1、2010-2019高考數學文科真題分類訓練專題六數列第十七講遞推數列與數列求和答案部分2019 年1.解析（1）設等比數列an的公比為q,所以aiwQ qw。.a2a4 a5由a3 4a2 4al2 44小 aq a1qc，得20 a1q 4alq 4al因此數列an為“M數列”122因為，所以bn0 .Snbnbn 1122由白 1,S1b1,得 1- ，則 b22.122 cbnbn 1由 ,得Sn ,Snbnbn 12(bn 1 bn)'當n 2時，由bnbnbn 12 bn 1 bnbn 1bn2 bnbn 1整理得 bn 1 bn 1 2bn .所以數列bn是首項和公差均為1

2、的等差數列*因此，數列bn的通項公式為bn=n n N由知，bk=k, k N*.因為數列Cn為“M-數列”，設公比為q,所以C1=1, q>0.k 1k 一.因為 Ck<bk<k+1,所以 q k q ,其中 k=1, 2, 3,，m.當k=1時，有qn1；In kk 1,In k當k=2, 3,，m時，有ln qkIn x11nxTf(x)=(x 1),則 f'(x)2 xx令f'(x) 0,得*=3.列表如下:x(1,e)e(e, +0°)f'(x)+0一f (x)極大值-4由4 1n 2 1n8 In 9 1n 31n3因為下 二，所

3、以 f*)max f (3).266333 -In k, k取 qJ3,當 k=1, 2, 3, 4, 5時，Inq ,即 k q ,kk 1經檢驗知qk也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m>6,分別取 k=3, 6,得 3對3,且 q5w§ 從而 q15 > 243且 q15w 216所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5.一，人21八12.解析：對于B,令x 0 ,得 一，42-111取 國一,所以a2,L,an10,2221 一所以當b 時，a10 10,故B錯誤；4對于C,令x22 0 ,得 2或 1 ,取為 2,所以a22,L2 1

4、0 ,所以當b 2時，加10,故c錯誤;對于D,令c /口 1170,得 2取a1117，所以2117a2 ='an117 .c10,2所以當b 4時，a10 10,故D錯誤;121212對于A, a2a34a4 a包161716an 1anan遞增,當n4時,an12ana5a4a6所以a5M所以外a4ai0729 ., 10故A正確.故選A.643.解析(ai2d解得ai從而anSn1解得bn所以bnai0a9I )設數列an的公差為d,由題意得4©0,d2nbn£bn 2d2 n3d 3a1 3d ,bn§ 2bn成等比數列得S.2bn .S21Sn

5、Snn, nan(n ) Cn2bn2n(n 1) n(n 1)2n 2n 1 ,n我們用數學歸納法證明.(1)當n=1時，C1=0<2,不等式成立;（2）假設n k k N*時不等式成立，即 c1 c2 L ch 2網.那么，當n k 1時,c1c2 LCkCk 12 灰 J（k，）kk - 2） 2 灰后2 . k 2（,kl、.k） 2、,k7.即當n k 1時不等式也成立.根據（1）和（2）,不等式g c2 Lcn 2jn對任意n N成立.2010-20181 a, 3an是等比數列101又a2 S103 10 ,故選C.2. D【解析】【法1】有題設知a2 a1 二1,a3 a

6、2 =3 a4a3=5 a5a4 =7,a6a7 a6=11, as a7 =13, a§% =15, aa9 =17 , a11a10 =19， a12a11得ai% =2,+彳導a4a2 =8,同理可得a5a7=2,a6as =24,a9. a12=40, , 0a3,a5a7 , a§a11,是各項均為 2的常數列，a?ad，a6as,現。是首項為8,公差為16的等差數列，1 . .an的前 60項和為 15 2 15 8 - 16 15 14=1830.2【法2】可證明：a5 =9 ,21 ,a11 =2,a2，.bn 1a4n1a4n2a4n3a4 n4a4 n3

7、 a4n 2a4n2a4 n16 bn 16baa2a3a4 10S1510 1515 1416 1830【法3】不妨設a11 ,得 a22, a3a5a71,a4 6,a 10 ,所以當n為奇數時，an1,n為偶數時，構成以a2為首項，以4為公差的等差數列，所以得S60 18303. A【解析】法一:分別求出前10項相加即可得出結論;法二：a1 a2a3a4a9a10a10 = 3 5 15 .故選 A.4. 6【解析】2, an 12an,，數列an是首項為2,公比為2的等比數列, Sn2(1 2n)1262n645. 27【解析】a11 ， anan 12）,所以數列an是首項為1,公差

8、為差數列，所以前9項和S920 .,6. 20【解析】11由題意得:(anan 1 )(an 1an2) Kai) an(n1)所以-an12(- n,.Sn n 12(121 、 n 1)2011a82代入an1 an可求得a7再將1八、a7一代入an211an可求得a61;再將a61代入an11 an得a52;由此可知數列an是一個周期數列，且周期為 3,所以現a728.【斛析】當n=1時，a1= S1 = a132當 n > 2 時，an =Sn Sn 1 = an3解得a1 =1an 1，即 an = 2an 1 , an 是首項為1,公比為一2的等比數列，.an = ( 2)n

