(gòu)的位移邊界條件為：結(jié)構(gòu)的位移邊界條件為：并將已知的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力代入得：并將已知的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力代入得：13 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心求解上述方程，有：求解上述方程，有：5）求支反力）求支反力 由上面的方程，可得支反力為：由上面的方程，可得支反力為：6）求各個(gè)單元的應(yīng)變和應(yīng)力）求各個(gè)單元的應(yīng)變和應(yīng)力 根據(jù)應(yīng)力和應(yīng)變的定義可得：根據(jù)應(yīng)力和應(yīng)變的定義可得：14 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心這樣求得各個(gè)單元的應(yīng)力與應(yīng)變。這樣求得各個(gè)單元的應(yīng)力與應(yīng)變。15算例二：算例二： 所示的四桿桁架結(jié)構(gòu)，各桿的彈性模量和橫

11、截面積都為所示的四桿桁架結(jié)構(gòu)，各桿的彈性模量和橫截面積都為，試求解該結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移，單元應(yīng)力和支反力。，試求解該結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移，單元應(yīng)力和支反力。2、桁架結(jié)構(gòu)算例、桁架結(jié)構(gòu)算例 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心16四桿桁架結(jié)構(gòu)四桿桁架結(jié)構(gòu)（1）結(jié)構(gòu)的離散化及編號(hào)）結(jié)構(gòu)的離散化及編號(hào) 對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，單元編號(hào)和節(jié)點(diǎn)編號(hào)，有關(guān)單元和節(jié)點(diǎn)的信息見(jiàn)表。對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，單元編號(hào)和節(jié)點(diǎn)編號(hào)，有關(guān)單元和節(jié)點(diǎn)的信息見(jiàn)表。四桿桁架結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)及坐標(biāo)四桿桁架結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)及坐標(biāo) 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心17四桿桁架結(jié)構(gòu)的單元編號(hào)及對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)四桿桁架結(jié)構(gòu)的單元編號(hào)及對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)各單元的長(zhǎng)度及軸線方向余弦各單元的

12、長(zhǎng)度及軸線方向余弦（2）各個(gè)單元的矩陣描述）各個(gè)單元的矩陣描述 在整體坐標(biāo)系下對(duì)節(jié)點(diǎn)位移和單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行表達(dá)，各單元經(jīng)坐標(biāo)變?cè)谡w坐標(biāo)系下對(duì)節(jié)點(diǎn)位移和單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行表達(dá)，各單元經(jīng)坐標(biāo)變換后的剛度矩陣如下：換后的剛度矩陣如下： 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心18 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心19（3）建立整體剛度矩陣）建立整體剛度矩陣 將各個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚢垂?jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行組裝，形成整體剛度矩陣；同時(shí)將將各個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚢垂?jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行組裝，形成整體剛度矩陣；同時(shí)將所有節(jié)點(diǎn)載荷進(jìn)行組裝。所有節(jié)點(diǎn)載荷進(jìn)行組裝。剛度矩陣：剛度矩陣：節(jié)點(diǎn)位移：節(jié)點(diǎn)位移：節(jié)點(diǎn)力：節(jié)點(diǎn)力： 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)

13、有限公司/33技術(shù)中心20整體剛度方程為：整體剛度方程為：（4）邊界條件的處理及剛度方程求解）邊界條件的處理及剛度方程求解 邊界位移條件為：邊界位移條件為：化簡(jiǎn)后有：化簡(jiǎn)后有： 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心21對(duì)該方程進(jìn)行求解，有對(duì)該方程進(jìn)行求解，有 則所有的節(jié)點(diǎn)位移為：則所有的節(jié)點(diǎn)位移為：（5）各單元應(yīng)力的計(jì)算）各單元應(yīng)力的計(jì)算同理，可求出其他單元的應(yīng)力同理，可求出其他單元的應(yīng)力 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心22（6）支反力的計(jì)算）支反力的計(jì)算 根據(jù)整體剛度方程，可求得結(jié)果為根據(jù)整體剛度方程，可求得結(jié)果為 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心23算例三：算例三： 五桿桁

14、架結(jié)構(gòu)，各桿的彈性模量與截面積為五桿桁架結(jié)構(gòu)，各桿的彈性模量與截面積為E= pa，A= ，P=2000N，求結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移、支反力和單元應(yīng)力。，求結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移、支反力和單元應(yīng)力。 五桿桁架結(jié)構(gòu)五桿桁架結(jié)構(gòu)（1）結(jié)構(gòu)離散與編號(hào)）結(jié)構(gòu)離散與編號(hào)結(jié)構(gòu)離散后進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)與單元編號(hào)，結(jié)構(gòu)離散后進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)與單元編號(hào)，有關(guān)節(jié)點(diǎn)與單元的信息見(jiàn)下表。有關(guān)節(jié)點(diǎn)與單元的信息見(jiàn)下表。節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)XY10021000320004100100桁架結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)及坐標(biāo)桁架結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)及坐標(biāo) 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心24單元單元對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)1 12 22 23 34 43 34 42 21 14 4桁架結(jié)構(gòu)的單元及對(duì)

15、應(yīng)編號(hào)桁架結(jié)構(gòu)的單元及對(duì)應(yīng)編號(hào)單元單元L Ln nx xn ny y1001001 10 01001001 10 0100100/2/2- /2- /21001000 0-1-1100100/2/2/2/2各單元長(zhǎng)度及方向余弦各單元長(zhǎng)度及方向余弦（2）單元分析）單元分析求出各桿單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣及剛度矩陣求出各桿單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣及剛度矩陣T1 = 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心25=T2=20 K2 =T3 =T4 =T5K1= 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心26K3= K4=20 K5= （3）整體分析）整體分析 將各單元?jiǎng)偠染仃嚢垂?jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行組裝，可得整體剛度矩陣。將各單

16、元?jiǎng)偠染仃嚢垂?jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行組裝，可得整體剛度矩陣。 剛度矩陣：剛度矩陣：K= K1 + K2 + K3 + K4 + K5 節(jié)點(diǎn)位移：節(jié)點(diǎn)位移：q= 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心27節(jié)點(diǎn)力：節(jié)點(diǎn)力：p=整體剛度方程為整體剛度方程為4 . 307 . 0-7 . 02-07 . 0-7 . 0-04 . 17 . 07 . 0-007 . 0-7 . 0-7 . 0-7 . 07 . 07 . 0-00007 . 07 . 0-7 . 0-7 . 202-002-00020000002-0402-7 . 0-7 . 0-00007 . 07 . 07 . 0-7 . 0-0002-7 . 07 . 2=（4）剛度方程求解）剛度方程求解 邊界條件為：邊界條件為： ，代入方程化簡(jiǎn)后有，代入方程化簡(jiǎn)后有 江西五十鈴發(fā)動(dòng)機(jī)有限公司/33技術(shù)中心28vuuvu4432254 . 307 . 02-004 . 17 . 0-007 . 07 . 0-7 . 202-2-0020002-041020000000對(duì)方程求解，則所有的節(jié)點(diǎn)位移為對(duì)方程求解，則所有的節(jié)點(diǎn)位移為0191. 000