1、第十章 矩量法解析方法僅適用于結構簡單的散射體。如果散射目標結構復雜，必須選用數值方法。數值方法是對所求解的微分方程或積分方程實施離散，采用一組基函數表示電場、磁場或感應電流等未知量，然后將電磁場微分方程或積分方程轉換為一組線性代數方程，即可按照標準的數值程序求解這些線性方程組。數值方法的優點在于容易處理結構復雜的散射體，而且通常可以獲得高精度解。隨著高性能計算機的飛速發展，數值方法已經成為解決實際問題的日益重要的工具。現今已有多種數值方法，各具特色，分別適用于求解不同的電磁問題。典型的數值方法是矩量法（MoM）、時域有限差分法（FDTD）和有限元法（FEM）等。本章討論矩量法，后兩章將分別介

2、紹時域有限差分法和有限元法。矩量法是求解算子方程的有效方法，這些算子通常是微分算子、積分算子或者是兩者的組合。20世紀60年代， R. F. Harrington首先將矩量法用于電磁問題的求解1。目前已經廣泛地用于天線分析、微波器件的設計以及復雜目標的雷達散射截面（RCS）的計算。通常認為矩量法是精度最高的數值方法，因此引起更多的關注。如今很多商用軟件的開發都基于矩量法。但是，矩量法需要求解稠密的矩陣方程。對于電大尺寸的散射體，它將十分消耗大量機時及內存。為了解決這個問題，人們作了很多努力，研發快速計算和有效的存儲方法。因此發展了很多有關積分方程的快速求解算法，大力推動了矩量法的應用。10-1

3、一般步驟典型的算子方程可以表示為下列形式（10-1-1）式中L為線性算子，可以是微分、積分或兩者組合，h為一個已知函數，f為待求的未知函數。這些函數可以是矢量或標量，且定義域可為一維、二維或三維空間。因此，在電磁學中它們可以是空間及時間函數。矩量法的一般步驟是，首先將未知函數表示為一組基函數的線性組合，然后匹配算子方程，最后由離散的線性方程組求出展開系數。下面詳述矩量法的具體步驟。首先令為一組基函數，那么，未知函數可以近似表示為（10-1-2）式中為展開系數，它們是未知的。如果N足夠大，上述表示式將非常精確。將上式代入式（10-1-1），得（10-1-3）下一步是選擇一組權函數，以每個權函數與

4、上式各項逐一相乘，并且在未知函數的定義域內求積，建立一組未知系數為的線性代數方程。該組方程可以表示為（10-1-4）該方程組的系數及右邊項分別為（10-1-5）（10-1-6）求出未知系數后，即可近似地決定未知函數，并由此求得其它場量。上面簡述了矩量法的求解過程，現在需要討論幾個問題。首先是基函數的選擇。對于基函數的兩個基本要求是完備性和正交性。完備性是指選擇的基函數可以精確地表示任何未知函數，且其精度隨著基函數的數目增加而提高。正交性可以放寬為線性獨立，即要求一組基函數中任何兩個必須是線性獨立的。眾所周知，一組線性獨立函數總可以應用所謂Gram-Smit方法使其正交化。此外，表示式的有效性通

5、常也是選擇基函數的重要判椐。如果基函數可使未知函數易于滿足實際的邊界條件，那么即是一種較好的基函數。具有實際應用的典型基函數有兩種：其一稱為全域基函數，另一個稱為分域基函數或稱為子域基函數。每一個全域基函數都在相同的域中定義，而每一個分域基函數的非零區域是在未知函數的部分域中定義。例如下列積分方程（10-1-7）其中未知函數的定義域為，因此，基函數是一組全域基函數。全域基函數的很大優點是各個基函數具有相同的表示精度。與分域基函數比較，采用全域基函數時通常待求的未知數的數目較少。因為使用全域基函數時無須網格剖分，數值計算也相對地易于實現。一些有用的全域基函數是多項式（例如。），以及正弦和余弦函數

6、。例如，對于區域，可以選擇作為一組基函數。全域基函數通常用于求解一維問題的線性積分方程，定義域為矩形的二維問題有時也可采用。全域基函數也可與分域基函數組合使用。一個典型的例子是，旋轉體散射問題的求解。此時，每個基函數是一個隨角度變化的全域基函數與一個軸向變量的分域基函數（例如方波函數或三角函數）的乘積。全域基函數的主要缺點是，它們僅可用于形狀規則的定義域，例如一維導線和二維的方形或矩形域。對于邊界形狀復雜的區域，定義全域基函數是十分困難的。一個分域基函數僅在部分函數域內定義有非零值，通常這部分域的尺寸遠小于波長。除了方波函數（又稱為脈沖基函數）以外，幾乎全部分域基函數（例如三角函數）具有重疊的

