1、教育資源分享店鋪 網址： 微信號：kingcsa3332018年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1（5分）設z=+2i，則|z|=（）A0BC1D2（5分）已知集合A=x|x2x20，則RA=（）Ax|1x2Bx|1x2Cx|x1x|x2Dx|x1x|x23（5分）某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：則下面結論中不正確的是（）A新農村建設后，種植收入減少B新

2、農村建設后，其他收入增加了一倍以上C新農村建設后，養殖收入增加了一倍D新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半4（5分）記Sn為等差數列an的前n項和若3S3=S2+S4，a1=2，則a5=（）A12B10C10D125（5分）設函數f（x）=x3+（a1）x2+ax若f（x）為奇函數，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為（）Ay=2xBy=xCy=2xDy=x6（5分）在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則=（）ABC+D+7（5分）某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對

3、應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）A2B2C3D28（5分）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=（）A5B6C7D89（5分）已知函數f（x）=，g（x）=f（x）+x+a若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（）A1，0）B0，+）C1，+）D1，+）10（5分）如圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，ACABC的三邊所圍成的區域記為I，黑色部分記為，其余部分記為在整個圖形中隨機取一點，此點取自，的概率分別記為p1，p2，p

4、3，則（）Ap1=p2Bp1=p3Cp2=p3Dp1=p2+p311（5分）已知雙曲線C：y2=1，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N若OMN為直角三角形，則|MN|=（）AB3C2D412（5分）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為 14（5分）記Sn為數列an的前n項和若Sn=2an+1，則S6= 15（5分）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不

5、同的選法共有 種（用數字填寫答案）16（5分）已知函數f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）在平面四邊形ABCD中，ADC=90°，A=45°，AB=2，BD=5（1）求cosADB；（2）若DC=2，求BC18（12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把DFC折起，使點C到達點P的位置，且PFBF（1）證明：平面PEF平面ABFD

6、；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值19（12分）設橢圓C：+y2=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；（2）設O為坐標原點，證明：OMA=OMB20（12分）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗設每件產品為不合格品的概率都為p（0p1），且各件產品是否為不合格品相互獨立（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f （p）的最大值點p0（2）

7、現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；（）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？21（12分）已知函數f（x）=x+alnx（1）討論f（x）的單調性；（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明：a2（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。選修4-4：坐標系與參數方程（10分）22

8、（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y=k|x|+2以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2+2cos3=0（1）求C2的直角坐標方程；（2）若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程選修4-5：不等式選講（10分）23已知f（x）=|x+1|ax1|（1）當a=1時，求不等式f（x）1的解集；（2）若x（0，1）時不等式f（x）x成立，求a的取值范圍2018年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1（5分）設z=+2i，則|z|

9、=（）A0BC1D【考點】A8：復數的模菁優網版權所有【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5N：數系的擴充和復數【分析】利用復數的代數形式的混合運算化簡后，然后求解復數的?！窘獯稹拷猓簔=+2i=+2i=i+2i=i，則|z|=1故選：C【點評】本題考查復數的代數形式的混合運算，復數的模的求法，考查計算能力2（5分）已知集合A=x|x2x20，則RA=（）Ax|1x2Bx|1x2Cx|x1x|x2Dx|x1x|x2【考點】1F：補集及其運算菁優網版權所有【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5J：集合；5T：不等式【分析】通過求解不等式，得到集合A，然后求解補集即

10、可【解答】解：集合A=x|x2x20，可得A=x|x1或x2，則：RA=x|1x2故選：B【點評】本題考查不等式的解法，補集的運算，是基本知識的考查3（5分）某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：則下面結論中不正確的是（）A新農村建設后，種植收入減少B新農村建設后，其他收入增加了一倍以上C新農村建設后，養殖收入增加了一倍D新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半【考點】2K：命題的真假判斷與應用；CS：概率的應用菁優網版權所有【專題】11：計算

