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文檔簡介
1、2020年山東省德州市高考數學二模試卷(理科)一、選擇題:本大題共 10小題,每小題5分,共50分.把正確答案涂在答題卡上.1. R表示實數集,集合 M=x|0 vxv2, N=x|x 2+x-6旬,則下列結論正確的是()A. MCNB. ?RM?NC. M C 不ND . ?RN? RM2 .已知復數z滿足z? (1-i) =2,則z5的虛部是()A. 4B. 4iC. - 4iD , - 43 .已知命題 p: ?xCR, x2+2x+3=0,則p是()A. ?x 田,x2+2x+3 4B. ?x 田,x2+2x+3=0C. ?xR, x2+2x+3 4D. ?xR, x2+2x+3=04
2、.兩個相關變量滿足如下關系:x23456y25505664根據表格已得回歸方程:;=9.4x+9.2,表中有一數據模糊不清,請推算該數據是(A. 37B. 38.5C. 39D. 40.5, 冗、15 .把函數7=31門(工+丁)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的大倍(縱坐標不變),再將圖象兀I向右平移個單位,那么所得圖象的一條對稱軸方程為(),L? 冗7U71JIA. kB. VC ,D干6 . 一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正(主)視圖和側(左)視圖是腰長為l的兩個全等的等腰直角三角形,則該多面體的各條棱中最長棱的長度為()正表)廢置我國第1頁(共 21頁)A.eB.仃C.遍D. W2 11
3、田 447 .已知雙曲線 C: -y-=1 (a>0, b>0)的焦距為 2/5,拋物線y=x2+與雙曲線C的漸近線相切,則雙曲線 C的方程為(A.2 y =1B.2=1C._ y2=18.在(1+亍)(1+TD (1 +)(nCN+, n或)的展開式中,x的系數為1516,則x2的系數為()A.加4蛋得9.設集合 M= (m, n) |0vmv2, 0vnv2, m, nCR,則任取(m, n) CM,關于 x 的 方程mx2+2x+n=0有實根的概率為()A.l+ln22B.10.已知函數f號_C .二|。.3-產lo§2(l i 的+L _ l<s<Ci
4、(x) = ,k 一的值域是0, 2,則實數a的取值范1-3升2,第#頁(共21頁)圍是()A. (0, 1B. 1 , V3C. 1, 2D. V3, 2二、填空題:本大題共 5小題,每小題5分,共25分.把答案填在答題卡的相應位置.11 .已知|匈=1,12 .若存在實數|b|=/2, |a+2b|=/5,則向量3,b的夾角為x使|x- a|+|x-1|W成立,則實數a的取值范圍是13 .已知變量xy滿足s - 2y+4)0工42s+y- 230肝Vk+2的最大值為14 .執行如圖所示的程序框圖,若輸入x=6,則輸出y的值為開始X曲八xZE牯束愉治v15 .已知函數(x)=兀X ,g (x
5、) =acos+5-2a (a>0),若對任意的x1C0是1,總存在x2C0, 1,使得f (xi) =g (x2)成立,則實數 a的取值范圍三、解答題:本大題共 6小題,共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.已知函數 f (x) =sin (2x+_j_) - cos2x.7T 2兀(1)求f (x)的最小正周期及 x、一時f (x)的值域;(2)在ABC中,角A、B、C所對的邊為a, b, c,且角C為銳角,SAabc=6 , c=2,f (C+.求a, b的值.17.在一次購物抽獎活動中,假設某l0張獎券中有一等獎券 1張,可獲得價值100元的獎品,有二等獎券3張
