1、1概率論與數理統計習題及答案習題1.見教材習題參考答案.2.設A, B, C為三個事件，試用A, B, C(1)A發生，B, C都不發生；(2)A與B發生，C(3)A, B, C都發生；(4)A, B, C(5)A, B, C都不發生；(6)A, B, C(7) A, B, C至多有2個發生；(8)A, B, C至少有2個發生.【解】(1) ABC(2) ABC(3) ABC(4) A U BU C=ABC UABCU ABCUABC U ABCU ABCU ABC=ABC(5)ABC=A B C(6)ABC(7)ABCU ABCU ABCUABCU ABCUABCUABC=ABC=AUBUC

2、(8)AB U BCU CA=ABCU ABCUABCU ABC3.4.設A, B為隨機事件，且P (A) =0.7,P(A-B)=0.3,求P (AB ).【解】P ( AB ) =1-P (AB) =1-P(A)P(A-B)=1 -0.7 -0.3=0.65.設A, B是兩事件，且P (A) =0.6,P(B)=0.7,(1)在什么條件下P (AB(2)在什么條件下P (AB【解】(1)當AB=A時，P (AB)取到最大值為0.6.(2)當A U B=Q時，P (AB)取到最小值為0.3.6.設A, B, C為三事件，且P (A) =P (B) =1/4, P (C) =1/3且P (AB

3、) =P (BC) =0 , P (AC)2=1/12，求A, B, C至少有一事件發生的概率.3【解】P (A U BU C) =P(A)+P(B)+P(C)_P(AB)_P(BC)_P(AC)+P(ABC)_11 11 _34 4 3一12一47.52張撲克牌中任意取出13張，問有是多少？P533213p C13C13C13C13/C52P (A) =65=(6)757(3)設A3=五個人的生日不都在星期日15P (A3)=1-P(A)=1-(亍)9.見教材習題參考答案.10.一批產品共N件，其中M件正品.從中隨機地取出n件(nN).試求其中恰有m件(m M)正品(記為A)的概率.(1)n

4、件是同時取出的；(2)n(3)n件是有放回逐件取出的.【解】(1)P(A)=CmCNY/CN(2)由于是無放回逐件取出，可用排列法計算.樣本點總數有PM種，n次抽取中有m次為正品的組合數為Cm種.對于固定的一種正品與次品的抽取次序，從品中取m件的排列數有P#種，從N-M件次品中取n-m件的排列數為mfmpn-mP (A) =n MNSPN由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成可以看出，用第二種方法簡便得多.5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率【解】8.(1)求五個人的生日都在星期日的概率；(3)求五個人的生日不都在星期日的概率【解】(1)設A1=五個人的生日都在星期日

5、、11、5P (A1)=-5=()757(2)設A2=五個人生日都不在星期日(2)求五個人的生日都不在星期日的概率；.，基本事件總數為75,有利事件僅1個，故(亦可用獨立性求解，下同)，有利事件數為65,故M件正PE種，P (A)mn-mCMCN -MCNN種取法，故所有可能的取法總數為Nn種，n4(3)由于是有放回的抽取，每次都有513.【解】7個球，其中計算至少有兩個是白球的概率.設Ai=恰有i個白球 (i=2,3),顯然s、C2C318P(A2)=亍C74個是白球，3個是黑球，從中一次抽取3個,A2與A3互斥.14.(1)(2)【解】35P(A兩粒都發芽的概率； 至少有一粒發芽的概率;恰

6、有一粒發芽的概率.C34335C73522A3)=P(A2)P(A3) = ”350.8和0.7,在兩批種子中各隨機取一粒，求:設Ai=(第i批種子中的一粒發芽, (i=1,2) P(AA2) = P(A)P(A2) =0.7 0.8 = 0.56(2)P(A A2) =0.7 0.8-0.7 0.8 = 0.94 P(AA2AA2)=0.8 0.3 0.2 0.7 = 0.3815.3次正面才停止.(1)問正好在第6次停止的概率；(2)問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現正面的概率【解】(1)212131pCf(-)2(-)3-=22 2532C4*1)31 P2=-t次抽取中有m次為

