1、第十四章 勾股定理回顧與思考教學目標1知識目標：掌握直角三角形的邊、角之間分別存在著的關系，熟練地運用直角三角形的勾股定理和其他性質解決實際問題。2能力目標：正確使用勾股定理的逆定理，準確地判斷三角形的形狀。3德育目標：熟悉勾股定理的歷史，進一步了解我國古代數學的偉大成就，激發學生的愛國熱情，培養探索知識的良好習慣。教學重點：掌握勾股定理及其逆定理。教學難點：準確應用勾股定理及其逆定理。教具準備：投影儀，膠片，彩色水筆，三角板等教學方法：啟發式教育教學過程 一、回顧與思考 1直角三角形的邊存在著什么關系？ 2直角三角形的角存在著什么關系？ 3直角三角形還有哪些性質？4如何判斷一個三角形是直角三

2、角形？ 5你知道勾股定理的歷史嗎？一、 講例BDCAO問題：如圖，一個3m長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5m，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？（留幾分鐘的時間給學生思考）分析：1、求梯子的底端B距墻角O多少米？ 2、如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m至C，請同學們猜一猜：（1）底端也將滑動0.5米嗎？（2）能否求出OD的長？解：根據勾股定理，在RtOAB中，AB=3m，OA=2.5m，OB2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75。BOAOB1.658m；在RtOCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD2=CD2-O

3、C2= 32-22=5。OD2.236m。BD=OD-OB=2.236-1.6580.58m如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.58m。 例2 議一議P19 拼圖與勾股定理 觀察圖 2 驗證：c2a2b2證明：大正方形面積可表示為c2，也可以表示為ab·4（ba）2 所以c2ab·4（ba）2 2abb22aba2 a2b2 故c2a2十b2例3. 一個零件的形狀如圖，按規定這個零件中A與BDC都應為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD4，AB3，DB5，DC12，BC13，這個零件符合要求嗎？ 分析：要檢驗這個零件是否符合要求，只要判斷ABC和DBC

4、是否為直角三角形，這樣勾股定理的逆定理即可派上用場了。DBA34512C13 解：在ABC中，AB2AD2324291625BD2 所以ABC為直角三角形，A90° 在DBC中，BD2DC25212225144169132BC2 所以DBC是直角三角形，CDB90° 因此這個零件符合要求。二、 隨堂練習一、判斷題。 1由于0.3，0.4，0.5不是勾股數，所以以0.3，0.4，0.5為邊長的三角形不是直角三角形（） 2由于以0.5，1.2，1.3為邊長的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股數（） 二、填空題。 1已知三角形的三邊長分別為5cm，12cm，13

5、cm，則這個三角形是 2ABC中，C90°，B30°，AC1，以BC為邊的正方形面積為 3三條線段m、n、p滿足m2一 n2 p2，以這三條線段為邊組成的三角形為 三、選擇題。 1分別以下列四組數為一個三角形的邊長：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6其中能構成的直角三角形的有（）。 A4組 B3組 C2組 Dl組 2三角形的三邊長分別為 a2b2、2ab、a2b2（a、b都是正整數），則這個三角形是（） A直角三角形 B鈍角三角形 C銳角三角形 D不能確定一 作業1已知 a、b、c是三角形的三邊長，a2n22n，b2n1，c2n

6、22n1（n為大于1的自然數）。試說明LABC為直角三角形。 2若三角形ABC的三邊a、b、c滿足a2b2c2十33810a24b26c試判斷ABC的形狀。 3在等腰ABC中，BAC90°，P為ABC內一點，PAl，PB3，PC27，求CPA的大小。4四邊形 ABCD中A90°，AB4cm，AD3cm，CD12cm，BC13CC，求S四邊形ABCD教學內容第14章 勾股定理單元復習授課班級教學目標知識1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；2、如果三角形的三邊長a、b、c有關系a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形；3、勾股定理能解決直角三角形的許多問

