1、高斯信道下單載波數(shù)字調制信號自相關函數(shù)分析引言自相關函數(shù)作為數(shù)字調制信號的一個重要的統(tǒng)計量，以其特有的抑制噪聲能力而在通信信號處理及其他相關領域中廣泛應用。但是，目前的研究大多是基于復基帶信號及高斯白噪聲假設的，而通信信號在接收過程中要經(jīng)過下變頻、濾波、重采樣等多種處理過程，因此原有的假設條件尤其是高斯白噪聲假設就不適用了。為了對接收過程中各個處理環(huán)節(jié)信號的自相關函數(shù)有一個清楚的認識，本文針對單載波數(shù)字調制信號的接收解調過程，系統(tǒng)地分析了各個處理階段信號的自相關函數(shù)的表示形式，并通過仿真進行驗證。本文工作為進一步深入應用通信信號的自相關函數(shù)提供了理論參考。1 數(shù)字調制信號接收過程數(shù)字接收機的過

2、程可用圖1表示。圖1 數(shù)字接收機接收過程發(fā)射機發(fā)射的帶通信號通過高斯信道時受到高斯白噪聲的污染；接收機首先對接收到的信號進行模擬帶通濾波，以濾除帶外噪聲，得到模擬信號；然后經(jīng)過模數(shù)轉換得到數(shù)字信號到；正交下變頻后得到復基帶信號；根據(jù)需要對復基帶信號的采樣率進行調整，得到；經(jīng)過匹配濾波后得到，然后對定時抽取及符號判決后完成解調。本文如下章節(jié)，將以圖1所示的接收模型為基礎，分析、的自相關函數(shù)表示形式。在分析過程中，作如下假設：（1） 帶通濾波對信號沒有影響；（2） 為零均值高斯白噪聲；（3） 為單載波數(shù)字調制信號即為MPSK、MQAM或MASK信號；（4） 中不存在載波誤差；（5） 數(shù)據(jù)長度L足夠

3、大，是的平穩(wěn)隨機信號的統(tǒng)計量可用相應的平均值近似。2 自相關函數(shù)分析2.1 的表示形式是經(jīng)過模數(shù)轉換后得到的數(shù)字信號，可表示為 （1）對于單載波數(shù)字調制信號1， （2）式中：為調制幅度；為調制相位；為成形濾波器沖擊響應函數(shù)；為定時誤差；，為載波頻率；為載波相位；為采樣周期，即采樣頻率的倒數(shù)；為符號周期，即符號速率的倒數(shù)。是高斯白噪聲經(jīng)過代通濾波和模數(shù)轉換后所得到的，因此是帶通高斯白噪聲信號，可表示為1， （3）其中和為相互獨立的零均值就低通高斯白噪聲，其方差即平均功率相等，設為N。 2.2 的自相關函數(shù) 假設參與運算的數(shù)據(jù)長度為L，則的自相關函數(shù)可用下式估計， （4）其中和分別是與的自相關函數(shù)

4、。下面分別分析。（1）分析 （5）其中為和的自相關函數(shù)，則 （6）其中N為和的平均功率，因此 （7） （2）分析假設計算過程中為常數(shù)，則 （8）將（2）代入（8）式并整理得， （9）其中 （10） （11）其中 （12）令信號平均功率為，則 （13）令，則 （14）顯然，0=1l<1 （15）綜合2.1和2.2分析可得到， （16）2.3 仿真驗證為驗證（15）式的正確性，利用matlab進行仿真分析。仿真過程中取Hz，sps，Hz采用開方升余弦滾降成形濾波器，滾降系數(shù)取0.35，調制樣式取16QAM，符號數(shù)為8000。圖2和圖3分別給出了和自相關函數(shù)的估計值和計算值的對比。仿真結果表明

5、，信號及噪聲自相關函數(shù)的估計值和計算值符合的很好。圖2 的自相關函數(shù)圖3 的自相關函數(shù)3 自相關函數(shù)分析3.1 的表示形式假設正交下變頻過程中低通濾波器的沖擊響應為，且忽略濾波后高次諧波的殘余項，那么同相分量和正交分量可表示為， （17）首先分析。令 （18）則 （19） （20）因此， （21）同理可得 （22）則 （23）其中 （24） 在上述分析中，忽略了低通濾波后高次諧波的殘余項，即認為低通濾波將高次諧波項完全濾除。3.2 的自相關函數(shù) （25）其中和分別是和的自相關函數(shù)。下面分別分析。3.2.1分析 （26）其中，（27）則 （28）其中， （29）3.2.2 分析 （30）而， （

6、31）則 （32）其中 （33） 綜合3.2.1和3.2.3分析可得， （34）3.3 仿真驗證為驗證（34）式的正確性，利用matlab進行仿真分析。仿真過程中直接采用復基帶信號和復高斯白噪聲信號作為輸入信號；取Hz，sps采用開方升余弦滾降成形濾波器，滾降系數(shù)取0.35，調制樣式取16QAM，符號數(shù)為8000；低通濾波器采用FIR濾波器，截至頻率為1/4，階數(shù)為8。圖4和圖5分別給出了正交下變頻后，信號和噪聲自相關函數(shù)的估計值和計算值的對比。仿真結果表明，信號及噪聲自相關函數(shù)的估計值和計算值符合的很好。圖4 正交下變頻后信號的自相關函數(shù)圖5 正交下變頻后噪聲自相關函數(shù)4 自相關函數(shù)分析4.

