1、 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則1復合函數的求導法則復合函數的求導法則一階全微分形式不變性一階全微分形式不變性小結小結 思考題思考題 作業作業8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則2一、復合函數求導法一、復合函數求導法(鏈導法鏈導法)一元復合函數求導法一元復合函數求導法)(),(xuufy 由由其導數公式是其導數公式是 xydd.ddddxuuy 構成的一元復合構成的一元復合),(xfy 函數函數 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則3構成構成x, y的復合函數的復合函數z = f u(x

2、, y), v(x, y).,xvvfxuufxz 兩個中間變量 兩個自變量且且u(x, y), v(x, y)對對x及對及對y的偏導數存在的偏導數存在,可微可微, ,.yvvfyuufyz 定理定理8.5鏈導法則鏈導法則證證),(),(yxuyxxuu 將將y固定固定, 若若z = f (u, v)合函數合函數z = f u(x, y), v(x, y)對對x及對及對y的偏導數存在的偏導數存在,且有公式且有公式設設z = f (u,v)與與u = u(x, y), v = v(x, y)則復則復給給x增量增量x, 相應地相應地, u和和v有增量有增量),(),(yxvyxxvv 8.4 多元

3、復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則4 z xz 由于函數由于函數 z = f (u, v)在在(u, v)可微可微,),0()( ovvfuuf.)()(22vu 其其中中,)(xoxvvfxuuf 從而函數從而函數 z = f (u, v)也有相應的增量也有相應的增量).,(),(vufvvuufz 知知上式兩邊同除以上式兩邊同除以x, 得得可微定義可微定義 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則5),()(xuxxuu )()(xvxxvv xzx0lim,limlim00 xvvfxuufxx .xvvfxuufxz .yvvfyuufyz 那么那么同理可證同理可證由

4、于已知由于已知u(x, y), v(x, y)對對x, y的偏導數存在的偏導數存在, 0, 0,0 vux有有時時當當且且從而從而, 0 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則6uvxzy xz ufxu vfxv yz ufyu vfyv 變量樹圖變量樹圖),(),(yxvyxufz 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則7解解 xz uzxu vzxv 1cosesine vyvuu),cos()sin(eyxyxyxy yz uzyu vzyv 1cosesine vxvuu).cos()sin(eyxyxxxy 例例 ,sineyxvxyuvzu 設設.yz

5、xz 和和求求 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則定理如果函數定理如果函數)(tu 及及)(tv 都在點都在點t可可導，函數導，函數),(vufz 在對應點在對應點),(vu具有連續偏具有連續偏導數，則復合函數導數，則復合函數)(),(ttfz 在對應點在對應點t可可導，且其導數可用下列公式計算：導，且其導數可用下列公式計算： dtdvvzdtduuzdtdz 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 圖圖uvtzuz tuddvz tvdd 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則.,sin,2,222

6、xdwdxvxuvuvuw求求設設 解解)cos2()2(2)2(2xxvuvu )cos2()sin22(2)sin22(222xxxxxx 22222sin2cos4sin28xxxxxx 例例 uxvxdwwuwvdxwuvx 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導數以上公式中的導數 稱為全導數稱為全導數.dtdz 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則12中間變量多于兩個的情形中間變量多于兩個的情形

7、xz yz類似地再推廣類似地再推廣,則復合則復合兩個偏導數存在兩個偏導數存在, 且可用下列公式計算且可用下列公式計算:三個中間變量兩個自變量三個中間變量兩個自變量zwvuyx xuuz xvvzxwwz yuuz yvvzywwz 當當z = f (u, v, w)可微可微,且且u = u(x, y), v = v(x, y), w = w(x, y)在點在點(x, y)具有對具有對x, y的偏導數的偏導數,函數函數z = f u(x, y), v(x, y), w (x, y)在對應點在對應點(x, y)的的 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則例例 設設,1222wvuz

8、xz 解解uwvu2)(2123222 求,2222yxvyxu .2xyw zwvuyxx2 vwvu2)(2123222 x2 wwvu2)(2123222 y2 xwxvxuxwzvzuzzxz 22232()()uxvxwyuvw 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則,xfxuufxz .yfyuufyz 把把復復合合函函數數,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數數把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導導數數兩者的區別兩者的區別區別類似區別類似xfuxyy),(),(yxuyxufz 其其中中3.3.

