1、必修五數(shù)列知識梳理1. 數(shù)列的前 n 項(xiàng)和與通項(xiàng)的公式 Sna1a2an； anS1( n1)Sn.Sn 1 (n 2)例 1. 已知下列數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn ，分別求它們的通項(xiàng)公式 an . Sn2n2n；n3n1.3 S設(shè)數(shù)列 an 滿足 a1 3a2 32 a3 . 3n 1 ann , n N * . ，則 an3 數(shù)列 an 中， a1a2a3ann 2 ( nN ) ，求 a3a5 的值 .已知數(shù)列an 的首項(xiàng) a11 ，其前 n 項(xiàng)和 Sn n2 an n 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式2設(shè) Sn 、 Tn 分別是等差數(shù)列an 、 bn 的前 n 項(xiàng)和， Sn7n2 ，

2、則 a5.Tnn3b52.數(shù)列的單調(diào)性遞增數(shù)列 : 對于任何 nN , 均有 an 1an .遞減數(shù)列 : 對于任何 nN , 均有 an 1an .2010-2011 海淀區(qū)高三年級期中已知數(shù)列 an 滿足： a1a2a3annan , (n1,2,3,)（ I ）求 a1, a2 ,a3 的值；1（）求證：數(shù)列 an1 是等比數(shù)列；（）令 bn(2 n)( an 1) （ n1,2,3. ），如果對任意 nN * ，都有 bn1t t 2 ，求實(shí)數(shù) t 的4取值范圍 .2. 等差數(shù)列知識點(diǎn)通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式通項(xiàng)公式 ana1(n 1)d ， a1 為首項(xiàng)， d 為公差 .前 n 項(xiàng)

3、和公式 Snn(a1an ) 或 Snna11 n( n1)d .22等差中項(xiàng) : 如果 a, A, b 成等差數(shù)列，那么A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng) .即： A 是 a 與 b 的等差中項(xiàng)2 Aaba ， A ， b 成等差數(shù)列 .等差數(shù)列的判定方法定義法： an 1and （ n N ， d 是常數(shù)）an 是等差數(shù)列；中項(xiàng)法： 2an1anan2 ( nN)an 是等差數(shù)列 .anan b 一次)an是等差數(shù)列( SnAn2Bn(常數(shù)項(xiàng)為 0的二次 )an是等差數(shù)列等差數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列 an是等差數(shù)列，則數(shù)列anp 、 pa n （ p 是常數(shù)）都是等差數(shù)列；等差數(shù)列an中，等距離取

4、出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個等差數(shù)列，即an , an k , an 2 k , an 3 k ,為等差數(shù)列，公差為 kd . an am (n m)d ；若(, , ,q N)，則 aman ap aq ；m n p q m n p若等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn ，則 Sn是等差數(shù)列；n2例 2. 已知 Sn 為等差數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和， bnSn ( n N ) . 求證：數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 .n等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn 的最值問題若 a10, dan00, Sn 有最大值，可由不等式組來確定 n ；an10若 a10, dan00, Sn 有最小值，可由不等式組來確定 n .an

5、10例 2. 已知 Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， a13， Sn Sn 12an (n2) .求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；數(shù)列an 中是否存在正整數(shù)k ，使得不等式 akak 1 對任意不小于k 的正整數(shù)都成立？若存在，求最小的正整數(shù)k ，若不存在，說明理由.3. 等比數(shù)列知識點(diǎn)通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式通項(xiàng)公式： ana1qn 1 ， a1 為首項(xiàng)， q 為公比 .前 n 項(xiàng)和公式： 當(dāng) q1 時， Snna1當(dāng) q 1 時， Sna1 (1 q n ) a1anq .1 q1q等比中項(xiàng)如果 a, G, b 成等比數(shù)列，那么 G 叫做 a 與 b 的等比中項(xiàng) . 即：G 是 a 與 b

6、的等，中項(xiàng)a ，G ， b 成等差數(shù)列G 2a b .等比數(shù)列的判定方法定義法： an 1q （ nN ， q0 是常數(shù)）an 是等比數(shù)列；an32an an 2 ( nN ) 且 an 0an 是等比數(shù)列 .中項(xiàng)法： an 1等比數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列 an 是等比數(shù)列，則數(shù)列pan 、 pa n（ q0是常數(shù)）都是等比數(shù)列；在等比數(shù)列 an中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個等比數(shù)列， 即 an , ank , an 2 k , an 3 k ,為等比數(shù)列，公比為 qk . an am qn m (n, m N )若(,q N) ，則 a aapa；m n p q m n pmnq若等比數(shù)列 an的

7、前 n 項(xiàng)和 Sn ，則 Sk 、 S2kSk 、 S3 k S2 k 、 S4kS3k是等比數(shù)列 .例 3. 已知 Sn 為等比數(shù)列an 前 n 項(xiàng)和， Sn 54 ， S2n60，則 S3n.4. 數(shù)列的通項(xiàng)的求法利用 觀察法求數(shù)列的通項(xiàng) .（n 1)利用 公式法 求數(shù)列的通項(xiàng)： anS1Sn；Sn 1 (n 2)應(yīng)用 迭加（迭乘、迭代）法 求數(shù)列的通項(xiàng)： an 1 anf ( n) ； an 1 an f ( n).構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)： an 1pa nq ； an 1 pa nqn ；an 1 anbkan 1例 4. 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知 a1a, an