11、題；35：轉化思想；49：綜合法；5I：概率與統計；5L：簡易邏輯【分析】設建設前經濟收入為a，建設后經濟收入為2a通過選項逐一分析新農村建設前后，經濟收入情況，利用數據推出結果【解答】解：設建設前經濟收入為a，建設后經濟收入為2aA項，種植收入37%×2a60%a=14%a0，故建設后，種植收入增加，故A項錯誤B項，建設后，其他收入為5%×2a=10%a，建設前，其他收入為4%a，故10%a÷4%a=2.52，故B項正確C項，建設后，養殖收入為30%×2a=60%a，建設前，養殖收入為30%a，故60%a÷30%a=2，故C項正確D項，建設后

12、，養殖收入與第三產業收入總和為（30%+28%）×2a=58%×2a，經濟收入為2a，故（58%×2a）÷2a=58%50%，故D項正確因為是選擇不正確的一項，故選：A【點評】本題主要考查事件與概率，概率的應用，命題的真假的判斷，考查發現問題解決問題的能力4（5分）記Sn為等差數列an的前n項和若3S3=S2+S4，a1=2，則a5=（）A12B10C10D12【考點】83：等差數列的性質菁優網版權所有【專題】11：計算題；34：方程思想；4O：定義法；54：等差數列與等比數列【分析】利用等差數列的通項公式和前n項和公式列出方程，能求出a5的值【解答】解

13、：Sn為等差數列an的前n項和，3S3=S2+S4，a1=2，=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=3a5=2+4×（3）=10故選：B【點評】本題考查等差數列的第五項的求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題5（5分）設函數f（x）=x3+（a1）x2+ax若f（x）為奇函數，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為（）Ay=2xBy=xCy=2xDy=x【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程菁優網版權所有【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；53：導數的綜合應用【分析】利用函數的奇偶性求出a，求出函

14、數的導數，求出切線的向量然后求解切線方程【解答】解：函數f（x）=x3+（a1）x2+ax，若f（x）為奇函數，可得a=1，所以函數f（x）=x3+x，可得f（x）=3x2+1，曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線的斜率為：1，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為：y=x故選：D【點評】本題考查函數的奇偶性以及函數的切線方程的求法，考查計算能力6（5分）在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則=（）ABC+D+【考點】9H：平面向量的基本定理菁優網版權所有【專題】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及應用【分析】運用向量的加減運算和向量中點的表示，計算可得所求向

15、量【解答】解：在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，=×（+）=，故選：A【點評】本題考查向量的加減運算和向量中點表示，考查運算能力，屬于基礎題7（5分）某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）A2B2C3D2【考點】L!：由三視圖求面積、體積菁優網版權所有【專題】11：計算題；31：數形結合；49：綜合法；5F：空間位置關系與距離【分析】判斷三視圖對應的幾何體的形狀，利用側面展開圖，轉化求解即可【解答】解：由題意可知幾何體是圓柱，底

16、面周長16，高為：2，直觀圖以及側面展開圖如圖：圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度：=2故選：B【點評】本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關系，側面展開圖的應用，考查計算能力8（5分）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=（）A5B6C7D8【考點】K8：拋物線的性質菁優網版權所有【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5A：平面向量及應用；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】求出拋物線的焦點坐標，直線方程，求出M、N的坐標，然后求解向量的數量積即可【解答】解：拋物線C：y2=

17、4x的焦點為F（1，0），過點（2，0）且斜率為的直線為：3y=2x+4，聯立直線與拋物線C：y2=4x，消去x可得：y26y+8=0，解得y1=2，y2=4，不妨M（1，2），N（4，4），則=（0，2）（3，4）=8故選：D【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，向量的數量積的應用，考查計算能力9（5分）已知函數f（x）=，g（x）=f（x）+x+a若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（）A1，0）B0，+）C1，+）D1，+）【考點】5B：分段函數的應用菁優網版權所有【專題】31：數形結合；4R：轉化法；51：函數的性質及應用【分析】由g（x）=0得f（x）=xa，分別作出兩個函數的

