1、第第 10 章章 差錯控制編碼差錯控制編碼 10.1 概述概述 10.2 常用的幾種簡單分組碼常用的幾種簡單分組碼 10.3 線性分組碼線性分組碼 10.4 循環碼循環碼 10.5 卷積碼卷積碼 *10.6 網格編碼調制網格編碼調制 10.1 概概 述述 10.1.1 信道編碼信道編碼 在數字通信中，根據不同的目的，編碼可分為信源編碼信源編碼和信道編碼信道編碼。信源編碼是為了提高數字信號的有效性有效性以及為了使模擬信號數字化而采取的編碼。信道編碼是為了降低誤碼率， 提高數字通信的可靠性而采取的編碼。 數字信號在傳輸過程中，加性噪聲、碼間串擾等都會產生誤碼。為了提高系統的抗干擾性能，可以加大發射

2、功率，降低接收設備本身的噪聲，以及合理選擇調制、解調方法等。此外，還可以采用信道編碼技術。10.1.2 差錯控制方式差錯控制方式 圖 10-1 差錯控制方式 發端糾錯碼收端前向糾錯FEC發端檢錯碼收端檢錯重發ARQ判決信號發端檢錯和糾錯碼收端混合糾錯HEC判決信號 1. 檢錯重發方式檢錯重發方式 檢錯重發又稱自動請求重傳自動請求重傳方式，記作ARQ(Automatic Repeat Request)。 由發端送出能夠發現錯誤的碼，由收端判決傳輸中無錯誤產生，如果發現錯誤，則通過反向信道把這一判決結果反饋給發端，然后，發端把收端認為錯誤的信息再次重發，從而達到正確傳輸的目的。其特點是需要反饋信道

3、，譯碼設備簡單，對突發錯誤突發錯誤和信道干擾較嚴重信道干擾較嚴重時有效， 但實時性差，主要在計算機數據通信中得到應用。 2. 前向糾錯方式前向糾錯方式 前向糾錯方式記作FEC(Forword ErrorCorrection)。發端發送能夠糾正錯誤的碼，收端收到信碼后自動地糾正傳輸中的錯誤。其特點是單向傳輸，實時性好，但譯碼設備較復雜。 3. 混合糾錯方式混合糾錯方式 混合糾錯方式記作HEC(Hybrid ErrorCorrection)是FEC和ARQ方式的結合。發端發送具有自動糾錯同時又具有檢錯能力的碼。收端收到碼后，檢查差錯情況，如果錯誤在碼的糾錯能力范圍以內，則自動糾錯，如果超過了碼的糾

4、錯能力， 但能檢測出來，則經過反饋信道請求發端重發。這種方式具有自動糾錯和檢錯重發的優點，可達到較低的誤碼率，因此， 近年來得到廣泛應用。 按照噪聲或干擾的變化規律，可把信道分為三類：隨隨機信道機信道、突發信道突發信道和混合信道混合信道。恒參高斯白噪聲信道是典型的隨機信道，其中差錯的出現是隨機的，而且錯誤之間是統計獨立的。具有脈沖干擾的信道是典型的突發信道， 錯誤是成串成群出現的，即在短時間內出現大量錯誤。短波信道和對流層散射信道是混合信道的典型例子，隨機錯誤和成串錯誤都占有相當比例。對于不同類型的信道，應采用不同的差錯控制方式。 10.1.3 糾錯碼的分類糾錯碼的分類 (1) 根據糾錯碼各碼

5、組信息元和監督元的函數關系，可分為線性碼和非線性碼。如果函數關系是線性的，即滿足一組線性方程式，則稱為線性碼線性碼，否則為非線性碼非線性碼。 (2) 根據信息元和監督元的函數關系涉及的范圍，可分為分組碼分組碼和卷積碼卷積碼。分組碼的各碼元僅與本組的信息元有關；卷積碼中的碼元不僅與本組的信息元有關， 而且還與前面若干組的信息元有關。 (3) 根據碼的用途，可分為檢錯碼檢錯碼和糾錯碼糾錯碼。檢錯碼以檢錯為目的，不一定能糾錯；而糾錯碼以糾錯為目的，一定能檢錯。 10.2 糾錯編碼的基本原理糾錯編碼的基本原理 1. 分組碼分組碼- n個碼元成一組，稱為一個碼字。 分組碼一般可用(n,k)表示。其中，n

6、是編碼碼組的碼元總位數，又稱為碼組長度，簡稱碼長碼長, k是每組二進制信息碼元的數目。n-k=r為每個碼組中的監督碼元數目。簡單地說，分組碼是對每段k位長的信息組以一定的規則增加r個監督元， 組成長為n的碼字。在二進制情況下，共有 個不同的信息組，相應地可得到 個不同的碼字，稱為許用碼組。其余 個碼字未被選用，稱為禁用碼組。 2k2k22nk 在分組碼中，非零碼元的數目稱為碼字的漢明重量漢明重量， 簡稱碼重碼重。例如，碼字 10110，碼重w=3。 兩個等長碼組之間相應位取值不同的數目稱為這兩個碼組的漢明漢明(Hamming)距離距離， 簡稱碼距碼距。例如 11000 與 10011之間的距離