6、,每張可獲得價值 50元的獎品,其余6張沒有獎,某顧客從此10張獎券中任抽2張,求(I)該顧客中獎的概率;(n)該顧客獲得獎品總價值X的概率分布列和數學期望.18.已知數列an滿足ai=1a2a3+dan=an+i 1 (nCN),數列an的前n項和為Sn.(1)求數列an的通項公式;設bn=下一,Tn是數列bn的前n項和,求使得Tn<io對所有n CN ,都成立的最小正整數m.第7頁(共21頁)AD / BC , AD LCD ,且 AD=CD=2219.如圖,在四棱錐 P - ABCD中,PAL平面ABCDBC=4/2, PA=2,點 M 在線段 PD 上.(I)求證:AB
7、7;PC;(n )若二面角 M - AC - D的余弦值為,求BM與平面PAC所成角的正弦值.C20.已知函數f (x) =Tax2 - (a- 1) x - lnx (a CR 且 a 0).(I)求函數f (x)的單調遞增區間;(n )記函數y=F (x)的圖象為曲線 C.設點A (x1,y1),B (x2, v2是曲線C上的不同兩點.如果在曲線 C上存在點M (xo, yo),使得:x0= 12;曲線C在點M處的切線平行于直線 AB,則稱函數F (x)存在 存在 中值和諧切線”,請說明理由.中值和諧切線當a=2時,函數f (x)是否21.如圖,橢圓 E:彳+彳=1的右焦點F2與拋物線y2
8、=4x的焦點重合,過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點,與拋物線交于C、D兩點,且|CDj 0 rJ設P為橢圓E上一點,且滿(I)求橢圓E的方程;(n )若過點M (2, 0)的直線與橢圓 E相交于兩點 A, B,足(O為坐標原點),時,求實數t的取值范圍.2020年山東省德州市高考數學二模試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.把正確答案涂在答題卡上.1. R表示實數集,集合 M=x0 vx<2, N=x|x 2+x-6旬,則下列結論正確的是(A. MCNB. ?rM?NC. MC 不ND. ?rN? rM【考點】元素與集合關系的判斷
9、.【分析】 化簡N=x|x 2+x - 6<0=x| -3»磴,從而確定 M?N;從而求得.【解答】解:丁 N=x|x 2+x- 6<0=x| - 3a陽,而 M=x|0 <x<2,.M? N; ?rn? rM , 故選D.2 .已知復數z滿足z? (1-i) =2,則z5的虛部是()A. 4B. 4iC. - 4iD . - 4【考點】復數代數形式的乘除運算.【分析】利用復數的運算法則、虛部的定義即可得出.【解答】 解:復數 z滿足 z?(1 i) =2, .z? (1 i) (1+i) =2 (1+i),,z=1+i,.z2=2i ,則 z5= (2i)
10、2 (1+i) = 4 (1+i) =-4-4i 的虛部是4.故選:D.3 .已知命題 p: ?x R, x2+2x+3=0,則p是()A. ?x ,x2+2x+3 4B. ?x ,x2+2x+3=0C. ?xR, x2+2x+3 4D. ?xR, x2+2x+3=0【考點】命題的否定.【分析】 直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可.【解答】解:因為特稱命題的否定是全稱命題,所以命題p: ?x R, x2+2x+3=0 ,?xR, x2+2x+3 0.故選:A.4 .兩個相關變量滿足如下關系:x23456y25505664根據表格已得回歸方程:;=9.4x+9.2,表中有一數據模糊不清
11、,請推算該數據是(A. 37B. 38.5C. 39D. 40.5【考點】線性口歸方程._【分析】 求出二代入回歸方程解出 行,從而得出答案.2+3+4+5+6【解答】 解:工=二4, .-.y=9.4 >4+9.2=46.8.設看不清的數據為 a,則25+a+50+56+64=5y=234.解得a=39.故選C.了 冗、1向右平移個單位,那么所得圖象的一條對稱軸方程為(A.B.C.D.5 .把函數支sdnG+丁)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的 倍(縱坐標不變),再將圖象l的兩個全【考點】正弦函數的對稱性.【分析】先對函數廠si n(x+一)進行圖象變換,再根據正弦函數對稱軸的求法,即令