18、圖象，根據圖象交點個數與函數零點之間的關系進行轉化求解即可【解答】解：由g（x）=0得f（x）=xa，作出函數f（x）和y=xa的圖象如圖：當直線y=xa的截距a1，即a1時，兩個函數的圖象都有2個交點，即函數g（x）存在2個零點，故實數a的取值范圍是1，+），故選：C【點評】本題主要考查分段函數的應用，利用函數與零點之間的關系轉化為兩個函數的圖象的交點問題是解決本題的關鍵10（5分）如圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，ACABC的三邊所圍成的區域記為I，黑色部分記為，其余部分記為在整個圖形中隨機取一點，

19、此點取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則（）Ap1=p2Bp1=p3Cp2=p3Dp1=p2+p3【考點】CF：幾何概型菁優網版權所有【專題】11：計算題；38：對應思想；4O：定義法；5I：概率與統計【分析】如圖：設BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3，分別求出，所對應的面積，即可得到答案【解答】解：如圖：設BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3，r12=r22+r32，S=×4r2r3=2r2r3，S=×r122r2r3，S=×r32+×r22S=×r32+×r22×r12+2r2r3=2r2r3，S=S，P1

20、=P2，故選：A【點評】本題考查了幾何概型的概率問題，關鍵是求出對應的面積，屬于基礎題11（5分）已知雙曲線C：y2=1，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N若OMN為直角三角形，則|MN|=（）AB3C2D4【考點】KC：雙曲線的性質菁優網版權所有【專題】11：計算題；34：方程思想；4：解題方法；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】求出雙曲線的漸近線方程，求出直線方程，求出MN的坐標，然后求解|MN|【解答】解：雙曲線C：y2=1的漸近線方程為：y=，漸近線的夾角為：60°，不妨設過F（2，0）的直線為：y=，則：解得M（，），解得：N（

21、），則|MN|=3故選：B【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力12（5分）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）ABCD【考點】MI：直線與平面所成的角菁優網版權所有【專題】11：計算題；31：數形結合；49：綜合法；5F：空間位置關系與距離；5G：空間角【分析】利用正方體棱的關系，判斷平面所成的角都相等的位置，然后求解截此正方體所得截面面積的最大值【解答】解：正方體的所有棱中，實際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時，截此正方體所得截面面積的最大，此時正六

22、邊形的邊長，截此正方體所得截面最大值為：6×=故選：A【點評】本題考查直線與平面所成角的大小關系，考查空間想象能力以及計算能力，有一定的難度二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為6【考點】7C：簡單線性規劃菁優網版權所有【專題】31：數形結合；4R：轉化法；59：不等式的解法及應用【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義進行求解即可【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：由z=3x+2y得y=x+z，平移直線y=x+z，由圖象知當直線y=x+z經過點A（2，0）時，直線的截距最大，此時z最大，

23、最大值為z=3×2=6，故答案為：6【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義以及數形結合是解決本題的關鍵14（5分）記Sn為數列an的前n項和若Sn=2an+1，則S6=63【考點】8E：數列的求和；8H：數列遞推式菁優網版權所有【專題】11：計算題；38：對應思想；4R：轉化法；54：等差數列與等比數列【分析】先根據數列的遞推公式可得an是以1為首項，以2為公比的等比數列，再根據求和公式計算即可【解答】解：Sn為數列an的前n項和，Sn=2an+1，當n=1時，a1=2a1+1，解得a1=1，當n2時，Sn1=2an1+1，由可得an=2an2an1，an=2an

24、1，an是以1為首項，以2為公比的等比數列，S6=63，故答案為：63【點評】本題考查了數列的遞推公式和等比數列的求和公式，屬于基礎題15（5分）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有16種（用數字填寫答案）【考點】D9：排列、組合及簡單計數問題菁優網版權所有【專題】11：計算題；38：對應思想；4O：定義法；5O：排列組合【分析】方法一：直接法，分類即可求出，方法二：間接法，先求出沒有限制的種數，再排除全是男生的種數【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4根據分類計數原理可得，共有12+4=16種，方法