7、d=3。碼組集中任意兩個碼字之間距離的最小值稱為碼的最小距離碼的最小距離，用d表示。最小碼距最小碼距是碼的一個重要參數， 它是衡量碼檢錯、糾錯能力的依據。 2. 檢錯和糾錯能力檢錯和糾錯能力 例如：重復碼重復碼-若分組碼碼字中的監督元在信息元之后，而且是信息元的簡單重復。 重復碼是一種簡單實用的檢錯碼， 并有一定的糾錯能力。 (2,1)重復碼重復碼，兩個許用碼組是 00 與 11，d0=2，收端譯碼，出現01、10禁用碼組時，可以發現傳輸中的一位錯誤。(3,1)重復碼重復碼，兩個許用碼組是 000 與111, d0=3; 當收端出現兩個或三個 1 時，判為 1，否則判為 0。此時，可以糾正單個

8、錯誤，或者該碼可以檢出兩個錯誤。 碼的最小距離d0直接關系著碼的檢錯和糾錯能力；任一(n,k)分組碼，若要在碼字內: (1) 檢測e個隨機錯誤，則要求碼的最小距離d0e+1; (2) 糾正t個隨機錯誤， 則要求碼的最小距離d02t+1; (3) 糾正t個同時檢測e(t)個隨機錯誤，則要求碼的最小距離d0t+e+1。 3. 編碼效率編碼效率 用差錯控制編碼提高通信系統的可靠性， 是以降低有效性為代價換來的。我們定義編碼效率編碼效率R來衡量有效性:R=k/n其中, k是信息元的個數，n為碼長。 對糾錯碼的基本要求是糾錯碼的基本要求是: 檢錯和糾錯能力盡量強； 編碼效率盡量高；編碼規律盡量簡單。 實

9、際中要根據具體指標要求， 保證有一定糾、檢錯能力和編碼效率，并且易于實現。 10.3 常用的幾種簡單分組碼常用的幾種簡單分組碼10.3.1 奇偶監督碼奇偶監督碼 奇偶監督碼是在原信息碼后面附加一個監督元，使得碼組中“1”的個數是奇數或偶數。或者說，它是含一個監督元，碼重為奇數或偶數的(n,n-1)系統分組碼系統分組碼。奇偶監督碼又分為奇監督碼和偶監督碼。 設碼字A=an-1,an-2,a1,a0，對偶監督碼有 00121aaaann 奇監督碼情況相似， 只是碼組中“1”的數目為奇數， 即滿足條件 1021aaann而檢錯能力檢錯能力與偶監督碼相同。 奇偶監督碼的編碼效率R為 nnR/ ) 1(

10、 10.3.2 水平奇偶監督碼水平奇偶監督碼（克服不能檢測突發錯誤的缺點） 110010100000100001101001111000011100111000001010101010111000111100信息碼元監督元10.3.3 行列監督碼行列監督碼（克服不能發現偶數個錯誤的缺點）圖 10-2 (66,50)行列監督碼 11001010000010000110100111100001110011100000101010101011100011110010.3.4 群計數碼群計數碼 將信息碼元中“1”的個數用二進制表示，放在信息元后面作為監督元。如1010111，有5個1，監督元為101，

11、所以群計數碼為101011110110.3.5 恒比碼恒比碼 碼字中 1 的數目與 0 的數目保持恒定比例的碼稱為恒比碼。 由于恒比碼中，每個碼組均含有相同數目的 1 和 0，因此恒比碼又稱等重碼等重碼，定定 1 碼碼。這種碼在檢測時，只要計算接收碼元中 1 的數目是否正確，就知道有無錯誤。 目前我國電傳通信中普遍采用 3 2 碼，又稱“5 中取 3”的恒比碼，即每個碼組的長度為 5，其中 3 個“1”。許用碼組恰好可表示 10 個阿拉伯數字，如表 10 - 1 所示。而每個漢字又是以四位十進制數來代表的。實踐證明，采用這種碼后，我國漢字電報的差錯率大為降低。 表表 10-3 3 2 恒比碼恒

12、比碼 10.4 線線 性性 分分 組組 碼碼 線性分組碼：每個監督元都是某些信息元的模二和。如：(7,4)分組碼。設其碼字為A=a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0，其中前 4 位是信息元，后 3 位是監督元， 可用下列線性方程組來描述該分組碼，產生監督元。 346035614562aaaaaaaaaaaa10.4.1 基本概念基本概念（10-4）表表 10-4 (7,4)碼的碼字表碼的碼字表 10.4.2 漢明碼漢明碼 一種用來糾正單個錯誤的線性分組碼，監督元個數r與碼字長度n之間滿足關系：21rn 10.4.3 監督矩陣監督矩陣H(10-4) 其中,P為rk階矩陣，Ir為rr階單位矩陣

