1、第三章第三章 函數的應用函數的應用 第三章第三章 31 函數與方程函數與方程 第三章第三章 31.1 方程的根與函數的零點方程的根與函數的零點 課前自主預習課前自主預習 名師辯誤做答名師辯誤做答 方法警示探究方法警示探究思路方法技巧思路方法技巧 基礎鞏固訓練基礎鞏固訓練 探索延拓創新探索延拓創新 能力強化提升能力強化提升 課前自主預習課前自主預習 溫故知新 x11，x23 ；函數1方程x 2x30的根為_2(1,0)，(3,0) yx 2 x3與x軸的交點為_x2 ，頂點坐標為2函數y2 x 8 x1的對稱軸為_(2，7) _22新課引入 二次函數是我們很熟悉的一類函數，以前我們曾研究過其圖象

2、與性質，請大家畫幾個函數的圖象(畫草圖即可)：(1) yx2 x3；(2) yx2 x1；(3) yx2 x3. 畫完以后，請說出你能知道的知識如果我們把二次函數與其相關的方程：x2 x30，x2 x10，x2 x30放在一起觀察， 又會有什么發現呢？你能再找幾個函數與相應的方程看看我們的想法是否正確嗎？ 222222自主預習 問題1：觀察下列三個函數圖象，如下圖 (1) yx 2 x3與x軸有2個交點(2) yx2 x1與x軸有一個交點(3) yx2 x3與x軸沒有交點，對此x2 x30，x 2 x10，x2 x30三個方程的解，你會有什么發現呢？ 222222探究：(1)容易知道函數yx2

3、 x3與x軸有兩個交點，方程x2 x30有兩個實根，交點坐標為(1,0)、(3,0)，方程的根為x11，x23.會發現：交點的橫坐標與方程的根數值相同 (2)函數yx 2 x1與x軸有一個交點，坐標為(1,0)，方程x2 x10有兩等根為x1. (3)函數yx 2 x3與x軸沒有交點，方程沒有實根 22222觀察可知，二次函數f(x)與x軸的交點的橫坐標恰好是相應方程f(x)0的根，這種關系對一般的一元二次函數與其相應的方程之間的情況也成立，即方程axbxc0的實根就是f(x)axbxc與x軸交點的橫坐標 總結：對于函數yf(x)，我們把使f(x)0成立的實數x叫做函數yf(x)的零點 22【

4、歸納提升】 (1)函數的零點是數值，不是點的坐標，要區分清楚函數的零點與函數圖象與x軸的交點是兩回事 (2)方程f(x)0有實根?函數yf(x)與x軸有交點?函數yf(x)有零點 (3)求函數yf(x)的零點就是令f(x)0求方程的實根 問題2： 再觀察函數yx2 x3的圖象， 由問題1的探究知道，其存在兩個零點x1和x3，觀察兩個零點周圍的函數值有什么變化，寫出你的發現，你能再舉個例子驗證一下嗎？ 2探究：對于零點x1來說，其左側附近的函數值大于零，比如f(2)0； 其右側附近的函數值小于零，比如f(0)0，于是我們發現，只要零點x0在區間(a，b)上，就有f(a)f(b)0.我們對另一個零

5、點x3，也取其附近的區間來研究，發現有同樣的規律 反過來， 只要我們取的區間(a，b)， 有f(a)f(b)0，那么函數在(a，b)上一定有零點 總結：一般地，如果函數yf(x)在區間a，b上的圖象是連續的，并且有f(a)f(b)0，那么函數yf(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c使f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的實根 【歸納提升】 (1)這個定理是告訴我們一種尋找零點的方法，我們只要探求出一個區間a，b，使f(a)f(b)0，則其一定在此區間(a，b)內有零點反之則不一定成立 (2)這個定理只告訴我們，存在c(a，b)，使f(c)0，即c是函數的零點，但沒有告訴我們有幾個事實上，

6、如右圖所示，我們知道f(a)f(b)0， x26521f(8)40，且f(x)x2 x在(2，8)上恒大于零， 1所以該方程為(2，8)上不存在實數解 13(2) f(x)log2x3 x2，f( )0，且f(x)2211在(2，8)上連續，所以該方程在(2，8)上有實數解 1 求函數的零點 學法指導： 1正確理解函數的零點： (1)函數的零點是一個實數，當自變量取該值時，其函數值等于零 (2)根據函數零點定義可知，函數f(x)的零點就是f(x)0的根，因此判斷一個函數是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程f(x)0是否有實根，有幾個實根即函數yf(x)的零點?方程f(x)0的實根?函數yf(x

7、)的圖象與x軸交點的橫坐標 2函數零點的求法： (1)代數法：求方程f(x)0的實數根 (2)幾何法：與函數yf(x)的圖象聯系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數的零點 例1 求下列函數的零點 (1) f(x)4 x3； (2) f(x)x 3 x2； (3) f(x)2； (4) f(x)log2(x1) 分析 根據函數零點的定義，令y0， 解出定義域內的x就是零點 2x解析 函數零點就是相應方程的實數根，可用求根公式或分解因式求解 33(1)由4 x30得x ，零點是 . 44(2) f(x)0，即(x1)( x2)0， f(x)零點為1和2. (3)函數y2 沒有零點 (4)函數yl

