1、2020年山東省德州市高考數學二模試卷（理科）一、選擇題：本大題共 10小題，每小題5分，共50分.把正確答案涂在答題卡上.1. R表示實數集，集合 M=x|0 vxv2, N=x|x 2+x-6旬,則下列結論正確的是（）A. MCNB. ?RM?NC. M C 不ND . ?RN? RM2 .已知復數z滿足z? (1-i) =2,則z5的虛部是()A. 4B. 4iC. - 4iD , - 43 .已知命題 p： ?xCR, x2+2x+3=0,則p是（）A. ?x 田，x2+2x+3 4B. ?x 田，x2+2x+3=0C. ?xR, x2+2x+3 4D. ?xR, x2+2x+3=04

2、.兩個相關變量滿足如下關系：x23456y25505664根據表格已得回歸方程：；=9.4x+9.2,表中有一數據模糊不清，請推算該數據是（A. 37B. 38.5C. 39D. 40.5, 冗、15 .把函數7=31門（工+丁）圖象上各點的橫坐標縮短到原來的大倍（縱坐標不變），再將圖象兀I向右平移個單位，那么所得圖象的一條對稱軸方程為（）,L? 冗7U71JIA. kB. VC ,D干6 . 一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正（主）視圖和側（左）視圖是腰長為l的兩個全等的等腰直角三角形，則該多面體的各條棱中最長棱的長度為（）正表）廢置我國第1頁（共 21頁）A.eB.仃C.遍D. W2 11

3、田 447 .已知雙曲線 C： -y-=1 （a>0, b>0）的焦距為 2/5,拋物線y=x2+與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線 C的方程為（A.2 y =1B.2=1C._ y2=18.在(1+亍)(1+TD (1 +）（nCN+, n或）的展開式中，x的系數為1516,則x2的系數為（）A.加4蛋得9.設集合 M= (m, n) |0vmv2, 0vnv2, m, nCR,則任取(m, n) CM,關于 x 的 方程mx2+2x+n=0有實根的概率為()A.l+ln22B.10.已知函數f號_C .二|。.3-產lo§2(l i 的+L _ l<s<Ci

4、(x) = ,k 一的值域是0, 2,則實數a的取值范1-3升2,第#頁(共21頁)圍是()A. (0, 1B. 1 , V3C. 1, 2D. V3, 2二、填空題：本大題共 5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡的相應位置.11 .已知|匈=1,12 .若存在實數|b|=/2, |a+2b|=/5,則向量3,b的夾角為x使|x- a|+|x-1|W成立，則實數a的取值范圍是13 .已知變量xy滿足s - 2y+4)0工42s+y- 230肝Vk+2的最大值為14 .執行如圖所示的程序框圖，若輸入x=6,則輸出y的值為開始X曲八xZE牯束愉治v15 .已知函數(x)=兀X ,g (x

5、) =acos+5-2a (a>0),若對任意的x1C0是1,總存在x2C0, 1,使得f (xi) =g (x2)成立，則實數 a的取值范圍三、解答題：本大題共 6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.已知函數 f (x) =sin (2x+_j_) - cos2x.7T 2兀(1)求f (x)的最小正周期及 x、一時f (x)的值域；(2)在ABC中，角A、B、C所對的邊為a, b, c,且角C為銳角，SAabc=6 , c=2,f (C+.求a, b的值.17.在一次購物抽獎活動中，假設某l0張獎券中有一等獎券 1張，可獲得價值100元的獎品，有二等獎券3張

6、，每張可獲得價值 50元的獎品，其余6張沒有獎，某顧客從此10張獎券中任抽2張，求(I)該顧客中獎的概率；(n)該顧客獲得獎品總價值X的概率分布列和數學期望.18.已知數列an滿足ai=1a2a3+dan=an+i 1 (nCN),數列an的前n項和為Sn.(1)求數列an的通項公式;設bn=下一，Tn是數列bn的前n項和，求使得Tn<io對所有n CN ,都成立的最小正整數m.第7頁(共21頁)AD / BC , AD LCD ,且 AD=CD=2219.如圖，在四棱錐 P - ABCD中，PAL平面ABCDBC=4/2, PA=2,點 M 在線段 PD 上.(I)求證：AB 