7、題，因此在現實生活和數學中有著廣泛的應用能力情感教學重點勾股定理的應用教學難點實際問題向數學問題的轉化教學準備制作課件學案教學過程教 學 內 容師 生 互 動備 注一創設情境引入新課想一想1 直角三角形有那些特征？2 直角三角形有那些識別方法？3 你能說幾組勾股數呢？學生分組探討：1一般三角形具有的特征它都有。2 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方學生分組探討：1有一個角是直角的三角形。2 兩個角互余的三角形。3 如果三角形的三邊長a、b、c有關系a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形學生互相交流。 3、4、5； 5、12、13 7、24、25； 8、15、179、40、

8、41； 二合作交流自主探究探究1如圖，以Rt的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為，請同學們想一想之間有何關系呢？聯想（1）若以Rt的三邊為直徑作半圓，其面積分別為，請同學們想一想之間有何關系呢？（2）若以Rt的三邊為邊作等邊三角形，其面積分別為，請同學們想一想之間有何關系呢？探究2如圖，一個3m長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5m，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？BDCAO解：根據勾股定理，在RtOAB中，AB=3m，OA=2.5m，OB2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75。OB1.658m；在RtOCD中，OC=

9、OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD2=CD2-OC2= 32-22=5。OD2.236m。BD=OD-OB=2.236-1.6580.58m如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.58m。探究3.如圖沿AE折疊矩形，點D恰好落在 BC邊上的點F處，已知AB =8cm，BC = 10cm，求EC的長.ABFCDE探究4有一個水池,水面是一個邊長為10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的蘆葦,它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向岸邊,它的頂端恰好到達岸邊的水面,請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少?5尺1尺x 尺水池探究5如圖，公路MN和小路PQ在點P處交匯，且QPN=

10、30°，點A處有一所學校，AP=160m，假設拖拉機行駛時，周圍100m內受噪音影響，那么拖拉機在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行駛時，學校是否受到噪音的影響？如果學校受到影響，那么受影響將持續多長時間？DPMNQACB討論：1三個正方形的面積分別與哪三條邊有關系？2 如果，那么S3=？3 如果 ，則的長為多少呢？等邊三角形的面積公式是怎樣的呢？分析：BDCAO1、求梯子的底端B距墻角O多少米？2、如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m至C，請同學們猜一猜：（1）底端也將滑動0.5米嗎？（2）能否求出OD的長？解：點F、D關于AE對稱 AFE AD E AF=AD ，EF =ED

11、 AFE = ADE 四邊形ABCD是矩形 BC=AD AB =CD C = ADE =900 又AB =8cm BC =10cm AF=10cm CD =8cm 在Rt ABF中 BF=FC =4cm 設EC =xcm 則DE=EF=（8-x）cm 在 CFE 中，EF2=EC2+FC2 （8-x）2 = x2+42 解得x=3 答：EC的長為3cm.討論：1 拖拉機行駛在什么地點離學校最近呢？2 若受影響，則在哪一點開始呢？3 在什么范圍里，學校將受到影響呢？本題的實質為請同學們回顧勾股定理。引導重在實現圖形：BOA與ODC的轉化三隨堂練習鞏固新知1 如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方

12、形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長是8厘米，則正方形A，B，C，D的面積之和是_平方厘米2 根據下列條件，分別判斷以a,b,c為邊的三角形是不是直角三角形 （1）a=7, b=24, c=25.（2）a=m2-n2，b=2mn,c=m2+n2.（m，n是正整數，且mn） ABC是直角三角形嗎？請說明理由3 已知，如圖，長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則ABE的面積為多少？ABEFDC四目標檢測形成練習1 在ABC中，C90°，若 a5，b12，則 c 2 在ABC中，C90°，若c10，ab34

13、，則ab 3 等腰ABC的面積為12cm2，底上的高AD3cm，則它的周長為 4 等邊ABC的高為3cm，以AB為邊的正方形面積為5 直角三角形三邊是連續整數，則這三角形的各邊分別為6 如圖，分別以直角的三邊為直徑向外作半圓設直線左邊陰影部分的面積為，右邊陰影部分的面積和為，則（ ）ABCD無法確定五課堂小結提高認識1 你能說說出本章的知識結構嗎？直角三角形勾股定理應用判定直角三角形的一種方法2 本節課有什么收獲，請你談談？六鞏固提高運用拓展1 國旗桿的繩子垂到地面時，還多了1m，拉著繩子下端離開旗桿5m時，繩子被拉直且下端剛好接觸地面，試求旗桿的高2 園丁住宅小區有一塊草坪如圖所示，已知米，

