1、系統的時域分析 線性時不變系統的描述及特點 連續時間LTI系統的響應 連續時間系統的單位沖激響應 卷積積分及其性質 離散時間LTI系統的響應 離散時間系統的單位脈沖響應 卷積和及其性質 單位沖激響應表示的系統特性線性時不變系統的描述及特點線性時不變系統的描述及特點連續時間系統用N階常系數微分方程描述 )()( )()()()( )()( 01)1(1)(01)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnnai 、 bi為常數。離散時間系統用N階常系數差分方程描述00jkfbikyajmjiniai 、 bi為常數。線性時不變系統的特點線性時不變系統的特點LTI系統除具有

2、線性特性線性特性和時不變特性時不變特性外，還具有:1）微分特性與差分特性：若 T f(t)=y(t)則dttydttfT)(d)(d若 Tfk= yk則 T fk -fk-1= yk - yk-1 2）積分特性與求和特性：若 T f(t)=y(t)則d)(d)(yfTtt若 Tfk= yk則nynfTknkn連續時間LTI系統的響應 經典時域分析方法經典時域分析方法 卷積法 零輸入響應求解 零狀態響應求解系統響應求解方法系統響應求解方法1. 經典時域分析方法:求解微分方程2.卷積法:系統完全響應=零輸入響應+零狀態響應求解齊次微分方程得到零輸入響應利用卷積積分可求出零狀態響應)()()(tyt

3、ytyfx)(*)()(thtftyx一、 經典時域分析方法微分方程的全解即系統的完全響應, 由齊次解yh(t)和特解yp(t)組成)()()(tytytyph齊次解yh(t)的形式由齊次方程的特征根確定特解yp(t)的形式由方程右邊激勵信號的形式確定齊次解齊次解yh(t)的形式的形式(1) 特征根是不等實根s1, s2, , sntsntstshneKeKeKty2121)(2) 特征根是相等實根s1=s2=sntsnntstshetKteKeKty 1 2 1)(3) 特征根是成對共軛復根)sincos()sin cos()(11111tKtKetKtKetyiiiitthi2/,nijs

4、iii常用激勵信號對應的特解形式輸入信號特解KAKtA+BtKe-at(特征根 sa)Ae-atKe-at(特征根 s=a)Ate-atKsin0t 或 Kcos0tAsin0t+ Bcos0tKe-atsin0t 或 Ke-atcos0tAe-atsin0t+ Be-atcos0t例例1 1 已知某二階線性時不變連續時間系統的動態方程初始條件y(0)=1, y(0)=2, 輸入信號f(t)=et u(t)，求系統的完全響應y(t)。0),()(8)( 6)(ttftytyty0862 ss4221ss，ttheKeKty3221)(特征根為齊次解yh(t)解 (1)求齊次方程y(t)+6y(

5、t)+8y(t) = 0的齊次解yh(t)特征方程為2) 求非齊次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)解得 A=5/2，B= 11/6由輸入f (t)的形式，設方程的特解為yp(t)=Ce-t將特解帶入原微分方程即可求得常數C=1/3。3) 求方程的全解tttpheBeAetytyty31)()()(42131)0(BAy23142)0( BAy0,3161125)(42teeetyttt討論討論1) 若初始條件不變，輸入信號 f(t) = sin t u(t)，則系統的完全響應y(t) =？2) 若輸入信號不變，初始條件y(0)=0, y(0)=1, 則系統的完

6、全響應y(t)=？經典法不足之處經典法不足之處若微分方程右邊激勵項較復雜，則難以處理。 若激勵信號發生變化，則須全部重新求解。 若初始條件發生變化，則須全部重新求解。 這種方法是一種純數學方法，無法突出系統響應的物理概念。二 卷積法系統完全響應=零輸入響應+零狀態響應1. 系統的零輸入響應是輸入信號為零，僅由系統的 初始狀態單獨作用而產生的輸出響應。0)()( )()( 01)1(1)(tyatyatyatynnn數學模型:求解方法： 根據微分方程的特征根確定零輸入響應的形式，再由初始條件確定待定系數。解 系統的特征方程為例2 已知某線性時不變系統的動態方程式為: 系統的初始狀態為y(0)=1

