1、第一講 行程問題走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數量： 距離走了多遠，行駛多少千米，移動了多少米等等 ; 速度在單位時間內 （例如 1小時內 ）行走或移動的距離 ; 時間行走或移動所花時間 .這三個數量之間的關系，可以用下面的公式來表示：距離 =速度×時間 很明顯，只要知道其中兩個數量，就馬上可以求出第三個數量. 從數學上說，這是一種最基本的數量關系， 在小學的應用題中， 這樣的數量關系也是最常見的，例如總量 =每個人的數量×人數 .工作量 =工作效率×時間 . 因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數量關系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題

2、 . 當然，行程問題有它獨自的特點，在小學的應用題中，行程問題的內容最豐富多彩， 饒有趣味 . 它不僅在小學， 而且在中學數學、物理的學習中，也是一個重點內容 . 因此，我們非常希望大家 能學好這一講，特別是學會對一些問題的思考方法和處理技巧 .這一講，用 5 千米/ 小時表示速度是每小時 5 千米，用 3 米/ 秒表示速度是每秒 3 米一、追及與相遇有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢 的在前，走得快的過了一些時間就能追上他 . 這就產生了“追及問 題” .實質上， 要算走得快的人在某一段時間內， 比走得慢的人多 走的距離， 也就是要計算兩人走的距離之差 . 如果設甲走得快，

3、 乙 走得慢，在相同時間內，甲走的距離 - 乙走的距離= 甲的速度×時間 - 乙的速度×時間=（甲的速度 -乙的速度 ）×時間 .通常，“追及問題”要考慮速度差 .例 1 小轎車的速度比面包車速度每小時快 6 千米，小轎車和 面包車同時從學校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早 10 分鐘到達城門，當面包車到達城門時， 小轎車已離城門 9千米， 問學校到城門的距離是多少千米 ?解：先計算，從學校開出，到面包車到達城門用了多少時間 此時，小轎車比面包車多走了 9 千米，而小轎車與面包車的速度差是 6千米/ 小時，因此所用時間 =9÷6=（ 小時 ）.小

4、轎車比面包車早 10 分鐘到達城門， 面包車到達時， 小轎車 離城門 9 千米，說明小轎車的速度是面包車速度是 54-6=48（ 千米/ 小時）.城門離學校的距離是48×=72（ 千米 ）.答：學校到城門的距離是 72 千米.例 2 小張從家到公園，原打算每分種走 50米.為了提早 10 分鐘到，他把速度加快，每分鐘走 75 米 . 問家到公園多遠 ?解一：可以作為“追及問題”處理 .假設另有一人，比小張早 10 分鐘出發 . 考慮小張以 75 米 / 分 鐘速度去追趕，追上所需時間是50 ×10÷（75 - 50）= 20（ 分鐘 ）?因此，小張走的距離是75&

5、#215; 20= 1500（ 米 ）.答：從家到公園的距離是 1500 米.還有一種不少人采用的方法 .家到公園的距離是一種解法好不好， 首先是“易于思考”， 其次是“計算方便”. 那么你更喜歡哪一種解法呢 ?對不同的解法進行比較， 能逐漸形成 符合你思維習慣的解題思路 .例 3 一輛自行車在前面以固定的速度行進，有一輛汽車要去 追趕.如果速度是 30千米/ 小時，要 1小時才能追上 ;如果速度是 35千米/ 小時，要 40 分鐘才能追上 .問自行車的速度是多少 ?解一：自行車 1 小時走了30×1- 已超前距離，自行車 40 分鐘走了自行車多走 20 分鐘，走了因此，自行車的速度

6、是答：自行車速度是 20 千米/ 小時.解二：因為追上所需時間 =追上距離÷速度差1 小時與 40 分鐘是 32. 所以兩者的速度差之比是 23. 請 看下面示意圖：馬上可看出前一速度差是 15. 自行車速度是35- 15= 20（ 千米/ 小時 ）.解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同. 這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算 .例 4 上午 8 點 8 分，小明騎自行車從家里出發， 8 分鐘后， 爸爸騎摩托車去追他， 在離家 4 千米的地方追上了他 . 然后爸爸立 即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家 恰好是 8 千米，這時是幾點幾分 ?解：畫一張簡單的