7、正品的組合數為cm種，對于固定的一種正、次品的抽取次序,m次取得正品，都有M種取法，共有Mm種取法，n_m次取得次品，每次都有N-M種取法，共有(N-M)項種取法，故P(A) =C：Mm(N -M)njm/Nn此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗，每次取得正品的概率為M,則取得Nm件正品的概率為mMP(A) = CniN N11.見教材習題參考答案12. 50只釧釘隨機地取來用在10個部件上，其中有3個釧釘強度太弱.每個部件用3只釧 釘.若將3只強度太弱的釧釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱.求發生一個部件強度太弱的概率是多少？【解】設A=(發生一個部件強度太弱_1_3_31P(A

8、) =C10C3/C30=1960m,M11一n _m67(2) p(A B) = P(A) P(B) -P(AB) =0.3 0.5-0.1 = 0.719.3個小孩，且其中一個為女孩，求至少有一個男孩的概率(小孩為男為女是等可能的). 【解】 設A=其中一個為女孩, B=至少有一個男孩，樣本點總數為23=8,故或在縮減樣本空間中求，此時樣本點總數為7.6 P(B A)=75%的男人和0.25%的女人是色盲，現隨機地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是 男人的概率(假設男人和女人各占人數的一半)【解】 設A=此人是男人 , B=此人是色盲,則由貝葉斯公式P(AB)WP(A)P(BA)P(B) P

9、(A)P(B A) P(A)P(B A)_0.5 0.05_ 200.5 0.05 0.5 0.00252121.9 : 0010 : 00在公園會面，求一人要等另一人半小時以上的概率16.【解】17【解】18.0.7及0.6 ,每人各投了3次， 求二人進球 數相等的概率.設A=甲進i球, i=0,1,2,3,Bi=乙進i球, i=0,1,2,3，貝U3_.33.2.2P(AiBi3)=(0.3) (0.4) C30.7 (0.3) C30.6 (0.4)i _0C：(0.7)20.3C3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3=0.320765雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有

10、兩只鞋子配成一雙的概率.C5C2CC C213p = |-4=一C40210.3,下雨的概率為0.5,既下雪又下雨的概率為0.1,求：(1)在下雨條件下下雪的概率;【解】 設A=下雨 , B=下雪.(2)這天下雨或下雪的概率(1) p(BA) =典鼻=0.2P(A) 0.5P(BA) =P(AB)-6/8P(A)7/820.86030題21圖【解】設兩人到達時刻為x,y，則0V x,y v 60.事件“一人要等 如圖陰影部分所示.P=602422.0, 1)中隨機地取兩個數，求：(1)兩個數之和小于6的概率；5，、1 ,一(2)兩個數之積小于 一的概率.4【解】 設兩數為x,y,則0 x,y1

11、.(1) x+y6.51 4 4 p1一255=!Z =0.68125(2)xy=30.(a)題22圖另一人半小時以90.7 -0.51一0.7 0.6一0.5一424.15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次比賽中任意取出3個球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個球，求第二次取出的3個球均為新球的 概率.【解】 設Ai=(第一次取出的3個球中有i個新球,i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均為新 球由全概率公式，有3P(B) P(B A)P(A)i z0即考試及格的學生中不努力學習的學生僅占2.702%一P(AB)P(A)P(B|A)(2) p(A B) = =IP(B) P(A

12、)P(B|A) + P(A)P(B|A)4 0.3077 0.8 0.1 0.2 0.9 13即 考 試 不 及 格 的 學 生 中 努 力 學 習 的 學 生 占30.77%.26.將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為2： 1.若接收站收到的信息是A,試問原發信息是A的概率是多少？【解】 設A=原發信息是A，則=原發信息是BC=收到信息是A,則=收到信息是B由貝葉斯公式，得25.按以往概率論考試結果分析，生有90%的可能考試不及格3 3 1 2 3 2 1 3C6C9C9C6C8C9C6C7=

13、+- * +- *3- +C1533C15C15333C15C15C15C9C3勇= 0.089努力學習的學生有.據調查，學生中有90%的可能考試及格，不努力學習的學80%的人是努力學習的，試問：(1)考試及格的學生有多大可能是不努力學習的人?(2)考試不及格的學生有多大可能是努力學習的人?【解】設A=被調查學生是努力學習的，則A=被調查學生是不努力學習的.由題意知P(A) =0.8, P ( A ) =0.2,又設B=被調查學生考試及格.由題意知P (B|A) =0.9, P(B|A ) =0.9,故由貝葉斯公式知(1)P(AB)=P(AB)P(A)P(B A)P(B)P(A)P(B|A)

