1、2021/8/141 第三章邊值問題的變分形式1 1 二次函數(shù)的極值二次函數(shù)的極值2 2 兩點邊值問題兩點邊值問題3 3 二階橢圓型邊值問題二階橢圓型邊值問題2021/8/1421 1 二次函數(shù)的極值二次函數(shù)的極值 niiiTnTnnnnnnTnTnnyxyxyaaaaaaaaaAbbbbxRn1212122221112112121),(,),()(),(),( 的的內(nèi)內(nèi)積積為為定定義義，的的轉轉置置。令令表表示示括括號號內(nèi)內(nèi)向向量量或或矩矩陣陣：中中引引入入向向量量、矩矩陣陣記記號號維維歐歐氏氏空空間間在在2021/8/143 ),(),(),()(:11,21xbxAxbaFxFnniii

2、njijiijn 個個變變量量的的二二次次函函數(shù)數(shù)考考慮慮., 2 , 10)(),(:),(1)0()0()0()0(1)0()0()0(1022nkbaaFxnikkiikkTinn 取取得得極極值值的的必必要要條條件件是是它它在在., 2 , 121)0(nkbaAaanikkikiiki 為為對對稱稱矩矩陣陣，則則，即即假假定定2021/8/144 的的解解是是線線性性方方程程組組：取取得得極極值值的的必必要要條條件件是是于于則則二二次次函函數(shù)數(shù)若若令令)2 . 1()()1 . 1(),(),(21)(00bAxxxxJxbxAxxJ 取取極極小小值值于于即即，取取極極小小值值，則則

3、對對任任何何于于若若維維非非零零向向量量是是任任一一其其中中二二次次函函數(shù)數(shù)的的量量的的極極值值性性質(zhì)質(zhì)，考考慮慮實實變變?yōu)闉榱肆诉M進一一步步研研究究0)(),0()()()(0)(.)()()(0000 xJxxJxxJnxxxJxJ2021/8/145 取取極極小小值值于于即即）（，零零向向量量取取極極小小值值，則則對對任任何何非非于于反反之之，若若000)(),()0(1)(0)(xxJxJxxJx ),(2),(2),(),(2)()()(2000 xAxxbxAxxAxxJxJ 顯顯然然條條件件。存存在在極極小小值值的的充充分分必必要要現(xiàn)現(xiàn)在在研研究究)3 . 1(),(2),()(

4、)()(2000 xAxxbAxxJxxJA 是是對對稱稱矩矩陣陣，故故因因為為2021/8/146 必必為為正正定定矩矩陣陣。故故對對任任意意非非零零向向量量的的解解。又又是是，這這說說明明從從而而對對任任意意取取極極小小值值，則則于于若若ARxxAxxbAxRxxbAxxxJnn , 0),()0()2 . 1(00),()0()(0000 取取極極小小值值。于于這這說說明明得得則則由由，即即的的解解，是是方方程程組組是是正正定定矩矩陣陣，反反之之，設設022000)(0, 0),0(),(2)0(),(2)()()3 . 1(0)2 . 1(xxJxxAxxAxxJbAxxA 2021/

5、8/147定理定理1.1 設矩陣設矩陣A對稱正定，則下列兩對稱正定，則下列兩個問題等價：個問題等價：定定義義的的二二次次函函數(shù)數(shù)。是是由由其其中中使使求求)1 . 1()()4 . 1()(min)()1(000 xJxJxJRxnRxn .),(),(21)()()5 . 1()2(決決定定它它由由向向量量，項項決決定定；第第二二部部分分是是一一次次，它它由由矩矩陣陣次次項項分分是是二二由由兩兩部部分分組組成成：第第一一部部或或簡簡稱稱泛泛函函數(shù)數(shù)。泛泛函函數(shù)數(shù)泛泛函函次次函函數(shù)數(shù)，稱稱為為上上的的二二次次是是定定義義在在全全空空間間上上的的二二求求下下列列方方程程組組的的解解：bxbAxA