7、，y (0)=3，求系統的零輸入響應yx(t)。)(4)(6522tftydtdydtyd0t0652 ss3221ss，ttxeKeKty3221)(0,56)(32teetyttx系統的特征根為 y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y (0)= yx(0)= 2K13K2 =3解得 K1=6，K2=5例3 已知某線性時不變系統的動態方程式為系統的初始狀態為y(0)=2，y(0)= 1，求系統的零輸入響應yx(t)。解 系統的特征方程為)(3 2)(4422tfdtfdtydtdydtyd0442 ss221 ssttxteKeKty2221)(0,5)(22tteetyttx系統的特征根

8、為（兩相等實根） y(0)=yx(0)=K1=1; y(0)= yx(0)= 2K1+K2 =3 解得 K1 =1, K2=5例4 已知某線性時不變系統的動態方程式為系統的初始狀態為y(0)=1，y(0)=3，求系統的零輸入響應yx(t)。)(3 4)(5222tfdtfdtydtdydtyd 解 系統的特征方程為系統的特征根為0522 ssjsjs212121，)2sin2cos)(21tKtKetytx（y(0)=yx(0)=K1=1 y (0)= yx(0)= K1+2K2 =3解得 K1=1，K2=20),2sin22(cos)(tttetytx2、 系統的零狀態響應求解系統的零狀態響

9、應求解系統的零狀態響應yf (t)方法：方法： 1) 直接求解初始狀態為零的微分方程。2) 卷積法： 利用信號分解和線性時不變系統的特性求解。 當系統的初始狀態為零時，由系統的外部激勵f(t)產生的響應稱為系統的零狀態響應，用yf (t)表示。卷積法求解系統零狀態響應卷積法求解系統零狀態響應yf (t)的思路的思路 1) 將任意信號分解為單位沖激信號的線性組合。 2) 求出單位沖激信號作用在系統上的零狀態響應 單位沖激響應h(t) 。 3) 利用線性時不變系統的特性，求出單位沖激信號線性組合作用在系統上的響應，即系統在任意信號f(t)激勵下的零狀態響應yf(t) 。卷積法求解系統零狀態響應卷積

10、法求解系統零狀態響應yf (t)推導推導)()(tht)()(tht)()()()(thftf由時不變特性由均勻特性由積分特性dtftf)()()(dthftyf)()( )()()()()()(thtfdthftyf例5 已知某LTI系統的動態方程式為y(t)+3y(t)=2f(t)，系統的沖激響應h(t)=2e3t u(t), f(t)=3u(t), 試求系統的零狀態響應yf(t)。dthfthtftyf)()()()()(dtueut)(2)(3=)(3 0 00 d2e3=0)-3(-tttt解 0 00 ) 1 (2=3ttet)() 2(1=3tuet連續時間系統的單位沖激響應 連

11、續時間系統單位沖激響應的定義連續時間系統單位沖激響應的定義 沖激平衡法求系統的單位沖激響應沖激平衡法求系統的單位沖激響應 連續時間系統的單位階躍響應連續時間系統的單位階躍響應連續時間系統單位沖激響應的定義連續時間系統單位沖激響應的定義在系統初始狀態為零的條件下，以單位沖激信號激勵系統所產生的輸出響應，稱為系統的單位沖激響應，以符號h(t)表示。N階連續時間LTI系統的沖激響應h(t)滿足 )()( )()()()( )()( 01)1(1)(01)1(1)(tbtbtbtbthathathathmmmmnnn沖激平衡法求系統的單位沖激響應沖激平衡法求系統的單位沖激響應由于t0+后, 方程右端為