9、那那么么,),(yxyxfz 的兩個偏導數可用下列公式計算的兩個偏導數可用下列公式計算: : 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則例例 2 2 設設tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全導導數數dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則,xz yz 解解xxuxzuzzxz )(lnyxeu Exxy2 2x yxeu 1yyuyzuzz 求求而而,),(ln2yxuyxezu )(ln22yxxyeyx

10、 yxeyx 12)(ln22yxexyx yxeyx 12)(lnyxeu yxeu 1 zuxyx y 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則 已知已知f(t)可微可微,證明證明 滿足方程滿足方程)(22yxfyz .112yzyzyxzx 提示提示)(tfyz t, y 為中間變量為中間變量, x, y 為自變量為自變量.,)()(22tftfxyxz .)()(2)(122tftfytfyz 引入中間變量引入中間變量,那么那么,22yxt 令令 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則 例例 3 3 設設),(xyzzyxfw ，f具具有有二二階階 連連續續偏

11、偏導導數數，求求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf , zyxu ;xyzv 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合

12、函數的求導法則yxz 2求求 解解 xz yxz2xyfvcos xyvsin xycos vfx cossin xfvv sinxfuv uvuufxyxf )cossin2(2vvvfxfxxy coscossin,2yxu 設設2 uf)1( 2 uuf)1( vuf有連續的二階導數有連續的二階導數,),(),sin,2(vufxyyxfz其其中中設設 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則duufdy)( 這稱為一階微分的形式不變性這稱為一階微分的形式不變性一元函數一元函數)(ufy 無論無論u是自變量，是自變量，還是中間變量，都有還是中間變量，都有二、全微分形式不變性二

13、、全微分形式不變性 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則yyzxxzzddd dxxvvzxuuz）（ dyyvvzyuuz)( yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz ),(1vufz ）設設（;dddvvzuuzz ，為為自自變變量量時時 ),(vu),(2vufz ）設設（),(),(yxvyxu 而而，為為中中間間變變量量時時 ),(vu稱為一階全微分形式不變性稱為一階全微分形式不變性 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則解解)sin(ddtuvz tdttdetdettcoscoscos tdtdttedtetttcos)sin

14、(cos dtttetett)cossincos( .cos)sin(costttedtdzt tdudvvdusin 例例 利用一階全微分的形式不變性求利用一階全微分的形式不變性求 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則例例 4 4 已已知知02 zxyeze，求求xz 和和yz .解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe2(),zxydze dzed xy 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則1、

15、鏈式法則分三種情況）、鏈式法則分三種情況）2、全微分形式不變性、全微分形式不變性（特別要注意課中所講的特殊情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）三、小結三、小結 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則1992年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分yxz 2求求 解解,sin yeux 22yxv xzxfv2 yxz2yefxucos )2yfuv x2yyef yyexuuxsin(2cossin2 uxvvuvf yefxyfyx cos4)cosyexsin )2yfvv 設設yefxusin yefxuucos( 連續的二階導數連續的二階導數,有有其其中中設設),()

16、,sin(22vufyxyefzx yefxvucos( 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則由由例例,)1(22 yuxu sin,cosryrx 解解 ),(yxfu現將現將22 yuxu , r用用),( rF 把下列表達式轉換為極坐標系中的形式把下列表達式轉換為極坐標系中的形式:),(yxfu 設設 的所有二階偏導數連續的所有二階偏導數連續,)sin,cos( rrf函數函數),(yxfu 換成極坐標換成極坐標 及及r的函數的函數: 以及函數以及函數),( rFu , r對對 的偏導數來表達的偏導數來表達.2222)2(yuxu 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函

17、數的求導法則復合而成復合而成. xu2ryurxru ruxyruru sincos cos xrrx sin (1)看成由看成由),(yxfu xyarctan ,22yxr ),( rFu 及及 xrruxu 22)1( yuxu sin,cosryrx 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則 yu2rxuryru ruru cossin sin yrry cos 2221 urru得得22 yuxu yrruyu xyarctan ,22yxr ),( rFu ruxy xururu sincos 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則ruruxu sinco