6、xxJxJbAx 2021/8/1482 2 兩點邊值問題兩點邊值問題作作用用下下弦弦的的平平衡衡位位置置。表表示示在在荷荷載載用用上上，發(fā)發(fā)生生形形變變。荷荷載載垂垂直直向向下下作作用用在在弦弦的的外外。設設有有強強度度為為和和的的弦弦，其其兩兩端端固固定定在在點點考考察察一一根根長長為為弦弦的的平平衡衡)()()()0 ,()0 , 0(1 . 2xfxuuxflBAl uxxlAB02021/8/149 ).2 . 2(),1 . 2()2 . 2(0)(, 0)0(0),()1 . 2()(邊邊值值問問題題就就歸歸結結為為解解兩兩點點這這樣樣，求求弦弦的的平平衡衡位位置置和和邊邊值值條

7、條件件是是弦弦的的張張力力。滿滿足足微微分分方方程程根根據(jù)據(jù)力力的的平平衡衡條條件件， luuTlxxfuTxu)4 . 2()(min)()()3 . 2(2)(21)(21)(),()(*02002*uJuJxuudxufuTudxfdxuTWWuJxuuxuuulll 是是下下列列變變分分問問題題的的解解：據(jù)據(jù)極極小小位位能能原原理理，它它的的總總位位能能為為最最小小。設設弦弦任任意意位位置置可可能能位位置置中中，使使位位能能是是滿滿足足邊邊值值條條件件的的一一切切位位置置小小位位能能原原理理”弦弦的的平平衡衡另另一一方方面面，由由力力學學“極極2021/8/1410 )(,),()(,

8、),()(.,),()(2 . 2221222ILfdxffffILgfgdxfgfIILbaIbaIIHSobolevbabam 范范數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)積積數(shù)數(shù)組組成成的的空空間間。上上的的平平方方可可積積的的可可測測函函在在表表示示由由定定義義用用設設空空間間空空間間。是是是是完完全全內(nèi)內(nèi)積積空空間間，因因此此關關于于”運運算算是是線線性性空空間間，關關于于“加加法法”及及“數(shù)數(shù)乘乘HilbertILIL)()(,)(222021/8/1411 ffnffILfmnffCauchyILfILILCauchynnnmnn lim)(0)(),(0)()()(2222記記為為使使則則必必有有條條件件：度

9、度量量）滿滿足足（即即按按如如果果關關于于度度量量，中中任任一一函函數(shù)數(shù)列列成成立立。就就是是說說，收收斂斂定定理理在在所所謂謂的的完完全全，是是指指gfgfILgfILSchwarz ),(),()(12且且，則則乘乘積積設設不不等等式式2021/8/1412)5 . 2()()()()()()(,)(00 babadxxxfdxxxfICxfbabaIIC ，用用分分部部積積分分法法，有有和和任任意意函函數(shù)數(shù)一一次次連連續(xù)續(xù)可可微微的的于于零零的的函函數(shù)數(shù)類類。對對于于任任一一與與具具體體函函數(shù)數(shù)有有關關）等等于于某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)（鄰鄰域域大大小小的的無無窮窮次次可可微微，且且在在端端

10、點點表表示示于于用用廣義導數(shù)概念廣義導數(shù)概念)()()()()6 . 2()()()()()()()(022xgdxdfxfxgIxfICdxxxfdxxxgILgILfbaba ，記記為為有有廣廣義義導導數(shù)數(shù)于于恒恒成成立立，則則說說，對對任任意意，使使等等式式，若若存存在在設設 2021/8/1413 一一定定成成立立。導導數(shù)數(shù)，相相反反的的結結論論則則不不在在廣廣義義意意義義下下的的也也是是，則則導導數(shù)數(shù)的的在在通通常常意意義義下下有有屬屬于于顯顯然然，若若)()()()()(2xfxfxfILxf 的的廣廣義義導導數(shù)數(shù)計計算算例例xxf )(1的的廣廣義義導導數(shù)數(shù)。就就是是其其中中對對

11、任任意意解解：)(10, 1, 01, 1)(,)()()()()()()(),(1101100110110 xfxxxgdxxxgdxxdxxdxxxdxxxdxxxIC 2021/8/1414引理引理2.1 （變分法基本引理）（變分法基本引理）。幾幾乎乎處處處處為為則則對對任任意意設設0)(),(, 0)()()(02xfICdxxxfILfba . 0)(0)(0),()(0)(. 0)()(0000內(nèi)內(nèi)也也大大于于鄰鄰域域充充分分小小的的必必在在，則則由由連連續(xù)續(xù)性性例例如如，不不等等于于于于，不不妨妨設設假假若若事事實實上上就就證證明明引引理理。這這時時只只就就證證明明bxxxaxx