7、非零區。因此，為了定義分域基函數，通常需要將求解區域劃分為很多小片的集合，每個小片稱為一個網格單元或簡稱為一個單元。這樣的單元集合構成目標的近似表示，因此稱為網格。一些典型的網格單元形狀如圖10-1-1所示。典型的網格單元的形狀，對于線狀結構為線段；對于面狀結構為三角形和方形；對于體狀結構為立方體、四面體及棱柱體25。(a)(b)(c)圖10-1-1 典型的網格單元：(a)線段，(b)平面三角形，(c)六面體實際上，廣泛地選擇矩形基函數和三角基函數作為分域基函數25。許多其它基函數是該兩種基函數的變形或組合。一個矩形基函數在一個單元內定義為1，而在其余全部單元內定義為零。因此，任何兩個矩形基函

8、數的非零的子域不會重疊。三角基函數恰好相反，每個三角基函數在兩個單元中具有非零區域。顯然，基函數的選擇有時與網格的形狀有關。以一維為例，將未知函數定義在一個區域，再將該區域劃分為相同尺寸的N個子區。第n個子區的數學定義為，這里，而。一個矩形基函數定義為（10-1-8）該函數如圖10-1-2所示。1x圖10-1-2第n個矩形基基函數圖10-1-3 sinx函數的近似表示：(a) 原函數，(b) 14個矩形基函數，(c) 46個矩形基函數為了說明表示的精度，圖10-1-3中給出函數的近似表示，圖10-1-3(a)為原函數，圖10-1-3(b)使用14個矩形基函數表示，圖10-1-3(c)使用46個

9、矩形基函數表示。由圖可見，為了精確地表示一個函數需要大量矩形基函數。矩形基函數是在一個分段內用常數表示的函數，所以它是一個零階的函數。矩形基函數十分簡單，且易于編程。但是，它不是一個有效的基函數。為了改善表示的有效性，可以提高基函數的階數。三角函數是一個一階基函數，因為它在一段域內線性地由0增加到1，在相鄰的域內線性地由1降至0。因此，兩個相鄰的三角函數具有重疊部分。再以一維例子予以說明。令和為兩個相鄰的單元，那么一個三角基函數可以表示為（10-1-9）該函數如圖10-1-4(a)所示。圖10-1-4(b)使用5個三角基函數近似表示函數。顯然，三角基函數比矩形基函數能夠更加有效地表示原函數。圖

10、10-1-4三角基函數及其表示：(a) 第三和第四單元中的三角基函數。(b) 5個三角基函數近似表示函數。0x(a)(b)0x2下面討論算子方程的匹配技術。匹配即是使原方程在弱條件下近似成立的方法。例如在函數域中某點使方程兩邊相等，那么獲得一個代數方程。如果對于N個不同點重復進行，那么將獲得N個線性無關的方程。這是一種最簡單的匹配方法，通常稱為點匹配技術。總之，矩量法的一般步驟即是，首先選擇一個權函數，與算子方程相乘，然后將方程兩邊再分別在未知函數的定義域內進行積分。如果對于N 個不同的權函數重復進行，也可建立N個線性代數方程。現有許多不同的匹配方法，在矩量法中最為廣泛使用的是Galerkin

11、方法，這種方法選擇權函數組與基函數組相同。下面詳細說明使用矩形基函數作為權函數的點匹配技術。為了簡單起見，仍以一維問題為例。令為區域的中心，那么對于這個區域的方波函數定義為（10-1-10）如果使方程在等處進行點匹配，得 （10-1-11）點匹配技術基于場量在匹配點附近區域內（通常小于十分之一波長）是平滑的假定，其精度是有限的，且僅可用于小網格的情況。但是，點匹配技術避免了積分，便于應用。如果使用Galerkin方法匹配方程，那么，獲得的方程具有下列形式（10-1-12）Galerkin匹配方法的一個優點是，獲得的系數矩陣通常是對稱的，這將減小內存，因為所需的矩陣單元數僅略微超過一半。而且Ga

12、lerkin匹配方法比點匹配技術的精度高。上述算子方程的離散方法很容易推廣到二維和三維情況。矩量法的最后一步是求解線性方程組。現有很多標準程序可以完成這個任務。例如，廣泛用于科學與工程計算的LAPACK 和 PETsc兩個軟件包含有許多這樣的子程序。求解線性方程組的方法中，直接求解和迭代求解是兩種最為常用的方法。直接法所需的內存正比于（N是未知數的數目），所需的CPU時間正比于。這些方法最為精確，且適用于多個右端項。但是，隨著未知數的增加，CPU時間迅速加長。迭代法試圖以有限的迭代次數構造一個近似解。在計算電磁學中，共軛梯度法（CG）及其相關的變形廣泛地用于迭代求解2。迭代求解時，為了求解一個

13、右端矢量對應的未知數所需的內存和CPU時間正比于。必須承認無論直接求解還是迭代求解均限于求解電小問題。幸運的是，近數十年以來已經開發了很多快速積分方程求解方法，顯著地增強了矩量法的求解能力。10-2 線散射設一根理想導電的導線位于自由空間，其半徑為常數a，且遠小于波長。再令導線的中心線為C，其表面為S。如果是多根線體，C代表一組全部線體中心線的集合，而S代表全部表面的集合。在入射波作用下，導線表面產生的感應電流為，那么該電流產生的散射電場可以表示為（10-2-1）式中為三維自由空間Green函數，即（10-2-2）若以表示入射電場，那么理想導電表面的邊界條件可以表示為（10-2-3）式中下標“

