1、第五節第五節一、三角函數系的正交性一、三角函數系的正交性 第五章 傅里葉級數傅里葉級數 四、以四、以2 l 為周期的函數展開為為周期的函數展開為傅里葉級數傅里葉級數( 略）略） 問題的提出問題的提出非正弦周期函數非正弦周期函數: :矩形波矩形波otu11tttu0, 10, 1)(不同頻率正弦波逐個疊加不同頻率正弦波逐個疊加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttttusin4 )3sin31(sin4ttu )5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513sin31(sin4ttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( t

2、ttttu)0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 一、三角級數及三角函數系的正交性一、三角級數及三角函數系的正交性簡單的周期運動 :)sin(tAy(諧波函數)( A為振幅, 復雜的周期運動 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函數項級數)sincos(210 xnbxnaannn為角頻率, 為初相 )(諧波迭加)稱上述形式的級數為三角級數.xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理 1. 組成三角級數的函數系組成三角級數的函數系,1,cosx,

3、sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx證證:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可證 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的積分等于 0 .即其中任意兩個不同的函數之積在0dsincosxxnxk)(nk 上的積分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函數系中兩個相同的函數的乘積在 二、函數展開成傅里葉級數二、函數展開成傅里葉級數定理定

4、理 2 . 設設 f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數的周期函數 , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級數可逐項積分, 則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn證證: 由定理條件由定理條件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf0a,對在逐項積分, 得xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)

5、(10類似地, 用 sin k x 乘 式兩邊, 再逐項積分可得葉系數為系數的三角級數 稱為的傅里葉系數 ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 確定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里的傅里葉級數 .稱為函數)(xf 定理定理3 (收斂定理收斂定理, 展開定理展開定理)設 f (x) 是周期為2的周期函數, 并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件:1) 在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點;2) 在一個周期內只有有限個極值點, 那么 f (x) 的傅里葉級數收斂 , 且有10s

6、incos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 為間斷點其中nnba ,( 證明略證明略 )為 f (x) 的傅里葉系數 . x 為連續點注意注意: 函數展成函數展成傅里葉級數的條傅里葉級數的條件比展成冪級數件比展成冪級數的條件低得多的條件低得多.例例1. 設 f (x) 是周期為 2 的周期函數 , 它在 上的表達式為),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅里葉系數先求傅里葉系數xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n將 f (x) 展成傅里葉級數. oyx11xnxxfbndsin)(10dsin12xnx0)c

7、os(2nxnnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n當,6,4,2n當nxxfnsin) 1(1 n12)(1n),2,0,(xxxxxf0,10,1)(),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根據收斂定理可知,時,級數收斂于02112) 傅氏級數的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11說明說明: :), 2, 1, 0(kkx當f (x) 的情況見右圖.xoy例例2.上的表達式為),xxxxf0,00,)(將 f (x) 展成傅里葉級數. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x20co

8、ssin1nnxnxxn2cos1nn2332設 f (x) 是周期為 2 的周期函數 , 它在 01xnnxdsin), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf42) 1(1nann,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx)sin) 1(cos) 1(1(121nxnnxnnnnxxfad)(100d1xx0221x2說明說明: 當當) 12(kx時, 級數收斂于22)(0)(xf4),2,1,0,) 12(,(kkxx)sin) 1(cos) 1(1(121nxnnxnnnnxoy例例2.上的

9、表達式為),xxxxf0,00,)(2332設 f (x) 是周期為 2 的周期函數 , 它在 , )(xxf周期延拓)(xF傅里葉展開,)(在xf上的傅里葉級數定義在定義在 ,上的函數上的函數 f (x)的傅氏級數展開法的傅氏級數展開法), , )(xxf, )2(kxf其它例例3. 將函數將函數xxxxxf0, 0,)(級數 .oyx那么xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 將將 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅里葉2為周期的函數 F(x) , na)1cos(