12、fxfbaxxfxfxfICf 2021/8/1415 與與假假設設矛矛盾盾。），且且（則則在在別別處處取取0)(1exp()()()(,0,),)(1exp()(2020020200 dxxxxfdxxxfICxxxxxbaxx 導導數(shù)數(shù)幾幾乎乎處處處處相相等等。的的不不同同的的廣廣義義可可以以證證明明利利用用變變分分法法的的基基本本引引理理)(xf2021/8/1416?10 , 1010)(2是是否否有有廣廣義義導導數(shù)數(shù)，討討論論階階梯梯函函數(shù)數(shù)例例 xxxf.)7 . 2()()()0(,),(,).()()()(),0()()()()()()()(011220101111）（對對任任

13、意意不不等等式式則則由由實實際際上上不不屬屬于于函函數(shù)數(shù)。今今證證函函數(shù)數(shù)，稱稱為為從從而而）（對對任任意意，則則有有廣廣義義導導數(shù)數(shù)假假設設解解：ICgdxxxgSchwarzILgILxgDiracxxgICdxxdxxxfdxxxgxgxf 2021/8/1417 ，就就導導致致矛矛盾盾。并并令令以以此此代代入入），（則則在在別別處處當當，取取特特別別對對0)7 . 2()0(0)12exp(2)/(12exp(,)0()(,0,),)/(11exp()()(1010222102 dttdxxeICxxxxx2021/8/1418 1)(0,0, 0)()2(dttttt 定定義義：，起

14、起重重要要作作用用。量量和和集集中中量量之之間間關關系系時時源源等等。在在討討論論連連續(xù)續(xù)分分布布荷荷、點點質(zhì)質(zhì)量量、點點熱熱理理上上集集中中的的量量，如如點點電電函函數(shù)數(shù)的的引引入入：反反映映了了物物函函數(shù)數(shù)）單單位位脈脈沖沖函函數(shù)數(shù)（ 1)(, 0),(dxxxx 則則于坐標原點于坐標原點只有一個單位質(zhì)量集中只有一個單位質(zhì)量集中設線密度為設線密度為其示意圖，曲線的峰無限高，但無限窄，但曲線下的面積為其示意圖，曲線的峰無限高，但無限窄，但曲線下的面積為1。為偶函數(shù)。為偶函數(shù)。這種函數(shù)的提出首先是物理的要求，如質(zhì)點概念，有質(zhì)量，體這種函數(shù)的提出首先是物理的要求，如質(zhì)點概念，有質(zhì)量，體積為零，所

15、以密度為無窮，但密度對體積的積分卻是一個有限積為零，所以密度為無窮，但密度對體積的積分卻是一個有限值，即質(zhì)量。可以用這種函數(shù)描述質(zhì)點密度值，即質(zhì)量。可以用這種函數(shù)描述質(zhì)點密度。t)(t 2021/8/1419Sobolev空間空間空空間間?？湛臻g間，稱稱之之為為因因此此是是）是是完完全全的的內(nèi)內(nèi)積積空空間間，（可可以以證證明明，和和范范數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)積積）引引進進（于于）是是線線性性空空間間。（的的廣廣義義導導數(shù)數(shù)。顯顯然然是是其其中中）（定定義義SobolevHilbertIH).(dx)ff()f,f(f).(dxgffg)g,f(IHIHff)I(Lf),I(LffIHbaba12122111

16、112219282 2021/8/1420.),(),()(0)9 . 2()(),()8 . 2()()(),(00202102)(0)()(ffgfgfILIHmdxxffffdxxgxfgfIHSobolevmmkbakmmmkbakkmm 空空間間，）就就是是（時時，當當和和范范數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)積積）（空空間間階階的的同同樣樣可可定定義義2021/8/1421 ?；蚧虻牡淖幼涌湛臻g間，記記為為的的函函數(shù)數(shù)類類構構成成，件件中中所所有有滿滿足足齊齊次次邊邊界界條條極極小小位位能能原原理理101011)()(0)(, 0)0()2 . 2()(3 . 2HIHIHluuIH )(min)()4 .