14、米，米，米，且，這塊草坪的面積是多少？3 在一棵樹的10m高處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹走到離樹20m處的池塘A處，另一只爬到樹頂后直接躍向池塘的A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，試問：這棵樹有多高?BABC板書設計電教資源探究1 寫出規律探究2 寫出解題的過程探究4 建立方程探究5 寫出解題的過程教 學 反 思第14章 勾股定理 小結與復習 教學目標 知識與技能：掌握直角三角形的邊角之間分別存在著的關系，熟練運用直角三角形的勾股定理和其他性質解決實際問題 過程與方法：經歷復習勾股定理的過程，體會勾股定理的內涵，掌握勾股定理及逆定理的應用 情感態度與價值觀：培養學生數形結

15、合、化歸的數學思想，體會勾股定理的應用價值 重點、難點、關鍵 重點：熟練運用勾股定理及其逆定理 難點：正確運用勾股定理及其逆定理 關鍵：運用數形結合的思想，將問題化歸到能夠應用勾股定理（逆定理）的路上來 教學準備 教師準備：投影儀，補充資料 學生準備：寫一份單元復習小結 教學設計 教學過程 一、回顧與交流 1重點精析 勾股定理，RtABC中，C=90°，a2+b2=c2 應用范圍：勾股定理適用于任何形狀的直角三角形，在直角三角形中，已知任意兩邊的長都可以求出第三邊的長 2例題精講 例 在RtABC中，已知兩直角邊a與b的和為p厘米，斜邊長為q厘米，求這個三角形的面積 教師分析：因為R

16、t的面積等于ab，所以只要求出ab就可以完成本道題分析已知條件可知a+b=p，c=q，再聯想到勾股定理a2+b2=c2，則這個問題就可以化歸到一個代數問題上解決，由a+b=p，a2+b2=q2，求出ab 解：a+b=p，c=q， a2+2ab+b2=（a+b）2=p2 a2+b2=q2（勾股定理） 2ab=p2-q2 SRtABC=ab=（p2-q2）（厘米2） 學生活動：參與教師講例，理解勾股定理的運用，提出自己的見解 媒體使用：投影顯示例題 教學形式：師生互動 3課堂演練演練一：如圖所示，帶陰影的矩形面積是多少？ 思路點撥：應用勾股定理求矩形的長，答案51厘米演練二：如圖所示，某人欲橫渡一

17、條河，由于水流的影響，實際上岸地點偏離欲到達點B200m，結果他在水中實際游了520m，則該河流的寬為多少m 思路點撥：應用RtABC中的三邊關系，AC=520m，BC=200m，以勾股定理求出AB 參考答案：480m 演練三，在RtABC中，a=3，c=5，求b 思路點撥：此題利用勾股定理求邊長，習慣于把c當作斜邊，只求b=4，但本道題以b當作斜邊也是可以的，因此應注意兩解問題 參考答案：b=或演練四：如圖所示，有一個正方形水池，每邊長4米，池中央長了一棵蘆葦，露出水面1米，把蘆葦的頂端引到岸邊，蘆葦頂和岸邊水面剛好相齊，你能算出水池的深度嗎？ 思路點撥：對這類問題求解，關鍵是恰當的選擇未知

18、數，然后找到一個直角三角形，建立起它們之間的聯系，列出方程，最終求解方程即得所求，設水池深為x米，BC=x米，AC=（x+1）米，因為池邊長為4米，所以BA=2米，在RtABC中，根據勾股定理，得x2+22=（x+1）2解得x=1.5 4難點精析 勾股逆定理：勾股定理逆用的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形，判定一個三角形是否是直角三角形的步驟： （1）先確定最大邊（如c）； （2）驗證c2與a2+b2是否相等，若c2=a2+b2，則C=90°；若c2a2+b2，則ABC不是直角三角形 此時情況有兩種： （1）當a2+b2>c2時，三角形為銳角三角形； （2）當a2+b2&