25、二，間接法：C63C43=204=16種，故答案為：16【點評】本題考查了分類計數原理，屬于基礎題16（5分）已知函數f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是【考點】6E：利用導數研究函數的最值；HW：三角函數的最值菁優網版權所有【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；53：導數的綜合應用；56：三角函數的求值【分析】由題意可得T=2是f（x）的一個周期，問題轉化為f（x）在0，2）上的最小值，求導數計算極值和端點值，比較可得【解答】解：由題意可得T=2是f（x）=2sinx+sin2x的一個周期，故只需考慮f（x）=2sinx+sin2x在0，2）上的值域，先來求該

26、函數在0，2）上的極值點，求導數可得f（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x1）=2（2cosx1）（cosx+1），令f（x）=0可解得cosx=或cosx=1，可得此時x=，或 ；y=2sinx+sin2x的最小值只能在點x=，或 和邊界點x=0中取到，計算可得f（ ）=，f（）=0，f（ ）=，f（0）=0，函數的最小值為，故答案為：【點評】本題考查三角函數恒等變換，涉及導數法求函數區間的最值，屬中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：

27、共60分。17（12分）在平面四邊形ABCD中，ADC=90°，A=45°，AB=2，BD=5（1）求cosADB；（2）若DC=2，求BC【考點】HT：三角形中的幾何計算菁優網版權所有【專題】11：計算題；31：數形結合；49：綜合法；58：解三角形【分析】（1）由正弦定理得=，求出sinADB=，由此能求出cosADB；（2）由ADC=90°，得cosBDC=sinADB=，再由DC=2，利用余弦定理能求出BC【解答】解：（1）ADC=90°，A=45°，AB=2，BD=5由正弦定理得：=，即=，sinADB=，ABBD，ADBA，cosA

28、DB=（2）ADC=90°，cosBDC=sinADB=，DC=2，BC=5【點評】本題考查三角函數中角的余弦值、線段長的求法，考查正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題18（12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把DFC折起，使點C到達點P的位置，且PFBF（1）證明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值【考點】LY：平面與平面垂直；MI：直線與平面所成的角菁優網版權所有【專題】11：計算題；31：數形結合；35：轉化思想；49：綜合法；5F：空間位置關系與距離；5G：空間角

29、【分析】（1）利用正方形的性質可得BF垂直于面PEF，然后利用平面與平面垂直的判斷定理證明即可（2）利用等體積法可求出點P到面ABCD的距離，進而求出線面角【解答】（1）證明：由題意，點E、F分別是AD、BC的中點，則，由于四邊形ABCD為正方形，所以EFBC由于PFBF，EFPF=F，則BF平面PEF又因為BF平面ABFD，所以：平面PEF平面ABFD（2）在平面DEF中，過P作PHEF于點H，連接DH，由于EF為面ABCD和面PEF的交線，PHEF，則PH面ABFD，故PHDH在三棱錐PDEF中，可以利用等體積法求PH，因為DEBF且PFBF，所以PFDE，又因為PDFCDF，所以FPD=

30、FCD=90°，所以PFPD，由于DEPD=D，則PF平面PDE，故VFPDE=，因為BFDA且BF面PEF，所以DA面PEF，所以DEEP設正方形邊長為2a，則PD=2a，DE=a在PDE中，所以，故VFPDE=，又因為，所以PH=，所以在PHD中，sinPDH=，即PDH為DP與平面ABFD所成角的正弦值為：【點評】本題主要考查點、直線、平面的位置關系直線與平面所成角的求法幾何法的應用，考查轉化思想以及計算能力19（12分）設橢圓C：+y2=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；（2）設O為坐標原點，證明：

31、OMA=OMB【考點】KL：直線與橢圓的綜合菁優網版權所有【專題】15：綜合題；38：對應思想；4R：轉化法；5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題【分析】（1）先得到F的坐標，再求出點A的方程，根據兩點式可得直線方程，（2）分三種情況討論，根據直線斜率的問題，以及韋達定理，即可證明【解答】解：（1）c=1，F（1，0），l與x軸垂直，x=1，由，解得或，A（1.），或（1，），直線AM的方程為y=x+，y=x，證明：（2）當l與x軸重合時，OMA=OMB=0°，當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，OMA=OMB，當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為y=k（x1），k0，A（x1