17、 2(10*10*10uJuJHuHHu 使使精精確確地地敘敘述述為為：求求把把問問題題間間。我我們們可可以以就就是是我我們們要要找找的的函函數(shù)數(shù)空空 lldxdxduTudxdxudTuLuWdxudTLuuJ0222022)(21)(21),(21)(內(nèi)內(nèi)則則微微分分算算子子的的結結構構，引引進進我我們們進進一一步步分分析析位位能能2021/8/1422 數(shù)數(shù)。相相應應的的二二次次泛泛函函或或泛泛函函和和邊邊值值問問題題為為亦亦稱稱的的有有相相似似的的結結構構，我我們們和和便便知知比比較較與與于于是是外外)2 . 2).(1 . 2()()()(:)1 . 1(),(),(21)(),(1

18、00uJxJuJbfALRHufuLuuJfudxufWnl 2021/8/1423 例子1 等等價價的的變變分分問問題題。試試建建立立與與兩兩點點邊邊值值問問題題例例)12. 2(0)(, 0)()11. 2(),(,)(1 buaubaxfqudxdupdxdLudxfudxqudxdxdupdxfudxqudxdxdupudxdupdxfudxquudxdxdupdxdufuLuuJbabababababababababa 2222221)(21)(21)(21),(),(21)(構構造造泛泛函函數(shù)數(shù)解解2021/8/1424 ）（使使求求相相應應的的變變分分問問題題：成成的的子子空空間

19、間?？伎紤]慮和和的的函函數(shù)數(shù)組組中中滿滿足足左左邊邊值值條條件件為為設設便便得得令令15. 2)(min)()12. 2)(11. 2(0)()14. 2(),(),(21)()13. 2(),(1*1*11uJuJHuauHHufuuauJdxquvdxdvdxdupvuaEHuEEba 或或雙雙線線性性形形式式。，所所以以稱稱為為雙雙線線性性泛泛函函是是常常數(shù)數(shù)都都是是線線性性泛泛函函，即即分分別別對對顯顯然然),(),(),(),(),(),(),(,),(212211221122112211ccvuacvuacvcvcuavuacvuacvucucavuvua 2021/8/1425的

20、的對對稱稱性性決決定定的的。的的對對稱稱性性是是由由微微分分算算子子，對對任任意意是是對對稱稱形形式式，即即首首先先LvuaIHvuuvavuavua),().(,),(),(),()11 兩個基本性質(zhì)兩個基本性質(zhì).)17. 2(),(),(),(,)16. 2(),()(),(),12. 2(),(,2稱稱為為對對稱稱算算子子如如此此的的以以后后，等等式式右右端端不不變變，所所對對調(diào)調(diào)則則且且滿滿足足邊邊值值條條件件設設LLvuuLvvLuvuvuadxquvdxdvdxdupdxquvvdxdupdxdvLuIcvubaba 2021/8/1426 )18. 2()()(),(2min22

21、 babadxdxdupdxqudxdupuua其其次次 babaxababaxaxaxaxaxaxaEdttuabdttudxaxdxdttuaxdxxudttuaxdttudtdttuxuSchwarzdttuxuHu2222222212212221)()(21)()()()()()()()()1()()(,)()(不不等等式式則則由由可可表表為為如如果果注注意意到到任任一一2021/8/1427 121min221222222)20. 2(,),(,)19. 2(),18. 2(. 0)(1,21min()19. 2()(21)()(1)()(21)(EbababababaHuuuuap

22、abudxxudxxuabdxxudxxudxxu 對對任任意意得得并并令令聯(lián)聯(lián)結結其其中中因因而而 2021/8/1428 是是正正定定算算子子。因因此此也也說說得得時時，由由且且滿滿足足邊邊值值條條件件特特別別當當。的的雙雙線線性性形形式式為為正正定定的的我我們們稱稱滿滿足足不不等等式式LuuLuICu212),()20. 2( ,)16. 2()12. 2()()20. 2( 為為連連續(xù)續(xù)性性條條件件。無無關關常常數(shù)數(shù)。稱稱是是與與）（滿滿足足不不等等式式不不等等式式知知最最后后，由由)21. 2(,21. 2,),(),(111vuMHvuvuMvuavuaSchwarz 2021/8

