1、韋恩 ( Venn ) 圖韋恩圖，也叫文氏圖，用于顯示元素集合重疊區域的圖示。韋恩圖法是利用封閉的曲線來表示集合的一種方法，在高中課本中雖然沒有給出過多的說明，但 是對于初學集合的學生來說解決一些問題還是比較容易的。交集并集補集類型定義由所有屬于A 且屬于 B 的元盍所組成的集合，叫做的交集. 記作 AHB( 讀作仏交躋 ) ，即 A fl B-(z)xeA? 且xeB.由所有屬于集合 A 或屬于集合 B 的元盍所組成的集合，叫做 A.B 的并集 . 記作 AUB (讀作 7并 B")，即 AUB =x|xeAi 或 xeB) ?設U是一個集合， A是 U的一個子集 . 由 U 中所

2、有 不屬于典的元素組成的 集合，凹做 U 中子集壷的補集 ( 或余集 )記作M即Venn圖性質<30AU A=AC?)A n A AnEssAU 0=A盤 n B-BHAAUB=BIJAAQBAAUBn AAflBcSAU ( 0M>=UAD容斥原理：有限集A 的兀素個數記作card(A.). 對于兩個有r 限集乩 有 card(AUB)= card(A)+canXB>card ( 直 CiB'一、在數學中的應用：1、并集 U 定義：取一個集合，設全集為 I , A、B 是 I 中的兩個子集，由所有屬于 A 或屬于 B 的元素所 組成的集合，叫做 A，B 的并集，表示

3、： AU Bo2、交集 G 定義： ( 交就是取兩個集合共同的元素) A 和 B 的交集是含有所有既屬于A 又屬于 B 的元素， 而沒有其他元素的集合。 A 和 B 的交集寫作“AH B”形式上： x 屬于 AH B 當且僅當 x 屬于 A 且 x 屬于Bo系： AH B=(1) 取一個集合，設全集為I， A B 是 I 中的兩個子集， X 為 A 和 B 的相交部分，則集合間有如下關X, A+ B= AU B- X;IABCIAAH C,EBHxAB C(2) 取一個集合，設全集為,、是中的兩個子集，=，為、的公共C,F AH B部分，即 x= AH BH C,則集合間有如下關系：AU BU

4、 C= A+ B+ C-AH B- AH C-BHC+ AH B1 / 4n C ; AU BU C= A+ B+ C只重合兩次的 -2 X 只重合三次的。二、運用韋恩（ Venn ）圖解題“三層次由于圖形簡明、直觀，因此很多數學問題解題往往借助于圖形來分析，下面例析運用集合中“韋 恩圖”解題的三層次：識圖一一用圖一一構圖。1、識圖是指給出韋恩圖形式，用集合的交、并及補等集合的運算表示。例 1: 如圖， I 是全集， M P 、S 是 I 的 3 個子集，則陰影部分所表示的集合是（）。A（Mn P） n S B 、 （Mn P ）U S C 、（Mn P）n ei S D 、 （Mn P）U

5、ei S解：陰影部分是M 與 P 的公共部分（轉化為集合語言就是Mn P ），且在 S 的外部（轉化為集合語言就是ei S ），故選（ C）。例 2: 用集合 A、B 及它們的交集、并集、補集的符號表示陰影部分的集合，正確的表達式是（A (AU B) ( An B)B 、e U ( An B)C (An euB)U( euAn B)D 、eu (AU B)n e u (An B)解：陰影有兩部分，左邊部分在A 內且 B 外（轉化成集合語言就是An e u B），右邊部分在B 內且外（轉化成集合語言就是n），故選（）。AuA BC0e2、用圖例 3: 設 u 是全集，非空集合P、 Q 滿足厚 Q

6、 U, 若含 P、Q 的一個集合運算表達式，使運算結果為空集 ° , 則這個運算表達式可以是_ （只要寫出一個表達式）。解：將集合語言用韋恩圖表示，極易得到其多種答案：eruQn P；（ 2）pn（ euFn Q）； eucn（ PU Q ）；等等。例 4: 已知全集 i =Nn? 2，貝 UA=、=i、=、=(IAU BBIe AU B CIAU DIeA U e解：根據題意，易得B A , 畫出韋恩圖，顯然I= AU eIB，故選（ C）2 / 4例 5: 設全集 U= x|0 vx< 10,x ?N+，若 AH B= 3 , AG euB = 1 , 5, 7 ,euAA