12、零, 故nm時)()()(1tueKthnitsiinm時, 為使方程兩邊平衡, h(t)應含有沖激及其高階導數,即)()()()()(01tAtueKthjjnmjnitsii將h(t)代入微分方程，使方程兩邊平衡,確定系數Ki ， Ai例例1 1 已知某線性時不變系統的動態方程式為 試求系統的單位沖激響應。0),(2)(3)(ttftydttdy解解：當f (t)=(t)時, y(t)=h(t), 即)(2)(3)(tthdttdh動態方程式的特征根s=3, 且nm, 故h(t)的形式為)()( t3tuAeth)(2)( 3+ )( 33ttuAetuAedtdtt解得A=2)(2)(

13、3tuetht例例2 2 已知某線性時不變系統的動態方程式為 試求系統的沖激響應。解解：當f (t)=(t)時, y(t)=h(t), 即)( 3)(2)(6)(ttthdttdh動態方程式的特征根s= 6, 且n=m, 故h(t)的形式為)()()( t6tBtuAeth解得A= 16, B =30),( 3)(2)(6)(ttftftydttdy)( 3)(2)()( 6+ )()( 66tttBtuAetBtuAedtdtt)(16)(3)( t6tuetth沖激平衡法小結沖激平衡法小結)()()()()(01tAtueKthjjnmjnitsii1)1)由系統的特征根來確定由系統的特征

14、根來確定u(t)前前的指數形式的指數形式. .2) 由動態方程右邊由動態方程右邊 (t)的最高階導數與方程的最高階導數與方程 左邊左邊h(t)的最高階導數確定的最高階導數確定 (j)(t)項項.連續系統的階躍響應連續系統的階躍響應 )()( )()()()( )()( 01)1(1)(01)1(1)(tubtubtubtubtgatgatgatgmmmmnnn求解方法:1)求解微分方程2)利用單位沖激響應與單位階躍響應的關系dttdgth)()(tdhtg)()(例例3 求例1所述系統的單位階躍響應g(t)。tetg03d2)()()1 (323tuet例1系統的單位沖激響應為解：利用單位沖激

15、響應與單位階躍響應的關系，可得h(t)=2e3t u(t)卷積積分的計算和性質卷積積分的計算和性質 卷積積分的計算卷積積分的計算 卷積積分的性質卷積積分的性質 交換律、分配律 、結合律、位移特性、 展縮特性延遲特性、微分特性、積分特性、等效特性奇異信號的卷積積奇異信號的卷積積分分一一 卷積積分的計算卷積積分的計算卷積的定義定義：dthfthtfty)()()()()()()()()(ththhht平移翻轉1）將f(t)和h(t)中的自變量由t改為，成為函數的自變量；卷積的計算步驟計算步驟：2）把其中一個信號翻轉、平移；3）將f() 與h( t)相乘；對乘積后的圖形積分。)(tft)(tht)(

16、h)()(thft)()(),()(),(*)(tuethtutfthtft計算)(f)(h01)(*)(0)(tedethtfttt例1例2：計算y(t) = p1(t) p1(t)。)()(11tpp0.5t5 . 0t 5 . 01t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp01t1a) t 1b) 1 t 0tdttyt1)(5 . 05 . 0)(1tp0.5-0.51t)(1py(t)=0t 5 . 0t5 . 0)()(11tpp10 t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp1t111-1)()(11tptptc) 0 t 1tdttyt1)(5 . 05 . 0d)

17、1 t 0圖形右移，k0圖形左移。 4)將f n與 hkn重疊部分相乘； 5)對乘積后的圖形求和。nkhnfkhkfn卷積和卷積和定義定義為為例例1 1 已知f k=uk, hk=akuk,0a1, 計算yk=fk*hk10kh k n或 h n f k 0k1n或 f n 0n1h - n k 0, f n與h k-n圖形沒有相遇01nf n h k - n , k 0k01nf n kh k - n ,0k0k1y k k 0, f n與hk-n圖形相遇yk=0nkknaky0otherwise010 1NkkRN例2計算yk=RNk* RNk。knN-101RNk 或 RNkn-(N-1