14、t”代表矢量的切向分量。由于導線很細，確切地說導線半徑為電小尺寸，那么可取兩個近似：認為導線中的電流在垂直于導線的平面內為常數；不考慮電流圓周方向的 f 分量，因為該分量的輻射由于相互抵消，因而貢獻通常很小。這就是所謂的電細導線近似。通常，如果導線的半徑小于或等于0.01l，l為激勵波的波長，那么即可認為電細導線。如果導線半徑不滿足這個條件，或者要求更高的精度，應該采用三維全波模型，詳述見10-5節。在電細導線近似情況下，未知的表面電流可以表示為（10-2-4）式中為沿表面S的切線方向上的單位矢量。因此，面積分方程簡化為線積分方程，即應用分部積分法，得或者寫為（10-2-5）必須指出，上述積分

15、方程隱含一種近似，即源點僅限在導線中心，而場點r僅限在導線表面。對于電細導線，這種近似引起的誤差可以忽略。上述方程也可寫成如下形式 （10-2-6）現用矩量法求解未知電流函數。為了能夠適用于任意取向和長度的導線，使用分域基函數。首先將曲線C分成N個子段，且表示為。每段長度遠小于波長，典型值的范圍是0.050.1，這里為激勵波的波長。那么，未知的電流函數可以展開為一組N個矩形基函數的加權求和，即 （10-2-7）將上式代入積分方程式（10-2-6），得 （10-2-8）現在每個線段的中心處匹配上述方程式（10-2-8），得（10-2-9）此式為一組未知系數為的線性代數方程。如果將該方程寫成矩陣形

16、式，那么系數矩陣（也稱為阻抗矩陣）的單元具有下列形式（10-2-10）因為是一個方波函數，當源點在線段上，數值為1，其余點為零。上式可以簡化為（10-2-11）當匹配點（也稱為場點）不在線段上，即，上式中的積分可以用單點求積規則近似為（10-2-12）式中為線段的長度。注意，上式中的二次微分可用下列步驟求得。因為，可見，僅需求出和。令和分別為曲線的起點和終點，那么，位置矢量r可用本地坐標變量l表示為（10-2-13）求得（10-2-14）式中再利用公式，求得， 上述式中。當位置矢量r位于線段上，使用另一種方法求積。已假定源點位于導線中心，場點r位于導線表面，因此場點至源點的距離永遠不會為零。事

17、實上，該距離可用本地坐標變量l表示為當l由0變化到時，R具有最小值a，此處a為導線半徑。此外， 可以使用任一種一維積分規則求積上述積分，即（10-2-15）式中和分別為標準的Gauss積分權值和節點。因為線段通常遠小于波長，積分規則的階數需要很高。在大多數情況下，三階可以滿足精度。對于遠區散射場，考慮到，自由空間Green函數可取下列近似（10-2-16）那么，遠區散射電場可以表示為（10-2-17）式中為了計算平面波入射時導線的雷達散射截面（RCS），令入射波的電場為（10-2-18）式中這里，為入射波的傳播矢量，為垂直于的常矢量，和為入射波的方位角。由式（6-1-13）知，平面波入射時目標

18、的單站雷達散射截面為（10-2-19）式中為入射波的振幅，為散射波的振幅。觀察兩個實例。第一個例子是三元天線陣的結構如圖10-2-1(a)所示。單元導線的長度為0.5m，半徑為5mm。三根導線均位于xz平面內，且與z軸平行，其坐標位置分別為。入射波的頻率為300MHz，入射方向為。在的觀察面內，利用上述方法計算雙站雷達散射截面的結果如圖10-2-1(b)所示。圖10-2-1 三元天線陣的雙站雷達散射截面RCS(dBsm2)角度q s(b)xz0(a)-0.3m0.3m另一個例子是V形天線的結構如圖10-2-2所示，其中第一根導線的起點和終點坐標分別為(2,0,-4) 和(0,0,0)，第二根導

19、線的起點和終點坐標為(0,0,0) 和 (2,0,4)。由此可見，第一根導線的終點和第二根導線的起點相連，所以電流由導線流向導線。若入射波的頻率仍為300MHz，那么在的平面內，利用上述方法計算單站雷達散射截面的結果如圖10-3-2(b)所示。圖10-2-2 V形天線的單站雷達散射截面RCS(dBsm2)角度q s(b)x(a)z-442010-3二維散射下面討論柱體的電磁散射問題。為了簡單起見，僅考慮平面波向柱體垂直入射的特殊情況。這里，作為散射目標的柱體具有三個特點： 在xy平面內的尺寸是有限的； 在z方向上為無限長； 物理特性和幾何形狀沿z方向不變。由于任何平面波均可表示為TE 波與TM