14、+ P(A)P(B A)0.2 0.10.8 0.9 0.2 0.11=0.02702370.8 0.11027.1一【解】設Ai=(箱中原有i個白球(i=0,1,2)，由題設條件知P (Ai)= ,i=0,1,2.又設B=(抽3P(A B)=P(AiB)P(B)P(B|Ai)P(A)2 P(B A)P(A)i =0_2/3 1/3_11/3 1/3 2/3 1/3 1 1/3一328.96%是合格品，檢查產品時，一個合格品被誤認為是次品的概率為0.02,一個次品被誤認為是合格品的概率為0.05,求在被檢查后認為是合格品產品確是合格品的概率.【解】 設A=(產品確為合格品 , B=產品被認為是

15、合格品由貝葉斯公式得P(AB)=g(餌 JP(B) P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A)0.96 0.98 me- =0.998 0.96 0.98 0.04 0.05“謹慎的”，“一般的”，“冒失的”.統計資料表明，上 述三種人在一年內發生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30;如果“謹慎的”被保險人占20%,“一般的”占50% ,“冒失的”占30%,現知某被保險人在一年內出了事故， 則他是“謹慎的”的概率是多少？【解】29.設A=該客戶是“謹慎的”, B=該客戶是“一般的”,C=該客戶是“冒失的”, D=該客戶在一年內出了事故則由貝葉斯公式得Aim-P(AD) _P(A)P

16、(DIA)_P(A| D)-一P(D) P(A)P(D |A) P(B)P(D | B) P(C)P(D|C)0.2 0.050.2 0.05 0.5 0.15 0.3 0.3-0.05730.0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互獨立的，求加工出來的零件的次品率 【解】設Ai=第i道工序出次品 (i=1,2,3,4).4PJA) =1 -P(AIA2A3A4)= 1-P(AI)P(A2)P(A3)P(A)P(A)P(C A)P(A)P(C|A)十P(A)P(C A)2/3 0.982/3 0.98 1/3 0.01P(A C)=0.9949211= 1 -0.98 0.9

17、7 0.95 0.97 = 0.12431.0.2,問至少必須進行多少次獨立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?【解】設必須進行n次獨立射擊.1 -(0.8)n_0.9即為(0.8)n0.1故n 11至少必須進行11次獨立射擊.32.P (A| B) =P(A |B),貝U A, B相互獨立.P(AB) P(AB)【證】P( A| B P(A|B)= _P(B) P(B)亦即P(AB)P(B) = P(AB)P(B)P(AB)1 _ P(B) =P(A) _P(AB)P(B)因此P(AB) = P(A)P(B)故A與B相互獨立.111q_，、一 ,33.1, - ,1,求將此密碼破譯出5

18、34的概率.【解】 設Ai=(第i人能破譯(i=1,2,3),則3P(jA) =1 -P(A1A2A0 =1 -P(A)P(A2)P(A3),4 2 3 =1一 一 一 一= 0.65 3 434.0.4,0.5,0.7,若只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2;若有兩人擊中，則飛機被擊落的概率為0.6;若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率【解】設A=(飛機被擊落,Bi=恰有i人擊中飛機,i=0,1,2,3由全概率公式，得3P(A)P(A|Bi)P(Bi)i =0=(0.4X 0.5 X 0.3+0.6X 0.5X 0.3+0.6X 0.5X 0.7)0.2+(0.4 X 0

19、.5X 0.3+0.4 X 0.5X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0.4 X 0.5 X 0.7=0.4581235.25%，為試驗一種新藥是否有效，把它給10個病人服用，且規定若10個病人中至少有四人治好則認為這種藥有效，反之則認為無效，求：(1)雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過試驗被否定的概率.13(2)新藥完全無效，但通過試驗被認為有效的概率【解】(1)p1 =C%(0.35)k(0.65)10飛=0.5138k q(2)p2=E Cko(0.25)k(0.75)10=0.2241k J36.6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率:(1

20、) A=某指定的一層有兩位乘客離開；(2)B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；(3) C=恰有兩位乘客在同一層離開；(4)D=至少有兩位乘客在同一層離開【解】由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結果為106種.(1) P(A)=Cg，也可由6重貝努里模型:10621294P(A)=C6(一) (_)1010p6P(B) =11106(3)由于沒有規定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有C10種可能結果，再從六人中選二人在該層離開， 有C2種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：4人中有3個人在同一層離開，另一人在其余8層中任