8、og2(x1)的零點是x0. x規律總結：函數yf(x)的零點、方程f(x)0的實數根、函數yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，實質是同一個問題的三種不同表現形式，方程f(x)0實數根的個數就是函數yf(x)的零點的個數，亦即函數yf(x)的圖象與x軸交點的個數 (1)指出下列函數的零點： f(x)x2x3零點為_ g(x)lgx2零點為_ (2)已知1和4是函數f(x)axbx4的零點，則f(1)_. 1答案 (1)3，1 (2)6 10022解析 (1)f(x)(x3)( x1)的零點為3和1， 1由lgx20得，lgx2，x100. 1故g(x)的零點為. 100?f?1?0(2)由條件

9、知?f?4?0?a1?b3 ?ab40，?16 a4 b40 ， ，f(1)ab46. 2 判斷函數零點所在的區間 學法指導：判斷函數零點所在區間的方法 一般而言判斷函數零點所在區間的方法是將區間端點代入函數求出函數的值，進行符號判斷即可得出結論此類問題的難點往往是函數值符號的判斷，可運用函數的有關性質進行判斷 例2 (2010天津)函數f(x)e x2的零點所在的一個區間是( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 分析 函數零點附近函數值的符號相反，可據此求解 x 方程lgxx0的根所在的區間可能是( ) A(，0) B(0,1) C(1,2) D(2,4) 答案 B

10、解析 由于lgx有意義，所以x0.令f(x)lgxx，顯然f(x)在定義域內為增函數，又f(0.1)0.90，故f(x)在區間(0.1,1)內有零點，故選B. 探索延拓創新探索延拓創新 3 函數零點個數的判斷 學法指導：判斷函數零點個數的主要方法： (1)利用方程根， 轉化為解方程， 有幾個根就有幾個零點 (2)畫出函數yf(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數，從而判定零點的個數 (3)結合單調性，利用f(a)f(b)0，可判定yf(x)在(a，b)上零點的個數 (4)轉化成兩個函數圖象的交點問題 例3 求函數f(x)2lg(x1)2的零點個數 分析 ?函數單結合函數零點存在性判定定?調性理，

11、判斷零點存在性及個數?一題多解?觀察函數圖象判?圖象法斷方程根的個數? x 解析 解法一：因為f(0)10210，所以由函數零點存在性判定定理知，f(x)在(0,2)上必定存在零點 又f(x)2lg(x1)2在(1， )上為增函數， 故f(x)0有且只有一個實根，即函數f(x)僅有一個零點 x解法二：在同一坐標系中作出h(x)22和g(x)lg(x1)的圖象，如圖所示，由圖象可知h(x)22和g(x)lg(x1)有且只有一個交點，即f(x)2lg(x1)2與x軸有且只有一個交點，即函數f(x)僅有一個零點 xxx 判斷函數f(x)x3lnx的零點的個數 解析 解法一：在同一平面直角坐標系中畫出

12、函數ylnx，yx3的圖象，如下圖所示 由圖可知函數ylnx，yx3的圖象只有一個交點，即函數f(x)x3lnx只有一個零點 2解法二：因為f(3)ln30，f(2)1ln2lne0，所以f(3) f(2)0，f(4)20，因此函數f(x)x5 x6在1,4上沒有零點，即零點個數是0. 錯解二：f(1)20，f(2.5)0.250，f(2.5)0.250時，(a，b)中的零點情況是不確定的，而錯解二出現了邏輯錯誤，當f(a)f(b)0時，(a，b)中存在零點，但個數不確定 思路分析 要想準確地判斷函數零點的個數，要么把它們全部求出來，要么利用函數圖象來判斷，這才是正確的方法 正解 由題意，得x

13、 5x60， x2，x3， 函數的零點是2,3 函數在1,4上的零點的個數是2. 21下列函數的圖象中沒有零點的是( ) 答案 D 解析 從圖中觀察知， 只有D中函數圖象與x軸沒有交點，故選D. 規律總結 根據函數零點的概念，函數有零點，即函數的圖象與x軸有交點函數圖象與x軸有幾個交點，函數就有幾個零點 2函數f(x)2 x 5 x2的零點個數是( ) A0 B1 C2 D不確定 2答案 C 1解析 2 x 5 x20即(x2)(2 x1)0，x2或 ，22故選C. 3(20122013河北廣平縣一中期中試題)函數f(x)lnx2x的零點所在的大致區間是( ) A(1,2) C(3,4) B(

14、2,3) D(e,3) 答案 B 解析 將各選項中區間的左右端點分別代入f(x)lnx2，看其是否滿足f(a)f(b)0. x2f(2)ln210，f(3)ln3 0， f(2) f(3)0， f(x)3在(2,3)內有零點，故選B. 規律總結 這是一類非常基礎且常見的問題，考查的是函數零點的判定方法，一般而言只需將區間端點代入函數求出函數的值，進行符號判斷即可得出結論這類問題的難點往往是函數值符號的判斷，可運用函數的有關性質進行判斷 4二次函數f(x)axbxc(a0)中，a、c異號，則函數的零點個數是( ) A0 C2 2B1 D不確定 答案 C 解析 方程axbxc0的判別式 b4 ac

15、，a、c異號，ac0，故方程有2個互異實根函數有2個零點 2225在區間3,5上有零點的函數是( ) Af(x)2 xln( x2)3 Bf(x)x 2 x5 1Cf(x)24 Df(x) 2 xx 3答案 A 解析 把3,5這兩個端點值代入選項函數， 看f(3) f(5)2 解析 方程在(0,1)內有解，即函數f(x)axx1在(0,1)內有零點，故解f(0) f(1)0，求出a即可 由axx10在(0,1)內有解，即函數f(x)axx1在(0,1)內有零點，故f(0) f(1)0，即1(a2)2. 2228判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出 x3(1) f(x)x； (2) f(x)x 2 x4； (3)