20、波之和，僅需討論TE 波與TM波的電磁散射。在下面的討論中，假定散射體位于自由空間，其橫截面的邊界均以C表示。對于多柱體情況，C代表所有柱體橫截面的邊界聯合。10-3-1二維TM波散射首先討論具有任意形狀的橫截面的理想導電柱體對TM波的散射。此時僅需考慮電場強度的分量，因為電場強度的其他分量為零，而全部磁場分量又可由該分量導出。設入射波為，產生的表面電流為。將二維自由空間Green函數的表示式（6-7-11）代入式（6-7-15），即可獲得該表面電流產生的散射場為（10-3-1）再將式（6-7-11）代入式（6-7-16），即可建立以表面電流為未知數的散射場積分方程為（10-3-2）該方程是根

21、據電場的切向分量建立的，因此稱為電場積分方程，簡稱為EFIE（Electric Field Integral Equation）2。為了處理任意形狀橫截面的散射體，選用分域基函數離散積分方程，而且使用矩形基函數或三角基函數展開未知的表面電流函數25。由于表面電流方向為z軸方向，沒有環向電流分量，矩形基函數即可精確地描述。為此，將邊界C分為N個子段，令第n個子段為，那么表面電流可以展開為（10-3-3）式中為矩形基函數。當在子段上，矩形基函數為1，其余處為零。可見，展開系數就是子段上的表面電流的振幅。將式（10-3-3）代入式（10-3-2），然后在點測試獲得的方程，得（10-3-4）如果將上式

22、寫成矩陣形式，那么該矩陣的元素為（10-3-5）此式可以使用與前述線積分方程的相同方法求積。因此，當不在子段上時（），積分可用單點矩形規則近似，即（10-3-6）式中為子段的長度。當測試點位于源區，則位置矢量可以表示為那么，Hankel函數的宗量為利用小宗量Hankel函數的近似公式，求得式中。因此，當時，式（10-3-5）變為2右邊第一個積分的被積函數是正則的，因為奇異部分已經去除。因此，這是一個平滑函數。如果使用單點矩形規則求解這個積分，其值為零。求解第二個積分可以使用下列公式根據上述結果，獲得的矩陣元素為（10-3-7）為了精確描述表面電流的變化，每個子域的長度應該遠小于一個波長，通常為

23、0.1l0到0.05l0。如果期望獲得更精確的阻抗值，可以采用高階數值規則替代單點矩形規則。由式（10-3-7）可見，矩陣元素僅決定于測試段和源區段的中心點的距離。如果該距離為常數，則對于截面為圓的散射體的離散具有特別意義。此時，任一列的矩陣元素是前一列的移后的結果，任一行矩陣元素也是如此。具有這種特性的矩陣稱為循環矩陣。對于循環矩陣，僅需儲存一行或一列單元。因此，顯著地簡化矩陣的計算，大大地減少內存。為了讀者方便，表10-3-1給出了一個離散例子的矩陣的第一列矩陣元素，此時散射體是半徑為0.5l0的理想導電圓柱。進行離散時，自開始等間隔地將其劃分為32個子段，即第一段的弧長從到。表10-3-

24、1理想導電圓柱散射體的第一列矩陣元素行號i矩陣元素(實部，虛部) 行號i矩陣元素(實部，虛部)12345678910111213141516-58.1763 84.8695-52.7822 16.7679-38.2671 -14.215818.9280 -28.09153.86963E-02 -29.657814.4025 -22.595522.0589 -11.160523.1466 0.72406719.3518 10.3580912.9222 16.5567105.85960 19.39140.493084 19.66785.49485 18.42329.03160 16.593711.

25、2773 14.8701-12.4887 13.686517181920212223242526272829303132-12.8676 13.269112.4887 13.686511.2773 14.8701-9.03160 16.5937-5.49485 18.4232-0.493075 19.66785.85962 19.391412.9222 16.556719.3518 10.3580923.1466 0.72407822.0589 -11.160514.4025 -22.59553.86890E-02 -29.6579-18.9279 -28.0915-38.2671 -14.2

26、158-52.7822 16.7679求出展開系數后，即可計算導電體表面的感應電流以及散射場。表面電流的計算比較方便，因為展開系數本身就是子段中心點的電流數值。將式（10-3-3）代入式（10-3-1），散射場可用展開系數表示為（10-3-8）如果僅需計算遠區場以及雷達散射截面（RCS），可以使用大宗量Hankel的近似公式，簡化上述計算。當時，可取。求得散射場為（10-3-9）根據上述結果，可將二維雷達散射截面表示為 （10-3-10）下面給出幾例，比較矩量法計算散射體的RCS與嚴格解析方法的結果。第一個例子是，入射的TM波頻率為300MHz，理想導電圓柱的半徑為。圓柱截面的周長約為，被等間