12、兀cox+ 4=三十k冗即可得到答案.JT1【解答】解:尸式n(4)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的去倍(縱坐標不變),得到62函數 v=3in(2x+-);TCJT JT文再將圖象向右平移 :-個單位,得函數y=sinE2(5t -)-r-r-=sin(2is _ -),根據對7U稱軸處一定取得最大值或最小值可知R二一是其圖象的一條對稱軸方程.6 . 一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正(主)視圖和側(左)視圖是腰長為 等的等腰直角三角形,則該多面體的各條棱中最長棱的長度為()a,遮 b.V5c. Vs d. Vr【考點】簡單空間圖形的三視圖.【分析】幾何體為四棱錐,底面是正方形,根據三視圖數據
13、計算出最長棱即可.【解答】解:由三視圖可知幾何體為四棱錐 P-ABCD,其中底面ABCD為正方形,PAL平面 ABCD ,且 PA=AB=1 ,幾何體的最長棱為 PC幼2+(泥)2=/3.故選B.7.已知雙曲線C:2 a2=1 (a>0, b>0)的焦距為赤,拋物線與雙曲線1yhC的漸近線相切,則雙曲線C的方程為(A.=1C.=1D . - y2=l雙曲線的簡單性質.【分析】由題意可得c的,即a2+b2=5,求出漸近線方程代入拋物線的方程,運用判別式 為0,解方程可得a=2, b=1 ,進而得到雙曲線的方程.【解答】 解:由題意可得c=Vl,即a2+b2=5,雙曲線的漸近線方程為將
14、漸近線方程和拋物線ay=*+春聯立,第9頁(共 21頁)可得""j"X2 Jx+ ;=04 a 4由直線和拋物線相切的條件,可得 =31 1一傳丁0,即有 a2=4b2,解得 a=2, b=1,可得雙曲線的方程為-y2=i.8.在(1+亍)(1+至)(1 +211)(nCN+, n或)的展開式中,x的系數為1516數為()A.1516B.35128D.3164【考點】二項式系數的性質.【分析】1x的系數三二22+ , +2卻數=-在(1 +15可得1 -16,解得 n=4.因此(1+二)(1 +22 231 、,即可得出.1 . 1廠:2一)(1+正)(n玳+ ,
15、 n冽的展開式中,)(1+)的展開式中X2的系【解答】解:在(1+二)(1+,222)(1+-2 口)(nCN + , n或)的展開式中,x的系數告+ 11 +2nC1- -l-i2n.15,岳(1+二-)(1+/ ZX:一一224一12g故選:C.n=4.)-+1出的展開式中x2的系數為:X122 23+ 323249.設集合 M= (m, n) |0<m<2, 0vnv2, m, nR,則任取(m, n) CM,關于方程mx2+2x+n=0有實根的概率為(A.141n2B.U21n2C.D.)3 2 21n2【考點】 【分析】 的面積;【解答】幾何概型.首先根據關于x的方程mx
16、2+2x+n=0有實根,推得acW ;然后作出圖象,求出相應最后根據幾何概型的概率的求法,關于x的方程mx2+2x+n=0有實根的概率即可.解:若關于x的方程mx2+2x+n=0有實根,則 A=22- 4mn,mn 4 ;M= (m,n) 10V m<2, 0<n<2, m, n CR,總事件表示的面積為2X2=4,方程有實根時,表示的面積為2+2XJ J_dm=1+lnm| 2 m1工=1+2ln2 , T關于x的方程mx2+2x+n=0有實根的概率為l+2Ln2故選:B.los2(l -的+L -10.已知函數f (x)=-的值域是0, 2,則實數a的取值范J 3H2,
17、0<x<a圍是()A. (0, 1B. 1 , V3C. 1, 2D. V3, 2【考點】分段函數的應用.【分析】畫出函數的圖象,令 y=2求出臨界值,結合圖象,即可得到a的取值范圍.log2(l -父)41, T4震<0【解答】 解:.函數f (x)=的圖象如下圖所示:X3- 3*2, 0<Xa函數f (x)的值域是0, 2,1 q。, a,即 am ,又由當 y=2 時,x3- 3x=0, x=/3 (0, - JI舍去),a4,a的取值范圍是1 , M商.故選:B.二、填空題:本大題共 5小題,每小題5分,共25分.把答案填在答題卡的相應位置.11.已知畝=1,而