7、7;PC;(n )若二面角 M - AC - D的余弦值為,求BM與平面PAC所成角的正弦值.C20.已知函數f (x) =Tax2 - (a- 1) x - lnx (a CR 且 a 0).(I)求函數f (x)的單調遞增區間；(n )記函數y=F (x)的圖象為曲線 C.設點A (x1，y1)，B (x2, v2是曲線C上的不同兩點.如果在曲線 C上存在點M (xo, yo),使得：x0= 12;曲線C在點M處的切線平行于直線 AB,則稱函數F (x)存在 存在 中值和諧切線”，請說明理由.中值和諧切線當a=2時，函數f (x)是否21.如圖，橢圓 E:彳+彳=1的右焦點F2與拋物線y2

8、=4x的焦點重合，過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點，與拋物線交于C、D兩點，且|CDj 0 rJ設P為橢圓E上一點，且滿(I)求橢圓E的方程；(n )若過點M (2, 0)的直線與橢圓 E相交于兩點 A, B,足(O為坐標原點)，時,求實數t的取值范圍.2020年山東省德州市高考數學二模試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.把正確答案涂在答題卡上.1. R表示實數集，集合 M=x0 vx<2, N=x|x 2+x-6旬,則下列結論正確的是(A. MCNB. ?rM?NC. MC 不ND. ?rN? rM【考點】元素與集合關系的判斷

9、.【分析】 化簡N=x|x 2+x - 6<0=x| -3»磴,從而確定 M?N;從而求得.【解答】解：丁 N=x|x 2+x- 6<0=x| - 3a陽，而 M=x|0 <x<2,.M? N; ?rn? rM , 故選D.2 .已知復數z滿足z? (1-i) =2,則z5的虛部是()A. 4B. 4iC. - 4iD . - 4【考點】復數代數形式的乘除運算.【分析】利用復數的運算法則、虛部的定義即可得出.【解答】 解：復數 z滿足 z?(1 i) =2, .z? (1 i) (1+i) =2 (1+i),，z=1+i,.z2=2i ,則 z5= (2i)

10、2 (1+i) = 4 (1+i) =-4-4i 的虛部是4.故選：D.3 .已知命題 p： ?x R, x2+2x+3=0,則p是()A. ?x ，x2+2x+3 4B. ?x ，x2+2x+3=0C. ?xR, x2+2x+3 4D. ?xR, x2+2x+3=0【考點】命題的否定.【分析】 直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可.【解答】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題p： ?x R, x2+2x+3=0 ,?xR, x2+2x+3 0.故選：A.4 .兩個相關變量滿足如下關系：x23456y25505664根據表格已得回歸方程：；=9.4x+9.2,表中有一數據模糊不清

11、，請推算該數據是(A. 37B. 38.5C. 39D. 40.5【考點】線性口歸方程._【分析】 求出二代入回歸方程解出 行，從而得出答案.2+3+4+5+6【解答】 解：工=二4, .-.y=9.4 >4+9.2=46.8.設看不清的數據為 a,則25+a+50+56+64=5y=234.解得a=39.故選C.了 冗、1向右平移個單位，那么所得圖象的一條對稱軸方程為（A.B.C.D.5 .把函數支sdnG+丁）圖象上各點的橫坐標縮短到原來的 倍（縱坐標不變），再將圖象l的兩個全【考點】正弦函數的對稱性.【分析】先對函數廠si n（x+一）進行圖象變換，再根據正弦函數對稱軸的求法，即令

12、兀cox+ 4=三十k冗即可得到答案.JT1【解答】解：尸式n（4）圖象上各點的橫坐標縮短到原來的去倍（縱坐標不變），得到62函數 v=3in（2x+-）；TCJT JT文再將圖象向右平移 ：-個單位，得函數y=sinE2（5t -）-r-r-=sin（2is _ -）,根據對7U稱軸處一定取得最大值或最小值可知R二一是其圖象的一條對稱軸方程.6 . 一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正（主）視圖和側（左）視圖是腰長為 等的等腰直角三角形，則該多面體的各條棱中最長棱的長度為（）a,遮 b.V5c. Vs d. Vr【考點】簡單空間圖形的三視圖.【分析】幾何體為四棱錐，底面是正方形，根據三視圖數據

