1、1、平面向量的坐標表示與平面向量基、平面向量的坐標表示與平面向量基本定理的關系。本定理的關系。2、平面向量的坐標是如何定義的？、平面向量的坐標是如何定義的？3、平面向量的運算有何特點？、平面向量的運算有何特點？ 類似地，由平面向量的基本定理，對于平面上的類似地，由平面向量的基本定理，對于平面上的任意向量任意向量 ，均可以分解為不共線的兩個向量，均可以分解為不共線的兩個向量 和和 使得使得 11221122a =a =a +a +a aa a 1111a a 2222a a 在不共線的兩個向量中，垂直是一種重要是在不共線的兩個向量中，垂直是一種重要是情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，情形

2、，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量叫做把向量正交分解正交分解。 我們知道，在平面直角坐標系，我們知道，在平面直角坐標系，每一個點都可用一對有序實數（即它每一個點都可用一對有序實數（即它的坐標）表示，對直角坐標平面內的的坐標）表示，對直角坐標平面內的每一個向量，如何表示？每一個向量，如何表示？ 在平面上，如果選取互相垂直的向量作為在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時，會為我們研究問題帶來方便。基底時，會為我們研究問題帶來方便。 我們把（我們把（x,y)x,y)叫做向量叫做向量a a 的的（直角）坐標，記作（直角）坐標，記作 a=(xa=(x，y),y), 其中其中x x叫做叫

3、做a a 在在x x軸上的坐標，軸上的坐標，y y叫做叫做 a a 在在y y軸上的坐標，軸上的坐標，（x ,yx ,y）叫做）叫做向量的坐標向量的坐標ayjiO圖 1xx iy ji i = =j j = =0 0 = =（1，0）（0，1）（0，0） a=x i+y jayjiO圖 1x x iyjyxOyxjA（x,y）a如圖，在直角坐標平面內，以原如圖，在直角坐標平面內，以原點點O為起點作為起點作OA=a，則點，則點A的位的位置由置由a唯一確定。唯一確定。設設OA=xi+yj，則向量，則向量OA的坐標的坐標（x,y)就是點就是點A的坐標；反過來，的坐標；反過來，點點A的坐標（的坐標（x

4、,y)也就是向量也就是向量OA的坐標。因此，在平面直角坐標的坐標。因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用系內，每一個平面向量都可以用一對實數唯一表示。一對實數唯一表示。i例例1 如圖，用基底如圖，用基底i，j分別表示向量分別表示向量a、b、c、d ,并求出它們的坐標。并求出它們的坐標。jyxOiaA1AA2bcd解：由圖解：由圖3可知可知a=AA1+AA2=2i+3j, a=(2,3) 同理，同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)已知已知 ， 你能得出你能得出 ， ，的坐標嗎？的坐標嗎？1 11 1a a= =( (x x

5、, ,y y ) )2222b =(x ,y )b =(x ,y )a+ba+b-abab a a已知，已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則，則 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j即即 a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)這就是說，兩個向量和與差的坐標分別等這就是說，兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差。于這兩個向量相應坐標的和與差。結論：結論： 一個向量的坐標等于表示此向量一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的的有向線段的終點的坐標減去始點的

6、坐標。坐標。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如圖，已知如圖，已知A(x1,y1),B(x2,y2), 則則 AB= OB - OA = (x2,y2) - (x1,y1) = (x2-x1,y2-y1)yxOB(x2,y2)A(x1,y1)你能在圖中標出坐標為你能在圖中標出坐標為 的的P點嗎？點嗎？2 21 12 21 1( (x x - -x x , ,y y - -y y ) )P例例4 已知已知a（2，1），），b（3，4），求），求a+b，ab，3a+4b例例5 已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD的三個定點的三個定點A、B、C的坐標分別為（的坐標分別為（2，1）、）、（1，3）

7、、（）、（3，4），求頂點），求頂點D的坐標的坐標例例5 已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD的三個定點的三個定點A、B、C的坐標分別為（的坐標分別為（2，1）、（）、（1，3）、（）、（3，4），求頂點），求頂點D的坐標的坐標 平行四邊形平行四邊形ABCD的對角線交于點的對角線交于點O,且且知道知道AD=（3，7），）， AB=（-2，1），求），求OB坐標。坐標。問題：問題：共線向量如何用坐標來共線向量如何用坐標來表示呢？表示呢？消去消去后得后得 也就是說，也就是說，a/b(b0)的充要條件是的充要條件是 x1y2-x2y1=0 x1y2-x2y1=0練習：下列向量組中，能作為表示它練習：下列向量組中，能作為表示它們所在平面內所有向量的基底，正確們所在平面內所有向量的基底，正確的有（的有（ ）（1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )（2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 )（3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4 )例例6、已知、已知 a=（4，2），）， b=（6，y），），且且 a/b ，求，求 y 的值。的值。例例7、已知、已知A（