27、隔地分為128段。因此，每段長度約為。將此結果與級數解（下面稱為嚴格解）比較，點點平均誤差為0.0056 dBm，足以滿足大多數工程要求。圖10-3-1給出入射方位角時雙站RCS的比較結果。散射體的表面電流振幅比較如圖10-3-2所示，其振幅已用377歸一化。可見兩種結果十分一致。圖10-3-2 導電圓柱的表面電流角度f歸一化電流振幅 嚴格解· 矩量法圖10-3-1 導電圓柱的雙站RCSRCS(dBm)角度f 嚴格解· 矩量法由上例可見，矩形基函數和點匹配技術對于TM波散射可以獲得很精確的結果。這是因為散射體的表面是平滑的。為了說明表面具有尖角的散射體情況，考慮橫截面為三角

28、形的理想導電柱體。令三角形的三個頂點坐標分別為(-2,0), (2,0)和(0,1)，坐標單位為m（如不特別注明，本章坐標的尺度均以米為單位）。入射波的頻率為300MHz，入射方位角。求解該散射問題時，使用兩種不同的離散密度。第一種離散的子段長度近似為，第二種離散的子段長度大約為。兩種情況的RCS如圖10-3-3所示，可見兩者相當一致。歸一化電流振幅子段長度»0.05l0-子段長度»0.1l0角度fxy圖10-3-3 兩種離散的電流分布圖10-3-4 兩種離散的RCSRCS(dBm)角度fRCS(dBm)兩種離散密度獲得的電流分布特性則差別較大。因為表面不平滑，表面離散時出

29、現不連續點。靠近這些不連續點附近的電流也出現奇異性。三角形頂點處的電流振幅理論上接近無限大。由于求解誤差，矩量法的結果不可能達到無限大。但是，由圖10-3-3可見，在這些點附近的電流仍然很大。第二種離散密度求出的奇點處電流振幅大于第一種。但是，由圖10-3-5可見，兩種電流產生的RCS相同，主要是因為奇點處電流對于遠區場貢獻很小。圖10-4-5給出了理想導電方柱對于頻率為300MHz，入射方位角的TM波散射時，矩量法（MoM）和下一章將要介紹的時域有限差分法（FDTD）計算獲得的雙站RCS的結果。由上述幾個計算例子可見，對于TM波散射，使用矩形基函數及點匹配技術可以獲得精確的結果。無論是表面平

30、滑的圓柱或具有尖角的柱體都是如此。RCS(dBm)角度fMoM·· FDTD圖10-3-5 MoM和FDTD對于理想導電方柱的RCS計算比較10-3-2 二維TE波散射對于TE波，僅需考慮磁場的z分量，電場分量均可由此分量導出。同時，在理想導電表面也會產生切向感應電流。為此，設未知函數為矢量電流密度函數J。因為已知電流密度的方向與表面相切，僅需一個標量函數描述電流密度的振幅變化特征。根據理想導電表面的電場切向分量為零的邊界條件建立積分方程。由第六章獲悉散射電場可用二維Green函數表示為 （10-3-11）式中算子為相應運算（梯度或散度）的橫向分量。為二維自由空間Green

31、函數，即 （10-3-12）令為入射電場強度，那么，根據理想導電表面的電場切向分量為零的邊界條件，獲得下列積分方程（10-3-13）此式是以感應電流為未知數的電場積分方程。仍然可以使用矩形基函數和點匹配技術，具體過程不再重述，留給讀者作為練習。為了完整起見，這里采用三角基函數。該三角基函數的非零域為共節點的兩個線段，當然它是一次的。為了描述三角函數的變化，將兩個線段的另外兩個節點稱為端點（或稱為浮點）。該三角函數自線段的一個端點線性地由0增至公共節點處的1，然后再由1降為0到達另一個端點。第n個三角函數的數學描述如下 （10-3-13）式中和分別為第一條和第二條線段的路徑，為的長度，為兩個端點

32、的位置，如圖10-3-6所示。圖10-3-6 兩條相鄰的路徑為了簡單起見，式（10-3-13）有時可以改寫為式中 （10-3-14）由上可見，基函數的方向為路徑的切線方向，在公共節點的數值為1。如果展開未知的感應電流，其系數代表公共節點的電流數值。該展開式可取下列形式 （10-3-15）將上式代入積分方程，使用Galerkin方法測試獲得的方程，求得的矩陣方程的元素為（10-3-16）而右端項為（10-3-17）上式中，為第n個基函數的非零值域。由于增加了奇異性以及基函數的復雜性，此時阻抗矩陣的求解較為復雜。為了數值計算該積分，首先需要簡化上述表示式。可以證明，該基函數的散度為（10-3-18