7、示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4=4（ 千米 ）.而爸爸騎的距離是 4+ 8= 12（ 千米 ）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4=3（ 倍 ）. 按照這個倍數計算，小明騎 8 千米，爸爸可以騎行 8×3=24（千米 ）.但事實上，爸爸少用了 8 分鐘，騎行了4+12=16（千米 ）.少騎行 24-16=8（ 千米 ）.摩托車的速度是 1千米/ 分，爸爸騎行 16千米需要 16 分鐘.8+8+16=32.答：這時是 8點 32 分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇， 實質上是小

8、王和小張一起走了甲、 乙之間這段距離 . 如果兩人同時 出發，那么甲走的距離 +乙走的距離=甲的速度×時間 +乙的速度×時間=（甲的速度 +乙的速度 ）×時間 .“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和 .例 5 小張從甲地到乙地步行需要 36 分鐘，小王騎自行車從 乙地到甲地需要 12 分鐘. 他們同時出發，幾分鐘后兩人相遇 ?解：走同樣長的距離，小張花費的時間是小王花費時間的36÷12=3（倍 ） ，因此自行車的速度是步行速度的 3 倍，也可以說，在同一時間內，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3 倍 .如果把甲地乙地之間的距離分成相等的 4 段，小王

9、走了 3 段，小 張走了 1 段，小張花費的時間是36÷(3+1)=9( 分鐘 ).答：兩人在 9 分鐘后相遇 .例 6 小張從甲地到乙地，每小時步行 5 千米，小王從乙地到 甲地，每小時步行 4 千米 . 兩人同時出發，然后在離甲、乙兩地的 中點 1 千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離 .解：畫一張示意圖離中點 1 千米的地方是 A點，從圖上可以看出，小張走了兩 地距離的一半多 1 千米，小王走了兩地距離的一半少 1 千米 . 從出 發到相遇，小張比小王多走了 2 千米小張比小王每小時多走 (5-4) 千米，從出發到相遇所用的時間 是2÷(5 -4)=2( 小時 ).因

10、此，甲、乙兩地的距離是(5+ 4) ×2=18(千米 ).本題表面的現象是“相遇”，實質上卻要考慮“小張比小王 多走多少 ?”豈不是有“追及”的特點嗎 ?對小學的應用題，不要 簡單地說這是什么問題 . 重要的是抓住題目的本質， 究竟考慮速度 差，還是考慮速度和， 要針對題目中的條件好好想一想 . 千萬不要 “兩人面對面”就是“相遇”， “兩人一前一后”就是“追及”.請再看一個例子 .例 7 甲、乙兩車分別從 A，B兩地同時出發，相向而行， 6 小 時后相遇于 C點. 如果甲車速度不變， 乙車每小時多行 5 千米，且 兩車還從 A， B兩地同時出發相向而行，則相遇地點距C點 12 千米

11、 ; 如果乙車速度不變，甲車每小時多行5 千米，且兩車還從 A，B兩地同時出發相向而行，則相遇地點距C點 16 千米. 求 A，B兩地距離 .解：先畫一張行程示意圖如下設乙加速后與甲相遇于 D點，甲加速后與乙相遇于 E點. 同時 出發后的相遇時間， 是由速度和決定的 . 不論甲加速， 還是乙加速， 它們的速度和比原來都增加 5 千米，因此，不論在 D點相遇，還 是在 E 點相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關鍵 .面的考慮重點轉向速度差在同樣的時間內，甲如果加速，就到 E 點，而不加速，只能 到 D 點.這兩點距離是 12+ 16= 28（ 千米） ，加速與不加速所形成 的速度差是 5千米

12、/ 小時. 因此，在 D點（或 E點）相遇所用時間是28÷5= （ 小時 ）.比 C點相遇少用 =（ 小時 ）.甲到達 D，和到達 C 點速度是一樣的，少用小時，少走12 千米，因此甲的速度是12÷=30（千米 / 小時 ）.同樣道理，乙的速度是16÷ =40（千米/ 小時）.A到 B 距離是（30+ 40） ×6= 420（ 千米 ）.答： A ， B兩地距離是 420 千米 .很明顯，例 7 不能簡單地說成是“相遇問題”.例 8 如圖，從 A到 B是 1 千米下坡路，從 B到 C是 3千米平 路，從 C到 D是千米上坡路 . 小張和小王步行，下坡的速

13、度都是 6 千米/小時，平路速度都是 4千米/ 小時，上坡速度都是 2千米/ 小時.問： （1） 小張和小王分別從 A， D 同時出發，相向而行，問多 少時間后他們相遇 ?（2） 相遇后，兩人繼續向前走，當某一個人達到終點時，另一 人離終點還有多少千米 ?解：（1） 小張從 A 到 B 需要 1÷6×60= 10（ 分鐘 ）; 小王從 D 到 C 也是下坡，需要 ÷6×60= 25（ 分鐘 ）; 當小王到達 C 點時， 小張已在平路上走了 25-10=15（ 分鐘） ，走了因此在 B 與 C 之間平路上留下 3- 1= 2（ 千米 ）由小張和小王 共同相