18、=、巧,曰+2芯|=j5 則向量工的夾角為 frac3水4.【考點】平面向量數量積的運算.【分析】R+2g|=«,則兩邊平方,運用向量的數量積的定義和向量的平方等于向量的模的 平方,即可得到答案.【解答】解:設向量w,E的夾角為0, I二+如產=l口2+4|E+4值|?|E|C0S9=1+4 M+4cos 0=5,V2 cos 0=,2 . 0< 6 岑 %故答案為:3 ITT第13頁(共21頁)L2, 4.12.若存在實數x使|x- a|+|x- 成立,則實數a的取值范圍是 【考點】絕對值不等式的解法.【分析】利用絕對值的幾何意義,可得到 忸-1|4,解之即可.【解答】解:在
19、數軸上,|X-a展示橫坐標為X的點P到橫坐標為a的點A距離,|x-1|就表 示點P到橫坐標為1的點B的距離, ( |PA|+|PB|) min=|a- 1|,要使得不等式|X-a|+|x-成立,只要最小值 忸-1|4就可以了,1P|a- 1 的,故實數a的取值范圍是-故答案為:-2, 4.- 2y13.已知變量x, y滿足x<2的最大值為frac5X4【考點】【分析】簡單線性規劃.作出不等式組對應的平面區域,利用目標函數的幾何意義,即可求表達式的最大值.解:作出不等式組«<2尺+y- 2>0對應的平面區域:m+2y-2x+Zx=2得 x-2y+4=0,的幾何意義為區
20、域內的點到P ( - 2, 2)的斜率加1,由圖象知,PA的斜率最大,戈二2口,即 A (2, 3),故PA的斜率k=3-22+2 41產3所求表達式的最大值為:1+上=二4 4故答案為:與.414.執行如圖所示的程序框圖,若輸入 x=6,則輸出y的值為 一frac32h J叵1【考點】程序框圖.【分析】模擬執行程序,依次寫出每次循環得到的x, y的值,當x=- 1, y=-二時,滿足條件|y-x|vi,退出循環,輸出 y的值為-二,即可得解.【解答】解:模擬執行程序,可得x=6y=2不滿足條件|y- x|< 1,執行循環體,x=2, y=0不滿足條件|y-x|<1,執行循環體,x
21、=0, y=-1一3不滿足條件|y- x|< 1,執行循環體,x= - 1, y=滿足條件|y-x|<1,退出循環,輸出y的值為-二.第#頁(共 21頁)故答案為:-二215.已知函數f (x)=-yx+yi M y?T,代(工i兀x,g (x) =acos+5-2a (a>0),若對第17頁(共21頁)任意的xq0frac52,frac133【解答】解:xCe,1時,f (x)-2 =.x+2f' (x)=(葉2) 2當 xe(, 1時,f' (x) >0,函數 f(x)在(上,1上為增函數,當x03時,函數f (x)為減函數,f(x) 0,4;,在0
22、,1上 f (x) qo,1,總存在x2q。,1,使得f (xi) =g (x2)成立,則實數 a的取值范圍是分段函數的應用;函數的零點與方程根的關系.根據f (x)的解析式求出其值域,再求出 g (x)在xQ0, 1上的值域,由對任意的x1Q0, 1,總存在x2C0, 1,使得f (x1)=g (x2)成立得到關于a的不等式組,從而 求出a的取值范圍.又 g (x)2a+5 中,1時,cos-元工2qo, 1,g (x)C- 2a+5若對任意的xi可0,-a+5;1,總存在x2q。,1,使得 f (x1)=g (x2)成立,5故答案為:二三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應寫出文字說
23、明、證明過程或演算步驟.16.已知函數 f (x) =sin (2x+,TC)-cos2x.時f (x)的值域;JT(1)求f (x)的最小正周期及xq-L(2)在4ABC中,角A、B、C所對的邊為a, b, c,且角C為銳角,SAabc=/5 , c=2,XE ilf (C+丁)=r求 a, b 的值.442【考點】三角函數中的恒等變換應用;正弦函數的圖象.【分析】(1)由兩角和的正弦公式及二倍角公式,化簡求得f (x) YEsin2x-工,根據正22弦函數的圖象和性質,求出周期和f (x)的值域;(2) f (C+:)=應-上,求得C二:,由三角形的面積公式求得ab=4萬,余弦定理求442