33、）此外，使用分步積分法將標量位的梯度運算轉移至測試函數，步驟如下。將式（10-3-16）的源積分記為（10-3-19）上式為標量位的精確表示式。根據矢量恒等式，得那么，上式右邊第一項積分為因為在兩條線段的端點處基函數為零，上述積分實際上為零。因此求得（10-3-20）注意，測試函數的橫向散度可以移出積分符號外，因為它是常數。但需記住該常數在兩條線段取值不同。現將式（10-3-19）該寫為 （10-3-21）式中為正比于基函數的矢量位函數。定義為 （10-3-22）因為標量位函數和矢量位函數均為平滑函數，對于測試域的積分可用任何數值方法求積。為了獲得和，先介紹源積分的計算。如前所述，當測試積分不

34、在上，被積函數沒有奇點，可以使用任一種數值方法求積。如果測試點位于上，需要提取奇異點以便處理源積分，下面詳細說明。首先注意二維Green函數的奇異值實際上為lnR，這里為源點至場點的距離。因此，可將二維Green函數表示為上式右邊第一項是正則的，為了方便起見，通常記為，即因此，求得上面兩個位函數積分中，僅需計算下列積分使用本地坐標表示基函數，可以進一步簡化矢量積分。為此，考慮到區域，每個子域和具有一個起點和一個終點。因為兩個子域共有一個節點，子域實際上由三個獨立點定義：第一個子域的起點，兩個子域公共點，以及第二個子域的終點。根據這些節點，使用本地坐標可將基函數展開為因為，故是由子域的起點指向終

35、點的單位矢量。類似地，是由公共點指向子域的終點的單位矢量。和均為常矢量。測試點和源點也可使用本地坐標表示為，那么，源點至場點的距離R可以表示為， ， 積分宗量為， ， ， ， 使用上述符號，得式中因為，上述兩個函數是解析的，注意當，。考慮到，使用數值求積方法求出位函數為式中這是一個和的正則函數，使用一階或二階求積即可計算。下面舉例說明矩量法對于TE波散射的應用。首先給出矩形基函數和點匹配技術的結果。圖10-3-7和圖10-3-8分別給出半徑為2的理想導電圓柱體散射時雙站RCS及其電流分布，入射波的頻率為300MHz，方位角。使用矩量法求解時，圓柱周長被等間隔地化分成124段。圖中同時也給出嚴格

36、解的結果，以便比較。可見兩者十分一致。歸一化電流振幅角度f嚴格解·· MoM圖10-3-8理想導電圓柱的表面電流分布RCS(dBm)角度f嚴格解·· MoM圖10-3-7理想導電圓柱的雙站RCS由圖可見，即使離散尺寸為0.1，矩量法可以獲得很高的精度。但是，電流分布的精度較低一些，其原因可用模式概念給予解釋。電流的分布特性可用很多模式描述，正弦或余弦函數均可用來描述電流隨角度 f 的變化特性。低階模式具有比較平滑的分布特性，可用方波函數精確地描述；高階模式變化尖銳，使用方波函數不易表示。此外，由于較低階模式對于遠區場的貢獻較強，而高階模式對于RCS的貢獻

37、較弱，因此，即使電流分布的精度不高，也可獲得精確的RCS結果。下面再給出相同圓柱的電流分布，但是使用三角基函數和Galerkin方法。其結果示于圖10-3-9中。在此計算中，圓柱的周長被分為124段，基函數也是124個。由圖可見，對于相同的網格尺寸，解的精度顯著高于矩形基函數的結果。RCS的改善不太明顯，原因如上所述，其結果這里不再提供。歸一化電流振幅角度f嚴格解·· MoM圖10-3-9理想導電圓柱的表面電流分布（使用三角基函數和Galerkin方法）10-3-3二維體散射問題已經討論了矩量法求解具有任意橫截面的理想導電圓柱對于TM波和TE波的散射，本節將討論介質圓柱對于

38、TM波和TE波的散射問題。開始先假定介質特性在橫截面內是可變的，而在軸線方向上沒有變化。如果介質特性在橫截面內是均勻的，可以利用邊界條件建立面積分方程進行求解。這里先處理非均勻介質，后面再討論均勻介質。為了簡單起見，假定介質是非磁性的，即磁導率。讀者可以很容易將電性材料的結果推廣到磁性材料。同時，入射波仍分為TM波和TE波，入射方向仍假定垂直于圓柱體。與理想導電柱的情況一樣，如果入射波是TM波，那么僅需求解總電場的z分量。由于散射體是無限長的柱體，所需討論的是場和源在橫截面內的變化。建立積分方程，積分僅在橫截面內進行。根據體等效源原理，利用感應的極化電流計算散射場。已知介質內的總電場為入射電場

39、和散射電場之和，因此，建立的積分方程如下 （10-3-24）由式（4-4-30）獲知，感應的極化電流與總電場的關系為 （10-3-25）式中介電常數通常是空間函數。考慮到式（10-3-25），積分方程式（10-3-24）實際上僅含有一個未知數。這個未知數可以是或，因為將使用矩形基函數表示未知數，任選其一均可。但是為了與三維問題一致，令未知函數正比于位移電流，即極化電流與未知的位移電流的關系為 （10-3-26）式中。因此，積分方程式（10-3-24）可以改寫為（10-3-27）圖10-3-10橢圓柱的四邊形網格下面用矩量法求解上述積分方程。首先，將介質柱的橫截面剖分為小的網格單元。單元的形狀通