14、向而行，直到相遇，所需時間是2 ÷（4+ 4） × 60= 15（ 分鐘 ）.從出發到相遇的時間是25+ 15= 40 （ 分鐘 ）.（2） 相遇后，小王再走 30 分鐘平路，到達 B點，從 B點到 A 點需要走 1÷2×60=30 分鐘，即他再走 60 分鐘到達終點 .小張走 15 分鐘平路到達 D點，45 分鐘可走小張離終點還有千米 ）.答：40 分鐘后小張和小王相遇 . 小王到達終點時，小張離終點還有 1 千米.二、環形路上的行程問題人在環形路上行走， 計算行程距離常常與環形路的周長有關例 9 小張和小王各以一定速度，在周長為 500米的環形跑道

15、上跑步 . 小王的速度是 180 米/ 分 .(1) 小張和小王同時從同一地點出發，反向跑步， 75 秒后兩 人第一次相遇，小張的速度是多少米 / 分?(2) 小張和小王同時從同一點出發， 同一方向跑步， 小張跑多 少圈后才能第一次追上小王 ?解：(1 )75 秒分. 兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的 行程. 小張的速度是500÷=220(米 / 分 ).(2) 在環形的跑道上， 小張要追上小王， 就是小張比小王多跑 一圈(一個周長 ) ，因此需要的時間是500÷(220 -180)=( 分 ).220×÷ 500=(圈 ).答：(1) 小張的速度是

16、 220 米/ 分;(2) 小張跑圈后才能追上小王.例 10 如圖， A、 B是圓的直徑的兩端，小張在 A 點，小王在 B點同時出發反向行走， 他們在 C點第一次相遇， C離 A點 80 米; 在 D點第二次相遇， D點離 B點 6O米. 求這個圓的周長 .解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長 ; 第二次相遇，兩 個人合起來又走了一圈 . 從出發開始算， 兩個人合起來走了一周半 因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起 來所走的行程的 3 倍，那么從 A 到 D的距離，應該是從 A到 C距 離的 3 倍，即 A到 D是80×3=240（ 米 ）.240-60=180

17、（ 米 ）.180×2=360（ 米 ）.答：這個圓的周長是 360 米 .在一條路上往返行走，與環行路上行走，解題思考時極為類 似，因此也歸入這一節 .例 11 甲村、乙村相距 6 千米，小張與小王分別從甲、乙兩 村同時出發，在兩村之間往返行走 （ 到達另一村后就馬上返回 ）. 在出發后 40分鐘兩人第一次相遇 . 小王到達甲村后返回，在離甲 村 2 千米的地方兩人第二次相遇 . 問小張和小王的速度各是多少 ?解：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次 相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的 3 倍，因此所需時間是40×3÷60=2（小

18、時 ）.從圖上可以看出從出發至第二次相遇，小張已走了6×2-2=10（ 千米 ）.小王已走了 6+2=8（ 千米 ）.因此，他們的速度分別是小張 10÷2=5（千米 / 小時） ，小王 8÷2=4（千米 / 小時 ）.答：小張和小王的速度分別是 5 千米/ 小時和 4 千米/ 小時.例 12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發，在兩村之間 往返行走 （ 到達另一村后就馬上返回 ） ，他們在離甲村千米處第一 次相遇，在離乙村 2 千米處第二次相遇 . 問他們兩人第四次相遇的 地點離乙村多遠 （ 相遇指迎面相遇 ）?解：畫示意圖如下 .第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩

19、村距離的 3 倍，因此張走了×3=（ 千米 ）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村 2千米. 因此，甲、乙兩 村距離是=（千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離 2 倍的路 程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離 （3+2+2） 倍的行程 . 其中張走了×7=（千米 ） ，=+（千米 ）.就知道第四次相遇處，離乙村千米 ）.答：第四次相遇地點離乙村 1 千米 .下面仍回到環行路上的問題 .例 13 繞湖一周是 24 千米，小張和小王從湖邊某一地點同時 出發反向而行 . 小王以 4千米/ 小時速度每走 1小時后休息 5分鐘; 小張以 6千米/ 小時速度每走 50