24、6得a2+b2=i6,聯立求得a、b的值.JU【解答】 解:(1) f (x) =sin (2x+ 6)-cos2x=2sin2xcos2x - (2cos2x - 1)多2x f (x)的最小正周期Tt,TT 2兀冗 4兀xQY, 2xQ丁 Y, f的值域-亨"i;sin(2) f (x)f(C+JU(2C+一C=S=yabsinC, Saabc='/3,ab=4 6,由余弦定理可知:c2=a2+b2 - 2abcosC,a2+b2=16,解得 b=2, a=2>/或 b=2,a=2, 17.在一次購物抽獎活動中,假設某 10張獎券中有一等獎券 1張,可獲得價值100
25、元的獎 品,有二等獎券3張,每張可獲得價值 50元的獎品,其余6張沒有獎,某顧客從此10張獎 券中任抽2張,求(I)該顧客中獎的概率;(n)該顧客獲得獎品總價值 X的概率分布列和數學期望.【考點】離散型隨機變量的期望與方差;離散型隨機變量及其分布列.【分析】(I )由題意求出該顧客沒有中獎的概率,由此利用對立事件概率計算公式能求出 該顧客中獎的概率.(n )根據題意可得 X的所有可能取值為 0, 50, 100, 150 (元),分別求出相應的概率, 由此能求出X的分布列和數學期望.【解答】解:(I)由題意得該顧客沒有中獎的概率為c2 vio=13,該顧客中獎的概率為:P=1 -r2聲v10,
26、該顧客中獎的概率為(n)根據題意可得 X的所有可能取值為 0, 50100, 150 (元),.P (X=0)=,2旦Tio(X=50) =-5 c 51=5'(X=100)=(X=150) =v C上 v10115的分布列為:01502510015150115的數學期望為2EXW/*?!。*守15 州15=50.18.已知數列an滿足a1=1, S1+-a2an=an+1 1 (n CN),數列an的前n項和為Sn.(1)求數列an的通項公式;1bn=(,Tn是數列bn的前n項和,求使得 %Tn<in10對所有n CN ,都成立的最小正整數數列的求和;數列遞推式.【分析】(1)
27、通過a1+-1+ +7n - 11_an 1+ an=an+1n1n- 1an 1=an-1作差,進而計算可知arr+l n+1(nCN),利用累乘法計算可知數列an的通項公式;第21頁(共 21頁)1n+1),進而利用并項相消(2)通過(1),利用等差數列的求和公式裂項可知bn=2 (n法可知Tn=2n'n+1,從而問題轉化為數列Tn的最大值,計算即得結論.【解答】解:當n段時,ai+(1) -ai03+- +1 . 1-a2 +-a3+ , 乙 Jan i=an_ 1,1Tan-1n - 1an=an+i 1 (nCN),兩式相減得:an=an+i an,an+l n+1又=g滿足
28、上式,1al?2?1lai al=n,又 ai=1滿足上式,,數列an的通項公式an=n;1211由(D可知加幣=口而1)/(溫一=),. 丁1; 1 11工、工、2n- Tn=2 (1-T-T- + n=2(-Q)K1隨著n的增大而增大,,不等式Tn<ITi10對所有n割者B成立?求數列T n的最大值,lim Sn二2,m _ rr.y或,即m或0,故滿足題意的最小正整數 m=20 .19.如應在四棱錐 P ABCD 中,PA,平面 ABCD , AD / BC , AD XCD ,且 AD=CD=2 退 BC=4近,PA=2,點M在線段PD上.(I)求證:AB ±PC;(n
29、 )若二面角 m - AC - D的余弦值為,求BM與平面PAC所成角的正弦值.M【考點】 直線與平面所成的角;直線與平面垂直的性質.【分析】(I)取BC的中點E,連接AE,則可證ABLAC,又PALAB,得出AB,平面PAC, 從而AB ± PC;(II)設國"而,以A為原點建立坐標系, 求出平面ACM的法向量三,令|cosv£ 正BM與平面PAC所成角的正弦值.入得出BM的坐標,則IcosvAB,【解答】 證明:(I)取BC的中點E,連接AE,. AD / BC, AD ± CD ,且 AD=CD=2 叵,BC=4j2,,四邊形ADCE是正方形,4A