40、常是三角形或四邊形。但是三角形比四邊形更為靈活，自由度更大一些。這里對于TM波散射，使用四邊形剖分橫截面。對于網格的要求是，平均尺寸大約為0.1，用于方波和一階基函數。網格的形狀盡可能接近正方形。有時使用網格質量因子來衡量網格接近理想網格的程度，此時全部四邊形均為相同尺寸的正方形。令為N個四邊形中的最長的棱邊長度，橫截面的面積為S，那么網格的質量因子定義為。一個理想的四邊形網格，。較大的質量因子意味是一個壞網格。較大的網格質量因子通常將導致解的精度較低，當使用迭代方法求解矩陣方程時，收斂很慢。圖10-3-10給出一種網格的式樣用于橢圓形的橫截面的剖分。其次，選擇一組基函數展開未知的電流函數。對

41、于方形網格使用矩形基函數十分簡便。第n個基函數定義為式中為Jacobian系數，即，未知函數的展開式為代入式（10-3-27）中，在每個四邊形的中心（）測試獲得的方程，結果求得一組線性方程為 （10-3-28）式中，。如果將式（10-3-28）寫成標準的矩陣形式，那么矩陣元素及右端項分別為 （10-3-29）式中，當匹配點不在上，上述面積分很容易求積，因為沒有奇異性。為了便于數值求積，使用一對本地坐標表示位置矢量，即 （10-3-30）式中，為四邊形的四個頂點如圖10-3-11所示，它們按照右手定則設置。圖10-3-11四邊形網格及其頂點利用式（10-3-30），得利用Jacobian變換，可

42、將上述積分由xy平面變換到 uv平面，即 （10-3-31）如果測試點不在源區，那么該積分很容易使用單點或4點求積方法求出。若源點離開源區半波長，單點Gauss求積已經足夠。僅當測試點位于幾個相鄰源區，需要高階Gauss求積。當測試點位于上，即，可以使用奇點提取技術或Duffy變換方法。奇點提取技術前面已討論過，下面介紹Duffy變換方法。考慮處理下述積分 （10-3-32）式中為內部任一點。這樣假定是正確的，因為測試積分使用Gauss求積，測試點總是位于四邊形的內部，不在邊界上。如果位于邊界上或頂點，下述算法只需稍微修改仍然可以應用。使用測試點作為共同頂點，在uv平面內將單一四邊形積分域劃分

43、為4個子域，每個子域為三角形。如果測試點位于一條邊上，那么僅得到3個非零子域。如果測試點位于一個頂點，那么只有兩個非零子域。這里考慮具有4個子域的一般情況。令測試點位于，如圖10-3-12所示。子域記作。因此，式（10-3-32）中的積分可以表示為4個積分之和，每個積分分別位于一個分離的子域內，即式中，。這里為具有，三個頂點的三角形，其數值列于表10-3-2。u(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)v圖10-3-12 一個四邊形的剖分子域uavaubvbD10010D21011D31101D40100表10-3-2 子域的定義各個子域的積分可以進行下列變換（10-3-33a）（10-3-33

44、b）上述變換是將平面內的一個三角形映射到平面內一個單位三角形，如圖10-3-13所示。··Di(u0 ,v0)(ub ,vb)(ua ,va)u¢v¢(0,0)(1,0)(0,0)(1,1)u1v1圖10-3-13 任意位置和取向的三角形映射該映射定義為其Jacobian行列式為該行列式為一個常數，其值實際上等于平面內三角形面積的兩倍。考慮到，以及，即可證明這個結論。在此變換中，對于的積分為現在利用Duffy技術移去奇點。令，式中t是一個新的變量，上述積分變為再證明上述積分沒有奇點。為此，參照式（10-3-30），位置矢量和可以表示為式中是四邊形的四個頂

45、點。因此這里多項式定義如下 當時，為零。因此可以展開為式中均為常數。這樣，可以表示為下列一般形式這些展開系數列于表10-3-3中。注意，使用Gauss積分計算測試積分時，位于平面內單位正方形的內部，因此系數可以大于零或小于零。那么（10-3-34）jCj1Cj2Cj311-v01-u0-12v0-1u013-v0-u0-14v0u0-11圖10-3-3距離展開系數由式（10-3-33）求得同理可得上式中，注意，當t由0變到1時，和均不會為零。將上述結果代入式（10-3-34），得因此式中根據，公式，可以證明，。四個子域的積分變為因為Green函數的奇異性表現為那么，當時，則這就意味被積函數為正