21、一層離開，共有C；C4C8種可能結果；4人同時離開，有C9種可能結果;4個人都不在同一層離開，有P4種可能結果，故P(C) =C1C2(C9C4C8+C9+P4)/1。6(4) D=B.故P0PQECB)137. n個朋友隨機地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：(2)6個人在十層中任意六層離開，故14甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；甲、乙、丙三人坐在一起的概率；如果n個人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率(1)P1 =n T(1)(2)(3)【解】15P1n!38.0, a【解】設這三段長分別為x,y,ay.則基本事件集為由0 xa,0ya,0ax-ya所構成的圖形，有利事件集為由

22、x+ya - x - yx + (a_x_y)yy+(a_x_y)x構成的圖形，即I。a . x + y 乙反) E 一1因此P(甲正乙正)=-2(Sure-thing):若P (A|C) P(B|C),P(A|C)P(B|C),則P (A)P(AiAj) =(1-2)kn_n -1kP(A.&An1) =(1 -)k- n其中i1,i2, ,in_4是1, 2, , , n中的任n1個.顯然n節車廂全空的概率是零，于是一n1k 11k$ =P(A)=n(1-) =Cn(1- )idnn22kS2=，P(AiAj) C(1- )k1&：jinn&】=ZP(A1Ai22=

23、商(1-2)k1JM：2f _nn46. P(B).【證】由P (A|C) P(B|C),得P(AC) P(BC)P(C)一P(C)即有P(AC) _ P(BC)同理由P(A|C) _P(B|C),P(AC) _ P(BC),P(A) = P(AC) P(AC) _ P(BC) P(BC) =P(B)47.一列火車共有n有一個旅客的概率.【解】 設Ai=第i節車廂是空的 , (i=1, ,n)，則P(A)2n節車廂, 有k(k n)個旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節車廂內至少二()kn20Sn=0nP( Ai) =5 -S2S3-(-1)n1Sni :2111k 22knn1n_1k= C

24、n(1 ) Cn(1_ ) + +( 1) CP ) nnn故所求概率為1挪(&)=1一勇(1一與+。2(1一2)一+(一1)七(1-堂廣1nnn48.設隨機試驗中，某一事件A出現的概率為0.試證明：不論0如何小，只要不斷地獨立地重復做此試驗，則A退早會出現的概率為1.【證】在前n次試驗中，A至少出現一次的概率為1_(1一 ；)n 1(n 二)49.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國徽).在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？【解】設A=投擲硬幣r次都得到國徽B=(這只硬幣為正品由題知P(B)=m,P(B)=nm nm

25、 n1P(A|B) =27,P(A|B)=1則由貝葉斯公式知P(B|A)=冬=P(B)P(AIB)P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A|B)m 1my一mmVn1 m 2rn m n 2rm n50.巴拿赫(Banach)火柴盒問題：某數學家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發現一盒空時另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時(不是發現空)而另一盒恰有r根的概率又1【解】以BI、B2記火柴取自不同兩盒的事件， 則有P(B1) = P(B2) = . (1)發現一盒已空，2另一盒恰剩r根，說明已取了2n-r次，設n次取自

26、B盒(已空)，nT次取自B2盒, 第2n-r+1次拿起BI,發現已空。把取2n-r次火柴視作2n-r重貝努里試驗，則所求 概率為n. 1 .n1n -r1n1P1=2C2n_r( ) (一)Cn+nT2222式中2反映B1與B2盒的對稱性(即也可以是B2盒先取空).(2)前2nT7次取火柴，有n-1次取自B盒，nT次取自B?盒，第2n-r次取自B 盒，故概率為_n-1ln-1In-l_n-1I2n -r -4P2=2C；nt項匚滬偵)1=C；nt項 1) 22 22【解】 設在一次試驗中A出現的概率為p.則由(q + p)n=C：pqn+C1nPqnJL+C2p2qn+ C：pnq0=1n八0 0 n R nA八2 2 n_2nf n 051.n重貝努里試驗中A出現奇數次的概率22(q-p) =Gpq CnpqCnp q -(-1) Cnp q以上兩式相減得所求概率為八1n_j八3 3 n_3a =CnpqCnpq= 11 -(q -p)n 2= ：1(12p)n2若要求在n重貝努里試驗中A出現偶數次的概率，則只要將兩式相