23、/1429 )22. 2).(,(2),(),()()(),(),(),(),(2),(),(2),(21),(),(21)()()15. 2(2*2*1vvavfvuauJvuvfufvvauvavuauuavufvuvuavuJHvE 的的對對稱稱性性，得得由由的的函函數(shù)數(shù)實實變變量量考考慮慮。任任取取現(xiàn)現(xiàn)在在回回到到變變分分問問題題2021/8/1430定理定理2.1.)12. 2(),11. 2(,)()()12. 2(),11. 2(),(*12*2*的的解解是是邊邊值值問問題題則則達達到到極極小小值值使使達達到到極極小小值值；反反之之，若若使使則則的的解解，是是邊邊值值問問題題設設

24、uuJHCuuJuCuICfE ).()()()()23. 2(),(),(*112*bvbubpvdxfuLvdxfqudxdupdxdvdxdupdxfvvqudxdvdxdupvfvuaHvHCubabababaEE 時時，注注意意當當證證明明2021/8/1431.)()(),(2)()(0,),()22. 2()23. 2(, 0),(),()0(, 0)(, 0)12. 2)(11. 2(*2*1*達達到到極極小小值值使使這這說說明明時時的的正正定定性性，當當及及），由由（注注意意對對任任意意從從而而的的解解，則則是是邊邊值值問問題題如如果果uJuuJvvauJvuJvovuaHv

25、vfvuabufLuuE 1*, 0).()()(24. 2),(),()0()23. 2)(22. 2(.)(EbaHvbvbubpvdxfuLvfvuauJu 對對任任意意）（得得則則由由達達到到極極小小值值使使反反之之，若若 2021/8/14320)(0)(,)(0)(, 0).()()()24. 2(0).(, 0)(*11*0*0 buubvHvaxxvbpHvbvbubpfLuuICvvdxfuLICvEEba必必須須滿滿足足右右邊邊條條件件可可見見，且且則則，取取注注意意對對任任意意化化為為于于是是滿滿足足方方程程根根據(jù)據(jù)變變分分法法基基本本引引理理，對對任任意意，則則特特別別

26、取取為為極極小小位位能能原原理理。所所以以也也稱稱定定理理恒恒表表示示能能量量，二二次次泛泛函函因因為為在在力力學學、物物理理學學中中1 . 2)(uJ2021/8/1433邊邊值值條條件件。該該條條件件，因因此此稱稱為為自自然然足足取取極極小小值值，則則它它必必然然滿滿使使數(shù)數(shù)件件提提出出，只只要要函函后后者者不不必必對對函函數(shù)數(shù)作作為為條條質(zhì)質(zhì)邊邊值值條條件件稱稱為為強強制制邊邊值值條條件件或或本本在在的的函函數(shù)數(shù)類類上上，必必須須強強加加在在變變分分問問題題所所有有重重要要區(qū)區(qū)別別，前前者者右右邊邊值值條條件件和和知知道道左左邊邊值值條條件件從從定定理理)()(.0)(0)(1 . 2*

27、uJxubuau 2021/8/1434 非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的處理等等價價的的變變分分問問題題。值值問問題題試試建建立立與與非非齊齊次次兩兩點點邊邊例例 )(,)(),(,)(2buaubaxfqudxdupdxdLu 0)(, 0)(),(,)()()()()(,)(),()()(bvavbaxqwdxdwpdxdfqvdxdvpdxdLuvaxxwbwawxvxwxu滿滿足足則則此此題題其其中中一一般般令令件件齊齊次次化化，方方法法之之一一是是先先使使邊邊界界條條解解 2021/8/14352.4 2.4 虛功原理虛功原理 bababafvdxvdxqudxdupdxdLu