46、則函數，可以使用任一種數值求積方法計算。下面給出一例，考慮介質圓柱對于TM波的散射。圓柱半徑為1.0，橫截面被化分為864個小四邊形，相對介電常數為。圖10-3-13給出該圓柱的雙站雷達散射截面。入射波的頻率為300MHz，入射方位角。圖中也給出嚴格解的結果，可見兩者十分一致。圖10-3-13介質圓柱的RCS角度fRCS(dBm)嚴格解·· MoM對于TE入射波，產生的極化電流密度方向為橫向，且為一個矢量函數。該問題求解與三維散射體的面積分方程非常類似。因此，在分析三散射體的散射問題時再進行討論。10-4三維散射實際中，散射體通常是三維的，本節將討論三維目標電磁散射的矩量法

47、求解69。將分為面散射體和體散射體兩種類型，重點討論面散射問題，而且主要討論理想導電表面的散射。熟悉三維理想導電體散射的求解方法后，很容易將此技術推廣到其它復雜的散射體。最后，將簡單地介紹體散射以及面和體的混合散射問題的求解方法。10-4-1三維面散射當電磁波投射到理想導電體時，將在導電體的表面產生表面電流。假定散射目標位于無界的自由空間，S為導電體的表面區域，也可能是多個散射體表面的組合。令感應表面電流密度為，該表面電流產生的散射場為。根據3-1節位函數理論，獲知散射場可用位函數表示為（10-4-1）式中和分別為矢量位和標量位。再由3-7節，且考慮到，位函數可用三維自由空間Green函數表示

48、為（10-4-2）（10-4-3）式中三維自由空間Green函數為（10-4-4）根據理想導電體表面總電場的切向分量為零的邊界條件，獲得下列積分方程（10-4-5）下標“t”表示切向分量。上式為以電流密度為未知數的電場積分方程（EFIE）。值得提出的是，上述積分方程有時表示為下列矢量形式式中為表面的單位法向矢量。上式又稱為nEFIE，因而式（10-4-5）又稱為tEFIE。對于任意形狀的三維目標，尋找全域基函數是不可能的，全部三維矩量法的求解均使用子域基函數。一個子域基函數通常與表面的剖分方法密切相關。用于三維表面剖分的典型單元形狀有：三點定義的平面三角形；6點或更多點定義的曲邊三角形；平面矩

49、形；準平面四邊形和曲邊四邊形。當然還有其它形狀，本節主要使用平面三角形網格。使用平面三角形剖分的優點是，比較簡單，易于表示和處理；比較靈活，易于模擬任意形狀的三維表面，尤其是具有尖銳的拐角和棱邊。直接可以使用，許多CAD程序支持這種平面三角形網格。一個網格定義為一組節點的集合，而一組網格單元由這些節點決定。對于一個三角形網格有兩個要求：第一是必須很好的連接，第二是限制網格的形狀和尺寸。良好的連接要求任一個三角形不能進入其它三角形的內部或位于任一條棱邊上。圖10-4-1給出不良連接的例子，圖(a) 為部分重疊，圖 (b)為接點落在另一個三角形的棱邊上。對于三角形網格形狀和尺寸的要求是，全部三角形

50、應尺寸相同，且盡量接近等邊三角形。圖10-4-1不良的連接：(a)部分重疊；(b)節點落在棱邊上。452(b)(a)影響三角形網格質量的主要因素有兩個。其中之一是平均軸比，它定義為，這里為一個三角形的外接圓的半徑，為其內切圓的半徑。一個等邊三角形的軸比為1。如果全部三角形都是等邊的，那么網格的平均軸比為1。許多實際三角形網格的平均軸比通常大于1。因此，軸比越接近1，網格的質量越好。但是，平均軸比不會影響網格尺寸的差別。若一個三角形的網格中一部分尺寸相同，另一部分尺寸不同，也不是一個好的網格。為了將網格的形狀和尺寸計入網格的質量，使用先前定義的網格質量因子。對于三角形，網格的質量因子為三角形的尺

51、寸取決于使用的基函數。下面將要討論的Rao-Wilton-Glisson基函數要求三角形的平均棱邊長度約小于或更短一些。注意，太短的棱邊長度將導致低頻崩潰。對于單精度計算機，當平均棱邊長度約小于或更短時，將發生低頻失效。關于網格還有一個問題應該指出的是網格面的指向。使用電場積分方程（EFIE）時，對于開域問題這個問題并不重要。但是，使用后面將要介紹的磁場積分方程（MFIE）或組合場積分方程（CFIE）時，對于閉合區域，網格面的指向十分重要。由于三維表面問題中，未知的電流函數是一個矢量函數，此時基函數也是矢量函數。由S. M. Rao, D. R. Wilton和 A. W. Glisson 等學者創建的RWG基函數廣泛地用于三角形網格6。RWG基函數由兩個共邊的三角形定義。令兩個三角形為和，每個三角形都是平面的，但是兩個三角形不一定位于同一平面。圖10-4-2給出RWG基函數的幾何圖形。圖中和分別為兩個三角形的第一個節點。圖10-4-2 RWG基函數第n個RWG基函數為（10-4-6）式中為公共邊的長度，分別為三角形的面積。該基函數具有兩個重要特性。第一個特性是棱邊法向分量的