30、BE是到腰直角三角形,. / BAE=45 °, / EAC=45 °, /. Z BAC=90 °,即 AB LAC . PA,平面 ABCD , AB?平面 ABCD ,PAXAB ,又 PA?平面 PAC, AC?平面 PAC, PA AAC=A , .AB,平面 PAC, PC?平面 PAC, .-.AB ±PC.(II)以A為原點,分別以 AE, AD, AP為坐標軸建立空間直角坐標系A-xyz,則 A (0, 0, 0), B (2/2, 26,0), C (2-72, 2vL 0), P (0, 0, 2), D (0,初, 0).亙=(E
31、V2, - 2).正=(2/L_20AP = (0,9 2).設向二工司二(0, 2泥 人,-2,則箴=7?+鉗=(0, 2/2入I,2-2'.設平面ACM的一個法向量為 臣=(x, y, z),則!? 上一°,2內斗2行產。卜五兀盧也- 2入”切'z軸,平面ACD ,,向=(0, 0, 1)為平面 ACD的一個法向量.面角M - AC - D的余弦值為.解得(一g,Ml,瓦(。,箸,泉,尾(2/2, -2,0),,麗而-屈=(西,¥,/.AB,平面PAC,,或為平面PAC的一個法向量.cosv通,而i>20.已知函數f (x)ax2- (a- 1)x
32、 Inx (aCR 且 a).(I)求函數f (x)的單調遞增區間;(n )記函數y=F (x)的圖象為曲線C.設點A (x1,y1),B (x2, v2是曲線C上的不同兩點.如果在曲線 C上存在點M (xo, yo),;曲線C在點M處的切線平行于直線 AB,則稱函數F (x)存在 存在 中值和諧切線”,請說明理由.【考點】利用導數研究函數的單調性.中值和諧切線當a=2時,函數f (x)是否【分析】(I)根據對數函數的定義求得函數的定義域,再根據f (x)的解析式求出f (x)的導函數,然后分別令導函數大于 0和小于0得到關于x的不等式,求出不等式的解集即可得 到相應的x的范圍即分別為函數的遞
33、增和遞減區間;(II)假設函數f(x)的圖象上存在兩點A(x1,y1) ,B(x2,y2K使得AB存在 中值相依切線”,根據斜率公式求出直線 AB的斜率,利用導數的幾何意義求出直線AB的斜率,它們相等,再通過構造函數,利用導數研究函數的單調性和最值即可證明結論.【解答】 解:(I )函數f (x)的定義域是(0, +8),由已知得,1x)1")(巧(1)當a>0時,令 所以函數f (x)在(2)當 av0 時,f' (x) >0,解得 x>1;令 f' (x) < 0,解得 0vxv1.1, +8)上單調遞增;當-< 1時,即aav -
34、1 時,令 f' (x) > 0,解得:-<x< 1 ;3. 函數f (x)在(一,1)上單調遞增;當-=1時,即a= - 1時,顯然,函數f (x)在(0 a+ 8)上單調遞減,無增區間;1當-> 1時,即-1v av0時,令f, (x) >0,解得a 函數 f (x)在(1,綜上所述,(1)當a>0時,函數f (x)在(1, +8)上單調遞增;(2)當av - 1時,函數f (x)在(-上,1)上單調遞增;(3)當a=-1時,函數f (x)無單調遞增區間;(4)當-1vav0時,函數f (x)在(1,-上)上單調遞增;a0<x1<x2,(n)假設函數f (x)存在 中值相依切線設A (x1,y1),B (x2, y2)是曲線y=f (x)上的不同兩點,且I w2貝 Uy1=X _x一 lnx1, 丫2=乂? - x2- lnx2.kAB =1 =x 2+x1 1 叼-K曲線在點M (x0, y0)處的切線斜率:k=f' (xo)二f '()=x1+x2 1 x2+x 1 1=x1+x2 1 2l+x22設 h (t) =lnt - 1) 1+t>0,.h (t)在(0, +00)遞增, h (t) &
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