28、vdxbaxfqudxdupdxdLubav)()11. 2(),(,)(,)11. 2(積積分分，得得兩兩端端，沿沿區(qū)區(qū)間間乘乘方方程程以以0)( dxfvquvdxdvdxdupfvdxquvdxdxdxdvdxdupfvdxquvdxdxdxdvdxdupvdxdupfvdxvdxqudxdupdxdbabababababababababa2021/8/1436 的的變變分分形形式式。這這是是邊邊值值問問題題則則上上式式可可寫寫成成，的的表表達達式式注注意意到到雙雙線線性性形形式式)12. 2(),11. 2()26. 2(0),(),()13. 2(),( vfvuavua。反反之之亦

29、亦然然。滿滿足足的的解解，則則對對任任意意是是邊邊值值問問題題假假若若左左端端，方方程程根根據(jù)據(jù)，對對)26. 2(,)12. 2(),11. 2().()()(),(),()26. 2()23. 2(1112uHvubvbubpvdxfuLvfvuaHvHCuEbaEE 2021/8/1437定理定理2.2112, 0),().()27. 2()12. 2(),11. 2(,EEHvvfvuaHuuCu 對對任任意意且且滿滿足足變變分分方方程程充充要要條條件件是是：的的解解的的是是邊邊值值問問題題則則設設問問題題的的廣廣義義解解。稱稱這這樣樣的的解解為為邊邊值值還還允允許許非非古古典典解解，

30、我我們們變變分分方方程程的的解解像像位位能能原原理理一一樣樣，是是變變分分方方程程，它它也也是是邊邊值值問問題題的的古古典典解解時時為為虛虛功功原原理理。當當稱稱定定理理左左端端表表示示虛虛功功，所所以以也也在在力力學學里里，)27. 2()27. 2(2 . 2)27. 2(u2021/8/1438定理定理2.3 0)(,0)()(,2buaufqudxdurdxdupdxdLuuCu滿滿足足則則設設., 0,),(, 0),(),(2min1112LfCqpCpdxquvvdvdurdvdvdvdupvuaHvvfvuaHCuEE 其其中中對對任任意意且且滿滿足足變變分分方方程程：的的充充

31、要要條條件件是是：2021/8/1439 3 3 二階橢圓型邊值問題二階橢圓型邊值問題.,.),( , 0),(),(),()(1 . 3的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)恒恒等等于于零零數(shù)數(shù)必必在在具具有有緊緊致致支支集集的的函函顯顯然然具具有有緊緊致致支支集集于于，則則說說的的支支集集如如果果支支集集包包的的閉閉稱稱集集合合，上上的的任任一一函函數(shù)數(shù)閉閉包包，對對于于是是線線，是是按按段段光光滑滑的的簡簡單單閉閉曲曲界界是是有有界界平平面面區(qū)區(qū)域域，其其邊邊本本節(jié)節(jié)總總假假定定空空間間 GuGuuGyxyxuyxyxuGGGGGGHSobolevm2021/8/144021220),(),(dxdy

32、ffffdxdygfgfGGLGGCGG 和和范范數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)積積函函數(shù)數(shù)空空間間，上上的的平平方方可可積積的的可可測測）是是定定義義在在（函函數(shù)數(shù)類類，支支集集的的無無窮窮次次可可微微并并具具有有緊緊致致）表表示示于于（用用dxdyyfdxdyhdxdyxfdxdygGLhgGLfGGGG ）使使等等式式（如如果果存存在在）（對對22,2021/8/1441導導數(shù)數(shù)。類類似似地地可可定定義義高高階階廣廣義義，記記成成的的一一階階廣廣義義導導數(shù)數(shù)和和對對的的一一階階廣廣義義導導數(shù)數(shù)有有對對成成立立，則則說說對對任任意意hyffgxffhygxfGCyx )(0 2021/8/1442空空間間?？湛?/p>

33、間間，稱稱之之為為）是是（則則和和范范數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)積積）引引進進（的的廣廣義義導導數(shù)數(shù)。于于是是其其中中）（像像一一維維情情形形一一樣樣，定定義義SobolevHilbertGHffffffdxdygfgffggfGHfffGLfffyxfGHyxGyyGxxyxyx121222111121)2 . 3()(),()1 . 3(),(,)(,),( 是是非非負負整整數(shù)數(shù)。）（空空間間及及類類似似可可以以定定義義高高階階導導數(shù)數(shù)mGHSobolevm,2021/8/1443我們學習過我們學習過Green第一公式：第一公式：的的方方向向?qū)?shù)數(shù)。沿沿是是單單位位外外法法向向，的的取取正正向向的的邊邊界