10、22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf2xnnnncos1) 1(212)(x例例3. 將函數將函數xxxxxf0, 0,)(級數 .展成傅里葉oyx0a例例4.2)(xxxf函數)(x葉級數展式為, )sincos(210nnnnxbnxaa則其中系. 3b數提示提示:xxxfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21)3sin93cos3(2xxx03232利用“偶倍奇零”(93 考研)的傅里 xxxd3sin20三、正弦級數和余弦級數三、正弦級數和余弦級數1. 周期為2 的奇、偶函數的傅里葉級數定理定

11、理4 . 對周期為對周期為 2 的奇函數的奇函數 f (x) , 其傅里葉級數其傅里葉級數為為周期為2的偶函數 f (x) , 其傅里葉級數為余弦級數 ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里葉系數為正弦級數,它的傅里葉系數為例例5. 設設的表達式為 f (x)x ,將 f (x) 展成傅里葉級數.是周期為2 的周期函數,它在上),)(xf解解: 若不計若不計),2, 1,0() 12(kkx是則)(xf周期為 2 的奇函數, yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,

12、0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因而02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nnn1根據收斂定理可得 f (x) 的正弦級數:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo級數的部分和 n2n3n4上在),迫近 f (x) 的情況見右圖.n52. 在0,上的函數展成正弦級數與余弦級數,0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦級數奇延拓偶延拓xoy正弦級數 f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)

13、0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf1xyo例例6. 將函數將函數)0(1)(xxxf分別展成正弦級數與余弦級數 . 解解: 先求正弦級數先求正弦級數. 去掉端點, 將 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos12, 2 , 1 , 00nan) 1() 1(12nn), 2, 1(n x012,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端點 x = 0, , 級數的和為0 ,與給定函數1

14、xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . nxnxnnsin) 1() 1(1211) 1() 1(12nnnbnb), 2, 1(n再求余弦級數.x1y將)(xf則有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202cossin2nnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,0dcos2xnxxdcos0 xnx1) 1(22nn121xxcosx3cos312)0( xx5cos512說明說明: 令令 x = 0 可得可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk)

15、12cos(1yox思考與練習思考與練習1. 將函數展開為傅立葉級數時為什么最好畫出其圖形 ?答答: 易看出奇偶性及間斷點易看出奇偶性及間斷點 , 2. 計算傅立葉系數時為什么有些系數要單獨算 ?答答: 用系數公式計算時用系數公式計算時 , 如出現某些正整數作分母,這些正整數對應的系數就必須單獨計算 .從而便于計算系數和寫出收斂域 .內容小結內容小結1. 周期為 2 的函數的傅里葉級數及收斂定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(間斷點x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 假假設設0 x為間斷點,則

16、級數收斂于2)()(00 xfxf2. 周期為 2 的奇、偶函數的傅里葉級數 奇函數正弦級數 偶函數余弦級數3. 在 0 , 上函數的傅里葉展開法 作奇周期延拓 , 展開為正弦級數 作偶周期延拓 , 展開為余弦級數1. 在在 0 , 上的函數的傅里葉展開法唯一嗎上的函數的傅里葉展開法唯一嗎 ?答答: 不唯一不唯一 , 延拓方式不同級數就不同延拓方式不同級數就不同 .思考與練習思考與練習處收斂于2.)(xf0 x,1 x0,12x則它的傅里葉級數在x在4x處收斂于 .提示提示:2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102設周期函數在一個周期內的表達式為 ,xyo113. 寫出函數寫出函數)(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏級數的和函數 .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:xyo11)(xfP355 1(1); 2 (1) , (2) ; 3(1) (3); 4; 5 ; 6作業作業 傅里葉傅里葉 (1768 1830)法國數學家. 他的著作熱的解析 理論(1822) 是數學史上一部經典性 書中系統的運用了三角級數和 三角積分, 他的學生將它們命名為傅里葉級數和傅里葉積分. 最卓越的工具