19、lt;c2時，三角形為鈍角三角形 5范例精講 例 如圖所示，ABC中，AB=26，BC=20，BC邊上的中線AD=24，求AC教師分析：要求AC的長度，首先確定AC所在的ACD，而關鍵是要判斷出ADC是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中線AD=24，所以可以先通過勾股定理判斷出ABD是Rt，這樣就可以得到ADC=90°，從而再應用勾股定理求出AC的長 解：因為AD是邊BC上的中線，且BC=20， 所以BD=DC=BC=10 因為AD2+BD2=576+100=676， AB2=262=676， AD2+BD2=AB2 所以ADB=90°，即AD

20、BC（勾股逆定理） 在RtADC中 AC=26（勾股定理） 評析：本道題運用了勾股定理和逆定理，也可以運用別的方法計算，可以得到AD垂直平分BC，所以AC=AB=26 6課堂演練 演練一：在數軸上作表示-的點 思路點撥：在數軸上的點-2位置上作垂直于數軸的線段且這個長度為1，連接原點到這條線段的端點A，以O（原點）為圓心，OA為半徑畫弧交數軸于一點，這一點就是-演練二：下列三角形（如圖14-3-5所示）是直角三角形嗎？為什么？ 思路點撥：充分應用勾股定理逆定理進行判定，計算122+92=？；152=？；62+42=？；72=？ 演練三：設ABC的3條邊長分別是a，b，c，且a=n2-1，b=2

21、n，c=n2+1 （1）填表：nabca2+b2c2ABC是不是直角三角形2345 25253456 （2）當n取大于1的整數時，以表中各組a，b，c的值為邊長構成的三角形都是直角三角形嗎？為什么？ （3）3、4、5是一組勾股數，如果將這3個數分別擴大2倍，所得3個數還是勾股數嗎？擴大3倍、4倍和n倍呢？為什么？ （4）還有不同于上述各組數的勾股數嗎？演練四：如圖所示，古代建筑師把12段同樣長的繩子相互連成環狀，把從點B到點C之間的5段繩子拉直，然后在點A將繩子拉緊，便形成直角，工人按這個“構形”施工，就可以將建筑物的拐角建成直角，你認為這樣做有道理嗎？ 教師活動：操作投影儀，引導學生運用勾股

22、定理、逆定理求解，可以請部分學生上臺演示 學生活動：合作、討論，提出自己的看法，鞏固勾股定理、逆定理的應用 媒體使用：投影顯示“演練題” 教學形式：師生互動交流，講練結合，以訓促思，達到提升知識，構建知識系的目的二、構筑知識系A. B. 三、隨堂練習 四、布置作業 五、課后反思（略）課時作業設計 一、填空題 1在ABC中，C=90° （1）已知a=24，b=32，則c=_ （2）已知c=17，b=15，則ABC面積等于_ （3）已知A=45°，c=18，則a2=_ 2直角三角形三邊是連續偶數，則這三角形的各邊分別為_ 3ABC的周長為40cm，C=90°，BC：A

23、C=15：8，則它的斜邊長為_ 4直角三角形的兩直角邊之和為14，斜邊為10，則它的斜邊上的高為_，兩直角邊分別為_ 二、選擇題 5在下列說法中是錯誤的（ ） A在ABC中，C=A-B，則ABC為直角三角形 B在ABC中，若A：B：C=5：2：3，則ABC為直角三角形 C在ABC中，若a=c，b=c，則ABC為Rt D在ABC中，若a：b：c=2：2：4，則ABC為直角三角形 6直角三角形的兩直角邊分別為5cm，12cm，其中斜邊上的高為（ ） A6cm B5cm Ccm 7下列線段不能組成直角三角形的是（ ） Aa=6，b=8，c=10 Ba=1，b=2，c=6 Ca=，b=1，c= Da=2，b=3，c= 8有四個三角形： （1）ABC的三邊之比為3：4：5； （2）ABC的三邊之比為5：12：13； （3）ABC的三個內角之比為1：2：3； （4）CDE的三個內角之比為1：1：2，其中直角三角形的有（ ） A（1）（2） B（1）（2）（3） C（1）（2）（4） D（1）（2）（3）（4） 三、解答題 9如果3條線段的長a，b，c滿足c2=a2-b2，那么這3條線段組成的三角形是直角三角形嗎？為什么？10如圖所示，ADBC，垂足為D，如果CD=1，AD=2，BD=4，