7、1 升采樣后自相關函數(shù)分析 假設對進行q倍升采樣后得到信號。下面對的表示形式及自相關函數(shù)進行分析。4.1.1 的表示形式q倍升采樣升采樣過程包括內插和低通濾波兩個過程。q倍內插的過程是在原序列相鄰采樣值之間插入q-1個0 。內插具有如下性質：如果原序列是兩個序列的卷積，則原序列的q倍內插等效為分別對兩個序列進行q倍內插后再進行卷積。 令q倍升采樣過程中的低通濾波器的沖擊響應為，則可得到q倍升采樣后的序列為， （35） 利用上述所述的內插性質及式（18）可得， （36）其中、和分別是、和的q倍內插后的結果，即 （37）從而可得到， （38）式中 （39）令，則 （40）需注意的是卷積運算是在采樣

8、率下進行的。4.1.2 的自相關函數(shù)由（34）式可知， （41）其中和分別是和的自相關函數(shù)，下面分別分析。（1）分析利用與相同的分析方法可得 （42）其中是的自相關函數(shù)，有 （43）則 （44）式中 （45）（2）分析 采用類似的分析方法，可得到 （46）其中是的自相關函數(shù)。類似于的推導過程，可得到 （47）其中是對進行q倍內插后得到的結果。將（41）式代入（40）式，可得 （48）其中， （49） 綜合（1）、（2）所述， （50）4.1.3 仿真驗證為驗證（50）式的正確性，利用matlab進行仿真分析。仿真過程中q取3，其他同2.3。圖7和圖8分別給出了升采樣后，信號和噪聲自相關函數(shù)的估

9、計值和計算值的對比。仿真結果表明，信號及噪聲自相關函數(shù)的估計值和計算值符合的很好。圖7 升采樣后信號的自相關函數(shù)圖8升采樣后噪聲的自相關函數(shù)4.2 降采樣后自相關函數(shù)分析 假設對進行p倍降采樣后得到信號。下面對的表示形式及自相關函數(shù)進行分析。4.2.1 的表示形式 假設p倍降采樣過程中低通濾波的沖擊響應為，則 （51）即， （52）其中 （53） （54） （55）需要注意的是，卷積運算是在采樣率下進行的，而抽取后的采樣率為。另外，如果抽樣前的數(shù)據(jù)長度為L，則抽樣后的數(shù)據(jù)長度為L/p。4.2.2 的自相關函數(shù)分析由（45）得，的自相關函數(shù)表示為， （56）其中和分別是和的自相關函數(shù)，下面分別分

10、析。（1）的自相關函數(shù) （57）其中， （58）為的p倍抽取。 （2）的自相關函數(shù)同理，可得到， （59）其中， （60） （61）綜合（1）、（2）可知， （62）4.2.3 仿真驗證為驗證（62）式的正確性，利用matlab進行仿真分析。仿真過程中p取3，其他同2.3。圖9和圖10分別給出了降采樣后，信號和噪聲自相關函數(shù)的估計值和計算值的對比。仿真結果表明，信號及噪聲自相關函數(shù)的估計值和計算值符合的很好。圖9 降采樣后信號的自相關函數(shù)圖10 降采樣后噪聲的自相關函數(shù)4.3 分數(shù)倍重采樣后自相關函數(shù)分析 假設對進行q/p倍降采樣后得到信號，其中p、q互為質數(shù)。下面對的表示形式及自相關函數(shù)進行

11、分析。4.3.1 的表示形式可以看作是先對進行q倍升采樣，然后在進行p倍降采樣得到。由2.3.1和2.3.2可知， （63）即， （64）其中， （65） （66） （67）4.3.2 的自相關函數(shù)由（56）式可以得到，的自相關函數(shù)表示為， （68）其中和分別是和的自相關函數(shù)，下面分別分析。（1）分析可以直接利用（58）式估計，但是比較復雜，下面利用前面討論的結果對進行分析。可以看成是對進行q倍升采樣后，再進行p被升采樣得到的。令進行q被升采樣，并進行p降采樣之前的抗混疊濾波后所得到的噪聲信號為，則 （69） （70）則，類似于（50）式的推導過程，可得到 （71）其中 （72）（2）分析同（

12、1），令經(jīng)過q被升采樣，并進行p降采樣之前的抗混疊濾波后所得到的信號為，則 （73） （74）則， （75）其中 （76） 綜合（1）、（2）所述得， （77）4.3.3 仿真驗證為驗證（86）式的正確性，利用matlab進行仿真分析。仿真過程中q取3，p取2，其他同2.3。圖11和圖12分別給出了重采樣后，信號和噪聲自相關函數(shù)的估計值和計算值的對比。仿真結果表明，信號及噪聲自相關函數(shù)的估計值和計算值符合的很好。圖11 重采樣后信號的自相關函數(shù)圖12 重采樣后噪聲的自相關函數(shù)5 自相關函數(shù)分析5.1 的表示形式設拼配濾波器的沖擊響應為，則可得到， （78）下面對的表示形式進行進一步的分析。首先

13、分析。由（56）式得， （79）即與卷積等效于，首先將進行p被內插，與抽取前的信號進行卷積，然后在進行p被抽取。令 （80）則 （81）同理， （82）5.2 的自相關函數(shù)利用前面的分析方法及結論，可得 （83）其中 （84）5.3 仿真驗證為驗證（84）式的正確性，利用matlab進行仿真分析，仿真參數(shù)同4.3。圖13和圖14分別給出了匹配濾波后，信號和噪聲自相關函數(shù)的估計值和計算值的對比。仿真結果表明，信號及噪聲自相關函數(shù)的估計值和計算值符合的很好。圖13 匹配濾波后信號的自相關函數(shù)圖14 匹配濾波后噪聲的自相關函數(shù)總結 為了便于對比，特將各個階段信號自相關函數(shù)的表達形式列于表1。表1 自相關函數(shù)表示形式參考文獻1 樊昌信，曹麗娜，通信原理（第6版）M，北京，國防工業(yè)出版社