7、 euB = 9 , 求 A,Bo分析：本題關系較為復雜，由推理的方法較難，而用韋恩圖，則顯得簡捷。解：由 U= 1，2，3, ， 9，據題意，畫韋恩圖，如右圖，易得A= 1，3,5,7，B= 2，4,6，8 o3、構圖對于某些應用題，若能構造韋恩圖求解，可使問題變得簡單明了。例 6: 某班 50 名學生中，會講英語的有36 人，會講日語的有 20 人，既會講英語又會講日語的有14 人，問既不會講英語又不會講日語的有多少人？A B AHB 解：設全集U= 某班50名學生,會講日語的學生,= 會講英語的學生= 既會講英語又會講日語的學生 ，則由韋恩圖知，既不會英語又不會日語的學生有：50- 22

8、14 6= 8（人）。例 7： 50 名學生做物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確有40 人，化學實驗做得正確有31 人 ,兩種實驗都做錯的有4 人，問這兩種實驗都做對的有多少人？解：設全集 U= 做理化實驗的50 名學生 ,A= 做對物理實驗的學生 ,B= 做對化學實驗的學生, AHB= 兩種實驗都做對的學生，并設 Card （AH B） = x，則由韋恩圖（圖略），知40 x+ x+ 31 x + 40=50, 解得 x= 25。即兩種實驗都做對有25 人。三、巧用韋恩圖解決集合問題解決數學問題最怕的就是僅僅局限在數學上，又是適當的變通也會讓我們更好的解決問題。在集合的教學中就出現了多

9、類問題單憑數去做不容易，對集合的表示方法中韋恩圖法也就成了一個很好的工具。1、給元素找一個“家”集合離不開元素，集合中元素的分配尋找是集合這一章中經常出現的問題。例8: 設集合 U=a ,b, c, d, e，若 AH B=b , (CU A)H B=d , (CU A)H( CUB )=a ,e，則元素 c 在哪 ?分析：倘若解此題按照一般方法步驟求解將會涉及到五個集合（UA ,UB ,U）中元素A, B,CC的關系很難理清。觀察此五個集合，我們不妨借助韋恩圖來解決。解析：將全集 U 畫成是矩形如圖，因為 AH B=b, 所以說 A,B 兩集合有且只有一個共同的元素b, 又（CUA ）H B

10、=d，所以說 d CUA 即 A 且 d B.我們又能將元素d 安排好位置；同理（ CUA ）H3 / 4( CU B ) =a,e所以說 a,e CU A 且 a, e CU B，即 a,e A, a,e"B , 即 a, e 在集合中除了A,B 之外的部分。已知中所給出的三個條件都用完了我們可以看出除了陰影部分外不能在放元素c, 故而c 位于陰影部分，即A 且 eV 。利用此方法我們很快就可以給元素c 找到一個合適的位置了，在解決此題時即快又準2、找找有幾個元素例 9: 集合 A 中含有 12 個元素，集合 B 中含有 8 個元素，集合 AH B 中含有 3 個元素，則集合 AU

11、 B 中 含有多少個元素？關于元素個數問題在課本中的閱讀材料中給出了說明也給出了解此類問題的方法。可用公式card ( AU B) =card ( A) +card ( B) -card ( AH B) 求解，也可以用韋恩圖來求解。解析：因為 AH B 中有 3 個元素，所以說A、B 所共同占有的部分有3 個元素，又 A 中含有 12 個元素，所以說僅在 A 且不在 B 中的元素有 9 個，同理僅在B 且不在 A 中的元素有 5 個，因此，集合AU B 中含 有 9+3+5=17 個元素。由此可見借助韋恩圖去尋找元素的個數比較容易。3、應用韋恩圖巧解實際應用問題例 10: 某班有 54 名同學，其中會打籃球的有36 人，其余的不會；會打排球的人數比會打籃球的多4人，其余的不會；另外，這兩種球都不會打的人數是都會打的人數的1/4 還少 1, 問既會打籃球又會打排球的有多少人？分析：用韋恩圖畫出示意圖，借助圖形去分析解決此問題，使復雜的問題簡單化，借助方程去求解。解析：不妨設 54 名同學組成的集合為S, 會打籃球的同學組成的集合為A, 會打排球的同學組成的集合為 B, 兩種球都會打的同學組成的集合為C,設 C 中有元