13、計算出最長棱即可.【解答】解：由三視圖可知幾何體為四棱錐 P-ABCD,其中底面ABCD為正方形，PAL平面 ABCD ,且 PA=AB=1 ,幾何體的最長棱為 PC幼2+（泥）2=/3.故選B.7.已知雙曲線C：2 a2=1 （a>0, b>0）的焦距為赤,拋物線與雙曲線1yhC的漸近線相切，則雙曲線C的方程為（A.=1C.=1D . - y2=l雙曲線的簡單性質.【分析】由題意可得c的,即a2+b2=5,求出漸近線方程代入拋物線的方程，運用判別式 為0,解方程可得a=2, b=1 ,進而得到雙曲線的方程.【解答】 解：由題意可得c=Vl,即a2+b2=5,雙曲線的漸近線方程為將

14、漸近線方程和拋物線ay=*+春聯立,第9頁（共 21頁）可得""j"X2 Jx+ ；=04 a 4由直線和拋物線相切的條件，可得 =31 1一傳丁0，即有 a2=4b2,解得 a=2, b=1,可得雙曲線的方程為-y2=i.8.在（1+亍）（1+至）（1 +211）（nCN+, n或）的展開式中，x的系數為1516數為（）A.1516B.35128D.3164【考點】二項式系數的性質.【分析】1x的系數三二22+ , +2卻數=-在（1 +15可得1 -16,解得 n=4.因此（1+二）（1 +22 231 、,即可得出.1 . 1廠:2一）（1+正）（n玳+ ,

15、 n冽的展開式中,）（1+）的展開式中X2的系【解答】解：在（1+二）（1+，222）（1+-2 口）（nCN + , n或）的展開式中,x的系數告+ 11 +2nC1- -l-i2n.15,岳（1+二-）（1+/ ZX：一一224一12g故選：C.n=4.)-+1出的展開式中x2的系數為：X122 23+ 323249.設集合 M= (m, n) |0<m<2, 0vnv2, m, nR,則任取(m, n) CM,關于方程mx2+2x+n=0有實根的概率為（A.141n2B.U21n2C.D.)3 2 21n2【考點】 【分析】 的面積;【解答】幾何概型.首先根據關于x的方程mx

16、2+2x+n=0有實根，推得acW ；然后作出圖象，求出相應最后根據幾何概型的概率的求法，關于x的方程mx2+2x+n=0有實根的概率即可.解:若關于x的方程mx2+2x+n=0有實根，則 A=22- 4mn,mn 4 ;M= (m,n) 10V m<2, 0<n<2, m, n CR,總事件表示的面積為2X2=4,方程有實根時，表示的面積為2+2XJ J_dm=1+lnm| 2 m1工=1+2ln2 , T關于x的方程mx2+2x+n=0有實根的概率為l+2Ln2故選：B.los2(l -的+L -10.已知函數f (x)=-的值域是0, 2,則實數a的取值范J 3H2,

17、0<x<a圍是()A. (0, 1B. 1 , V3C. 1, 2D. V3, 2【考點】分段函數的應用.【分析】畫出函數的圖象，令 y=2求出臨界值，結合圖象，即可得到a的取值范圍.log2(l -父)41, T4震<0【解答】 解：.函數f (x)=的圖象如下圖所示：X3- 3*2, 0<Xa函數f (x)的值域是0, 2,1 q。， a,即 am ,又由當 y=2 時，x3- 3x=0, x=/3 (0, - JI舍去)，a4，a的取值范圍是1 , M商.故選：B.二、填空題：本大題共 5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡的相應位置.11.已知畝=1,而