18、s (2) 22xur sin ruxyru u)sincos(rurux ru2ru 2),(yxfu 設設 的所有二階偏導數連續的所有二階偏導數連續x 2222)2(yuxu cos22ru xr x )sin( 22 u x xr sin)1(2r x xr r1 cos cos xrrx sin 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則 ururrurrurru222222222cossin2sinsincossin2cos同理可得同理可得(自己練自己練) ururrurrurruyu222222222222cossin2coscoscossin2sin sin yrry

19、cos 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則兩式相加兩式相加,得得:22222222211 urrurruyuxu)(1222 ururrrr 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則33 xz則則211ln f yyfyxxy ),(,),(xyyxfzvuf 為二元可微函數為二元可微函數設設考研數學一考研數學一,填空填空, 4分分),(,),(yxxyfzvuf 為為二二元元可可微微函函數數設設 yzyxzx則則考研數學二考研數學二,三三,四四,填空填空, 4分分)(221fyxfxy 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則34),(xyxfz y

20、xz2則則考研數學一考研數學一, 填空填空4分分設函數設函數 f (u,v)具有二階連續偏導數具有二階連續偏導數, 1f 解 xz2f y yxz2011 fxf 1221 f y 021 fxf 2212fx .22fxy 2f 22212fxyffx 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則1994年研究生考題年研究生考題,計算計算,3分分,),(),(均連續可微均連續可微設設gfxyxgvxyxfu xvxu 求求)1()(ygfyfxvxuxyx 答案：答案： 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則1989年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分,)(),(

21、)2(二二階階可可導導其其中中設設tfxyxgyxfz .,),(2yxzvug 求求有連續二階導數有連續二階導數 解解 xz yxz20( vugyvvvuvyxggxygxf )2(21 vg 0 uugxguv vg )xgvv ,xu xyv )2(yxf 2 ug y )1(2)2( yxf 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則解解具有二階連續偏導數具有二階連續偏導數, 且滿足且滿足, 12222 vfuf),(21,),(22yxxyfyxg 又又.2222ygxg 求求vu,xvfyufxg 2019年考研數學三年考研數學三, 8分分).( yvfxufyg 故故

22、 22xg.2222222222vfvfyvufxyufxyg ,22222222vfvfxvufxyufy yufy22( )2xvuf vf ),2yuvf xvfx22( 22yx ),(vuf 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則38 對抽象函數在求偏導數時對抽象函數在求偏導數時, 一般要設中間變量一般要設中間變量. 例 設 f具有二階連續偏導數, ,22xu 求求.2txu 變量樹圖變量樹圖ursxtxssfxrrf 或記或記 sfxtrfx 22 u對中間變量對中間變量 r, s 的偏導數的偏導數 ),(22xttxfu 注注從而也是自變量從而也是自變量x, t 的

23、多元復合函數的多元復合函數, 解),(srf都是都是sr xu其復合結構與其復合結構與f 的復合結構相同的復合結構相同.r, s 的函數的函數,1frf 2fsf ,rf sf 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則39sfxtrfx 22xu .2442322422222sfxtsfxtsrfxtrfxrf rfxu 222ursxt變量樹圖變量樹圖,22xu 求求.2txu rs 設設 f具有二階連續偏導數具有二階連續偏導數, ),(22xttxfu x2 )2xt sfxt 322xt srf 2)2x rsf 2(22rf x2 (22sf 2xt 8.4 多元復合函數的

24、求導法則多元復合函數的求導法則40rs.21242232222222sfxtrsfxtsfxsrfrfxt ursxt變量樹圖變量樹圖 txu2,22xu 求求.2txu 設設 f具有二階連續偏導數具有二階連續偏導數, ),(22xttxfu sfxtrfx 22xu sfx 212xt xsf122 trfx2(222 )1x (rsf 2)2t srf 2 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則2019年研究生考題年研究生考題, 填空填空,3分分有有連連續續的的二二階階且且設設 ,)()(1fyxyxyfxz ).(,2 yxz則則導導數數)()()(yxyyxxyf y 211()()()xzf xyfxy yyxyxx 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則42作業作業習題習題8.48.4(332(332頁頁) ) 8.4 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則) )1 ,1(,1()1(ff )(dd3xx 1)1 ,1( fxxdd)(32 3 ),(,(1xxfxf )(,(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 351 ,1)1 ,1( f,),(,()(xxfxfx ,