20、分鐘后休息 10分鐘.問：兩人出 發多少時間第一次相遇 ?解：小張的速度是 6 千米/ 小時， 50 分鐘走 5 千米我們可以 把他們出發后時間與行程列出下表：12+15=27 比 24 大，從表上可以看出，他們相遇在出發后 2 小時 10 分至 3 小時 15 分之間 .出發后 2 小時 10 分小張已走了此時兩人相距24-(8+11)=5( 千米 ).由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這 5 千米所 需時間是5÷(4+ 6)=( 小時 ).2 小時 10 分再加上半小時是 2 小時 40 分 .答：他們相遇時是出發后 2 小時 40 分.例 14 一個圓周長 90 厘米，

21、3 個點把這個圓周分成三等分， 3 只爬蟲 A，B，C分別在這 3 個點上 . 它們同時出發，按順時針方向 沿著圓周爬行 .A 的速度是 10 厘米/ 秒， B的速度是 5 厘米/ 秒， C 的速度是 3 厘米 / 秒，3 只爬蟲出發后多少時間第一次到達同一位置 ?解：先考慮 B 與 C這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置 . 開始時，它們相差 30 厘米，每秒鐘 B能追上 C(5-3) 厘米 0.30÷(5 -3)=15( 秒 ).因此 15 秒后 B與 C到達同一位置 . 以后再要到達同一位置， B 要追上 C一圈，也就是追上 90 厘米，需要90÷(5 -3)=45(

22、秒 ).B 與 C到達同一位置，出發后的秒數是15， 105， 150， 195，再看看 A 與 B 什么時候到達同一位置 .第一次是出發后30÷(10 -5)=6( 秒) ，以后再要到達同一位置是 A 追上 B 一圈 . 需要90÷(10 -5)=18( 秒) ，A與 B 到達同一位置，出發后的秒數是6，24，42， 78，96，對照兩行列出的秒數， 就知道出發后 60 秒 3 只爬蟲到達同一位置.答： 3 只爬蟲出發后 60 秒第一次爬到同一位置 請思考， 3 只爬蟲第二次到達同一位置是出發后多少秒 ?例 15 圖上正方形 ABCD是一條環形公路 . 已知汽車在 AB

23、上的 速度是 90 千米 / 小時，在 BC上的速度是 120 千米 / 小時，在 CD上 的速度是 60 千米 / 小時，在 DA上的速度是 80 千米 / 小時 . 從 CD上 一點 P，同時反向各發出一輛汽車，它們將在AB中點相遇 . 如果從 PC中點 M，同時反向各發出一輛汽車，它們將在AB 上一點 N處相遇 . 求解：兩車同時出發至相遇， 兩車行駛的時間一樣多 . 題中有兩 個“相遇”， 解題過程就是時間的計算 . 要計算方便， 取什么作計 算單位是很重要的 .設汽車行駛 CD所需時間是 1.根據“走同樣距離，時間與速度成反比”，可得出分數計算總不太方便，把這些所需時間都乘以 24.

24、 這樣，汽 車行駛 CD，BC， AB，AD所需時間分別是 24，12，16， 18.從 P點同時反向各發一輛車，它們在AB中點相遇 .PDA與 PCB 所用時間相等 .PC上所需時間 -PD 上所需時間=DA所需時間 -CB 所需時間=18-12 =6.而(PC上所需時間 +PD上所需時間 )是 CD上所需時間 24.根據 “和差”計算得PC上所需時間是 (24+6) ÷2=15，PD上所需時間是 24-15=9.現在兩輛汽車從 M點同時出發反向而行， M P D AN 與 MCBN所用時間相等 .M 是 PC中點.PDAN 與 CBN 時間相等，就有BN上所需時間 -AN 上所需

25、時間=PDA所需時間 -CB 所需時間=(9+18)-12= 15.BN上所需時間 +AN上所需時間 =AB上所需時間=16.立即可求 BN 上所需時間是， AN所需時間是 .從這一例子可以看出，對要計算的數作一些準備性處理，會 使問題變得簡單些 .三、稍復雜的問題在這一節希望讀者逐漸掌握以下兩個解題技巧：(1) 在行程中能設置一個解題需要的點 ;(2) 靈活地運用比例 .例 16 小王的步行速度是千米 / 小時，小張的步行速度是千米 / 小時，他們兩人從甲地到乙地去 . 小李騎自行車的速度是千米 / 小時，從乙地到甲地去 . 他們 3 人同時出發， 在小張與小李相遇后 5 分鐘，小王又與小李