34、界曲曲線線的的是是其其中中有有有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，則則在在上上及及函函數(shù)數(shù)圍圍成成，由由分分段段光光滑滑的的曲曲線線閉閉區(qū)區(qū)域域設設nunuDnvdsnudxdyyvyuxvxudxdyvuyxvyxuLDLDD )()(),(),( 3.2 3.2 極小位能原理極小位能原理2021/8/1444dsnuvdxdyyvyuxvxudsynyuvxnxuvdxdyyvyuxvxudxdyyuvyxuvxdxdyyvyuxvxuvdxdyuyvyuyuvyvyuxvxuxuvxvxuvdxdyyuxuvdxdyuGGGGGGG )(),cos(),cos()()()()()()(,)

35、()(22222222注注意意證證明明：2021/8/1445。算算子子是是其其中中題題考考慮慮方方程程的的第第一一邊邊值值問問2222)4 . 3(, 0)3 . 3(),(),(yxLaplaceuGyxyxfu GGGGGGudxdyfdxdyyuyuxuxuudxdyfudSnudxdyyuyuxuxuudxdyfudxdyuufuuuJ)(21)(21)(21),(),(21)(作作泛泛函函2021/8/1446)9 . 3),(),(21)()8 . 3()(),(（可可將將泛泛函函寫寫成成定定義義雙雙線線性性形形式式ufuuauJdxdyyvyuxvxuvuaG .)4 . 3(

36、)()()4 . 3(.)()(),()(11021的的函函數(shù)數(shù)組組成成的的子子空空間間滿滿足足中中一一切切表表示示。以以下下用用邊邊值值條條件件滿滿足足第第一一此此外外要要求求有有意意義義，則則表表示示位位能能。只只要要在在力力學學上上，GHGHuuJGLfGHuuJ 2021/8/1447).(,),(),(.)1(1GHvuuvavua ，對對任任意意即即對對稱稱性性兩個基本性質(zhì)兩個基本性質(zhì)正正定定。這這說說明明無無關關的的常常數(shù)數(shù)。于于是是是是和和其其中中類類似似，可可建建立立不不等等式式與與對對于于正正定定性性),()12. 3()(,),(0)11. 3()(,)19. 2()()

37、(),().(.)2(1021102122222210uuaGHuuuuauGHuuuuuudxdyyuxuuuaGHuyxyxG 2021/8/1448 為為對對稱稱正正定定算算子子。對對稱稱正正定定，也也稱稱由由于于，件件）滿滿足足不不等等式式（連連續(xù)續(xù)性性條條其其次次，對對于于 ),()13. 3(),(),().(,211vuavuvuavuaGHvu)15. 3(. 0),(),(),()8 . 3(),7 . 3()()()22. 2()14. 3(),(2),(),()(),(),(21)()().(,*12*2*1* ufuufuuaGHGCuuuaufuuauJuufuuuu

38、uuJGHvu得得出出，則則由由進進一一步步假假設設有有完完全全相相同同的的形形式式。它它和和的的函函數(shù)數(shù)考考慮慮實實參參數(shù)數(shù)對對于于 2021/8/1449 的的解解。時時，必必為為當當其其屬屬于于，達達到到極極小小值值的的類類似似，可可證證明明使使與與定定理理達達到到極極小小值值。使使這這說說明明對對任任意意從從而而對對任任意意則則的的解解是是邊邊值值問問題題設設)4 . 3(),3 . 3()()()(1 . 2)(0),(, 0)14. 3()(),(2)()()(0),(),(),()0(,)4 . 3(),3 . 3(12*10*2*10*GHGCuuJuJuGHuuuJuuauJ