18、)01RN-nnN-101RNnk-(N-1)RNk -n ,k k 0k 0時, RN n與RN k-n圖形沒有相遇yk=0nN-101RNnk-(N-1)RNk -n ,k10NknN-101RNnk-(N-1)RNk -n ,k221NkNN-101kRNk*RNk2N-2N2341230 k N 1時,重合區間為0，k 110kkyknN1 k 2N 2時, 重合區間為(N1)+k，N1kNkyNNkn1211)1(k2N2時, RN n與RN k-n 圖形不再相遇yk =0二二. . 列表法計算序列卷積和列表法計算序列卷積和設fk和hk都是因果序列因果序列，則有0,0knkhnfkh

19、kfkn當k = 0時，000hfy當k = 1時，當k = 2時，當k = 3時，0 1 1 0 1 hfhfy02 1 1 202hfhfhfy03 1 22 1 303hfhfhfhfy以上求解過程可以歸納成列表法。列表法列表法將hk 的值順序排成一行，將f k的值順序排成一列，行與列的交叉點記入相應fk與hk的乘積，對角斜線上各數值就是 fnhk-n的值。對角斜線上各數值的和就是yk各項的值。例例3 3 計算 與 的卷積和。2, 3, 0, 2, 1kf3, 2, 4, 1khh -1 h 1 h 0 h 2 1023102340812204630691423f -2 f 1 f 0

20、f 2 f -1 228466 ,13,14,20,10,10, 6, 1ky三三. . 卷積和的性質卷積和的性質 交換律交換律:fk hk = hk fkfk h1k h2k f k h1 k h2 kf k h1 k + h2 k f k h1 k + f k h2 k結合律結合律:分配律分配律:卷積和的性質（續）卷積和的性質（續） 位移特位移特性：性：*kykhkfkhkf*)(*nykhnfnhkfknknknf k kn = f kn推論：推論：若fkhk=yk，則f kn hk l = yk (n+l)差分與求和特：差分與求和特： 若fkhk=yk例例4 4 計算 與 的卷積和4,

21、 2, 0, 1kf3, 5, 4, 1kh解：解： 1422kkkkf利用位移特性*1422*khkkkkhkf 1422khkhkh12,26,26,15, 7, 4, 1*khkfky單位沖激響應表示的系統特性單位沖激響應表示的系統特性 級聯系統的單位沖激響應 并聯系統的單位沖激響應 因果系統 穩定系統1. 1. 級聯系統的單位沖激響應級聯系統的單位沖激響應)(*)()(1thtftx)(*)(*)()(*)()(212ththtfthtxty根據卷積積分的結合律性質，有)(*)(*)()(*)(*)()(2121ththtfththtftyh(t)結論結論:1)級聯系統的沖激響應等于兩

22、個子系統沖激響應的卷積。級聯系統的沖激響應等于兩個子系統沖激響應的卷積。2)交換兩個級聯系統的先后連接次序不影響系統總的沖激響應。交換兩個級聯系統的先后連接次序不影響系統總的沖激響應。兩個離散時間系統的級聯也有同樣的結論。2. 2. 并聯系統的單位沖激響應并聯系統的單位沖激響應)(*)()(11thtfty)(*)()(22thtfty)(*)()(*)()(21thtfthtfty應用卷積積分的分配律性質，有)()(*)()(21ththtftyh(t)結論結論并聯系統的沖激響應等于兩個子系統沖激響應之和。 兩個離散時間系統的并聯也有同樣的結論。例1 求圖示系統的沖激響應。其中h1(t)=e3t u(t)， h2(t)=(t 1) ，h3(t)=u(t)。解解： 子系統h1(t) 與h2(t) 級聯， h3(t)支路與h1(t) h2(t) 級聯支路并聯。)()(*)()(321thththth)()(*) 1(3tutuett)() 1()1(3tutuet例2 求圖示系統的單位脈沖響應。其中h1k =2k uk， h2 k = k 1 ， h3 k = 3k u k ， h4 k =u k 。解解： 子