9、9. (1)工，161,1,、(91001)3 2【解析】（1） ; Sn10.11.12.1n 3 時，a1+a2+a3= a3 - 811n 4 時，a1+ a2+ a3 + a4= a4 , a1+ a2+ a3=一岳. ，1由知a3=一記.(2)n 1 時，Sn 1(當n為奇數時,當n為偶數時,故an9nanan 11830bn 1bi3018n 11) an(2)n1151,（吳1,n為奇數(1)n,n為偶數2S1001 1、4(1 嚴)4Sn12n 0,an ( 1)nan ( 1)nan1 (2)n,n為奇數n為偶數1(2213(1【名師解析】可證明：a4n 1a4n 2a4 n

10、 3aa?a3a4【解析】因為cosn- 2a2 a3 a4 S2012503 64【解析】由題意得124126）3（產1)-a4n 4a4n 3a4n 210&5 10 15的周期為4；由an6 , a5 a6a7a863018k(kk(k13【解析】（1）設等比數列bn的公比為(k(kq,1)(k1)(ka4n 2 a4n 16 bn 16,15 14 “162nn cos 21830 .4)(34)(2)b3b22,(kk21)21010可得1 2n c因為q 0,可得q 2,故bn2n 1.所以Tn -2- 2n 1 .1 2設等差數列an的公差為d .由b4 a3 a5 ,可

11、得現3d4.由 b5 a4 2a6,可得 3a1 13d 16,從而 a1 1,d故ann ,所以n(n 1)2(2)由(1),知 TiT2LTn(21 23 L2n)2n 1n 2.由 Sn (T1 T2Tn)an2n整理得n2 3n1 （舍），或n4.所以14【解析】（1）因為a13a2(2n 1注故當a1 3a2(2 n 3同 12(n 1).兩式相減得（2 n1)an2.2所以an2n 1(n> 2).又由題設可得S12.從而an的通項公式為 ana(2)記-an的前n項和為Sn, 2n 1由（1）知一如2n 1(2n 1)(2n 1)12n 112n 11111 則Sn13 3

12、 512n 112n2n2n 115.【解析】（I）由已知，a1b2 b2 bn"1b1 /日-,得3a12 ,所以數列an是首項為2,公差為3的等差數列，通項公式為an 3n(n)由(I )和 anbn 1 bn 1 nbn ,得bn 1bn3因此bn是首項為1一 1公比為一 3的等比數列.記bn的前n項和為Sn,則1(1)n3TT316【解析】（I）設數列an的公差為d,由題意有2ai5d 4,a15d 3,2n 352解得a1 1,d 一,所以an的通項公式為an5(n)由(i )知 bn2n 3當 n =1,2,3 時，1 2n2,bn1；5當 n =4,5 時，2 n- 3

13、,bn2；5當 n =6,7,8 時，3 2n4 4,bn3;5當 n =9,10 時，4 空 5,bn4,5所以數列 bn的前10項和為1 3 2 2 3 3 4 2 24.17【解析】（I）由42 , an 12an,得 an 2n.當 n 1 時，b1 b2 1,故 b2 2 ._ .1b n 1當n>2時，一bn bn 1 bn,整理得 q ,所以bn n .nbnn(n)由(i)知，anbn n 2n ,故Tn2 2 22 3 23 n 2n,2Tn 22 2 23 2 24所以 Tnn 1 2n 1 2 .18【解析】（i）由條件，對任意_ 一， _*、3SnSn 1 3 (

14、 n N ),因而對任思n N , n 2 ,有an 1*.3Sn 1 Sn 3 (n N ),兩式相減，得an2an13anan 1,即an23an,( n2),又 a11,a22,所以 a3 3S1 S2 3 3a1 (a1 a2) 3 3a1,I， 一，一*故對一切n Nan 23an .（n）由（i）知,an 0 ,所以an 2an3 ,于是數列a2n 1是首項ai 1 ,公比為3的等比數列，數列a2n是首項a12,公比為3的等比數歹U,所以a2n_n 113, a2nS2na a2a2n(aia3a2n1) (a2 a4 L a2n)(13n 1)2(13n 1)3(13n 1)3(

15、3n 1)2從而S2na2n3(3n21)23n 13一 (5 321),綜上所述,1(5n 231),(n2k*1,k N )3 n*-(32 1),(n 2k,k N )19【解析】（I）令n 1得：S2 （ 1）S 320,即 S2所以(S 3)(S1 2) 0,QS10,S12,即 a12.(n)由 S2 (n2 n 3)Sn 3(n2n)0,得：(Sn 3) Sn (n2 n) 0,Qan0(n N ),Sn0,從而 Sn0,Sn2n n,2 時,anSn&1 n2(n1)2(n 1)2n,又a12 2 1, an 2n(n N).（出）當k N時，k2 k 2-k21316

16、(kak(ak 1) 2k(2k 1) 41 k(k -)13)(k)44113(k ；)(k 4)41(k 4)1(k 1) 4(k1)a1(a1 1)a2(a21)an(an1)(-220【解析】(i)S1a1.1 時,2a1a11時,snsn2an a11Si2 an 1San時首項為a11公比為q(n 1)S1 Sia1a12an2的等比數列,2n0, a12an1,n1.an(n)設Tn 1 a1a2 3 a3n anqTnqa1qa23 qa3qTn 1 a2 2a33a4n an上式左右錯位相減:(1q)Tna a2a3annan 11a1 -nanTn(n1) 2n1,n21 【解析】(1)a1b 0,知 annban 12n 20, anb an 12an 1 -2nn qann A,A an2 日t,An2bAn當b 2時,2n 2Q2n 1TV7 A1 b2n 2 bn2nbn12b(1b )1