32、，y1），B（x2，y2），則x1，x2，直線MA，MB的斜率之和為kMA，kMB之和為kMA+kMB=+，由y1=kx1k，y2=kx2k得kMA+kMB=，將y=k（x1）代入+y2=1可得（2k2+1）x24k2x+2k22=0，x1+x2=，x1x2=，2kx1x23k（x1+x2）+4k=（4k34k12k3+8k3+4k）=0從而kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角互補，OMA=OMB，綜上OMA=OMB【點評】本題考查了直線和橢圓的位置關系，以韋達定理，考查了運算能力和轉化能力，屬于中檔題20（12分）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作

33、檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗設每件產品為不合格品的概率都為p（0p1），且各件產品是否為不合格品相互獨立（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f （p）的最大值點p0（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；（）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這

34、箱余下的所有產品作檢驗？【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；CH：離散型隨機變量的期望與方差菁優網版權所有【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5I：概率與統計【分析】（1）求出f（p）=，則=，利用導數性質能求出f （p）的最大值點p0=0.1（2）（i）由p=0.1，令Y表示余下的180件產品中的不合格品數，依題意知YB（180，0.1），再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出E（X）（ii）如果對余下的產品作檢驗，由這一箱產品所需要的檢驗費為400元，E（X）=490400，從而應該對余下的產品進行檢驗【解答】解：（1）記20件產品中恰有2件不合

35、格品的概率為f（p），則f（p）=，=，令f（p）=0，得p=0.1，當p（0，0.1）時，f（p）0，當p（0.1，1）時，f（p）0，f （p）的最大值點p0=0.1（2）（i）由（1）知p=0.1，令Y表示余下的180件產品中的不合格品數，依題意知YB（180，0.1），X=20×2+25Y，即X=40+25Y，E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490（ii）如果對余下的產品作檢驗，由這一箱產品所需要的檢驗費為400元，E（X）=490400，應該對余下的產品進行檢驗【點評】本題考查概率的求法及應用，考查離散型隨機

36、變量的數學期望的求法，考查是否該對這箱余下的所有產品作檢驗的判斷與求法，考查二項分布等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題21（12分）已知函數f（x）=x+alnx（1）討論f（x）的單調性；（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明：a2【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；6D：利用導數研究函數的極值菁優網版權所有【專題】32：分類討論；4R：轉化法；53：導數的綜合應用【分析】（1）求出函數的定義域和導數，利用函數單調性和導數之間的關系進行求解即可（2）將不等式進行等價轉化，構造新函數，研究函數的單調性和最值即可得到結論【解答】解：（1）函數的定義域為（0，+

37、），函數的導數f（x）=1+=，設g（x）=x2ax+1，當a0時，g（x）0恒成立，即f（x）0恒成立，此時函數f（x）在（0，+）上是減函數，當a0時，判別式=a24，當0a2時，0，即g（x）0，即f（x）0恒成立，此時函數f（x）在（0，+）上是減函數，當a2時，x，f（x），f（x）的變化如下表： x （0，） （，） （，+） f（x） 0+ 0 f（x） 遞減 遞增遞減綜上當a2時，f（x）在（0，+）上是減函數，當a2時，在（0，），和（，+）上是減函數，則（，）上是增函數（2）由（1）知a2，0x11x2，x1x2=1，則f（x1）f（x2）=（x2x1）（1+）+a（lnx1lnx2）=2（x2x1）+a（lnx1lnx2），則=2+，則問題轉為證明1即可，即證明lnx1lnx2x1x2，則lnx1lnx1，即lnx1+lnx1x1，即證2lnx1x1在（0，1）上恒成立，設h（x）=2lnxx+，（0x1），其中h（1）=0，求導得h（x）=1=0，則h（x）在（0，1）上單調遞減，h（x）h（1），即2lnxx+0，故2lnxx，則a2成立（2）另解：注意到f（）=xalnx=f（x），即f（x）+f（）=0，由韋達定理得x