18、=、巧，曰+2芯|=j5 則向量工的夾角為 frac3水4.【考點】平面向量數量積的運算.【分析】R+2g|=«,則兩邊平方，運用向量的數量積的定義和向量的平方等于向量的模的 平方，即可得到答案.【解答】解：設向量w，E的夾角為0， I二+如產=l口2+4|E+4值|?|E|C0S9=1+4 M+4cos 0=5,V2 cos 0=,2 . 0< 6 岑 %故答案為:3 ITT第13頁(共21頁)L2, 4.12.若存在實數x使|x- a|+|x- 成立，則實數a的取值范圍是 【考點】絕對值不等式的解法.【分析】利用絕對值的幾何意義，可得到 忸-1|4,解之即可.【解答】解：在

19、數軸上，|X-a展示橫坐標為X的點P到橫坐標為a的點A距離，|x-1|就表 示點P到橫坐標為1的點B的距離， ( |PA|+|PB|) min=|a- 1|,要使得不等式|X-a|+|x-成立，只要最小值 忸-1|4就可以了，1P|a- 1 的，故實數a的取值范圍是-故答案為：-2, 4.- 2y13.已知變量x, y滿足x<2的最大值為frac5X4【考點】【分析】簡單線性規劃.作出不等式組對應的平面區域,利用目標函數的幾何意義,即可求表達式的最大值.解：作出不等式組«<2尺+y- 2>0對應的平面區域:m+2y-2x+Zx=2得 x-2y+4=0,的幾何意義為區

20、域內的點到P ( - 2, 2)的斜率加1,由圖象知，PA的斜率最大,戈二2口，即 A (2, 3),故PA的斜率k=3-22+2 41產3所求表達式的最大值為：1+上=二4 4故答案為：與.414.執行如圖所示的程序框圖，若輸入 x=6,則輸出y的值為 一frac32h J叵1【考點】程序框圖.【分析】模擬執行程序，依次寫出每次循環得到的x, y的值，當x=- 1, y=-二時，滿足條件|y-x|vi,退出循環，輸出 y的值為-二，即可得解.【解答】解：模擬執行程序，可得x=6y=2不滿足條件|y- x|< 1,執行循環體，x=2, y=0不滿足條件|y-x|<1,執行循環體，x

21、=0, y=-1一3不滿足條件|y- x|< 1,執行循環體，x= - 1, y=滿足條件|y-x|<1,退出循環，輸出y的值為-二.第#頁（共 21頁）故答案為：-二215.已知函數f (x)=-yx+yi M y?T,代(工i兀x,g (x) =acos+5-2a (a>0),若對第17頁(共21頁)任意的xq0frac52,frac133【解答】解：xCe，1時，f (x)-2 =.x+2f' (x)=(葉2) 2當 xe(, 1時，f' (x) >0,函數 f(x)在(上，1上為增函數,當x03時，函數f (x)為減函數,f(x) 0,4；，在0

22、,1上 f (x) qo,1,總存在x2q。，1,使得f (xi) =g (x2)成立，則實數 a的取值范圍是分段函數的應用；函數的零點與方程根的關系.根據f (x)的解析式求出其值域，再求出 g (x)在xQ0, 1上的值域，由對任意的x1Q0, 1,總存在x2C0, 1,使得f (x1)=g (x2)成立得到關于a的不等式組，從而 求出a的取值范圍.又 g (x)2a+5 中,1時，cos-元工2qo, 1,g (x)C- 2a+5若對任意的xi可0,-a+5;1,總存在x2q。,1,使得 f (x1)=g (x2)成立,5故答案為：二三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說

23、明、證明過程或演算步驟.16.已知函數 f (x) =sin (2x+，TC)-cos2x.時f (x)的值域;JT(1)求f (x)的最小正周期及xq-L(2)在4ABC中，角A、B、C所對的邊為a, b, c,且角C為銳角，SAabc=/5 , c=2,XE ilf (C+丁)=r求 a, b 的值.442【考點】三角函數中的恒等變換應用；正弦函數的圖象.【分析】(1)由兩角和的正弦公式及二倍角公式，化簡求得f (x) YEsin2x-工，根據正22弦函數的圖象和性質，求出周期和f (x)的值域;(2) f (C+：)=應-上,求得C二：,由三角形的面積公式求得ab=4萬，余弦定理求442