39、uuJGHuufuufuuau 2021/8/1450定理定理3.1.()4 . 3(),3 . 3(,)()()()()4 . 3(),3 . 3()(*12*2*古古典典解解）的的解解是是邊邊值值問問題題則則達達到到極極小小值值使使達達到到極極小小值值；反反之之，若若使使則則的的解解，是是邊邊值值問問題題設設uuJGHGCuuJuGCuE 為為極極小小位位能能原原理理。所所以以也也稱稱定定理理恒恒表表示示能能量量，二二次次泛泛函函因因為為在在力力學學、物物理理學學中中1 . 3)(uJ廣廣義義解解。問問題題的的的的解解，我我們們稱稱之之為為邊邊值值還還允允許許不不屬屬于于），而而變變分分問

40、問題題（要要求求注注意意定定理理)(10. 3)(1 . 322*GCGCu 2021/8/1451導導出出等等價價的的變變分分問問題題。方方程程的的非非齊齊次次邊邊值值條條件件考考慮慮例例 )16. 3()(),()3 . 3(),(),(11CyxuGyxyxfuPoisson 000200),(),(21)(0),(),(),(),(),(ufFvFvvvJvufvyxuGCuyxuyxuyxv 其其中中構構造造的的二二次次泛泛函函則則滿滿足足方方程程：其其中中令令。非非齊齊次次邊邊界界條條件件齊齊次次化化解解 2021/8/1452.2)()(21)()()(21)()()(21)()

41、(21)(000220020200220常常數(shù)數(shù) GGGGGGGGGGudxdyudxdyyuyuxuxuudxdyfdxdyfuyuxudxdyuuufdxdyyuyuxuxuvdxdyufdxdyyvxvvdxdyufvdxdyvvJ2021/8/1453.)17. 3()(min)()(min)()()(.0*)(*00000110uuvuJuJvJvJuJvJdsnudsnuudxdyyuyuxuxuudxdyuGreenuGHuHvGG 等等價價，且且和和由由此此可可見見，變變分分問問題題常常數(shù)數(shù)足足見見常常數(shù)數(shù)第第一一公公式式由由 2021/8/14543.33.3自然邊界條件自然

42、邊界條件導導出出等等價價的的變變分分問問題題。方方程程的的第第三三邊邊值值條條件件考考慮慮例例 )18. 3(0, 0)3 . 3(),(),(2aaunuGyxyxfuPoisson GGGGfudxdydsaudxdyyuxufudxdydsnuudxdyyuxuufuuuJGreen2222221)()(2121)()(21),(),(21)(第第一一公公式式由由解解2021/8/1455 )21. 3()(),(),(),()6 . 3()()()20. 3(),(),(21)()19. 3(,),(*12 udsnuauufuaufuuaGHuGCuufuuauJauvdsdxdyy

43、vyuxvxuvuaG，我我們們有有由由公公式式，設設定定義義。由由其其中中的的函函數(shù)數(shù)考考慮慮實實參參數(shù)數(shù))19. 3(),()22. 3(),(2),(),()(),(),(21)(,),()(*2*1*uuauuaufuuauJuufuuuuGHvuuuJ 2021/8/1456定理定理3.2的的解解。題題，則則也也是是邊邊值值問問反反之之，變變分分問問題題的的解解使使問問題題的的解解：求求是是下下列列變變分分的的解解邊邊值值問問題題)184. 3(),3 . 3()()23. 2()(min)()()18. 3(),3 . 3(2*1*2*1GCuuJuJHuGCuHu 題題的的廣廣義

44、義解解。變變分分問問題題則則稱稱為為邊邊值值問問是是若若)23. 3()(2*GCu 件件。邊邊值值條條件件為為自自然然邊邊值值條條值值條條件件。而而第第二二、第第三三件件為為本本質(zhì)質(zhì)邊邊。我我們們稱稱第第一一類類邊邊值值條條類類邊邊值值條條件件的的重重大大區(qū)區(qū)別別條條件件與與第第一一，這這是是第第二二、第第三三邊邊值值卻卻自自動動滿滿足足的的解解它它滿滿足足任任何何邊邊值值條條件件，而而并并不不要要求求注注意意：變變分分問問題題)18. 3()23. 3(*uu2021/8/14573.4 3.4 虛功原理虛功原理導導出出等等價價的的變變分分問問題題。條條件件：上上滿滿足足第第二二或或第第三三邊邊值值在在上上滿滿足足第第一一邊邊值值條條件件：