8、 1Sn3n ( nN ) ，設(shè) bnSn3n ，求數(shù)列bn 的通項(xiàng)公式4（宣武二模理18）設(shè) an 是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n 項(xiàng)和為 Sn ，且對于所有的正整數(shù)n , 有2Snan1(I) 求 a1 ， a 2 的值；(II) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（III ）令 b1 1， b2 ka2 k 1(1) k ， b2 k 1a2 k 3k （ k 1,2,3,），求數(shù)列 bn 的前 2n1 項(xiàng)和 T2n1 例 5. 已知數(shù)列an中， a12, anan 12n1( n2) ，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；設(shè) an 是首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列，且 (n1)an2 1nan2an 1 an0( nN

9、 ) ，則數(shù)列 an 的通項(xiàng) an.例 6. 已知數(shù)列an 中， a11, an 12 an 2 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；3已知數(shù)列an 中， a11, an 13an3n ，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式 .5例 7. 數(shù)列 an 中， a1 1, an 12an(n N ) ，則 an 的通項(xiàng) an.an2數(shù)列an 中， a11,anan 1an an 1 (nN ) ，則 an 的通項(xiàng) an.例 8. 已知數(shù)列 an 中， a11, an 12ann ，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式 .5. 數(shù)列求和基本數(shù)列的前 n 項(xiàng)和n( a1an )21 n( n 1)d 等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和： S

10、nna1a n22b n 等比數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和 Sn ：當(dāng) q 1 時， Snna1 ；當(dāng) q1 時， Sna1 (1qn )a1an q ；1q1q數(shù)列求和的常用方法 ：拆項(xiàng)分組法；裂項(xiàng)相消法；錯位相減法；倒序相加法.例. 等差數(shù)列 an ，公差 d1 ，且 a1 a3a5a99 60 ，則 a1 a2 a3a100.2拆項(xiàng)分組法求和1，1 ，1， ，1 )，的前 n 項(xiàng)和 Sn .求數(shù)列 123(n2n24 86裂項(xiàng)相消法求和數(shù)列 1,1,1, ,1, 的前 n 項(xiàng)和 Sn2232342 3 4(k 1)求和：1111；1 32 43 5n(n 2) 求和：11112 13243.

11、n 1n倒序相加法求和北京市宣武區(qū) 20092010學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測已知函數(shù) f ( x)5， m 為正整數(shù)5x5（）求 f (1) f(0) 和 f ( x) f (1x) 的值；（）若數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 anf ( n ) （ n1,2, m ），求數(shù)列 an 的前 m 項(xiàng)和 Sm ；m（）設(shè)數(shù)列 bn 滿足：b11 ，bn1bn2bn ，設(shè) Tn111，若（）2b11 b2 1bn1中的 Sm 滿足對任意不小于3 的正整數(shù) n， 4Sm777Tn5 恒成立，試求 m 的最大值 .7例 9. 設(shè) Sn 是數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， a11 ， Sn2an Sn1(n 2)

12、 .2求 an 的通項(xiàng)；Sn，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn .設(shè) bn2n1錯位相減法求和若數(shù)列 an 的通項(xiàng) an(2n1)3n ，求此數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn .【解析】Sn1 33325 33( 2n1) 3n ，3Sn1 323335 34( 2n 1)3n 1- ，得2Sn132322 332 342 3n(2n 1) 3n 1132(3233343n ) (2n1) 3n 1(2 2n) 3n 16 .Sn(n 1)3n13 .例 10.已知 San的前n項(xiàng)和，a1 1n+1nn 為數(shù)列，S=4a +2.設(shè)數(shù)列 bn 中， bnan 1 2an ，求證： bn是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)

13、列 cn 中， cnann，求證： cn是等差數(shù)列；2求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和 .8例 11. 設(shè)函數(shù)f ( x) 的定義域?yàn)镽 ，當(dāng) x0 時， f (x)1 ，且對任意的實(shí)數(shù)x, yR ，有f ( xy)f ( x) f ( y ) 求 f (0) ，判斷并證明函數(shù)f ( x) 的單調(diào)性；數(shù)列an 滿足 a1f ( 0) , 且 f ( an 1 )1(nN * )f ( 2an )求 an 通項(xiàng)公式；北京市宣武區(qū) 20092010學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測f (1)f (0)55551=15f (x)f (1x) =55=55 5x5 x5 51 x5 5=15 5x5 5 xf ( k )f (1k )1 (1k m1) , f ( k )f ( m k )1 ,ak am k 1,mmmmSma1a2a3am 1a m ,Smam 1am 2am 3a1am ,2(m1)12,Sm( m 1)1(m15510Smamf (1)1)422b11 , b n1 bn2b nb n ( bn1) ,n N *, bn0 .291111,111.bn 1b