24、6得a2+b2=i6,聯立求得a、b的值.JU【解答】 解：(1) f (x) =sin (2x+ 6)-cos2x=2sin2xcos2x - (2cos2x - 1)多2x f (x)的最小正周期Tt,TT 2兀冗 4兀xQY, 2xQ丁 Y, f的值域-亨"i；sin(2) f (x)f(C+JU(2C+一C=S=yabsinC, Saabc='/3,ab=4 6,由余弦定理可知：c2=a2+b2 - 2abcosC,a2+b2=16,解得 b=2, a=2>/或 b=2，a=2, 17.在一次購物抽獎活動中，假設某 10張獎券中有一等獎券 1張，可獲得價值100

25、元的獎 品，有二等獎券3張，每張可獲得價值 50元的獎品，其余6張沒有獎，某顧客從此10張獎 券中任抽2張，求(I)該顧客中獎的概率；(n)該顧客獲得獎品總價值 X的概率分布列和數學期望.【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列.【分析】(I )由題意求出該顧客沒有中獎的概率，由此利用對立事件概率計算公式能求出 該顧客中獎的概率.(n )根據題意可得 X的所有可能取值為 0, 50, 100, 150 (元)，分別求出相應的概率， 由此能求出X的分布列和數學期望.【解答】解：（I）由題意得該顧客沒有中獎的概率為c2 vio=13，該顧客中獎的概率為：P=1 -r2聲v10，

26、該顧客中獎的概率為（n）根據題意可得 X的所有可能取值為 0, 50100, 150 (元),.P (X=0)=,2旦Tio(X=50) =-5 c 51=5'(X=100)=(X=150) =v C上 v10115的分布列為：01502510015150115的數學期望為2EXW/*?!。*守15 州15=50.18.已知數列an滿足a1=1, S1+-a2an=an+1 1 (n CN),數列an的前n項和為Sn.(1)求數列an的通項公式;1bn=（，Tn是數列bn的前n項和，求使得 %Tn<in10對所有n CN ,都成立的最小正整數數列的求和；數列遞推式.【分析】（1）

27、通過a1+-1+ +7n - 11_an 1+ an=an+1n1n- 1an 1=an-1作差，進而計算可知arr+l n+1（nCN）,利用累乘法計算可知數列an的通項公式;第21頁（共 21頁）1n+1）,進而利用并項相消（2）通過（1）,利用等差數列的求和公式裂項可知bn=2 （n法可知Tn=2n'n+1,從而問題轉化為數列Tn的最大值，計算即得結論.【解答】解:當n段時,ai+(1) -ai03+- +1 . 1-a2 +-a3+ , 乙 Jan i=an_ 1,1Tan-1n - 1an=an+i 1 (nCN),兩式相減得:an=an+i an,an+l n+1又=g滿足

28、上式,1al?2?1lai al=n,又 ai=1滿足上式,，數列an的通項公式an=n；1211由（D可知加幣=口而1）/（溫一=），. 丁1； 1 11工、工、2n- Tn=2 （1-T-T- + n=2（-Q）K1隨著n的增大而增大,，不等式Tn<ITi10對所有n割者B成立？求數列T n的最大值,lim Sn二2,m _ rr.y或，即m或0,故滿足題意的最小正整數 m=20 .19.如應在四棱錐 P ABCD 中，PA，平面 ABCD , AD / BC , AD XCD ,且 AD=CD=2 退 BC=4近，PA=2,點M在線段PD上.(I)求證：AB ±PC；（n

29、 ）若二面角 m - AC - D的余弦值為,求BM與平面PAC所成角的正弦值.M【考點】 直線與平面所成的角；直線與平面垂直的性質.【分析】(I)取BC的中點E,連接AE,則可證ABLAC,又PALAB,得出AB，平面PAC, 從而AB ± PC;(II)設國"而,以A為原點建立坐標系， 求出平面ACM的法向量三，令|cosv£ 正BM與平面PAC所成角的正弦值.入得出BM的坐標，則IcosvAB,【解答】 證明：(I)取BC的中點E,連接AE,. AD / BC, AD ± CD ,且 AD=CD=2 叵,BC=4j2,，四邊形ADCE是正方形，4A