13、。可以寫成H=P Ir形式的矩陣稱為典型監督矩陣。 HAT=0T，說明H矩陣與碼字的轉置乘積必為零，可以用來作為判斷接收碼字A是否出錯的依據。 并簡記為 將(10-4)補充為下列方程 10.4.4 生成矩陣生成矩陣G 可改寫為矩陣形式 1101000101010001100101110001GQIGkTPQ110101011111典型生成矩陣10.4.5 伴隨式伴隨式(校正子校正子)S和檢錯和檢錯 設發送碼組A=an-1,an-2,a1,a0，在傳輸過程中可能發生誤碼。接收碼組B=bn-1,bn-2,b1,b0，則收發碼組之差定義為錯誤圖樣錯誤圖樣E， 也稱為誤差矢量， 即 ABE其中E=en

14、-1,en-2,e1,e0，且 10ie當bi=ai 當biai (10 - 23) 式(10 - 23)也可寫作 EAB令S=BHT，稱為伴隨式或校正子。 TTTEHHEABHS)(表表 10-7 (7,4)碼碼S與與E的對應關系的對應關系 漢明碼的生成步驟：1.確定k和r2.選擇校正子S和錯誤圖樣E的對應關系3.列出r個監督方程4.求監督元（或者生成矩陣）10.5 循循 環環 碼碼 表表 10-8 (7,3)循環碼的全部碼組循環碼的全部碼組 10.5.1循環特性循環特性 在代數理論中，為了便于計算，常用碼多項式在代數理論中，為了便于計算，常用碼多項式表示碼字。表示碼字。(n,k)循環碼的碼

15、字，其碼多項式循環碼的碼字，其碼多項式(以降冪以降冪順序排列順序排列)為為 012211)(axaxaxaxAnnnn10.5.2 生成多項式及生成矩陣生成多項式及生成矩陣 如果一種碼的所有碼多項式都是多項式如果一種碼的所有碼多項式都是多項式g(x)的倍式，則稱的倍式，則稱g(x)為該碼的生成多項式。在為該碼的生成多項式。在(n,k)循環碼中任意碼多項式循環碼中任意碼多項式A(x)都是最低次碼多項式的倍式。如表都是最低次碼多項式的倍式。如表 10-4 的的(7,3)循環碼中，循環碼中， 1)()(2341xxxxAxg)()()()()() 1()()(0)(27320 xgxxAxgxxAx

16、gxxAxgxA其它碼多項式都是其它碼多項式都是g(x)的倍式，的倍式， 即即 循環碼的生成矩陣常用多項式的形式來表示循環碼的生成矩陣常用多項式的形式來表示 1)(111xgxgxxgrrr)()()()()(21xgxxgxgxxgxxGkk例如(7,3)循環碼，n=7, k=3, r=4, 其生成多項式及生成矩陣分別為 10.4.2 監督多項式及監督矩陣監督多項式及監督矩陣 為了便于對循環碼編譯碼，通常還定義監督多項式， 令 1)(1)(111xhxhxxgxxhkkkn其中g(x)是常數項為 1 的r次多項式，是生成多項式；h(x)是常數項為 1 的k次多項式，稱為監督多項式。同理，可得

17、監督矩陣H )(*)(*)(*)(1xhxxhxhxxHkn是h(x)的逆多項式。例如(7，3)循環碼，g(x)=x4+x3+x2+1，則 其中 1)(*12211xhxhxhxxhkkkk1)(*1)(1)(3237xxxhxxxgxxh1)(324235346xxxxxxxxxxxxH1101000011010000110100001101H10.6 卷卷 積積 碼碼 10.6.1 基本概念基本概念 圖 10-7 卷積碼(2,1,2)編碼器 m1m2數據輸入碼字輸出S1S2S3C1C2S1等于當前輸入數據，而移位寄存器狀態等于當前輸入數據，而移位寄存器狀態S2S3存儲以前的數存儲以前的數據

18、，輸出碼字據，輸出碼字C由下式確定由下式確定 3123211SSCSSSC表 10-6 (2,1,2)編碼器的工作過程 10.5.2 卷積碼的描述卷積碼的描述 1. 樹狀圖樹狀圖 圖圖 10-6 (2,1,2)碼的樹圖碼的樹圖 a1100abb0110cdc0011abd1001cd0010a1101ba0011a1100abb0110cdc0011abd1001cd1101c0010db1001a1100數碼起點狀態a00b01c10d11上半部下半部數碼11012. 狀態圖狀態圖 圖 10 -10 (2,1,2)碼的狀態圖 a00b01c10d11cbad01011111001000103. 格圖格圖 圖 10-8 (2,1,2)碼的格圖 a00起點aaaaaabbbccccbbcbddddd