26、相遇 . 問：小李騎車從乙地到甲地需要多少 時間?解：畫一張示意圖：圖中 A 點是小張與小李相遇的地點，圖中再設置一個B 點，它是張、李兩人相遇時小王到達的地點 .5 分鐘后小王與小李相遇， 也就是 5分鐘的時間，小王和小李共同走了 B與 A之間這段距離， 它等于這段距離也是出發后小張比小王多走的距離，小王與小張的 速度差是千米 / 小時. 小張比小王多走這段距離，需要的時間是÷分鐘 ).這也是從出發到張、 李相遇時已花費的時間 . 小李的速度千米 /小時是小張速度千米 / 小時的 2倍. 因此小李從 A到甲地需要130÷2=65（分鐘 ）.從乙地到甲地需要的時間是130+

27、65=195（分鐘）=3 小時 15 分.答：小李從乙地到甲地需要 3 小時 15 分 .上面的問題有 3 個人，既有“相遇”，又有“追及”，思考 時要分幾個層次， 弄清相互間的關系， 問題也就迎刃而解了 . 在圖 中設置一個 B 點，使我們的思考直觀簡明些 .例 17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地， 而他們的家要從公園門口沿馬路往西 .小華問姐姐： “是先向西回 家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去 快” ?姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是41，那么從公園門口到目的地的距離超過 2 千米時，回家取車才合算 .” 請推算一下，從公園到他們家的距離

28、是多少米 ?解：先畫一張示意圖設 A是離公園 2 千米處，設置一個 B點，公園離 B與公園離 家一樣遠 . 如果從公園往西走到家， 那么用同樣多的時間， 就能往 東走到 B點. 現在問題就轉變成：騎車從家開始，步行從 B 點開始，騎車追步行，能在 A 點或 更遠處追上步行 .具體計算如下：不妨設 B到 A的距離為 1 個單位，因為騎車速度是步行速度 的 4倍，所以從家到 A的距離是 4 個單位，從家到 B的距離是 3 個單位 . 公園到 B 是個單位 . 從公園到 A 是1+=（單位 ）.每個單位是 2000÷=800（米 ）.因此，從公園到家的距離是800×=1200（

29、米 ）.答：從公園門口到他們家的距離是 1200 米 .這一例子中，取計算單位給計算帶來方便，是值得讀者仿照 采用的 . 請再看一例 .例 18 快車和慢車分別從 A， B兩地同時開出，相向而行 . 經 過 5 小時兩車相遇 . 已知慢車從 B到 A用了小時， 慢車到 A停留半 小時后返回 .快車到 B停留 1小時后返回 . 問：兩車從第一次相遇 到再相遇共需多少時間 ?解：畫一張示意圖：設 C點是第一次相遇處 . 慢車從 B到 C用了 5小時，從 C到 A 用了 =（ 小時 ）. 我們把慢車半小時行程作為 1 個單位 .B 到 C10 個單 位，C到 A15個單位 . 慢車每小時走 2個單位

30、，快車每小時走 3個 單位.有了上面“取單位”準備后，下面很易計算了 .慢車從 C到 A，再加停留半小時，共 8 小時.此時快車在何處 呢?去掉它在 B停留 1 小時.快車行駛 7 小時，共行駛 3×7=21（單 位）. 從 B到 C再往前一個單位到 D點. 離 A點 15-1=14（ 單位）.現在慢車從 A，快車從 D，同時出發共同行走 14 單位，相遇 所需時間是14÷（2+3）=（ 小時 ）.慢車從 C到 A 返回行駛至與快車相遇共用了+=（小時 ）.答：從第一相遇到再相遇共需 10 小時 48 分 .例 19 一只小船從 A地到 B地往返一次共用 2小時. 回來時順

31、 水，比去時的速度每小時多行駛 8 千米，因此第二小時比第一小 時多行駛 6千米. 求 A至 B兩地距離 .解： 1 小時是行駛全程的一半時間，因為去時逆水，小船到 達不了 B 地. 我們在 B之前設置一個 C點，是小船逆水行駛 1 小時 到達處 . 如下圖第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至 B 距離的 2倍，它等于 6 千米，就知 C至 B 是 3 千米 .為了示意小船順水速度比逆水速度每小時多行駛 8 千米，在 圖中再設置 D點，D至 C是 8 千米 . 也就是 D至 A順水行駛時間是 1 小時 . 現在就一目了然了 .D 至 B是 5 千米順水行駛， 與 C至 B逆 水行駛 3 千米時間一樣多 . 因此順水速度逆水速度