30、BE是到腰直角三角形，. / BAE=45 °, / EAC=45 °, /. Z BAC=90 °,即 AB LAC . PA，平面 ABCD , AB?平面 ABCD ,PAXAB ,又 PA?平面 PAC, AC?平面 PAC, PA AAC=A , .AB,平面 PAC, PC?平面 PAC, .-.AB ±PC.(II)以A為原點，分別以 AE, AD, AP為坐標軸建立空間直角坐標系A-xyz,則 A (0, 0, 0), B (2/2, 26，0), C (2-72, 2vL 0), P (0, 0, 2), D (0,初， 0).亙=(E

31、V2, - 2).正=(2/L_20AP = (0，9 2).設向二工司二(0, 2泥 人，-2,則箴=7?+鉗=(0, 2/2入I，2-2'.設平面ACM的一個法向量為 臣=(x, y, z),則!? 上一°,2內斗2行產。卜五兀盧也- 2入”切'z軸，平面ACD ,，向=(0, 0, 1)為平面 ACD的一個法向量.面角M - AC - D的余弦值為.解得（一g,Ml,瓦(。，箸，泉，尾(2/2, -2,0),，麗而-屈=(西，¥，/.AB，平面PAC,，或為平面PAC的一個法向量.cosv通,而i>20.已知函數f (x)ax2- (a- 1)x

32、 Inx (aCR 且 a).(I)求函數f (x)的單調遞增區間；(n )記函數y=F (x)的圖象為曲線C.設點A (x1，y1)，B (x2, v2是曲線C上的不同兩點.如果在曲線 C上存在點M (xo, yo),;曲線C在點M處的切線平行于直線 AB,則稱函數F (x)存在 存在 中值和諧切線”，請說明理由.【考點】利用導數研究函數的單調性.中值和諧切線當a=2時，函數f (x)是否【分析】(I)根據對數函數的定義求得函數的定義域，再根據f (x)的解析式求出f (x)的導函數，然后分別令導函數大于 0和小于0得到關于x的不等式，求出不等式的解集即可得 到相應的x的范圍即分別為函數的遞

33、增和遞減區間；(II)假設函數f(x)的圖象上存在兩點A(x1,y1) ,B(x2,y2K使得AB存在 中值相依切線”，根據斜率公式求出直線 AB的斜率，利用導數的幾何意義求出直線AB的斜率，它們相等，再通過構造函數，利用導數研究函數的單調性和最值即可證明結論.【解答】 解：(I )函數f (x)的定義域是(0, +8),由已知得，1x)1")(巧(1)當a>0時，令 所以函數f (x)在(2)當 av0 時，f' (x) >0,解得 x>1；令 f' (x) < 0,解得 0vxv1.1, +8)上單調遞增；當-< 1時，即aav -

34、1 時，令 f' (x) > 0,解得：-<x< 1 ；3. 函數f (x)在(一,1)上單調遞增;當-=1時，即a= - 1時，顯然，函數f (x)在(0 a+ 8)上單調遞減，無增區間;1當-> 1時，即-1v av0時，令f, (x) >0,解得a 函數 f (x)在(1,綜上所述，(1)當a>0時，函數f (x)在(1, +8)上單調遞增;(2)當av - 1時，函數f (x)在(-上，1)上單調遞增；(3)當a=-1時，函數f (x)無單調遞增區間；(4)當-1vav0時，函數f (x)在(1,-上)上單調遞增；a0<x1<x2,(n)假設函數f (x)存在 中值相依切線設A (x1，y1)，B (x2, y2)是曲線y=f (x)上的不同兩點，且I w2貝 Uy1=X _x一 lnx1， 丫2=乂？ - x2- lnx2.kAB =1 =x 2+x1 1 叼-K曲線在點M (x0, y0)處的切線斜率:k=f' (xo)二f '()=x1+x2 1 x2+x 1 1=x1+x2 1 2l+x22設 h (t) =lnt - 1) 1+t>0,.h (t)在(0, +00)遞增， h (t) &